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文檔簡介
1、數(shù)學(xué)金融學(xué)第八章總結(jié)8.1證券市場的描述一、預(yù)備知識一、預(yù)備知識設(shè)為概率測度空間??P?F(一)隨機(jī)變量的概率測度積分定義1.0.0(1).(1.0.1)??1AniiiXdPaP?????(2)若為非負(fù)()(1.0.2)XlimkkXdPXdP???????A1|01kininkkniXXaIk???????????(3)若可測設(shè)若存在則稱該值為在概X????00XXXXIXXI??????XXX????XdPXdP???????X率
2、測度空間上的積分記.(1.0.3)??P?FXdPXdPXdP??????????注:1020設(shè).??EXXdP?????????RRRPXxFxx???????FB30離散型連續(xù)型.??EXXdP?????1iiixPXx?????????REXxfxdx??40??AAAEIXIXdPXdP?????(二)隨機(jī)積分1.隨機(jī)積分定義1.0.1設(shè)、(或)為隨機(jī)過程令tXtY??0tT?T??T????????1inniiIXY?????
3、???其中.??????10111iiniiiiiiissassstsssssYYY?????????????????????的關(guān)于隨機(jī)積分────存在.(1.0.4)tXtY??1max0limiinttssnsaXdYI???????????..sa??0tT?2.Lebesgue積分定義1.0.2的Lebesgue積分──=存在.(1.0.5)tXttsaYXds????01liminiiXs???????..sa3.Ito積分定
4、義1.0.3稱一維隨機(jī)過程(或)服從標(biāo)準(zhǔn)的始于0的一維tw??0tT?T??T??Brown運(yùn)動(簡稱一維標(biāo)準(zhǔn)的Brown運(yùn)動)若滿足tw(1)具有獨(dú)立增量即對任何相互獨(dú)立tw010ktttT????????1|1iiittwwwik??????(2)在上連續(xù)(3)(4).??????w?:??0T??0twNt?:??0T00w?注:若服從Brown運(yùn)動則增量具有平穩(wěn)性即與分布相同記為twttttwww?????ttttwww????
5、?tw?dtttttwwww???????定義1.0.4設(shè)是二階矩過程(或)為一維Brown運(yùn)動若????|0tXtT?tw??0tT?T??T??存在關(guān)于的Ito積分───.(1.0.6)tssaXdw?tXtWttssaXdw?????0tT?(三)Ito過程和Ito引理1.Ito過程(1)設(shè)d維隨機(jī)變量取值于Rd.????????1Tdtwtwt??w設(shè)服從d維正態(tài)分布其中??tw??ttN????1tttd?????又?????
6、?????22222varvar0varvar.jjjijijijijEttttEtEEtttij??????????????????????????????????????????其中為的高階無窮小??????1.0.10221djtjgbXttt????????????????t??t???????1.0.9221dtjtjXbXttot????????????????????????1.0.81dttjtjjtfffXtaXttb
7、XtwttXt????????????????????????222222211122djttjttfffbXttottXtXtXt????????????????????????????????????????????2221112ddtjtjtjjjtttffffaXtbXttbXtwtotXtXX????????????????????????????????????????∴.▲????????2221112ddtjtjtjjj
8、tttffffdfaXtbXtdtbXtdwtXtXX????????????????????????????????????例1.0.7均為正常數(shù)───幾何布朗運(yùn)動..(1.0.11)0.ttttdXXdtXdwXc????????c????0tT?①但tttttttdXdXXdtXdwdtdwX?????????.??00000lnlnTTTtTtTtdXXXdtdwTwwX??????????????②可以證明滿足(1.0.11)
9、的有.取則tX0tX???0tT???lnfxtx???lnttfXtX?22221ln2ttttttttffffdfdXXXdtXdwXtXX??????????????????????212tdtdw????????????22000011lnln22TTTTttTXdXdtdwTwX?????????????????????????????.▲(1.0.12)2211220TTTwTwTXXece?????????????????
10、????????(四)Holder不等式定理1.0.8(Holder不等式)(1)若在上Lebesgue可積則????fxgx??0T.(1.0.13)????????????11000TTTpqpqfsgsdsfsdsfsds????1111qppq???(2)若則1111ppqqEXXdPEYYdPqppq?????????????????????.(1.0.14)????????1111pqpqpqpqEXYXYdPEXEYXdP
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