沈陽(yáng)師范大學(xué)數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院高等代數(shù)第九章§6實(shí)對(duì)稱矩陣的標(biāo)準(zhǔn)型

1、一、實(shí)對(duì)稱矩陣的一些性質(zhì),二、對(duì)稱變換,,,,,,§6 對(duì)稱矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形,三、實(shí)對(duì)稱矩陣可正交相似于實(shí)對(duì)角矩陣,四、實(shí)二次型的主軸問題,一、實(shí)對(duì)稱矩陣的一些性質(zhì),引理1 設(shè)A是實(shí)對(duì)稱矩陣，則A的特征值皆為實(shí)數(shù)．,證：設(shè) 是A的任意一個(gè)特征值，則有非零向量,滿足,其中 為 的共軛復(fù)數(shù)，,令,又由A實(shí)對(duì)稱，有,那么,由于　是非零復(fù)向量，必有,故,所以有,對(duì)于實(shí)對(duì)稱矩陣A ，在 n 維歐氏空間　 上定義一個(gè),線

2、性變換,取 的如下一組標(biāo)準(zhǔn)正交基,記 則,則　在基　 下的矩陣為A，即,引理2 設(shè)A是實(shí)對(duì)稱矩陣，在 n 維歐氏空間　 上,定義如上線性變換 ,,則對(duì)任意　　　　　有,或,二、對(duì)稱變換,1．定義,則稱　為對(duì)稱變換．,設(shè)　為歐氏空間V中的線性變換，如果滿足,證：,1）n維歐氏空間V的對(duì)稱變換與n級(jí)實(shí)對(duì)稱矩陣在,標(biāo)準(zhǔn)正交基下是相互確定的：,

3、2．基本性質(zhì),① 實(shí)對(duì)稱矩陣可確定一個(gè)對(duì)稱變換．,一組標(biāo)準(zhǔn)正交基．,事實(shí)上，設(shè),為V的,定義V的線性變換?。?則　即為V的對(duì)稱變換．,② 對(duì)稱變換在標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣是實(shí)對(duì)稱矩陣．,為V的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，,事實(shí)上，設(shè)　為n維歐氏空間V上的對(duì)稱變換，,為　在這組基下的矩陣，即,或,于是,即,所以A為對(duì)稱矩陣．,由　是對(duì)稱變換，有,2）（引理3）對(duì)稱變換的不變子空間的正交補(bǔ)也是,它的不變子空間．,對(duì),任取,即,證明：設(shè)　是對(duì)稱變換，W為　的

4、不變子空間．,要證,即證,由W是　 子空間，有,因此,故 　 也為　的不變子空間．,1．(引理4)實(shí)對(duì)稱矩陣屬于不同特征值的特征向量,分別是屬于 的特征向量．,則,三、實(shí)對(duì)稱矩陣的正交相似對(duì)角化,是正交的．,正交基下的矩陣，,證：設(shè)實(shí)對(duì)稱矩陣A為　 上對(duì)稱變換　的在標(biāo)準(zhǔn),是A的兩個(gè)不同特征值 ，,由,,又,即 正交．,(定理7)對(duì) 　　　　　　　總有正交矩陣T，使,有,即,２．,證：設(shè)A為　 上對(duì)稱變

5、換　在標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣．,由實(shí)對(duì)稱矩陣和對(duì)稱變換互相確定的關(guān)系，只需證,有n個(gè)特征向量作成的標(biāo)準(zhǔn)正交基即可．,n=1時(shí)，結(jié)論是顯然的．,對(duì)空間的維數(shù)n用歸納法．,假設(shè)n－1時(shí)結(jié)論成立，對(duì) 設(shè)其上的對(duì)稱變換,有一單位特征向量 ，其相應(yīng)的特征值為 ，即,設(shè)子空間,顯然W是　 子空間，,則 也是 子空間，且,又對(duì)　　　　　　　有,所以　　 是 　 上的對(duì)稱變換．,由歸納假設(shè)知

