沈陽師范大學(xué)數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院高等代數(shù)第九章§2標準正交基

1、一、正交向量組,二、標準正交基,,,,,,§2 標準正交基,三、正交矩陣,設(shè)Ｖ為歐氏空間，非零向量,① 若 則 是正交向量組.,② 正交向量組必是線性無關(guān)向量組.,一、正交向量組,定義：,如果它們兩兩正交，則稱之為正交向量組.,注：,證：設(shè)非零向量　　 　 兩兩正交.,令,則,由 　知,故　　　　　　線性無關(guān).,④ 維歐氏空間中正交向量組所含

2、向量個數(shù),③ 歐氏空間中線性無關(guān)向量組未必是正交向量組．,但　　　不是正交向量組.,,,1. 幾何空間　 中的情況,在直角坐標系下,,是由單位向量構(gòu)成的正交向量組，即,二、標準正交基,是 的一組基.,,,,設(shè),① 從,②,③,得,④,即在基 　 下， 中的與內(nèi)積有關(guān)的度量性質(zhì)有,簡單的表達形式.,維歐氏空間中，由 個向量構(gòu)成的正交向量組,稱為正交基；,2. 標準正交基的定義,由單位向量構(gòu)成的正交基稱為標準正交

3、基.,注：,① 由正交基的每個向量單位化，可得到一組標準,正交基.,② 維歐氏空間V中的一組基 　 為標準正交基,③ 維歐氏空間V中的一組基 為標準正交基,當(dāng)且僅當(dāng)其度量矩陣,④ 　維歐氏空間V中標準正交基的作用:,設(shè) 　 為V的一組標準正交基，則,(i)　設(shè),由(1) ，,這里,(iii),,(定理1) 維歐氏空間中任一個正交向量組都能,擴充成一

4、組正交基.,證：設(shè) 　　　 歐氏空間Ｖ中的正交向量組，,對　　　作數(shù)學(xué)歸納法．,當(dāng) 　 時,,3. 標準正交基的構(gòu)造 ─施密特(Schmidt)正交化過程,就是一組正交基了.,1）,使,假設(shè) 　　 時結(jié)論成立，即此時可找到向量,成為一組正交基.,現(xiàn)在來看 　 　　的情形.,所以必有向量 不能被 　

5、　 線性表出，,因為,作向量,待定（為什么這樣作？ ）,,,,,,,,,,,,使,從正交向量組的性質(zhì)知,于是取,即 　為正交向量組．,由歸納法假設(shè)知，對這 　　個向量構(gòu)成的正交組,可得,可擴充得正交基.,于是定理得證．,,2）,都可找到一組標準正交基 　　　　　 使,證：,基本方法─逐個構(gòu)成出滿足要求的,(定理2) 對于 維歐氏空間中任一組基,首先，可取,一般地

6、，假定已求出 　 是單位正交的 ，且,(4),當(dāng) 　時，因為有,由(4)知 不能被 　　線性表出．,按定理1證明中的方法，作向量,再設(shè),可知 　 　　　是單位正交向量組．,從(4)和(5)知 　　　　與,是等價向量組，,因此，有,由歸納原理，定理2得證.,則　　　　且,則過渡矩陣　　　　是上三角形

7、（即 　　　　）,注：,且,① 由,知，若,② Schmidt正交化過程:,化成正交向量組,先把線性無關(guān)的向量組,再單位化得標準正交向量組,例1. 把,變成單位正交的向量組.,解：令,正交化,再單位化,即為所求．,設(shè) 與　　　 是 維歐氏空間V中的,兩組標準正交基，它們之間過渡矩陣是,即,,4. 標準正交基間的基變換,或,由于　　　　　是標準正交基，所以,（6）,

8、由公式（3），有,（7）,把A按列分塊為,由（7）有,（8）,則稱A為正交矩陣.,2）由標準正交基到標準正交基的過渡矩陣是正交,矩陣.,三、正交矩陣,1．定義,2．簡單性質(zhì),1）A為正交矩陣,3）設(shè) 　　 是標準正交基，A為正交矩陣，若,則　　 　也是標準正交基.,4） 　　 為正交矩陣,6） 　　 為正交矩陣,總結(jié),正交向量組的概念 , 標準正交基的定義及優(yōu)越性 ,標準正