巨正則分布的簡(jiǎn)單應(yīng)用熱力學(xué)

1、熱力學(xué)·統(tǒng)計(jì)物理,回顧 Chap.9 系綜理論 §9.1 相空間 劉維爾定理 §9.2微正則分布 §9.3微正則分布的熱力學(xué)公式 §9.4正則分布 §9.5正則分布的熱力學(xué)公式 §9.

2、6實(shí)際氣體的物態(tài)方程簡(jiǎn)介 §9.10 巨正則分布 §9.11 巨正則分布的熱力學(xué)公式,新課 §9.12 巨正則分布的簡(jiǎn)單應(yīng)用,知識(shí)回顧：§9.1 相空間 劉維爾定理,Chap.9 系綜理論,研究互作用粒子組成的系統(tǒng)．,統(tǒng)計(jì)系綜: 是指與原來(lái)的系統(tǒng)處在完全相同宏觀條件下的，想象的大量結(jié)構(gòu)完全相同的系統(tǒng)的集

3、合．這些系統(tǒng)具有完全相同的哈密頓，但處在各自不同的微觀狀態(tài)之中。,若系統(tǒng)包含多種粒子，第i 種粒子的自由度為ri ，粒子數(shù)為Ni ，則系統(tǒng)的自由度為：,以 共2f個(gè)變量為坐標(biāo)構(gòu)成一個(gè)2f 維空間, 稱(chēng)為相空間(?？臻g),系統(tǒng)在某一時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)：,可用相空間中的一點(diǎn)表示，稱(chēng)為系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的代表點(diǎn)。,相空間,劉維爾定理 (Liouville’s

4、 theorem),設(shè)想大量結(jié)構(gòu)完全相同的系統(tǒng)，各自從其初態(tài)出發(fā)獨(dú)立地沿著正則方程(9.1.1)所規(guī)定的軌道運(yùn)動(dòng).,（9.1.1）,這些系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的代表點(diǎn)將在相空間中形成一個(gè)分布．,2、劉維爾定理,如果一個(gè)代表點(diǎn)沿著正則方程所確定的軌道在相空間中運(yùn)動(dòng)，其鄰域的代表點(diǎn)密度是不隨時(shí)間改變的常數(shù)。,ρdΩ表示時(shí)刻t，運(yùn)動(dòng)狀態(tài)在dΩ內(nèi)的代表點(diǎn)數(shù),知識(shí)回顧：§9.1 相空間 劉維爾定理,微正則分布,處于平衡態(tài)的孤立系統(tǒng)，

5、假設(shè)E 到E+ΔE 內(nèi)一切軌道的常數(shù)概率密度都相等，則在E 到E+ΔE 能量范圍的所有可能的微觀狀態(tài)上概率密度就都相等，是不隨時(shí)間改變的常數(shù)。這就是等概率原理，也稱(chēng)為微正則分布 。,等概率原理是平衡態(tài)統(tǒng)計(jì)物理的基本假設(shè),,經(jīng)典表達(dá)式,量子表達(dá)式,基本假設(shè)！,知識(shí)回顧：§9.2微正則分布,知識(shí)回顧：§9.3 微正則分布的熱力學(xué)公式,一、微觀態(tài)數(shù)與熱力學(xué)幾率,1. 微觀態(tài)數(shù),孤立系統(tǒng)A(0)＝ A(1) ＋A(2),A(

6、1) 和A(2)有微弱相互作用,A(1) ：Ω1(N1, E1, V1)；A(2) ：Ω2(N2, E2, V2),系統(tǒng)總的微觀狀態(tài)數(shù)： Ω(0)= Ω1(E 1) Ω2 (E2),是A(1)和A(2)達(dá)到熱平衡時(shí)分別具有的內(nèi)能，由下式確定：,2. 確定內(nèi)能 的條件,3 玻耳茲曼關(guān)系,適用于有相互作用的粒子組成的系統(tǒng)！,,,,定義：,,4 平衡條件,熱動(dòng)平衡條件：,k的確定：,將理論用到經(jīng)典理

