11-彎曲變形

1、第十一章 梁的彎曲變形,Chapter Eleven,Deflection of Beams,11.1 彎曲變形的概念,11.2 積分法求梁的變形,11.3 疊加法計算梁的撓度和轉(zhuǎn)角,11.4 簡單超靜定梁,本章基本要求,,,,,,背景材料,,,背 景 材 料,零件變形過大將使加工精度受到影響。,,,,,機架變形過大將使加工無法正常進行。,有的情況下應該防止構(gòu)件產(chǎn)生過大的變形，有的情況下則可以利用構(gòu)件的

2、變形。,能正確應用積分法求梁的撓度曲線函數(shù)。,能正確熟練地利用疊加法計算梁中指定截面的廣義位移。,掌握彎曲超靜定問題的分析方法。,本 章 基 本 要 求,正確理解撓度和轉(zhuǎn)角的概念，理解撓度曲線微分方程的建立過程，能利用彎矩和約束條件判斷撓度曲線的大致走向。,,,撓度 ( deflection ) w = w (x),撓度以 y 軸正向為正。,11.1 彎曲變形的概念,轉(zhuǎn)角 ( slope ),轉(zhuǎn)角以 x 軸正向逆時針

3、旋轉(zhuǎn)為正。,1. 撓度與轉(zhuǎn)角,,撓度 ( deflection ) w = w (x),轉(zhuǎn)角以 x 軸正向逆時針旋轉(zhuǎn)為正。,撓度以 y 軸正向為正。,11.1 彎曲變形的概念,轉(zhuǎn)角 ( slope ),1. 撓度與轉(zhuǎn)角,注意 在彈性范圍內(nèi)，梁的撓度曲線必定是連續(xù)光滑的曲線。,,撓度 ( deflection ) w = w (x),轉(zhuǎn)角以 x 軸正向逆時針旋轉(zhuǎn)為正。,撓度以 y 軸正向為正。,11.1 彎曲變形的

4、概念,轉(zhuǎn)角 ( slope ),1. 撓度與轉(zhuǎn)角,注意 在梁的彎曲變形中，梁軸線各點的軸向位移比橫向位移（撓度）要小很多，因此一般不予考慮。,曲率計算公式,當 時，曲線為凸形。,,當 時，曲線為凹形。,可以利用這個式子判斷撓度曲線的大致形狀。,2. 撓度曲線曲率與彎矩的關(guān)系,可以利用這個式子判斷撓度曲線的大致形狀。,,,注意 拐點處彎矩為零，曲率為零。,2. 撓度曲線曲率與彎矩的

5、關(guān)系,注意 判斷撓度曲線的形狀時應注意梁的約束條件。,分析和討論 哪一種撓度曲線是正確的？,分析和討論 哪一種撓度曲線是正確的？,分析和討論,兩種結(jié)構(gòu)的內(nèi)力相同嗎？,兩種結(jié)構(gòu)的撓度曲線相同嗎？,兩種結(jié)構(gòu)的撓度曲線之間有什么關(guān)系？,兩種結(jié)構(gòu)的撓度曲線的曲率相同嗎？,分析和討論 哪一種撓度曲線是正確的？,分析和討論 哪一種撓度曲線是正確的？,例 當 P 至少為多大時，才可能使梁的根部與圓柱表面產(chǎn)生貼合？ 當 P

6、 足夠大，使梁己經(jīng)與圓柱面貼合，試根據(jù) P 決定貼合的長度。,至少應使梁根部撓曲線的曲率半徑與 R 相同，才可能產(chǎn)生貼合。,若,在 C 處,3. 撓度微分方程,等截面梁中撓度各階導數(shù)的意義：,曲率的符號規(guī)定與彎矩相同。,,,11.2 積分法求梁的變形,,EI 是常數(shù),11.2.1 彎矩方程積分的一般方法,撓曲線微分方程,積分一次,再積分一次,常用的約束條件,積分常數(shù)由約束條件確定,簡支端處撓度為零。,固定端處撓度為零，轉(zhuǎn)角為

