2015年考研數(shù)學(xué)基礎(chǔ)班講義

1、20152015年考研數(shù)學(xué)基礎(chǔ)班講義年考研數(shù)學(xué)基礎(chǔ)班講義武忠祥武忠祥第一章第一章函數(shù)函數(shù)極限極限連續(xù)連續(xù)第一節(jié)函數(shù)一、內(nèi)容概要一、內(nèi)容概要（一）函數(shù)的定義定義1設(shè)和是兩個(gè)變量，是一個(gè)給定的數(shù)集.如果對(duì)于每個(gè)數(shù)，變量xyDDx?y按照一定的法則總有一個(gè)確定的數(shù)值和它對(duì)應(yīng)，則稱是的函數(shù)，記為.常yyx)(xfy?稱為自變量，為因變量為函數(shù)的定義域.xyD注：函數(shù)概念有兩個(gè)基本要素：定義域、對(duì)應(yīng)規(guī)則（或稱依賴關(guān)系）.當(dāng)兩個(gè)函數(shù)的定義域與對(duì)應(yīng)規(guī)

2、則完全相同時(shí)，它們就是同一函數(shù).（二）函數(shù)的性質(zhì)1.單調(diào)性定義2設(shè)函數(shù)在某區(qū)間上有定義，如果對(duì)于區(qū)間上的任意兩點(diǎn))(xfy?II恒有（或），則稱在該區(qū)間內(nèi)單調(diào)增加（或21xx?)()(21xfxf?)()(21xfxf?)(xfy?單調(diào)減少）.注：函數(shù)的單調(diào)性主要是利用單調(diào)性的定義和一階導(dǎo)數(shù)的正負(fù)進(jìn)行判定。2.奇偶性定義3設(shè)函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱（即若，則有），)(xfy?DDx?Dx??如果對(duì)于任一，恒有，則稱為上的偶函數(shù)；如果恒有

3、Dx?)()(xfxf??)(xfD，則稱為上的奇函數(shù).)()(xfxf???)(xfD注:1）奇函數(shù)的圖形關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且若在處有定義，則)(xfy?)(xf0?x；偶函數(shù)的圖形關(guān)于軸對(duì)稱.0)0(?fy2）兩個(gè)奇（偶）函數(shù)之和仍為奇（偶）函數(shù)；兩個(gè)奇（偶）函數(shù)之積必為偶函數(shù)；奇函數(shù)與偶函數(shù)之積必為奇函數(shù).3.周期性定義4若存在實(shí)數(shù)，對(duì)于任意，恒有，則稱為0?Tx)()(xfTxf??)(xfy?周期函數(shù).使得上述關(guān)系式成立的最小正數(shù)

4、稱為的最小正周期，簡(jiǎn)稱為函數(shù)的T)(xf)(xf周期.注:和以為周期，和以為周期.xsinxcos?2x2sinxsin?4.有界性定義5設(shè)在集合上有定義.若存在，使得對(duì)任意的，恒有)(xfy?X0?MIx?，則稱在上為有界函數(shù).Mxf?|)(|)(xfX注：1）如果沒(méi)有指明的范圍，而說(shuō)“為有界函數(shù)”，是指在其定義域上x(chóng))(xf)(xf為有界函數(shù).2）如果對(duì)任意的，至少存在一個(gè)，使得，則為0?MXx?0Mxf?)(0)(xfX上的無(wú)界函

5、數(shù).（三）常見(jiàn)函數(shù)1.反函數(shù)定義6設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋涤驗(yàn)?若對(duì)任意，有唯一確定)(xfy?DyRyRy?的，使得，則記為，稱其為函數(shù)的反函數(shù).Dx?)(xfy?)(1yfx??)(xfy?注：有時(shí)也將的反函數(shù)寫(xiě)成.在同一直角坐標(biāo)系中，)(xfy?)(1yfx??)(1xfy??和的圖形重和，和的圖形關(guān)于直線對(duì)稱.)(xfy?)(1yfx??)(xfy?)(1xfy??xy?2.復(fù)合函數(shù)定義7設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，函?shù)的定義域?yàn)?，值域?yàn)?(