高等代數(shù)北大版教案第5章二次型

1、４８第五章第五章二次型二次型11二次型的矩陣表示二次型的矩陣表示一授課內(nèi)容：授課內(nèi)容：1二次型的矩陣表示二教學(xué)目的：教學(xué)目的：通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，掌握二次型的定義，矩陣表示，線性替換和矩陣的合同.三教學(xué)重點：教學(xué)重點：矩陣表示二次型四教學(xué)難點：教學(xué)難點：二次型在非退化下的線性替換下的變化情況.五教學(xué)過程：教學(xué)過程：定義：定義：設(shè)是一數(shù)域，一個系數(shù)在數(shù)域中的的二次齊PPnxxx21?次多項式?????nnnxxaxxaxaxxxf112112

2、21112122)(??…(3)???nnxxaxa2222222?2nnnxa?稱為數(shù)域數(shù)域上的一個上的一個元二次型元二次型，或者，簡稱為二次型二次型.Pn例如：例如：就是有理數(shù)域上的一個2332223121213423xxxxxxxxx?????3元二次型.定義定義1設(shè)，是兩組文字，系數(shù)在數(shù)域中nxxx21?nyyy21?P的一組關(guān)系式(4)???????????????????nnnnnnnnnnycycycxycycycxycy

3、cycx??????????????22112222121212121111稱為到的一個線性替換線性替換，或則，簡稱為線性替換.如nxxx21?nyyy21?果系數(shù)行列式，那么線性替換(4)就稱為非退化的非退化的.0?ijc二次型的矩陣表示：二次型的矩陣表示：５０顯然，二次型和它的矩陣是相互唯一決定的.由此還能得到，若二次型BXXAXXxxxfn????)(21?且，則，BBAA????BA?線性替換的矩陣表示令那么，線性替換(4)可以

4、寫成，???????????????nnnnnncccccccccC???????212222111211???????????????nyyyY?21??????????????nxxx?21???????????????nnnnnnccccccccc???????212222111211??????????????nyyy?21或者.CYX?顯然，一個非退化的線性替換把二次型還是變成二次型，現(xiàn)在就來看一下替換后的二次型與原二次型之間

5、有什么關(guān)系.設(shè)，，(7)AXXxxxfn??)(21?AA??是一個二次型，作非退化的線性替換(8)CYX?得到一個的二次型.nyyy21?BYY?現(xiàn)在來看矩陣與矩陣的關(guān)系BA把(8)代入(7)有.AXXxxxfn??)(21?ACYCYCYACY?????)()(BYYYACCY?????)(容易看出，矩陣也是對稱的，事實上，ACC?.ACCCACACC?????????)(由此，即得.ACCB??定義定義2數(shù)域上矩陣稱為合同的合同的