7、零。,例 求圖示梁的撓度曲線。,彎矩,轉(zhuǎn)角,撓度,邊界條件,當彎矩方程為分段函數(shù)時，則應分段積分，分段點存在光滑連接條件,在分段點 處：,撓度是連續(xù)的：,撓度是光滑的：,撓度函數(shù)的光滑條件,AC 段,CB 段,例 求圖示抗彎剛度為 EI 的梁的最大撓度和最大轉(zhuǎn)角。,,AC 段,CB 段,邊界條件,連續(xù)條件,,光滑條件,,,,,AC 段,CB 段,,,,最大撓度,最大轉(zhuǎn)角,,,11.3 疊加法計算梁的

8、撓度和轉(zhuǎn)角,1. 梁彎曲的典型情況,簡支梁 （抗彎剛度為 EI ）,11.3 疊加法計算梁的撓度和轉(zhuǎn)角,懸臂梁 （抗彎剛度為 EI ）,1. 梁彎曲的典型情況,求 B 點轉(zhuǎn)角,求 A 點轉(zhuǎn)角,,例 求圖示抗彎剛度為 EI 的懸臂梁自由端的撓度和轉(zhuǎn)角。,,,,公式是對的，結(jié)論是錯的。,結(jié)論是對的，公式是錯的。,公式是精確的，結(jié)論是近似的。,結(jié)論是精確的，公式是近似的。,分析和討論,如何把兩者統(tǒng)一起來？,分析和討論,對于如圖的結(jié)

9、構(gòu)，有人認為，梁中彎矩處處相等，故撓度曲線的曲率處處相等，故有結(jié)論：撓度曲線為圓弧。但這一結(jié)論與書上的公式不吻合。對于這種矛盾，正確的理解是：,,例 長度為 L，抗彎剛度為 EI 的懸臂梁下方靠著一個半徑為 R 的剛性圓柱，R >> L ，其自由端受力為 F，求梁的最大撓度。,分析,例 長度為 L，抗彎剛度為 EI 的懸臂梁下方靠著一個半徑為 R 的剛性圓柱，R >> L ，其自由端受力為 F，求梁的

10、最大撓度。,,,分析,產(chǎn)生貼合所需要的力 F ：,先考慮貼合區(qū)段長度。,梁根部撓曲線的曲率半徑與 R 相同，才可能產(chǎn)生貼合。,例 長度為 L，抗彎剛度為 EI 的懸臂梁下方靠著一個半徑為 R 的剛性圓柱，R >> L ，其自由端受力為 F，求梁的最大撓度。,在 C 處,先考慮貼合區(qū)段長度。,2. 疊加原理,處于穩(wěn)定狀態(tài)的線彈性小變形桿件中，內(nèi)力、變形量、應力、應變關(guān)于外荷載均滿足疊加原理。,疊加原理的數(shù)學依據(jù)：,,

11、線性微分方程,1 ) 荷載的分解或重組,3. 應用疊加原理的若干情況,例,求圖示自由端的撓度。,C 點的撓度，是由 AB 段變形的影響和 BC 段變形的影響共同構(gòu)成的。,依據(jù)： 若結(jié)構(gòu)可分為若干部分，且各部分在荷載作用下的變形不是相互獨立的，那么，結(jié)構(gòu)中 A 點的位移是各個部分在這一荷載作用下的變形在 A 點所引起的位移的疊加。,2) 逐段剛化法,注意：在剛架中，由構(gòu)件軸向拉壓所引起的變形量往往比彎曲所引起的變形量小很多，因

12、此一般可以忽略不計。,例 求圖示 A 端的豎向位移。,分析和討論,豎梁壓縮對 A 端豎向位移的貢獻有多大？,豎梁壓縮量,豎梁彎曲的貢獻,兩者之比,以圓桿為例,例 求如圖外伸梁 A 點的豎向位移。,分析 應將梁劃分為兩個區(qū)段，并將每個區(qū)段的受力化為標準形式。,,,,,例 求如圖外伸梁 A 點的豎向位移。,例 求圖示結(jié)構(gòu)中 A 點的豎向位移。,結(jié)構(gòu)各部分變形對 A 點 豎向位移的貢獻,,例 求圖示結(jié)構(gòu)

