勾股定理中的動點題

1、勾股定理中的動點題勾股定理中的動點題動點題是近年來中考的的一個熱點問題，解這類題目要“以靜制動”，即把動態(tài)問題，變?yōu)殪o態(tài)問題來解。一般方法是抓住變化中的“不變量”，以不變應(yīng)萬變，首先根據(jù)題意理清題目中兩個變量X、Y的變化情況并找出相關(guān)常量，第二，按照圖形中的幾何性質(zhì)及相互關(guān)系，找出一個基本關(guān)系式，把相關(guān)的量用一個自變量的表達(dá)式表達(dá)出來，然后再根據(jù)題目的要求，依據(jù)幾何、代數(shù)知識解出。第三，確定自變量的取值范圍，畫出相應(yīng)的圖象。這類題目難度

2、較大從數(shù)學(xué)知識點來看，一般考察幾何圖像的判定和性質(zhì)（如梯形，相似三角形，直角三角形等）以及函數(shù)和方程的知識等綜合性很強(qiáng).從數(shù)學(xué)思想方法看有：數(shù)形結(jié)合的思想方法，轉(zhuǎn)化的思想方法，分類討論的思想方法，方程的數(shù)學(xué)，函數(shù)的思想方法等關(guān)鍵:動點中的分類討論：抓住運動中的關(guān)鍵點，動中求靜.1、如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC=4，∠A=120動點P、E、M分別從B、A、D三點同時出發(fā)，其中點P沿BA向終點A運動，點E沿AD向終點

3、D運動，點M沿DC向終點C運動，且它們的速度都為每秒2個單位連接PE、PM、EM，設(shè)動點P、E、M運動時間為t（單位：秒），△PEM的面積為S（1）判斷△PAE與△EDM是否全等，說明理由；（2）連接BD，求證：△EPM∽△ABD；（3）求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并求出△PEM的面積的最小值考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；二次函數(shù)的最值；全等三角形的判定；勾股定理；梯形。解答：解：（1）△PAE≌△EDM，理由如下：根據(jù)題意，得BP=AE=D

4、M=2t，∵AB=AD=DC=4，∴AP=DE=4﹣2t（1分）∵在梯形ABCD中，AB=DC，∴∠PAE=∠EDM；（2分）又AP=DE，AE=DM，∴△PAE≌△EDM（3分）（2）證明：∵△PAE≌△EDM，∴PE=EM，∠1=∠2（4分）∵∠3∠2=∠1∠BAD，∴∠3=∠BAD；（5分）∵AB=AD，∴；（6分）∴△EPM∽△ABD（7分）（3）過B點作BF⊥AD，交DA的延長線于F，過P點作PG⊥AD交于G；在Rt△AFB中

5、，∠4=180﹣∠BAD=180﹣120=60，∴BF=AB?sin∠4=4?sin60=∴S△ABD=（8分）在Rt△APG中，PG=AP?sin∠4=（4﹣2t）?sin60=（2﹣t）AG=AP?cos∠4=（4﹣2t）?cos60=2﹣t，∴GE=AGAE=2﹣t2t=2t∵PE2=PG2GE2∴[（2﹣t）]2（2t）2=4t2﹣8t16∵△EPM∽△ABD，∴=（9分）∴S△EPM=4=；∴S與t的函數(shù)關(guān)系式為S=（0≤t≤

6、2）（10分）即S=∴當(dāng)t=1，S有最小值，最小值為（12分）另一解法（略解）在Rt△APG中，PG=AP?sin∠4=（4﹣2t）?sin60=（2﹣t）AG=AP?cos∠4=（4﹣2t）?cos60=2﹣t在Rt△MFD中，F(xiàn)M=DM?sin∠MDF=2t?sin60=，DF=DM?cos∠MDF=2t?cos60=t從而ED=QH=QC－CH=3t－30∴S=S梯形QCDE=(ED＋QC)DH=120t－600………………………

7、…（8分）（4）△PQE能成為直角三角形……………………………………………………（9分）當(dāng)△PQE為直角三角形時，t的取值范圍是0＜t≤25且t≠或t=35…（12分）（注：（4）問中沒有答出t≠或t=35者各扣1分，其余寫法酌情給分）下面是第（4）問的解法，僅供教師參考：①當(dāng)點P在BA（包括點A）上，即0＜t≤10時，如圖9過點P作PG⊥BC于點G，則PG=PBsinB=4t，又有QE=4t=PG，易得四邊形PGQE為矩形，此時△PQ

8、E總能成為直角三角形②當(dāng)點P、E都在AD（不包括點A但包括點D）上，即10＜t≤25時，如圖8由QK⊥BC和AD∥BC可知，此時，△PQE為直角三角形，但點P、E不能重合，即5t－50＋3t－30≠75，解得t≠③當(dāng)點P在DC上（不包括點D但包括點C），即25＜t≤35時，如圖10由ED＞253－30=45，可知，點P在以QE=40為直徑的圓的外部，故∠EPQ不會是直角由∠PEQ＜∠DEQ，可知∠PEQ一定是銳角對于∠PQE，∠PQE≤

9、∠CQE，只有當(dāng)點P與C重合，即t=35時，如圖11，∠PQE=90，△PQE為直角三角形綜上所述，當(dāng)△PQE為直角三角形時，t的取值范圍是0＜t≤25且t≠或t=354、（2009?青島）如圖，在梯形ABCD中，，，，，點由B出發(fā)沿BD方向勻速運動，速度為1cms；同時，線段EF由DC出發(fā)沿DA方向勻速運動，速度為1cms，交于Q，連接PE若設(shè)運動時間為（s）（）解答下列問題：（1）當(dāng)為何值時，？（2）設(shè)的面積為（cm2），求與之間的

10、函數(shù)關(guān)系式；（3）是否存在某一時刻，使？若存在，求出此時的值；若不存在，說明理由（4）連接，在上述運動過程中，五邊形的面積是否發(fā)生變化？說明理由考點：平行線的判定；根據(jù)實際問題列二次函數(shù)關(guān)系式；三角形的面積；勾股定理；相似三角形的判定與性質(zhì)。解：（1）∵∴而，∴，∴∴當(dāng)2分（2）∵平行且等于，∴四邊形是平行四邊形∴∵，∴∴∴∴過B作，交于，過作，交于∵，∴又，，，6分（3）若，則有，解得（4）在和中，∴∴在運動過程中，五邊形的面積不變1