高中奧數(shù)覆蓋例題講解

1、高中奧數(shù)覆蓋例題講解高中奧數(shù)覆蓋例題講解１最簡(jiǎn)單情形――用一個(gè)圓覆蓋一個(gè)圖形首先根據(jù)覆蓋和圓的定義及性質(zhì)即可得到：定理１如果能在圖形Ｆ所在平面上找到一點(diǎn)Ｏ，使得圖形Ｆ中的每一點(diǎn)與Ｏ的距離都不大于定長(zhǎng)ｒ，則Ｆ可被一半徑為ｒ的圓所覆蓋定理２對(duì)于二定點(diǎn)Ａ、Ｂ及定角α若圖形Ｆ中的每點(diǎn)都在ＡＢ同側(cè)，且對(duì)Ａ、Ｂ視角不小于α，則圖形Ｆ被以ＡＢ為弦，對(duì)ＡＢ視角等于α的弓形Ｇ所覆蓋在用圓去覆蓋圖形的有關(guān)問題的研究中，上述二定理應(yīng)用十分廣泛２一個(gè)圖形Ｆ能否

2、被覆蓋，與圖形中任意兩點(diǎn)間的距離最大值ｄ密切相關(guān)以下我們稱圖形Ｆ中任意兩點(diǎn)間的距離最大值ｄ為圖形Ｆ的直徑我們繼續(xù)研究多個(gè)圓覆蓋一個(gè)圖形問題定義對(duì)于圖形Ｇ１，Ｇ２，…，Ｇｎ，若圖形Ｆ中的每一點(diǎn)都被這組圖形中的某個(gè)所覆蓋，則稱這幾個(gè)圖形覆蓋圖形Ｆ圖形Ｇ１，Ｇ２，…，Ｇｎ為ｎ個(gè)圓是一特殊情形３直線形圖形覆蓋別的圖形的問題解決直線形圖形覆蓋別的圖形的問題，常須較高的智巧，一般的處理方法是通過構(gòu)造過渡圖形，逐步調(diào)整，最終獲得問題的解決4.圖形的嵌

3、入是覆蓋問題的一種重要變化形式所謂圖形Ｆ能嵌入圖形Ｇ其本質(zhì)就是圖形Ｇ能覆蓋圖形F.例題講解1求證：（１）周長(zhǎng)為２ｌ的平行四邊形能夠被半徑為的圓面所覆蓋（２）桌面上放有一絲線做成的線圈，它的周長(zhǎng)是２ｌ，不管線圈形狀如何，都可以被個(gè)半徑為的圓紙片所覆蓋2△ABC的最大邊長(zhǎng)是ａ，則這個(gè)三角形可被一半徑為的圓所覆蓋3△ＡＢＣ的最大邊BC等于ａ，試求出覆蓋△ABC的最小圓4以ＡＢＣＤ的邊為直徑向平行四邊形內(nèi)作四個(gè)半圓，證明這四個(gè)半圓一定覆蓋整個(gè)平

4、行四邊形（2）如圖452在線圈上分別取點(diǎn)R，Q，使R、Q將線圈分成等長(zhǎng)兩段，每段各長(zhǎng)l.又設(shè)RQ中點(diǎn)為G，M為線圈恥任意一點(diǎn)，連MR、MQ，則因此，以G為圓心，長(zhǎng)為半徑的圓紙片可以覆蓋住整個(gè)線圈２分析ａ為最大邊，所對(duì)角A滿足６０≤A＜１８０證明不妨設(shè)BC＝ａ，以BC為弦，在A點(diǎn)所在一側(cè)作含60角的弓形?。▓D４５－３）因６０≤A≤180，故根據(jù)定理２，△ABC可被該弓形所覆蓋由正弦定理，弓形相應(yīng)半徑ｒ＝，所以△ABC可被半徑為的圓所覆蓋顯

5、然覆蓋△ABC的圓有無窮多個(gè)，那么半徑為的圓是否是最小的覆蓋圓呢？事實(shí)并不盡然３解分三種情形進(jìn)行討論：（１）∠Ａ為鈍角，以ＢＣ為直徑作圓即可覆蓋△ＡBC（２）∠Ａ是直角，同樣以ＢＣ為直徑作圓即可覆蓋△ABC；（３）∠Ａ是銳角假若⊙O覆蓋△ABC，我們可在⊙O內(nèi)平移△ABC，使一個(gè)頂點(diǎn)B落到圓周上，再經(jīng)過適當(dāng)旋轉(zhuǎn)，使另一個(gè)頂點(diǎn)落在圓周上，此時(shí)第三個(gè)頂點(diǎn)A在⊙O內(nèi)或其圓周上，設(shè)BC所對(duì)圓周角為α，那么∠BAC≥α，設(shè)⊙O直徑ｄ，△ABC外接

6、圓直徑ｄ０，那么所以對(duì)于銳角三角形ABC，最小覆蓋圓是它的外接圓今后我們稱覆蓋圖形F的圓中最小的一個(gè)為F的最小覆蓋圓最小覆蓋圓的半徑叫做圖形F的覆蓋半徑綜合例２、例３，即知△ABC中，若ａ為最大邊，則△ABC的覆蓋半徑ｒ滿足４分析１ＡＢＣＤ的每一點(diǎn)至少被某個(gè)半圓所蓋住證明１用反證法如圖４５－４設(shè)存在一點(diǎn)Ｐ在以ＡＢ、ＢＣ、ＣＤ、ＤＡ為直徑的圓外，根據(jù)定理二，∠ＡＰＢ，∠ＢＰＣ，∠ＣＰＤ∠ＤＰＡ均小于９０，從而∠ＡＰＢ＋∠ＢＰＣ＋∠ＣＰＤ＋