13、中 A 點的豎向位移。,,例 求力 F 作用點處的豎向位移 w。,3) 對稱結(jié)構(gòu)的變形計算,對稱結(jié)構(gòu)承受對稱荷載,內(nèi)力,對稱結(jié)構(gòu)承受對稱荷載時，剪力圖有什么特點？,對稱結(jié)構(gòu)承受對稱荷載時，彎矩圖有什么特點？,對稱結(jié)構(gòu)承受對稱荷載,對稱結(jié)構(gòu)承受對稱荷載時，變形有什么特點？,3) 對稱結(jié)構(gòu)的變形計算,例 求圖示簡支梁中點處的豎向位移 w。,梁的變形如圖。,根據(jù)梁的對稱性，其中點處的豎向位移與圖示懸臂梁自由端處的位移 w

14、相等。,故中點處的豎向位移,對稱結(jié)構(gòu)承受反對稱荷載,3) 對稱結(jié)構(gòu)的變形計算,內(nèi)力,對稱結(jié)構(gòu)承受反對稱荷載,對稱結(jié)構(gòu)承受反對稱荷載時，剪力圖有什么特點？,對稱結(jié)構(gòu)承受反對稱荷載時，彎矩圖有什么特點？,對稱結(jié)構(gòu)承受反對稱荷載時，變形有什么特點？,3) 對稱結(jié)構(gòu)的變形計算,例 剛架各部的抗彎剛度為 EI，求AB 兩點間的相對位移。,AB 兩點間的相對位移為,例 剛架各部的抗彎剛度為 EI，求AB 兩點間的相對位移。,（張

15、開）,對稱結(jié)構(gòu)承受一般荷載,對稱結(jié)構(gòu)所承受的任意荷載，都可以分解為對稱荷載和反對稱荷載的組合。,3) 對稱結(jié)構(gòu)的變形計算,對稱結(jié)構(gòu)承受一般荷載,對稱結(jié)構(gòu)所承受的任意荷載，都可以分解為對稱荷載和反對稱荷載的組合。,3) 對稱結(jié)構(gòu)的變形計算,例 求圖示簡支梁中點處的豎向位移 w 及左端 A 處的轉(zhuǎn)角。,結(jié)構(gòu)的荷載等同于圖示兩種荷載的組合,,分析和討論,在下列不同的加載方式中，哪一種剛度最高？,分析和討論,分析和討論,在下列不同

16、的支承方式中，哪一種剛度最高？,分析和討論,梁由混凝土材料制成，如果橫截面從左圖改為右圖，能夠改善強度嗎？,梁的材料由普通鋼改為優(yōu)質(zhì)鋼，能夠改善強度嗎？,能夠改善剛度嗎？,梁的材料由普通鋼改為優(yōu)質(zhì)鋼，能夠改善剛度嗎？,,11.4 簡單超靜定梁,靜定梁,超靜定梁,超靜定次數(shù),一次超靜定,二次超靜定,注意： 在梁彎曲問題中，由于一般不存在軸向荷載，因此軸向平衡方程自然得到滿足。,三次超靜定,分析和討論,下列結(jié)構(gòu)是超靜定的嗎？如果是，則是

17、幾次超靜定的？,求由支座沉陷δ 引起的應力。,例 畫出圖示梁的剪力彎矩圖，其抗彎剛度為 EI。,梁右端的鉸起著向上支撐的力的作用。,假設這個支反力為 R，并用之來代替這個鉸。,B 處的實際撓度為零。,協(xié)調(diào)方程,先求解超靜定問題。,由此可畫出剪力彎矩圖。,,,,3qL / 8,5qL / 8,,qL2/ 8,9qL2/ 128,,求解超靜定梁問題的方法和步驟,1) 將某個約束確定為 “多余” 約束，解除這個約束，使結(jié)構(gòu)成為靜

