組合數(shù)學第四版盧開澄標準答案-第三章

1、【第1頁共42頁】第三章第三章3.12.一年級有100名學生參加中文，英語和數(shù)學的考試，其中92人通過中文考試，75人通過英語考試，65人通過數(shù)學考試；其中65人通過中，英文考試，54人通過中文和數(shù)學考試，45人通過英語和數(shù)學考試，試求通過3門學科考試的學生數(shù)。[解].令：A1=通過中文考試的學生A2=通過英語考試的學生A3=通過數(shù)學考試的學生于是|Z|=100，|A1|=92，|A2|=75，|A3|=65|A1∩A2|=65，|A1

2、∩A3|=54，|A2∩A3|=45此題沒有給出：?有多少人通過三門中至少一門；?有多少人一門都沒通過。但是由max|A1||A2||A3|=max927565=92故可以認為：?至少有92人通過三門中至少一門考試，即100≥|A1∪A2∪A3|≥92?至多有8人沒通過一門考試，即0≤|∩∩|≤81A2A3A于是，根據(jù)容斥原理，有|A1∪A2∪A3|=(|A1||A2||A3|)(|A1∩A2||A1∩A3||A2∩A3|)|A1∩A2

3、∩A3|即|A1∩A2∩A3|=|A1∪A2∪A3|(|A1||A2||A3|)(|A1∩A2||A1∩A3||A2∩A3|)=|A1∪A2∪A3|(927565)(655445)=|A1∪A2∪A3|232164=|A1∪A2∪A3|68從而由9268≤|A1∪A2∪A3|68≤10068即24≤|A1∪A2∪A3|68≤32可得24≤|A1∩A2∩A3|≤32故此，通過3門學科考試的學生數(shù)在24到32人之間。也可用容斥原理，即|∩∩

4、|=|Z|(|A1||A2||A3|)(|A1∩A2||A1∩A3||A2∩A3|)|A1∩A2∩A3|1A2A3A=100(927565)(655445)|A1∩A2∩A3|=100232164|A1∩A2∩A3|【第3頁共42頁】P2(x):5|xA2=x|x?N?P2(x)P3(x):7|xA3=x|x?N?P3(x)|A1|=?10003?=333|A1∩A2|=?1000(35)?=66|A1∩A3|=?1000(37)?=4

5、7|A1∩A2∩A3|=?1000(357)?=9因此|A1∩∩|=|A1||A1∩A2||A1∩A3||A1∩A2∩A3|2A3A=33366479=229因此，在1～1000中能被3整除，同時不能被5和7整除的數(shù)有229個。3.15.N=12120，求其中被2357m個數(shù)除盡的數(shù)的數(shù)目，m=01234。求不超過120的素數(shù)的數(shù)目。[解].定義P1(x):2|xA1=x|x?N∩P1(x)P2(x):3|xA2=x|x?N∩P2(x)

6、P3(x):5|xA3=x|x?N∩P3(x)P4(x):7|xA4=x|x?N∩P4(x)|A1|=?1202?=60|A2|=?1203?=40|A3|=?1205?=24|A4|=?1207?=17|A1∩A2|=?120(23)?=20|A1∩A3|=?120(25)?=12|A1∩A4|=?120(27)?=8|A2∩A3|=?120(57)?=8|A2∩A4|=120(37)?=5|A3∩A4|=?120(57)?=3|A1