關于二次型化零向量的一些思考

1、1關于實二次型化零向量的一些思考關于實二次型化零向量的一些思考戴培培1楊忠鵬1林志興1嚴劍龍2郭文靜3嚴益水21莆田學院數(shù)學系2.福建師范大學數(shù)計學院3.廈門大學數(shù)科院莆田學院教改項目(JG200712、JG200820)二次型是高等代數(shù)教學中一個很重要的內容。在各種教材中已詳細的介紹了二次型的各種性質及結論，如任意實數(shù)域上的二次型均可通過適當?shù)姆峭嘶€性替換將其化成規(guī)范形，且規(guī)范形唯一?，F(xiàn)在我們利用這一結論來討論實二次型化零向量的問題

2、。1問題的提出問題的提出在各個高校使用的高等代數(shù)教材中，一般會出現(xiàn)這樣一個問題：問題問題1[124]設是一實二次型.若有實維1()nXAXfxx??1nnnxXARAAx???????????????n向量使得則一定存在實維向量使得12XX110XAX?220XAX?n00X?.000XAX?問題問題2[24]設為級實對稱矩陣與為兩個線性無關的維向量An1X2Xn，則存在兩個與線性相關的維向量，而線112200XAXXAX??12XXn

3、34XX34XX性無關，且33440.XAXXAX??問題問題3[14]設二次型的秩為則在中存在維數(shù)為的子1()nXAXfxx??nnR1(||)2ns?空間則對任一向量有其中為二次型的符號差.1V01XV?000XAX?s更一般的情形，設二次型的秩為則在中存在維數(shù)為1()nXAXfxx??()rrn?nR的子空間則對任一向量有其中為二次型的符號差.1(||)2rs?1V01XV?000XAX?s問題問題4[3]設是一實二次型存在維向量

4、1()nXAXfxx?Ln12111XXXAXc?，一定存在實維向量使得222XAXc?12102()ccccc???n0X000XAXc?說明說明（1）這是本科高等代數(shù)課程中的基本訓練題，基本涵蓋二次型的一些方法，也可以用來測試學生二次型部分的知識掌握情況。（2）問題1說明了化零向量的存在，問題2說明了至少存在兩個化零向量且線性無關，問題3說明了存在一個維數(shù)為的化零子空間這三個問題一個比一個深入。問題1(||)2ns?4說明了二次型具

5、有介值性。3的正負慣性指數(shù)則有個線性1()nXAXfxx?L1()nXAXfxx?L2pqnpq???無關的基本化零向量.結論結論4設實二次型的秩為則的全部1()nfxxLXAX?()rrn?1()nfxxLXAX?基本化零向量未必能構成線性空間.若A是不定的，則全部化零向量不能構成線性空間；若A是半正定或半負定時，全體化零向量構成的維數(shù)為的子空間.nR()nrA?我們知道有這樣的二維勾股數(shù)，也有三維、四維勾股數(shù)（見[5]）222zxy

6、??xyzZ?因此化零向量有另一種取法（分量之間的關系滿足勾股定理）。所以化零向量的構造不是唯一的具有多樣性，需要我們不斷地探索.這部分的內容在各個教材中基本都當做習題來解決，若是教師能在課堂上提出這個問題，學生在課后可以自己去補充完成證明，讓他們對二次型有更深刻的理解，亦可拓展他們的思維空間.3問題的延伸問題的延伸在對二次型化零向量的集合的代數(shù)結構的討論的基礎上，又查閱了劉先平所寫的《關于二次型的介值性》[3]其中主要證明了介值定理的

7、存在性。命題命題1是一實二次型若有維向量1()nfxxXAX?設Ln12XX111XAXc?若為介于與的任意實數(shù)一定存在實維向量222XAXc?12cc?0c1c2cn0X.000XAXc?使得定理定理1設是一實二次型存在維向量1()nXAXfxx?Ln12111XXXAXc?則的解向量存在但不唯一且222XAXc?12102()()ccccc???0XAXc?的全部解向量不構成線性空間.0XAXc?例1設是一實二次型而且是不定矩陣，存