6、 有n－1 個(gè)特征向量,構(gòu)成 的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基．,從而　　　　　　　就是　 的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，,又都是 的特征向量．,即結(jié)論成立．,3．實(shí)對(duì)稱矩陣正交相似實(shí)對(duì)角矩陣步驟,設(shè),(i) 求出A的所有不同的特征值：,其重?cái)?shù) 必滿足 ;,(ii) 對(duì)每個(gè) ，解齊次線性方程組,求出它的一個(gè)基礎(chǔ)解系：,它是A的屬于特征值 的特征子

7、空間 　 的一組基．,正交基,把它們按 正交化過程化成 　的一組標(biāo)準(zhǔn),(iii) 因?yàn)?互不相同，,且,就是V的一組,標(biāo)準(zhǔn)正交基．,所以,則T是正交矩陣，且,矩陣T的第1，2，…，n列，,使 　　　　　　為對(duì)角形．,例1．設(shè),求一正交矩陣T使 成對(duì)角形．,解：先求A的特征值．,A的特征值為 （三重）,,其次求屬于

8、 的特征向量，即求解方程組,得其基礎(chǔ)解,把它正交化，得,再單位化，得,這是特征值 　 (三重)的三個(gè)單位正交特征向量，,也即是特征子空間　 的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基．,再求屬于　　　 的特征向量，即解方程組,得其基礎(chǔ)解,再單位化得,這樣 　　　　　構(gòu)成 　 的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，它們,都是A的特征向量，正交矩陣,使得,注：,成立的正交矩陣不是唯一的．,① 對(duì)于實(shí)對(duì)稱矩陣A，使,而且對(duì)于正交矩陣T,,還可進(jìn)一步要求,事實(shí)上，如果由上述

9、方法求得的正交矩陣T,取正交矩陣,則 是正交矩陣且,同時(shí)有,② 如果不計(jì)較主對(duì)角線上元素的排列的次序，與,實(shí)對(duì)稱矩陣A正交相似的對(duì)角矩陣是唯一確定的．,③ 因?yàn)檎幌嗨频木仃囈彩腔ハ嗪贤?，所以?用實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值的性質(zhì)刻畫其正定性：,設(shè) 　　 為實(shí)對(duì)稱矩陣A的所有特征值,(i) A為正定的,(ii) A為半正定的,(iii) A為負(fù)定（半負(fù)定）的,④ 實(shí)對(duì)稱矩陣A的正、負(fù)慣性指

10、數(shù)分別為正、負(fù)特,特征值的個(gè)數(shù)（重根按重?cái)?shù)計(jì)）．,n－秩(A)是0為A的特征值的重?cái)?shù).,1．解析幾何中主軸問題,將 上有心 二次曲線或 　上有心二次曲面通過坐標(biāo),的旋轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)形，這個(gè)變換的矩陣是正交矩陣.,四、實(shí)二次型的主軸問題,2．任意n元實(shí)二次型的正交線性替換化標(biāo)準(zhǔn)形,1）正交線性替換,如果線性替換　　　X=CY,的矩陣C是正交矩陣，則稱之為正交線性替換.,2）任一n元實(shí)二次型,都可以通過正交的線性替換

11、 變成平方和,其中平方項(xiàng)的系數(shù) 　　為A的全部特征值．,第九章 歐氏空間 §6 對(duì)稱矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形,例2、在直角坐標(biāo)系下，二次曲面的一般方程是,（1）,（2）,則（1）式可以寫成,令,對(duì)（2）中的　 　　　　　有正交矩陣C（且 　 　 ）,確定的坐標(biāo)變換公式,曲面（1）的方程化成,這樣由（2）知道經(jīng)過由　　　　 的坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)，,或,其中,這時(shí)，再按　　　 是否為零，作適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)軸的,平移或