數(shù)學(xué)金融學(xué)第九章未定權(quán)益的定價理論1

1、長沙理工大學(xué)備課紙長沙理工大學(xué)備課紙數(shù)學(xué)金融學(xué)第九章未定權(quán)益的定價理論第1頁共28頁第九章未定權(quán)益的定價理論對于未定權(quán)益我們已經(jīng)不陌生了.在第457和8章中分別討論過一些情形.本章中我們將建立連續(xù)時間市場中的未定權(quán)益定價理論.9.1歐式未定權(quán)益定價問題在第8章第4節(jié)中我們出于引入市場(廣義或者內(nèi)蘊)完備性定義的需要提到了歐式未定權(quán)益的可復(fù)制性.在這里我們將專門討論歐式未定權(quán)益的可復(fù)制性以及可定價性.為了避免敘述的繁瑣和可能的喧賓奪主假定

2、市場是無磨擦的.我們將在[0T]上的市場重寫于下:M()r?b(1.1)0010()()()[0]()()()()()[0]1(0)1(0)1.diiiijjjiidPtPtrtdttTdPtPtbtdttdwttTinPPpin???????????????????????????假定條件成立對于初始財富及證券組合過程財富過程滿足下述方程：(M1)y()[]tT????(1.2)??()()()()()()1()()()[0](0)d

3、YtYtrtttrtdtssdstTYy??????????????bw?一、問題一、問題現(xiàn)在考慮上的歐式未定權(quán)益即持有都到到期時刻能夠獲得收益??0T2()TR???FLT的一個未定權(quán)益.我們的問題可以敘述如下:?問題問題1.11.1尋找和使使得yR?()[]tT????(1.3)(())YTy??A?如果滿足上述(1.3)的和存在則稱在上是可復(fù)制的可復(fù)制的稱是在yR?()[]tT???????0T()???上的一個復(fù)制策略復(fù)制策略稱

4、為在時刻0的一個準價格準價格.當(dāng)可復(fù)制且準價格惟一時（這??0Ty??y里不要求的惟一性）稱在上是可定價的可定價的并稱為在時刻0的一個價格價格.()?????0Ty易見問題1.1等價于求解下述倒向隨機微分方程：(1.4)??()()()()()()1()()()[0]().dYtYtrtttrtdtttdttTYT???????????????bw?此時我們也稱為未定權(quán)益的價格過程.()YA?由上面的定義可見在上可復(fù)制的(歐式)未定權(quán)益

5、似乎未必是在上可定價的.我??0T??0T們回憶:在單時段市場情形存在可復(fù)制的但不可定價的未定權(quán)益而當(dāng)市場成立單一價格定律時(特別的，當(dāng)市場無套利時)可復(fù)制的未定權(quán)益必是可定價的.對于連續(xù)時間市場情形我們也容易構(gòu)造在上可復(fù)制的但不可定價的未定權(quán)益.事實上對于比較極端的情形(1.2)??0T()0???變成一個常微分方程.此時我們很容易構(gòu)造在上可復(fù)制的但不可定價的未定權(quán)益對于??0T人們也可以造出這樣的例子.我們把細節(jié)留給了讀者.()0?

6、??我們注意到問題1.1考慮的是上是歐式未定權(quán)益.類似地對任何我們可以??0T??0tT?長沙理工大學(xué)備課紙長沙理工大學(xué)備課紙數(shù)學(xué)金融學(xué)第九章未定權(quán)益的定價理論第3頁共28頁()()()()[0]TTtYtttdttT??????????w?又由第八章(1.0.7)知()()()|00TTtptEttdttT??????????????w?F故??????00()()|||0tTrdrdtttpppYteYtEYtEEetT??????

7、??????????????????????????????FFF所以.▲??()|0TtrdtpYtEetT???????????????F上面的定理給出了在條件和(1.6)上任何歐式未定權(quán)益的可定價性。表達式(1.10)稱作(M1)(現(xiàn)行框架下的)的未定權(quán)益的風(fēng)險中性定價原則(比較第5章和第7章中的離散時間情形)上面證明定理1.2的方法稱為倒向隨機微分方程方法也稱鞅方法.我們不難注意到上面定理1.2本質(zhì)上僅僅給出了未定權(quán)益的可定價性

8、公式(1.10)其實不是太好用因為條件數(shù)學(xué)期望的計算并不容易因此定理1.2在使用時不太方便.下面我們將探求未定權(quán)益的更容易計算的公式.為此我們進一步假定(M2)成立(即市場的系數(shù)均是確M()r?b定性的)并且未定權(quán)益具有形式其中為一個連續(xù)子函數(shù)最典型的例子(())gPT??:ngRR?是1n?(1.16)??()()max0gppqpq?????和(1.17)()()gpqp???它們分別對應(yīng)于歐式看漲期權(quán)和歐式看跌期權(quán)。三、運用三、運

9、用公式進行的歐式未定權(quán)益的定價方程公式進行的歐式未定權(quán)益的定價方程BlackScholes方程方程Ito現(xiàn)在，我們來尋找形如歐式未定權(quán)益的定價公式各復(fù)制策略過程.由上面的定(())gT??P理1.2在(M1)和(1.6)滿足時下述倒向隨機微分方程存在惟一的適應(yīng)解:??()()Y???(1.18)????()()()()()()()[0]().dYtYtrtttdttdttTYTgT??????????????ZZwP?假定存在一個光滑的

10、待定函數(shù)使得???AA(1.19)??()(())0YttttT???P則對(1.19)運用公式由(1.1)可得Ito????()()()()()1()()()()(()YtrtttrtdtttdtdYtdtt???????bwP?????????(1.1)(3.13)111()()()()()()()()()2iijnntPiiihhjijPPiijhttttPtbtttPtPtttdt??????????????????附錄PPP(