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1、11abcabba214214222??????【證法證法1】1】(課本的證明)(課本的證明)做8個全等的直角三角形,設(shè)它們的兩條直角邊長分別為a、b,斜邊長為c,再做三個邊長分別為a、b、c的正方形,把它們像上圖那樣拼成兩個正方形.從圖上可以看到,這兩個正方形的邊長都是ab,所以面積相等.即整理得222cba??.【證法證法2】2】(鄒元治證明)(鄒元治證明)以a、b為直角邊,以c為斜邊做四個全等的直角三角形,則每個直角三角形的面積等
2、于ab21.把這四個直角三角形拼成如圖所示形狀,使A、E、B三點在一條直線上,B、F、C三點在一條直線上,C、G、D三點在一條直線上.∵RtΔHAE≌RtΔEBF∴∠AHE=∠BEF.∵∠AEH∠AHE=90∴∠AEH∠BEF=90.∴∠HEF=180―90=90.∴四邊形EFGH是一個邊長為c的正方形.它的面積等于c2.∵RtΔGDH≌RtΔHAE∴∠HGD=∠EHA.∵∠HGD∠GHD=90∴∠EHA∠GHD=90.又∵∠GHE=9
3、0∴∠DHA=9090=180.∴ABCD是一個邊長為ab的正方形,它的面積等于??2ba?.∴??22214cabba????.∴222cba??.【證法證法3】3】(趙爽證明)(趙爽證明)以a、b為直角邊(ba),以c為斜邊作四個全等的直角三角形,則每個直角三角形的面積等于ab21.把這四個直角三角形拼成如圖所示形狀.∵RtΔDAH≌RtΔABE∴∠HDA=∠EAB.∵∠HAD∠HAD=90,∴∠EAB∠HAD=90,∴ABCD是一
4、個邊長為c的正方形,它的面積等于c2.∵EF=FG=GH=HE=b―a∠HEF=90.DGCFAHEBabcabcabcabcbabababacbacbacbacbacbacbabacGDACBFEH33cccbacbaABCEFPQMN做兩個全等的直角三角形,設(shè)它們的兩條直角邊長分別為a、b(ba),斜邊長為c.再做一個邊長為c的正方形.把它們拼成如圖所示的多邊形,使E、A、C三點在一條直線上.過點Q作QP∥BC,交AC于點P.過點B
5、作BM⊥PQ,垂足為M;再過點F作FN⊥PQ,垂足為N.∵∠BCA=90,QP∥BC,∴∠MPC=90,∵BM⊥PQ,∴∠BMP=90,∴BCPM是一個矩形,即∠MBC=90.∵∠QBM∠MBA=∠QBA=90,∠ABC∠MBA=∠MBC=90,∴∠QBM=∠ABC,又∵∠BMP=90,∠BCA=90,BQ=BA=c,∴RtΔBMQ≌RtΔBCA.同理可證RtΔQNF≌RtΔAEF.從而將問題轉(zhuǎn)化為【證法4】(梅文鼎證明).【證法證法7
6、】7】(歐幾里得證明)(歐幾里得證明)做三個邊長分別為a、b、c的正方形,把它們拼成如圖所示形狀,使H、C、B三點在一條直線上,連結(jié)BF、CD.過C作CL⊥DE,交AB于點M,交DE于點L.∵AF=AC,AB=AD,∠FAB=∠GAD,∴ΔFAB≌ΔGAD,∵ΔFAB的面積等于221a,ΔGAD的面積等于矩形ADLM的面積的一半,∴矩形ADLM的面積=2a.同理可證,矩形MLEB的面積=2b.∵正方形ADEB的面積=矩形ADLM的面積矩
7、形MLEB的面積∴222bac??,即222cba??.【證法證法8】8】(利用相似三角形性質(zhì)證明)(利用相似三角形性質(zhì)證明)如圖,在RtΔABC中,設(shè)直角邊AC、BC的長度分別為a、b,斜邊AB的長為c,過點C作CD⊥AB,垂足是D.在ΔADC和ΔACB中,∵∠ADC=∠ACB=90,∠CAD=∠BAC,∴ΔADC∽ΔACB.AD∶AC=AC∶AB,即ABADAC??2.同理可證,ΔCDB∽ΔACB,從而有ABBDBC??2.∴??2
8、22ABABDBADBCAC?????,即222cba??.【證法證法9】9】(楊作玫證明)(楊作玫證明)做兩個全等的直角三角形,設(shè)它們的兩條直角邊長分別為a、b(ba),斜邊長為c.再做一個邊長為c的正方形.把它們拼成如圖所示的多邊形.過A作AF⊥AC,AF交GT于F,AF交DT于R.過B作BP⊥AF,垂足為P.過D作DE與CB的延長線垂直,垂足為E,DE交AF于H.∵∠BAD=90,∠PAC=90,∴∠DAH=∠BAC.又∵∠DHA
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