有理數(shù)的概念知識點(diǎn)歸納及練習(xí)題

1、有理數(shù)的概念知識梳理有理數(shù)的概念知識梳理有理數(shù)的概念一、目標(biāo)認(rèn)知學(xué)習(xí)目標(biāo)：了解正數(shù)、負(fù)數(shù)、有理數(shù)的概念，會用正數(shù)和負(fù)數(shù)表示相反意義的量。掌握一個(gè)數(shù)的相反數(shù)的求法和性質(zhì)，學(xué)習(xí)使用數(shù)軸，借助數(shù)軸理解相反數(shù)的幾何意義，會借助數(shù)軸比較有理數(shù)的大小。掌握一個(gè)數(shù)的絕對值的求法和性質(zhì)，進(jìn)一步學(xué)習(xí)使用數(shù)軸，借助數(shù)軸理解絕對值的幾何意義。重點(diǎn)：有理數(shù)的概念及其分類，相反數(shù)的概念及求法，絕對值的概念及求法，數(shù)軸的概念及應(yīng)用；有理數(shù)比較大小難點(diǎn)：絕對值的概念

2、及求法，尤其是用字母表示的時(shí)候的意義。運(yùn)用數(shù)軸理解絕對值的幾何意義。有理數(shù)比較大小的方法的掌握。二、知識要點(diǎn)梳理知識點(diǎn)一：負(fù)數(shù)的引入要點(diǎn)詮釋：正數(shù)和負(fù)數(shù)是根據(jù)實(shí)際需要而產(chǎn)生的，隨著社會的發(fā)展，小學(xué)學(xué)過的自然數(shù)、分?jǐn)?shù)和小數(shù)已不能滿足實(shí)際的需要，比如一些有相反意義的量：收入200元和支出100元、零上6℃和零下6℃等等，它們不但意義相反，而且表示一定的數(shù)量，怎樣表示它們呢？我們把一種意義的量規(guī)定為正的，把另一種和它意義相反的的量規(guī)定為負(fù)的，

3、這樣就產(chǎn)生了正數(shù)和負(fù)數(shù)。用正數(shù)和負(fù)數(shù)表示具有相反意義的量時(shí)，哪種意義為正，是可以任意選擇的，但習(xí)慣把“前進(jìn)、上升、收入、零上溫度”等規(guī)定為正，而把“后退、下降、支出、零下溫度”等規(guī)定為負(fù)。知識點(diǎn)二：正數(shù)和負(fù)數(shù)的概念要點(diǎn)詮釋：（1）像3、1.5、、584等大于0的數(shù)，叫做正數(shù)，在小學(xué)學(xué)過的數(shù)，除0以外都是正數(shù)，正數(shù)比0大。（2）像－3、－1.5、、－584等在正數(shù)前面加“－”(讀作負(fù))號的數(shù)，叫做負(fù)數(shù)。負(fù)數(shù)比0小。（3）零既不是正數(shù)也不是

4、負(fù)數(shù)，零是正數(shù)和負(fù)數(shù)的分界。注意：（1）為了強(qiáng)調(diào)，正數(shù)前面有時(shí)也可以加上“＋”（讀作正）號，例如：3、1.5、也可以寫作＋3、＋1.5、＋。（2）對于正數(shù)和負(fù)數(shù)的概念，不能簡單理解為：帶“＋”號的數(shù)是正數(shù)，帶“－”號的數(shù)是負(fù)數(shù)。例如：－a一定是負(fù)數(shù)嗎？答案是不一定。因?yàn)樽帜竌可以表示任意的數(shù)，若a表示的是正數(shù)，則－a是負(fù)數(shù)；若a表示的是0，則－a仍是0；當(dāng)a表示負(fù)數(shù)時(shí)，－a就不是負(fù)數(shù)了（此時(shí)－a是正數(shù)）。知識點(diǎn)三：有理數(shù)的有關(guān)概念要點(diǎn)詮

5、釋：1、有理數(shù)：整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)。注：（1）有時(shí)為了研究的需要，整數(shù)也可以看作是分母為1的數(shù)，這時(shí)的分?jǐn)?shù)包括整數(shù)。但是本節(jié)中的分?jǐn)?shù)不包括分母是1的分?jǐn)?shù)。（2）因?yàn)榉謹(jǐn)?shù)與有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)可以互化，上述小數(shù)都可以用分?jǐn)?shù)來表示，所以我們把有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)都看作分?jǐn)?shù)。（3）“0”即不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)，但“0”是整數(shù)。2、整數(shù)包括正整數(shù)、零、負(fù)整數(shù)。例如：1、2、3、0、－1、－2、－3等等。3、分?jǐn)?shù)包括正分?jǐn)?shù)和負(fù)分?jǐn)?shù)，例如：

6、、、0.6、－、－、－0.6等等。知識點(diǎn)四：有理數(shù)的分類要點(diǎn)詮釋：1、按整數(shù)、分?jǐn)?shù)的關(guān)系分類：2、按正數(shù)、負(fù)數(shù)與0的關(guān)系分類：注：通常把正數(shù)和0統(tǒng)稱為非負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)和0統(tǒng)稱為非正數(shù)，正整數(shù)和0稱為非負(fù)整數(shù)（也叫做自然數(shù)），負(fù)整數(shù)和0統(tǒng)稱為非正整數(shù)。如果用字母表示數(shù)，則a＞0表明a是正數(shù)；a＜0表明a是負(fù)數(shù)；a0表明a是非負(fù)數(shù)；a0表明a是非正數(shù)。知識點(diǎn)五：數(shù)軸的概念要點(diǎn)詮釋：規(guī)定了原點(diǎn)、正方向和單位長度的直線叫做數(shù)軸知識點(diǎn)十四：有理數(shù)大小

