球面三角

1、第八章球面三角球面上圓心在球心的三個大圓弧所圍成的閉合圖形，叫做球面三角形球面三角形。球面三角球面三角就是研究球面三角形的解法，即依據(jù)球面三角形的已知元素（邊、角）來解算其他未知元素。在天文—大地測量中球面三角形有著廣泛的應(yīng)用。因為雖然地球是個扁球體，但扁率很小，所以在一定的條件下，可以把地球面近似地看作球面，用球面三角來解決一些實際問題。歷史上，球面三角是由古代天文學(xué)的發(fā)展而發(fā)展起來的，此后平面三角始作為球面三角的特殊情形而出現(xiàn)。當(dāng)球

2、面三角形的球半徑變?yōu)闊o窮大時，這球面三角形就變成了平面三角形了。我們知道，平面三角形的邊是以長度為單位的，對于球面三角形，當(dāng)球半徑一定時，它的邊長就由其所對的球心平面角所確定。因此，為了研究方便起見，我們把球面三角形的邊也以角度為單位。這就是球面三角與平面三角不同的地方。第一節(jié)球面幾何下面我們將著重介紹有關(guān)球面三角形的一些概念。一、球面上的大圓、小圓和極一、球面上的大圓、小圓和極我們知道，任何一個平面與球面相截，所得的截線是一個圓。如果

3、平面是通過球心的，那么所得的圓叫做大圓大圓。不通過球心的平面所截得的圓，叫做小圓小圓。通過平面上不在同一條球直徑兩端的兩點和，能作且只能作一個大圓（圖1—1）。AB這時，、兩點將整個大圓分成兩端圓弧，我們把小于半圓周（180）的那段圓弧AB（劣?。┑幕￠L叫做球面上、兩點間的距離，記作。ABAB圖1—1圖1—2垂直于球面上一已知（大圓或小圓）所在平面的球直徑的端點，叫做這個圓的極。如圖1—2，和既是大圓的極，也是小圓的極?？梢?，一個圓有兩

4、個極，而這PPABCD兩個極的連線就是球的直徑。極到圓周上各點的距離都相等，這距離叫做極距離極距離。大圓的極距離為一象限（=90）。反之，如果球面上一點至其他兩點（不是直徑的端點）的距離都是一象限，那么前一點必為通過后兩點的大圓的極。二、球面角二、球面角球面上兩個大圓弧相交所成的角叫做球面角球面角，其交點叫做球面角的頂點頂點，兩個大圓弧叫做球面角的邊。如圖1—3，球面角的頂點為，邊為和而球面角APBPPAPB同理=180=180.bB?

5、cC?因此我們說，極三角形的邊與原三角形的對應(yīng)角互補(bǔ)。同時也有，極三角形的角與原三角形的對應(yīng)邊互補(bǔ)。圖1—5圖1—6五、球面坐標(biāo)五、球面坐標(biāo)在球面上，任意選擇兩個互相垂直的大圓作為基圓，如圖1—6所示，把大圓作為第一基圓，大圓作為第二基圓，和是大圓的極。QmQPQPQPPQmQ設(shè)是球面上任意一點，過作平行于第一基圓的小圓又過點及極點、MMDMFMP作半大圓，它與第一基圓相交于點。PPMPQmQm連接、、。設(shè)∠=φ，∠=λ，則球面上任一點

6、的位置可OQOmOMMOmQOmM由φ、λ兩數(shù)來確定。一般記為（φ，λ）。M把地球當(dāng)做一個球，它以北極、南極為極，以地球赤道作為第一基圓，通過英國NS格林威治的地球子午線向東計算的叫做東經(jīng)，向西計算的叫做西經(jīng)西經(jīng)。經(jīng)度λ在0到180內(nèi)變化。平行于赤道平面的小圓上所有點，它們的緯度相同。在地圖上把這種小圓叫做緯線。通過南北兩極的半大圓上的所有點，它們的經(jīng)度相同，在地圖上把這種半大圓叫做經(jīng)線經(jīng)線。第二節(jié)球面三角下面我們將研究一般球面三角形的