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1、 1 第 5 講 橢 圓 【2013 年高考會這樣考】 1.考查橢圓的定義及利用橢圓的定義解決相關(guān)問題. 2.考查橢圓的方程及其幾何性質(zhì). 3.考查直線與橢圓的位置關(guān)系. 【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】 1.熟練掌握橢圓的定義及其幾何性質(zhì)會求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程. 2.掌握常見的幾種數(shù)學(xué)思想方法——函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸等.體會解析幾何的本質(zhì)問題——用代數(shù)的方法解決幾何問題. 基礎(chǔ)梳理 1.橢圓的概念 在平面內(nèi)到兩定點 F1、F2的距離的和等于常數(shù)
2、(大于|F1F2|)的點的軌跡(或集合)叫橢圓.這兩定點叫做橢圓的焦點,兩焦點間的距離叫做焦距. 集合 P={M||MF1|+|MF2|=2a},|F1F2|=2c,其中 a>0,c>0,且 a,c 為常數(shù): (1)若 a>c,則集合 P 為橢圓; (2)若 a=c,則集合 P 為線段; (3)若 a<c,則集合 P 為空集. 2.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì) 標(biāo)準(zhǔn)方程 x2a2+y2b2=1 (a>b>0) y2a2+x2b2
3、=1 (a>b>0) 圖 形 續(xù)表 性 范 圍 -a≤x≤a -b≤y≤b -b≤x≤b -a≤y≤a 對稱性 對稱軸:坐標(biāo)軸 對稱中心:原點 頂點 A1(-a,0),A2(a,0) B1(0,-b),B2(0,b) A1(0,-a),A2(0,a) B1(-b,0),B2(b,0) 軸 長軸 A1A2的長為 2a;短軸 B1B2的長為 2b 3 +|PF2|等于( ). A.4 B.5 C
4、.8 D.10 解析 依橢圓的定義知:|PF1|+|PF2|=2×5=10. 答案 D 3.(2012·蘭州調(diào)研)“-3<m<5”是“方程 x25-m+ y2m+3=1 表示橢圓”的 ( ). A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 解析 要使方程 x25-m+ y2m+3=1 表示橢圓,應(yīng)滿足? ? ? ? ?5-m>0,m+3>0,5-m≠m+3,解
5、得-3<m<5 且m≠1,因此“-3<m<5”是“方程 x25-m+ y2m+3=1 表示橢圓”的必要不充分條件. 答案 B 4.(2012·淮南五校聯(lián)考)橢圓x29+ y24+k=1 的離心率為45,則 k 的值為( ). A.-21 B.21 C.-1925或 21 D.1925或 21 解析 若 a2=9,b2=4+k,則 c= 5-k, 由ca=45即 5-k3 =45,得 k=-1925; 若 a2=4
6、+k,b2=9,則 c= k-5, 由ca=45,即 k-54+k=45,解得 k=21. 答案 C 5.(2011·全國新課標(biāo))在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中,橢圓 C 的中心為原點,焦點 F1,F(xiàn)2在 x軸上,離心率為 22 .過 F1的直線 l 交 C 于 A,B 兩點,且△ABF2的周長為 16,那么 C 的方程為________. 解析 根據(jù)橢圓焦點在 x 軸上,可設(shè)橢圓方程為x2a2+y2b2=1(a>b>0).∵e
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