7、想氣體可知，k等于玻耳茲曼常數(shù)!,知識(shí)回顧：§9.3 微正則分布的熱力學(xué)公式,二、利用微正則分布求解孤立系統(tǒng)基本問(wèn)題的方法和步驟,,,,內(nèi)能、熵、物態(tài)方程都表為T(mén)、V、N的函數(shù)。,知識(shí)回顧：§9.3 微正則分布的熱力學(xué)公式,三、應(yīng)用：利用微正則分布處理單原子分子理想氣體,以單原子經(jīng)典理想氣體為例：設(shè)氣體含有N個(gè)單原子分子,首先計(jì)算能量不大于某一數(shù)值E的微觀狀態(tài)數(shù),知識(shí)回顧：§9.3 微正則分布的熱力學(xué)公式

8、,,,,,,知識(shí)回顧：§9.3 微正則分布的熱力學(xué)公式,一、正則系統(tǒng)的定義及研究對(duì)象,正則分布：具有確定的N、T、V值的系統(tǒng)的分布函數(shù)。,知識(shí)回顧：§9.4 正則分布,配分函數(shù): 表示對(duì)粒子數(shù)為N 和體積為V的系統(tǒng)的所有微觀狀態(tài)求和.,l 能級(jí),,三、正則分布的經(jīng)典表達(dá)式,二、正則系綜的配分函數(shù)和分布函數(shù),知識(shí)回顧：§9.5正則分布的熱力學(xué)表達(dá)式,特例,一、正則分布的熱力學(xué)公式,二、系統(tǒng)的能量漲落,當(dāng)系統(tǒng)

9、處在狀態(tài) s 時(shí)，其能量為 ， 與 的偏差為 。 稱(chēng)為能量漲落。,能量的相對(duì)漲落：,和 都是廣延量，~N,討論：這個(gè)事實(shí)說(shuō)明，與熱源接觸達(dá)到平衡的系統(tǒng)，雖然由于它與熱源交換能量而可具有不同的能量值，但對(duì)于宏觀的系統(tǒng)，其能量E與 有顯著偏差的概率極?。?知識(shí)回顧：§9.5正則分布的熱力學(xué)表達(dá)式,知識(shí)回顧： §

10、9.6實(shí)際氣體的物態(tài)方程,思路：,導(dǎo)出單原子分子的經(jīng)典實(shí)際氣體的物態(tài)方程。設(shè)氣體含有N 個(gè)分子,過(guò)程：,兩個(gè)假設(shè)：,得：,所作的兩個(gè)簡(jiǎn)化假設(shè)不合理。但在準(zhǔn)確到第二位力系數(shù)的近似下，這兩個(gè)簡(jiǎn)化假設(shè)所引起的誤差剛好相互消去．,知識(shí)回顧： §9.6實(shí)際氣體的物態(tài)方程,,1、求解積分Q：,定義：,積分不是體積的函數(shù),n 是摩爾數(shù),NA 是阿佛加德羅常數(shù),,知識(shí)回顧：§9.6實(shí)際氣體的物態(tài)方程,2、第二位力系數(shù)B與分子互作

11、用勢(shì)的關(guān)系,知識(shí)回顧：§9.6實(shí)際氣體的物態(tài)方程,Sutherland potential,3、Van de Waals 方程,粗略近似，改進(jìn)的“剛球”模型,2.正則分布和巨配分函數(shù),,,1.巨正則分布:具有確定的體積V、溫度T和化學(xué)勢(shì)μ 的系統(tǒng)( 開(kāi)系V,T, μ )的分布函數(shù),3.巨配分函數(shù)的經(jīng)典表達(dá)式,知識(shí)回顧：§ 9.10 巨正則分布,特例,一、巨正則分布的熱力學(xué)公式,巨配分函數(shù),知識(shí)回顧： 9.1

12、1 巨正則分布的熱力學(xué)公式,粒子數(shù)的漲落：,知識(shí)回顧： 9.11 巨正則分布的熱力學(xué)公式,新課：§9.12 巨正則分布的簡(jiǎn)單應(yīng)用,§9.12 巨正則分布的簡(jiǎn)單應(yīng)用,一、吸附現(xiàn)象：,[問(wèn)題描述] 設(shè)吸附表面有N0 個(gè)吸附中心； 每個(gè)吸附中心可吸附一個(gè)氣體分子； 被吸附的氣體分子能量為-ε0,[模型] 氣

