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1、EX1.矢量空間矢量空間練習(xí)練習(xí)1.1試只用條件(試只用條件(1)~(8)證明)證明,和。2?????0???1?????()(完成人:梁立歡(完成人:梁立歡審核人:高思澤)審核人:高思澤)證明:由條件(證明:由條件(5)、(7)得)得11112????????????()只需證明只需證明和這兩式互相等價(jià)這兩式互相等價(jià)??0??????)1(根據(jù)條件(根據(jù)條件(7)00)00(0????????現(xiàn)在等式兩邊加上現(xiàn)在等式兩邊加上,得,得)
2、0(??)0()00()0(0???????????根據(jù)條件(根據(jù)條件(4),上式左上式左?????)0(0??根據(jù)條件(根據(jù)條件(4)、(2)上式右上式右00)00(0???????????????0?由,根據(jù)條件(,根據(jù)條件(4)、(7)得)得??0????????????????)1()11(0??????)1(#練習(xí)練習(xí)1.2證明在內(nèi)積空間中若證明在內(nèi)積空間中若對(duì)任意對(duì)任意成立,則必有成立,則必有。????????21??21?
3、??(完成人:谷巍(完成人:谷巍審核人:肖鈺斐)審核人:肖鈺斐)證明證明由題意可知,在內(nèi)積空間中若由題意可知,在內(nèi)積空間中若對(duì)任意對(duì)任意成立,則有成立,則有????????21??-=0(1)?1????2???于是有于是有(2)??021?????(完成人:張偉(完成人:張偉審核人:趙中亮)審核人:趙中亮)解:(解:(1)在第二個(gè)例子中若將加法的規(guī)定改變之后,空間不是內(nèi)積空間。)在第二個(gè)例子中若將加法的規(guī)定改變之后,空間不是內(nèi)積空間。
4、因?yàn)閷⒁?guī)定改之后對(duì)于任意的矢量不一定存在逆元,如一個(gè)不為零的矢量設(shè)為因?yàn)閷⒁?guī)定改之后對(duì)于任意的矢量不一定存在逆元,如一個(gè)不為零的矢量設(shè)為,則任意矢量和它相加后,得到的矢量的長(zhǎng)度不為零,所以一定不能得到零,則任意矢量和它相加后,得到的矢量的長(zhǎng)度不為零,所以一定不能得到零A矢量,即找不到逆元。所以空間不是內(nèi)積空間。矢量,即找不到逆元。所以空間不是內(nèi)積空間。(2)在第二個(gè)例子中若將內(nèi)積的定義改之后,空間不是一個(gè)內(nèi)積空間。證明如)在第二個(gè)例子中
5、若將內(nèi)積的定義改之后,空間不是一個(gè)內(nèi)積空間。證明如下:下:一般情況下,一般情況下,即有即有CBCB???=????CBA?sinCBA????sinsinCABA????????CABA?所以內(nèi)積的定義改變之后不是內(nèi)積空間。所以內(nèi)積的定義改變之后不是內(nèi)積空間。(3)在第三個(gè)例子中若將內(nèi)積的定義改之后,空間仍然是一個(gè)內(nèi)積空間。證明)在第三個(gè)例子中若將內(nèi)積的定義改之后,空間仍然是一個(gè)內(nèi)積空間。證明如下:如下:i????mlmlmlmlmll
6、mlmlmlmlm432)432(4433221144332211?????????ii??????nlmlnlnlnlnlmlmlmlmlnmlnmlnmlnmlnml)432()432()(4)(3)(2)(4433221144332211444333222111???????????????????iii????mlamlmlmlmlaamlamlamlamlmal)432(4324433221144332211?????????
7、iv.,對(duì)任意,對(duì)任意成立成立??0||4||3||2||24232221?????lllllll若??0004321??????lllllll即則必有綜上所述,新定義的內(nèi)積規(guī)則符合條件(綜上所述,新定義的內(nèi)積規(guī)則符合條件(9)—條件(條件(12),所以仍為內(nèi)積空,所以仍為內(nèi)積空間(4)在第四個(gè)例子的函數(shù)空間中,若將內(nèi)積的定義改為)在第四個(gè)例子的函數(shù)空間中,若將內(nèi)積的定義改為后,空間不是內(nèi)積空間。后,空間不是內(nèi)積空間。????baxdx
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