高中數(shù)學(xué)競賽教程第04講集合的概念與運(yùn)算

1、1第4講集合的概念與運(yùn)算集合的概念與運(yùn)算本講內(nèi)容包括集合及其性質(zhì)（集合的元素滿足確定性、互異性、無序性）；元素與集合、集合與集合的關(guān)系（屬于、包含、子集、空集、全集）；集合的運(yùn)算（交、并、補(bǔ)）及容斥原理等?！敖?、并、補(bǔ)”是集合的三種運(yùn)算。它們的含義可以用“且、或、非”來理解。這對于運(yùn)用集合語言描述數(shù)學(xué)現(xiàn)象，或解讀運(yùn)用集合語言描述的問題都有幫助。集合及其運(yùn)算還有如下一些常用的性質(zhì)和公式：若，則；若，則；ABB??BA?ABB??AB?；(

2、)()ABBAABCABC????????；()()ABBAABCABC????????()()()()()()ABCABACABCABAC????????????[I[I[I[I[I[I.()AB??A?B()AB??A?B容斥原理容斥原理在需要對某一個有限集合的元素進(jìn)行記數(shù)時，為了便于計算，常常通過計算它的若干個子集的元素個數(shù)來實現(xiàn)。實質(zhì)是將整體計數(shù)問題轉(zhuǎn)化為局部計數(shù)問題。我們將此類計數(shù)公式通稱為容斥原理?！叭荨币庵高@些子集的并集是

3、原集合，“斥”意指這些子集中兩兩交集不是空集時，需要將重復(fù)的元素個數(shù)排斥掉。通常以表示有限集合中元素的個數(shù)，參照Venn圖可以得到如下計數(shù)公式:||XX||||||||ABABAB?????||||||||||||||||ABCABCABBCCAABC????????????????A類例題例1已知數(shù)集，222(1)33Aaaaa?????。15Babab????若，求實數(shù)的值。AB?ab分析分析兩個集合相等是指這兩個集合的元素完全相同

4、。由集合中元素的互異性及無序性，集合中三個元素有且僅有一個為1。椐此可求出，進(jìn)而求出。Aab解由，得。AB?1A?ABABC3個方程組成的方程組的解集。（1）是求實數(shù)的值，使上述方程組有3解；（2）是求實數(shù)a的取值范圍，使上述方程組無解。a解由（）22222(21)10()1yxyayaxya???????????????。22(21)4(1)54aaa???????當(dāng)時，，原方程組無解；54a?0??當(dāng)時，，原方程組有兩解；54a?3

5、342yx????當(dāng)時，，方程（）有兩個不等的實根。54a?0??12yy由，得方程（）兩根中，一根為正數(shù)另一根為0時，原方程組有3解；方程20xy??（）兩根均為負(fù)根時，原方程組無解。由，經(jīng)驗算，時，原方程組有3解；2101aa?????1a?由，即時，原方程組無解。20210110aaa??????????????1a??所以，若，實數(shù)；||3A?1a?若，實數(shù)的取值范圍是或。A??a1a??54a?情景再現(xiàn)情景再現(xiàn)1已知數(shù)集，求實