極限計(jì)算方法總結(jié)(簡潔版)

1、1極限計(jì)算方法總結(jié)（簡潔版）極限計(jì)算方法總結(jié)（簡潔版）一、極限定義、運(yùn)算法則和一些結(jié)果一、極限定義、運(yùn)算法則和一些結(jié)果1定義：定義：（各種類型的極限的嚴(yán)格定義參見（各種類型的極限的嚴(yán)格定義參見《高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)》函授教材，這里不一一敘述）函授教材，這里不一一敘述）。說明：（說明：（1）一些最簡單的數(shù)列或函數(shù)的極限（極限值可以觀察得到）都可以用上面的極限嚴(yán)格定義）一些最簡單的數(shù)列或函數(shù)的極限（極限值可以觀察得到）都可以用上面的極限嚴(yán)格定義

2、證明，例如：證明，例如：；；)0(0lim????abaanbn為常數(shù)且5)13(lim2???xx；等等；等等????????時(shí)當(dāng)不存在，時(shí)當(dāng)，1||1||0limqqqnn（2）在后面求極限時(shí)，）在后面求極限時(shí)，（1）中提到的簡單極限作為已知結(jié)果直接運(yùn)用，而不需再用極限嚴(yán)格定）中提到的簡單極限作為已知結(jié)果直接運(yùn)用，而不需再用極限嚴(yán)格定義證明。義證明。2極限運(yùn)算法則極限運(yùn)算法則定理定理1已知已知，都存在，極限值分別為都存在，極限值分別

3、為A，B，則下面極限都存在，且有，則下面極限都存在，且有（1）)(limxf)(limxgBAxgxf???)]()(lim[（2）BAxgxf???)()(lim（3）)0()()(lim成立此時(shí)需??BBAxgxf說明：極限號下面的極限過程是一致的；同時(shí)注意法則成立的條件，當(dāng)條件不滿足時(shí)，不能用。說明：極限號下面的極限過程是一致的；同時(shí)注意法則成立的條件，當(dāng)條件不滿足時(shí)，不能用。3兩個(gè)重要極限兩個(gè)重要極限（1）1sinlim0??x

4、xx（2）；exxx???10)1(limexxx????)11(lim說明：不僅要能夠運(yùn)用這兩個(gè)重要極限本身，還應(yīng)能夠熟練運(yùn)用它們的變形形式，說明：不僅要能夠運(yùn)用這兩個(gè)重要極限本身，還應(yīng)能夠熟練運(yùn)用它們的變形形式，作者簡介：靳一東，男，作者簡介：靳一東，男，（19641964—），副教授。，副教授。例如：例如：，，；等等。；等等。133sinlim0??xxxexxx????210)21(limexxx????3)31(lim4等價(jià)無

5、窮小等價(jià)無窮小定理定理2無窮小與有界函數(shù)的乘積仍然是無窮小（即極限是無窮小與有界函數(shù)的乘積仍然是無窮?。礃O限是0）。定理定理3當(dāng)時(shí)，下列函數(shù)都是無窮?。礃O限是時(shí)，下列函數(shù)都是無窮?。礃O限是0），且相互等價(jià)，即有：，且相互等價(jià)，即有：0?x～～～～～～。xxsinxtanxarcsinxarctan)1ln(x?1?xe說明：當(dāng)上面每個(gè)函數(shù)中的自變量說明：當(dāng)上面每個(gè)函數(shù)中的自變量x換成換成時(shí)（時(shí)（），仍有上面的等價(jià)，仍有上面的等價(jià))

6、(xg0)(?xg關(guān)系成立，例如：關(guān)系成立，例如：當(dāng)時(shí)，時(shí)，～；～。0?x13?xex3)1ln(2x?2x?3注：本題也可以用洛比達(dá)法則。注：本題也可以用洛比達(dá)法則。例2)12(lim?????nnnn解：原式解：原式=。2311213lim12)]1()2[(lim???????????????nnnnnnnnnn分子分母同除以例3nnnnn323)1(lim?????解：原式解：原式。11)32(1)31(lim3???????n

7、nnn上下同除以2利用函數(shù)的連續(xù)性（定理利用函數(shù)的連續(xù)性（定理6）求極限）求極限例4xxex122lim?解：因?yàn)榻猓阂驗(yàn)槭呛瘮?shù)是函數(shù)的一個(gè)連續(xù)點(diǎn)，的一個(gè)連續(xù)點(diǎn)，20?xxexxf12)(?所以所以原式原式=。ee42212?3利用兩個(gè)重要極限求極限利用兩個(gè)重要極限求極限例5203cos1limxxx??解：原式解：原式=。61)2(122sin2lim32sin2lim220220?????xxxxxx注：本題也可以用洛比達(dá)法則。注：