“立體幾何”備考關(guān)鍵問(wèn)題指導(dǎo)

1、1福建省福建省2019屆高中畢業(yè)班數(shù)學(xué)學(xué)科備考關(guān)鍵問(wèn)題指導(dǎo)系列七屆高中畢業(yè)班數(shù)學(xué)學(xué)科備考關(guān)鍵問(wèn)題指導(dǎo)系列七立體幾何立體幾何（福建省高三畢業(yè)班復(fù)習(xí)教學(xué)指導(dǎo)組（福建省高三畢業(yè)班復(fù)習(xí)教學(xué)指導(dǎo)組鄭新發(fā)執(zhí)筆整理）鄭新發(fā)執(zhí)筆整理）立體幾何作為支撐高中數(shù)學(xué)知識(shí)體系的重要知識(shí)模塊之一，高中數(shù)學(xué)教材安排了兩部分內(nèi)容：數(shù)學(xué)必修2、選修2—1包括“空間幾何體”、“點(diǎn)、直線(xiàn)、平面之間的位置關(guān)系”、和“空間向量與立體幾何”。高考立體幾何試題具有較強(qiáng)的綜合性與交匯

2、性是每年髙考的必考內(nèi)容，考試突出綜合性，重視基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和綜合應(yīng)用和創(chuàng)新意識(shí)的考查，突出四基、四能和學(xué)科核心素養(yǎng)的考查，突出空間想象、數(shù)形結(jié)合思想、分類(lèi)討論思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想等都進(jìn)行考查高考對(duì)立體幾何的考查難度、題量都相對(duì)穩(wěn)定，題目難度屬于中檔，也是同學(xué)們應(yīng)盡力得滿(mǎn)份的題目，其題型、難度與分值比例均長(zhǎng)期保持相對(duì)穩(wěn)定。一般理數(shù)占22分、文數(shù)占22~27分，其題型與題量一般是1個(gè)解答題，理數(shù)2個(gè)小題，文數(shù)2~3個(gè)小題選擇題一道位于5

3、8是中等難度的題目，別一道是1112題或填空的最后一題的位置，屬于較難的題目，解答題穩(wěn)定在第18題的位置（除14年）立體幾何高考的選擇或填空題有三個(gè)常考熱點(diǎn)：一是空間幾何體的三視圖；二是空間幾何體的表面積、體積；三是空間中點(diǎn)、直線(xiàn)、平面之間的位置關(guān)系的判定考點(diǎn)一般圍繞：空間中點(diǎn)、直線(xiàn)、平面的位置關(guān)系的判定和性質(zhì)；距離和角的計(jì)算；三視圖；表面積和體積；立體幾何與其他問(wèn)題的綜合考查。能力范疇有：能根據(jù)條件畫(huà)出正確的圖形；能根據(jù)圖形想象出直觀

4、形象；能正確地分析圖形中的基本元素和相互關(guān)系；能對(duì)圖形進(jìn)行分解組合和變形；會(huì)選擇適當(dāng)?shù)姆椒▽?duì)圖形的性質(zhì)進(jìn)行研究。立體幾何高考的解答題常以棱柱或棱錐為載體，解答題一般采用分步設(shè)問(wèn)的方式，常見(jiàn)的兩個(gè)考查熱點(diǎn)：一是定性分析，二是定量計(jì)算其中定性分析，不論文科還是理科主要是以平行、垂直的證明為主；而定量分析，文科試題主要考查表面積、體積的計(jì)算；理科試題主要考查線(xiàn)面角、二面角的計(jì)算意在考查學(xué)生直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).下面主要以全國(guó)

5、高考數(shù)學(xué)卷與各省市質(zhì)檢卷為例，對(duì)學(xué)生解答立體幾何試題存在的問(wèn)題進(jìn)行剖析，并提出相應(yīng)的教學(xué)對(duì)策，供高三復(fù)習(xí)參考.近五年立體幾何部分考查情況表：表一：全國(guó)Ⅰ卷（理科）立體幾何考查情況年份題序考查內(nèi)容12三視圖（求最長(zhǎng)的棱長(zhǎng)）201419（1）證明線(xiàn)段相等；（2）求二面角的余弦值（以三棱柱為背景）6米堆（圓錐的四分之一）的體積（數(shù)學(xué)文化）11三視圖（簡(jiǎn)單組合體，求球的半徑）201518（1）證明面面垂直；（2）求異面直線(xiàn)所成角的余弦值6三視圖

6、（求八分之七的球的表面積）11以正方體為背景求異面直線(xiàn)所成角的正弦值201618(1）證明面面垂直；（2）求二面角的余弦值（以五面體為背景）7三視圖（簡(jiǎn)單組合體）16三棱錐的體積的最大值（平面圖形翻折問(wèn)題）201718（1）證明面面垂直；（2）求二面角的余弦值（以四棱錐為背景）3體出錯(cuò)，從而所求的幾何體的體積不正確破解此類(lèi)題的關(guān)鍵：一是會(huì)還原，首先看俯視圖，俯視圖的長(zhǎng)是幾何體的長(zhǎng)，寬是幾何體的寬，根據(jù)俯視圖畫(huà)出幾何體地面的直觀圖；再觀察

7、正視圖和側(cè)視圖，正視圖的高是幾何體的高，長(zhǎng)是幾何體的長(zhǎng)；側(cè)視圖的高是幾何體的高，寬是幾何體的寬，找到幾何體前、后、左、右的高度，要特別注意視圖中的可見(jiàn)輪廓線(xiàn)在三視圖中為實(shí)線(xiàn)，不可見(jiàn)的輪廓線(xiàn)在三視圖中為虛線(xiàn)二是用公式，即利用錐體的體積公式，求出空間幾何體的體積【例題2】（2012年課標(biāo)全國(guó)卷理11）已知三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球的球面上，SABCO是邊長(zhǎng)為1的正三角形，為球的直徑，且，則此棱錐的體積為()ABC?SCO=2SCABCD2636

8、2322【解析】由球的定義可知，球心為的中點(diǎn)如圖3，設(shè)的中心OSCABC?為，則有平面，且，所以三棱錐的高M(jìn)OM?ABC236133OM???????????，所以此棱錐的體積為2623hOM??113262132236?????【評(píng)析】本題往往會(huì)因?yàn)閷?duì)直徑認(rèn)識(shí)不足（球心為的中點(diǎn)），糾結(jié)如何OSC做圖（球內(nèi)接三棱錐），而不懂對(duì)問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化（），只有正確理解才能把問(wèn)題SABC2SABCOABCVV?轉(zhuǎn)化為三棱錐（如圖5），再結(jié)合球的定義，

9、即可解決OABC【例題3】（2016全國(guó)Ⅰ卷理11）平面過(guò)正方體的頂點(diǎn)，平面，?1111ABCDABCDA?11CBD平面，平面，則所成角的正弦值為（）??ABCDm???11ABBAn?mn，ABCD32223313【解析】方法一、因?yàn)槠矫?，且平面過(guò)頂點(diǎn)，?11CBD?A故問(wèn)題相當(dāng)于把平面“外移”如圖4，在正方體11CBD的左側(cè)補(bǔ)上一個(gè)全等的正方體，則平面“外移”1111ABCDABCD11CBD到平面（即平面），則平面，平面22AB