等腰三角形證明以及輔助線做法

1、巧用巧用“兩線合一兩線合一”構(gòu)建且證明等腰三角形問題構(gòu)建且證明等腰三角形問題學(xué)習(xí)了等腰三角形的三線合一后，筆者認(rèn)為，可以根據(jù)學(xué)生的實際情況，補(bǔ)充“三線合一”的逆命題的教學(xué)，因為這種逆命題雖然不能作為定理用，但它在解題中非常常見的。掌握了它，可以為我們解題增加一種重要思路。它有以下幾種形式：①一邊上的高與這邊上的中線重合的三角形是等腰三角形（線段垂直平分線的性質(zhì)）②一邊上的高與這邊所對角的平分線重合的三角形是等腰三角形③一邊上的中線與這邊

2、所對角的平分線重合的三角形是等腰三角形.因此，三角形“一邊上的高、這邊上的中線及這邊所對角的平分線”三線中“兩線合一”就能證明它是等腰三角形為了便于記憶，筆者簡言之：兩線合一，必等腰。本文重點利用該逆命題作為一種思路正確地添加輔助線，構(gòu)建等腰三角形且證明之來解決問題。一、我們先來證明一、我們先來證明“三線合一三線合一”性質(zhì)的逆命題三種情形的正確性：性質(zhì)的逆命題三種情形的正確性：證明①：已知:如圖1，△ABC中，AD是BC邊上的中線，又是

3、BC邊上的高。求證：△ABC是等腰三角形。分析：AD就是BC邊上的垂直平分線，利用線段垂直平分線的性質(zhì)，可以推出AB=AC，所以△ABC是等腰三角形。具體證明過程略。證明②：已知:如圖1，△ABC中，AD是∠BAC的角平分線，AD是BC邊上的高。求證：△ABC是等腰三角形。分析：利用ASA的方法來證明△ABD≌△ACD，由此推出AB=AC得出△ABC是等腰三角形。具體證明過程略。證明③：已知:如圖2，△ABC中，AD是∠BAC的角平分線

4、，AD是BC邊上的中線。求證：△ABC是等腰三角形。方法一：分析：要證△ABC是等腰三角形就是要證AB=AC，直接通過證明這兩條線段所在的三角形全等不行，那就換種思路，經(jīng)驗告訴我們，在有中點的幾何證明題中常用的添輔助線的方法是“倍長中線法”（即通過延長三角形的中線使之加倍，以便構(gòu)造出全等三角形來解決問題的方法），即延長AD到E點，使DE=AD，由此問題就解決了。證明：如圖2，延長AD到E點，使DE=AD，連接BE當(dāng)然，學(xué)生在作出角的平分

5、線上一點到角的兩邊的距離時，很容易形成思維定勢，證明兩組直角三角形分別全等，從而證明∠B=∠C，所以AB=AC，此法明顯較麻煩些，但是思路要給予肯定。需要提醒讀者的是：以上我們證明了“三線合一”的逆定理的正確性，但是這種逆命題不能作為定理來用，掌握了它和它的證明過程，其目的是為我們解題增加一種重要思路和方法。二、二、利用利用“三線合一三線合一”性質(zhì)的逆命題添加輔助線，構(gòu)建且證明等腰三角形來解決問題性質(zhì)的逆命題添加輔助線，構(gòu)建且證明等腰三

6、角形來解決問題1、逆命題①的應(yīng)用（即線段垂直平分線的性質(zhì)的應(yīng)用）例1人教版八（上）第十二章章節(jié)復(fù)習(xí)題中的第5題：如圖4，D、E分別是AB、AC的中點，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，求證：AC=AB。經(jīng)筆者驗證，學(xué)生一拿到題目就找全等三角形或構(gòu)建全等三角形，所以連接AO（圖略），證明△AOC≌△AOB或者三組直角三角形分別全等，其中還要用到線段的垂直平分線的性質(zhì)，證明OA=OB=OC，方法相當(dāng)?shù)芈闊７治觯侯}目沒有直接給出“CD、BE分

7、別是AB、AC的垂直平分線”這樣的語句，所以學(xué)生最初拿到這個題目，很難把分立的垂直和平分兩個條件聯(lián)系在一起。如果學(xué)生有“兩線合一，必等腰”的思維，很容易想到CD、BE分別可以是以AB、AC為底邊的等腰三角形底邊上的高和中線，即“兩線合一”，因此添加輔助線，構(gòu)造等腰三角形。簡單證明：連結(jié)BC，∵CD⊥AB，AD=BD∴AC=BC（注：利用線段垂直平分線的性質(zhì)）同理可得：AB=BC∴AC=AB由于逆命題①的應(yīng)用與線段垂直平分線的性質(zhì)相一致，