18、定結(jié)構(gòu)（稱為靜定基），并將所解除的約束用 “多余約束力” 代替。,2) 在靜定基上，分別求出原荷載和 “多余約束力” 在解除約束處的廣義位移（撓度或轉(zhuǎn)角）。,3) 根據(jù)解除約束處的實際的廣義位移情況建立協(xié)調(diào)方程。通過這個協(xié)調(diào)方程，即可求出 “多余約束力” 。,4) 在求解二次超靜定梁的問題時，應解除兩個 “多余” 約束，并相應地建立兩個協(xié)調(diào)方程。,分析和討論,可以解除另外的約束嗎？,相應的靜定基是什么結(jié)構(gòu)？,協(xié)調(diào)

19、條件如何表達？,結(jié)論 靜定基的選擇不是唯一的。,例 如圖結(jié)構(gòu)中兩段梁的材料相同。左梁橫截面是邊長為 b 的正方形，右梁橫截面是寬度為 b/2 、高度為 b 的矩形。求結(jié)構(gòu)橫截面上的最大正應力。,應先求解超靜定問題。,記右梁抗彎剛度為 EI，則左梁抗彎剛度為 2EI。,解除中間鉸，代之以作用力 R。,左梁右端撓度,右梁左端撓度,協(xié)調(diào)條件,,協(xié)調(diào)條件,,由此可得支反力，,及彎矩圖。,最大正應力出現(xiàn)在左梁固定端。,如圖的兩個長度均

20、為 a 的簡支梁在中點垂直相交。求中點的撓度。,動腦又動筆,設上下梁之間的相互作用力為 R。,協(xié)調(diào)條件,例 求圖示 A 處的支反力。,B 處位移,BC 的變形量,設 BC 桿對簡支梁的支撐力為 R 。,BC 桿的支撐使結(jié)構(gòu)成為超靜定。,若 BC 桿為剛性桿，協(xié)調(diào)條件如何表達？,C 處位移,BC 桿為彈性桿，協(xié)調(diào)條件如何表達？,協(xié)調(diào)條件,A 處支反力,支反力偶矩,,無軸向力： 二次超靜定問題,利用對稱性：一次超靜定問題,

21、由于對稱性，設兩端的支反力偶矩均為 m。,例 體重為 450 N 的運動員位于平衡木中點處，求平衡木中的最大位移。,取簡支梁為靜定基。,協(xié)調(diào)條件,最大位移在中點處,由于對稱性，可以只考慮一半。,協(xié)調(diào)條件,例 體重為 450 N 的運動員位于平衡木中點處，求平衡木中的最大位移。,彈簧的作用使結(jié)構(gòu)成為超靜定結(jié)構(gòu)。,B 處轉(zhuǎn)角是力 F 和力偶矩 m 共同作用的結(jié)果。,,B 處彎矩,中點處彎矩,C 處支反力,最大彎矩,協(xié)調(diào)條件,分析

22、和討論,上面四種梁除支承形式不同外，其它各種情況相同。將它們的剛度從大到小地排列起來。,1,2,3,4,試歸納改善梁的剛度的措施。,Navier 是法國力學家、工程師。他的主要貢獻是建立了彈性力學和流體力學的基本方程。,他改變了過去單憑經(jīng)驗設計的傳統(tǒng)，在懸索橋的設計中采用了理論計算。,他首次采用一般方法解決結(jié)構(gòu)的超靜定問題。,力學家與力學史,Claude-Louis-Marie-,( 1785-1836 ),Henri Navier,

23、,梁 的 彎 曲 變 形,本 章 內(nèi) 容 小 結(jié),梁的撓度和轉(zhuǎn)角,積分法求梁的變形,簡支端處位移為零。固定端處位移為零，轉(zhuǎn)角為零。,積分常數(shù)的確定,利用曲率公式 判斷梁的撓度曲線的形狀,撓度各階導數(shù)的意義,梁 的 彎 曲 變 形,如果彎矩方程分段寫出，或梁由不同抗彎剛度的部份構(gòu)成，則必須引用連續(xù)光滑條件。,荷載的分解或重組,注意力系的等效變換只能在非考慮區(qū)段進行。,梁 的 彎 曲