函數(shù)與極限重點知識歸納

1、常量與變量常量與變量變量的定義變量的定義我們在觀察某一現(xiàn)象的過程時，常常會遇到各種不同的量，其中有的量在過程中不起變化我們把其稱之為常量常量；有的量在過程中是變化的，也就是可以取不同的數(shù)值，我們則把其稱之為變量變量。注：注：在過程中還有一種量，它雖然是變化的，但是它的變化相對于所研究的對象是極其微小的，我們則把它看作常量。變量的表示變量的表示如果變量的變化是連續(xù)的，則常用區(qū)間區(qū)間來表示其變化范圍。在數(shù)軸上來說，區(qū)間區(qū)間是指介于某兩點之間

2、的線段上點的全體。區(qū)間的名稱區(qū)間的滿足的不等式區(qū)間的記號區(qū)間在數(shù)軸上的表示閉區(qū)間a≤x≤b[a，b]開區(qū)間a＜x＜b（a，b）半開區(qū)間a＜x≤b或a≤x＜b（a，b]或[a，b）以上我們所述的都是有限區(qū)間，除此之外，還有無限區(qū)間：[a，∞)：表示不小于a的實數(shù)的全體，也可記為：a≤x＜∞；(∞，b)：表示小于b的實數(shù)的全體，也可記為：∞＜x＜b；(∞，∞)：表示全體實數(shù)R，也可記為：∞＜x＜∞注：注：其中∞和∞，分別讀作“負無窮大“和“

3、正無窮大“它們不是數(shù)僅僅是記號。鄰域鄰域設(shè)α與δ是兩個實數(shù)，且δ＞0.滿足不等式│xα│＜δ的實數(shù)x的全體稱為點α的δ鄰域，點α稱為此鄰域的中心，δ稱為此鄰域的半徑。函數(shù)函數(shù)的定義函數(shù)的定義如果當變量x在其變化范圍內(nèi)任意取定一個數(shù)值時，量y按照一定的法則總有確定的數(shù)值與它對應，則稱y是x的函數(shù)函數(shù)。變量x的變化范圍叫做這個函數(shù)的定義域函數(shù)的定義域。通常x叫做自變量自變量，y叫做因變量因變量。注：為了表明y是x的函數(shù)，我們用記號y=f(x

4、)、y=F(x)等等來表示.這里的字母“f“、“F“表示y與x之間的對應法則即函數(shù)關(guān)系它們是可以任意采用不同的字母來表示的.注：注：如果自變量在定義域內(nèi)任取一個確定的值時，函數(shù)只有一個確定的值和它對應，這種函數(shù)叫做單值函數(shù)，否則叫做多值函數(shù)。這里我們只討論單值函數(shù)。函數(shù)的有界性函數(shù)的有界性如果對屬于某一區(qū)間I的所有x值總有│f(x)│≤M成立，其中M是一個與x無關(guān)的常數(shù)，那么我們就稱f(x)在區(qū)間I有界，否則便稱無界。注意：注意：一個函

5、數(shù)，如果在其整個定義域內(nèi)有界，則稱為有界函數(shù)例題：例題：函數(shù)cosx在(∞∞)內(nèi)是有界的.函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的單調(diào)性有一值x0與之對應，即，那末變量x是變量y的函數(shù).這個函數(shù)用來表示，稱為函數(shù)的反函數(shù).注：注：由此定義可知，函數(shù)也是函數(shù)的反函數(shù)。反函數(shù)的存在定理反函數(shù)的存在定理若在(a，b)上嚴格增(減)，其值域為R，則它的反函數(shù)必然在R上確定，且嚴格增(減).注：注：嚴格增(減)即是單調(diào)增(減)例題：例題：y=x2，其定義域為(∞∞)，

6、值域為[0∞).對于y取定的非負值可求得x=.若我們不加條件，由y的值就不能唯一確定x的值，也就是在區(qū)間(∞∞)上，函數(shù)不是嚴格增(減)，故其沒有反函數(shù)。如果我們加上條件，要求x≥0，則對y≥0、x=就是y=x2在要求x≥0時的反函數(shù)。即是：函數(shù)在此要求下嚴格增(減).反函數(shù)的性質(zhì)反函數(shù)的性質(zhì)在同一坐標平面內(nèi)，與的圖形是關(guān)于直線y=x對稱的。例題：例題：函數(shù)與函數(shù)互為反函數(shù)，則它們的圖形在同一直角坐標系中是關(guān)于直線y=x對稱的。如右圖所