范德蒙行列式的證明及其應(yīng)用

1、1范德蒙德行列式的證明及其應(yīng)用范德蒙德行列式的證明及其應(yīng)用摘要：介紹了階范德蒙行列式的定義用遞推法和拉普拉斯定理兩種方法證明了范德蒙n行列式輔以實(shí)例研究了它在高等代數(shù)中的一些應(yīng)用.向量空間理論用來解決線性問題在線性變換理論、多項(xiàng)式理論和微積分理論中主要用它構(gòu)造線性方程組進(jìn)而應(yīng)用克拉默法則或相關(guān)定理判斷根的情況在行列式計(jì)算中主要運(yùn)用范德蒙行列式的結(jié)論簡(jiǎn)化階行列式的計(jì)算過程.探n究范德蒙行列式的歷史及相關(guān)應(yīng)用為更進(jìn)一步鉆研其相關(guān)性質(zhì)與應(yīng)用奠

2、定了良好的基礎(chǔ).關(guān)鍵詞關(guān)鍵詞：范德蒙德行列式向量空間線性變換應(yīng)用1引言引言行列式本身有著長(zhǎng)遠(yuǎn)的歷史發(fā)展過程.它的理論最早可追溯到十七世紀(jì)末在十九世紀(jì)末其理論體系已基本形成.1683年定義行列式概念的是日本數(shù)學(xué)家關(guān)孝和.同一年德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茨首先開始使用指標(biāo)數(shù)的系數(shù)集合來表示有三個(gè)未知數(shù)的三個(gè)一次方程組的系數(shù).他這種解決方程組的思維方式為行列式理論的深入研究工作打下了堅(jiān)實(shí)地基礎(chǔ).1771年范德蒙創(chuàng)造性的在深入研究行列式理論的基礎(chǔ)上嘗試解

3、線性方程組.他這種勇于創(chuàng)新、敢于探索的精神為大家所認(rèn)可被公認(rèn)為行列式的奠基人.他以現(xiàn)在被大家所熟悉的拉格朗日著作中的相關(guān)知識(shí)為理論基礎(chǔ)進(jìn)行了反復(fù)的鉆研為后來研究群的概念奠定了良好的基礎(chǔ).第一個(gè)闡述行列式的數(shù)學(xué)家便是范德蒙.他運(yùn)用自己的聰明才智、活躍的思維、批判的科研態(tài)度給出了現(xiàn)代代數(shù)書中二階子式及余子式的定義經(jīng)過推理演繹這一系列嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪^程完善了行列式的概念并給出了行列式的數(shù)學(xué)符號(hào)記錄.1772年皮埃爾西蒙.拉普拉斯在范德蒙著作和自身靈感

4、的啟示下思維方法發(fā)生了變化得出了子類型的概念.自此起人們對(duì)行列式展開了單獨(dú)的研究.人們?yōu)榱松钊肓私庑辛惺嚼碚摰谋举|(zhì)特征在19世紀(jì)展開了更深層次的研究.柯西積極吸收前人的勞動(dòng)成果的同時(shí)首次給出了行列式的系統(tǒng)理論.包括雙重組標(biāo)記法、行列式的乘法定理等.1832年至1833年問卡爾.雅可給出了一個(gè)特殊的行列式的計(jì)算結(jié)果.基于此1839年卡塔蘭發(fā)現(xiàn)了Jacobian行列式.范德蒙行列式整齊、完美的結(jié)構(gòu)形式讓我們體驗(yàn)到數(shù)學(xué)之美.簡(jiǎn)單探索它的應(yīng)用感

5、悟數(shù)學(xué)的魅力.如果我們能夠深入探索范德蒙行列式并靈活運(yùn)用它未來將更廣泛的應(yīng)用在數(shù)學(xué)各個(gè)領(lǐng)域.2范德蒙行列式的定義及證明范德蒙行列式的定義及證明2.12.1定義定義3中除第行（或第列）的元素以外行列式中其余元素全是零則由ijijaLaplace定理得:此行列式等于與它的代數(shù)余子式的乘積在ijaijAijijAaD?113121122322213211111?????nnnnnnnnaaaaaaaaaaaaD?????????中，從最后一行

6、開始，每一行減去它相鄰前一行的倍得1a)()()(0)()()(0011111213231222113312211312aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaDnnnnnnnnn??????????????????????根據(jù)上述定理)()()()()()(1213231222113312211312aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaDnnnnnnnnn????????????????????把每列的公因子提出來

7、得223223211312111)())((???????nnnnnnnaaaaaaaaaaaaD????????等式右邊的第二個(gè)因子是階行列式用表示則上式中1?n1?nD111312)())((?????nnnDaaaaaaD?同樣地可以得到2224231)())((??????nnnDaaaaaaD?此處是一個(gè)階范德蒙行列式一直繼續(xù)下去得2?nD2?n)()())(())((122311312????????nnnnnaaaaaaa