7、的比較法則要點(diǎn)詮釋：正數(shù)都大于0，負(fù)數(shù)都小于0，正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)，兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對值大的反而小。三、規(guī)律方法指導(dǎo)有理數(shù)與小學(xué)所學(xué)的數(shù)，主要區(qū)別在于負(fù)數(shù)。有理數(shù)可以用數(shù)軸上的點(diǎn)來表示，任何一個(gè)有理數(shù)都能在數(shù)軸上找到表示它的位置，而是唯一確定的點(diǎn)。數(shù)軸上的點(diǎn)可以表示三類數(shù)。在數(shù)軸上表示零的點(diǎn)稱做原點(diǎn)，以這個(gè)點(diǎn)為界，正有理數(shù)（正整數(shù)、正分?jǐn)?shù)）用原點(diǎn)右邊的點(diǎn)來表示；負(fù)有理數(shù)（負(fù)整數(shù)、負(fù)分?jǐn)?shù)）用原點(diǎn)左邊的點(diǎn)來表示，這就說明，數(shù)軸是有方向的。由于數(shù)軸

8、規(guī)定了方向，因而在數(shù)軸上排列著的數(shù)就是有順序的。從左到右一個(gè)數(shù)比一個(gè)數(shù)大。即數(shù)軸上表示的數(shù)，右邊的總比左邊的大。在數(shù)軸上，原點(diǎn)左、右兩邊距離原點(diǎn)等遠(yuǎn)的點(diǎn)所表示的有理數(shù)，它們只有符號不同，這樣的一對數(shù)稱為互為相反數(shù)。如果數(shù)軸上的點(diǎn)只考慮它到原點(diǎn)的距離，而不考慮它的正、負(fù)方向的數(shù)，則表示這個(gè)有理數(shù)的絕對值。經(jīng)典例題透析類型一：有理數(shù)分類的問題例1：請把下列各數(shù)填入它所屬于的集合的大括號里。10.07087003.8803.14159265.

9、正整數(shù)集合:…負(fù)整數(shù)集合:…整數(shù)集合:…正分?jǐn)?shù)集合:…負(fù)分?jǐn)?shù)集合:…分?jǐn)?shù)集合:…思路點(diǎn)撥:這種關(guān)于有理數(shù)的分類問題，關(guān)鍵是要掌握各種數(shù)的概念。小學(xué)時(shí)所學(xué)的自然數(shù)就是正整數(shù)和零，進(jìn)入中學(xué)，出現(xiàn)了負(fù)整數(shù)，而整數(shù)的范圍就擴(kuò)大到了正整數(shù)、零和負(fù)整數(shù)。有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)都可以寫成分?jǐn)?shù)的形式，因此，它們都是分?jǐn)?shù)。解析：正整數(shù)：1；負(fù)整數(shù)：700；整數(shù)：1，0，700；正分?jǐn)?shù)：0.0708，3.14159265，；負(fù)分?jǐn)?shù)：3.88，；分?jǐn)?shù)：0.0

10、708，3.14159265，，3.88，總結(jié)升華：有理數(shù)包括整數(shù)和分?jǐn)?shù)，分?jǐn)?shù)包含有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)，但須注意的是，不是所有的小數(shù)都是分?jǐn)?shù)，比如π等。所以，我們也不能說小學(xué)學(xué)過的所有數(shù)都是有理數(shù)，還有一部分?jǐn)?shù)不是有理數(shù)，那么這部分?jǐn)?shù)我們將在今后學(xué)習(xí)研究。舉一反三：【變式1】在數(shù)10070.87π3.80中不是分?jǐn)?shù)的是___________________不是小數(shù)的是_____________不是有理數(shù)的是______________

11、?！咀兪剑病肯铝兴姆N說法，正確的是().(A)所有的正數(shù)都是整數(shù)(B)不是正數(shù)的數(shù)一定是負(fù)數(shù)(C)正有理數(shù)包括整數(shù)和分?jǐn)?shù)(D)0不是最小的有理數(shù)類型二：正負(fù)數(shù)的概念例2：若把向北走7km記為－7km，則＋10km表示的含義是（）A.向北走10kmB.向西走10kmC.向東走10kmD.向南走10km思路點(diǎn)撥思路點(diǎn)撥：“正”和“負(fù)”相對，－7km表示向北走7km，則＋10km表示向南走10km.答案答案：D總結(jié)升華總結(jié)升華：在一對具有相反

12、意義的量中，若先規(guī)定一個(gè)為正，則另一個(gè)就用負(fù)表示；若先規(guī)定一個(gè)為負(fù)，則另一個(gè)就用正表示。舉一反三：舉一反三：【變式】(1)如果收入300元記作300元，那么支出500元用___________表示，0元表示__________.(2)若購進(jìn)50本書，用50本表示，則盈利30元如何表示？類型三：與數(shù)軸相關(guān)的問題例3:數(shù)軸上有一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離是5.5，那么這個(gè)點(diǎn)表示的數(shù)是_________.思路點(diǎn)撥:到原點(diǎn)的距離等于5.5的點(diǎn)既可以在原點(diǎn)左