13、體--------熱源和粒子源,被吸附的分子---------系統(tǒng),求: 達(dá)到平衡時(shí), 吸附率θ=N/ N0 與氣體 溫度T 和壓強(qiáng)p 的關(guān)系．,交換粒子和能量,§9.12 巨正則分布的簡(jiǎn)單應(yīng)用,系統(tǒng)遵從巨正則分布系統(tǒng)的能量 當(dāng)有N個(gè)分子被吸附時(shí)： -Nε0簡(jiǎn)并度 N個(gè)分子被吸附時(shí)可能的方式,[分析和求解],系統(tǒng)的巨配分函數(shù)：,§

14、;9.12 巨正則分布的簡(jiǎn)單應(yīng)用,Newton二項(xiàng)展開(kāi)式,被吸附的平均粒子數(shù),§9.12 巨正則分布的簡(jiǎn)單應(yīng)用,說(shuō)明：達(dá)到平衡時(shí)，系統(tǒng)（被吸附的分子）與氣體的化學(xué)勢(shì)和溫度應(yīng)相等，所以上式的μ和Τ也就是氣體的化學(xué)勢(shì)和溫度,P214（7.6.8）式 單原子分子理想氣體的化學(xué)勢(shì),,§9.12 巨正則分布的簡(jiǎn)單應(yīng)用,§9.12 巨正則分布的簡(jiǎn)單應(yīng)用,二、由巨正則分布導(dǎo)出近獨(dú)立粒子的平均分布,在

15、67;6.7導(dǎo)出玻色分布和費(fèi)米分布時(shí)，曾指出所用ωι ＞ ＞1,αι ＞ ＞1等條件實(shí)際上并不滿(mǎn)足，是推導(dǎo)過(guò)程的一個(gè)嚴(yán)重缺點(diǎn)。,作為巨正則分布的應(yīng)用，現(xiàn)在用巨正則分布導(dǎo)出近獨(dú)立粒子的平均分布，這方法避免了上述缺點(diǎn)。,假設(shè)系統(tǒng)只含一種近獨(dú)立粒子；粒子的能級(jí)為：ε ι（ι＝1，2，3， … ）。為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，只討論所有的能級(jí)都是非簡(jiǎn)并的情況。,§9.12 巨正則分布的簡(jiǎn)單應(yīng)用,整個(gè)系統(tǒng)的粒子數(shù)和能量,,,,§9.12

16、 巨正則分布的簡(jiǎn)單應(yīng)用,能級(jí)l 上的粒子數(shù),,§9.12 巨正則分布的簡(jiǎn)單應(yīng)用,1) 對(duì)于Bose子，每個(gè)能級(jí)上的粒子數(shù)不受限制,§9.12 巨正則分布的簡(jiǎn)單應(yīng)用,2) Fermi子：遵從Pauli不相容原理限制，al只能取0或1,§9.12 巨正則分布的簡(jiǎn)單應(yīng)用,可以嚴(yán)格證明：如果能級(jí)的簡(jiǎn)并度為ωl,王竹溪《統(tǒng)計(jì)物理學(xué)導(dǎo)論》人民教育出版社P275-285,三、玻色分布和費(fèi)米分布的漲落,只討論各能

17、級(jí)均非簡(jiǎn)并的情形ωl= 1,將處在能級(jí)εl 上的粒子看作一個(gè)開(kāi)系,（9.11.9）式,§9.12 巨正則分布的簡(jiǎn)單應(yīng)用,Fermi系統(tǒng)+Bose系統(tǒng),關(guān)于漲落的討論：,費(fèi)米氣體:,ε<μ的能級(jí)al ≈ 1;,ε>μ的能級(jí)al ≈ 0;,漲落很小；泡利不相容原理的表現(xiàn),,玻色氣體: 漲落較大; 其相對(duì)漲落是1 的數(shù)量級(jí),,§9.12 巨正則分布的簡(jiǎn)單應(yīng)用,不同能級(jí)上Fermi和Bose分布的漲落關(guān)聯(lián),