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1、ADBCE圖21截長補短法人教八年級上冊課本中,在全等三角形部分介紹了角的平分線的性質(zhì),這一性質(zhì)在許多問題里都有著廣泛的應用.而“截長補短法”又是解決這一類問題的一種特殊方法,在無法進行直接證明的情形下,利用此種方法??墒顾悸坊砣婚_朗.請看幾例.例1.1.已知,如圖11,在四邊形ABCD中,BC>AB,AD=DC,BD平分∠ABC.求證:∠BAD∠BCD=180.分析:分析:因為平角等于180,因而應考慮把兩個不在一起的通過全等轉(zhuǎn)化成為
2、平角,圖中缺少全等的三角形,因而解題的關(guān)鍵在于構(gòu)造直角三角形,可通過“截長補短法”來實現(xiàn).證明:證明:過點D作DE垂直BA的延長線于點E,作DF⊥BC于點F,如圖12∵BD平分∠ABC,∴DE=DF,在Rt△ADE與Rt△CDF中,?????CDADDFDE∴Rt△ADE≌Rt△CDF(HL)∴∠DAE=∠DCF.又∠BAD∠DAE=180,∴∠BAD∠DCF=180,即∠BAD∠BCD=180例2.2.如圖21,AD∥BC,點E在線段
3、AB上,∠ADE=∠CDE,∠DCE=∠ECB.求證:CD=ADBC.分析:分析:結(jié)論是CD=ADBC,可考慮用“截長補短法”中的“截長”,即在CD上截取CF=CB,只要再證DF=DA即可,這就轉(zhuǎn)化為證明兩線段相等的問題,從而達到簡化問題的目的.證明:證明:在CD上截取CF=BC,如圖22在△FCE與△BCE中,??????????CECEBCEFCECBCF∴△FCE≌△BCE(SAS)∴∠2=∠1.ABCD圖11FEDCBA圖12A
4、DBCEF1234圖22證明:方法一(補短法)證明:方法一(補短法)延長AC到E,使DC=CE,則∠CDE=∠CED,如圖42∴∠ACB=2∠E,∵∠ACB=2∠B,∴∠B=∠E,在△ABD與△AED中????????????ADADEB21∴△ABD≌△AED(AAS)∴AB=AE.又AE=ACCE=ACDC,∴AB=ACDC.方法二(截長法)方法二(截長法)在AB上截取AF=AC,如圖43在△AFD與△ACD中??????????A
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