1應(yīng)力分析

1、第二章 應(yīng)力分析,應(yīng)力的概念是固體力學(xué)的最重要的概念之一,應(yīng)力分量具有張量的性質(zhì)，符合張量的坐標(biāo)變換規(guī)律。考慮單元體的平衡，得到平衡微分方程，在邊界上得到邊界條件，邊界條件在彈性力學(xué)問題的求解中占有重要的地位。,,,第一節(jié) 應(yīng)力的概念第二節(jié) 應(yīng)力分量第三節(jié) 坐標(biāo)變換第四節(jié) 平衡方程第五節(jié) 邊界條件,,,第二章 應(yīng)力分析,物體承受外力作用，物體內(nèi)部各截面之間產(chǎn)生附加內(nèi)力，為了

2、顯示出這些內(nèi)力，我們用一截面截開物體，并取出其中一部分：,第二章 應(yīng)力分析 第一節(jié) 應(yīng)力的概念,,,物體承受外力作用，物體內(nèi)部各截面之間產(chǎn)生附加內(nèi)力，為了顯示出這些內(nèi)力，我們用一截面截開物體，并取出其中一部分：,第二章 應(yīng)力分析 第一節(jié) 應(yīng)力的概念,,,其中一部分對另一部分的作用，表現(xiàn)為內(nèi)力，它們是分布在截面上分布力的合力。,取截面的一部分，它的面積為ΔA，,為物體在該截面上ΔA點的應(yīng)力。,,,,,ΔQ,ΔA,平均集度為

3、ΔQ/ΔA，其極限,作用于其上的內(nèi)力為ΔQ，,,通常將應(yīng)力沿垂直于截面和平行于截面兩個方向分解為,,,,,S,,,σ,τ,正應(yīng)力σ,切應(yīng)力τ,,第二章 應(yīng)力分析 第二節(jié) 應(yīng)力分量,應(yīng)力不僅和點的位置有關(guān)，和截面的方位也有關(guān)，不是一般的矢量，而是二階張量。 描述應(yīng)力，通常用一點平行于坐標(biāo)平面的單元體，各面上的應(yīng)力沿坐標(biāo)軸的分量來表稱為應(yīng)力分量。,相對平面上的應(yīng)力分量在略去高階小量的意義上大小相等，方向相反。,,,,,,,x

4、,y,z,o,,,,符號規(guī)定： 圖示單元體面的法線為y,稱為y面，應(yīng)力分量垂直于單元體面的應(yīng)力稱為正應(yīng)力。 正應(yīng)力記為σy,沿y軸的正向為正,其下標(biāo)表示所沿坐標(biāo)軸的方向。,平行于單元體面的應(yīng)力稱為切應(yīng)力，用τyx 、τyz表示，其第一下標(biāo)y表示所在的平面，第二下標(biāo)x、y分別表示沿坐標(biāo)軸的方向。如圖示的τyx、τyz。,,,,,,σy,τyx,τyz,,,,x,y,z,o,其它x、z正面上的應(yīng)力分量的表示如圖所示。,,,凡正

5、面上的應(yīng)力沿坐標(biāo)正向為正，逆坐標(biāo)正向為負(fù)。,,圖示單元體面的法線為y的負(fù)向，正應(yīng)力記為σy ,沿y軸負(fù)向為正。,平行于單元體面的應(yīng)力如圖示的τyx、τyz，沿x軸、z軸的負(fù)向為正。,,,,注意彈性力學(xué)切應(yīng)力符號和材料力學(xué)是有區(qū)別的，圖示中，彈性力學(xué)里，切應(yīng)力都為正，而材料力學(xué)中相鄰兩面的的符號是不同的。,,,彈性力學(xué),材料力學(xué),,在畫應(yīng)力圓時，應(yīng)按材料力學(xué)的符號規(guī)定。,第二章 應(yīng)力分析第三節(jié) 張量的概念與坐標(biāo)變換,指標(biāo)符號

6、把 x, y , z 軸，記為x1, x2, x3, 通?？珊営洖?xi,各軸的基矢記為e1,e2,e3,可簡記為ei, 在此坐標(biāo)系中的矢量v的分量記為v1, v2, v3, 可簡記為vi, 應(yīng)力分量記為可簡記為σij.,,,,矢量的點積 一個矢量和另一個矢量的點積可以決定一個標(biāo)量，用指標(biāo)符號可記為,W = f·s= f 1s1+f 2s2+f 3s3 = ∑ f is i,Einstein求和約定：

7、 最后一個等式在符號∑ 下fi si有兩個同樣的指標(biāo)i。,求和所得到的結(jié)果，不再含有這一指標(biāo)，這一指標(biāo)換為其它的指標(biāo)也不會影響其結(jié)果，這一指標(biāo)稱為啞標(biāo)。,,,i=1,3,約定凡在一項中有一對相同的指標(biāo)，就認(rèn)為是對這一指標(biāo)全程求和，求和符號略去不寫： w = fi si,,一項中有相它符號的指標(biāo)，通常有泛指的意義，稱為自由標(biāo)。,記基矢的點積 e i ·e j = δij其中,稱為K

8、ronecker符號。,,,,記基矢的混合積 (e i ×e j ）·e k = e ijk 其中,稱為置換符號。利用置換符號，兩個矢量的矢積可記為 a i ×b j = e ijk ai bjek,,,當(dāng)i，j，k有兩個或三個相同,當(dāng)i, j, k為偶置換,當(dāng)i, j, k為奇置換,,將求導(dǎo)符號簡記為,,,梯度可記為,則散度可記為,,張量的定義： 標(biāo)量與坐標(biāo)軸的選

9、取無關(guān)，但矢量分量和應(yīng)力分量和坐標(biāo)軸的選取有關(guān)，這種與坐標(biāo)變換有關(guān)，滿足規(guī)坐標(biāo)變換公式的物理量稱為張量。,,,,設(shè)新坐標(biāo)系的新坐標(biāo)軸的基矢e1' 、 e2' 、e3'對原基矢e1、e2和e3的過渡矩陣為[lij]= l，矢量為一階張量，矢量分量的坐標(biāo)變換公式為 [vi’] = l [vi],,,用指標(biāo)符號記為,,應(yīng)力分量為二階張量，應(yīng)力分量的坐標(biāo)變換公式為,用指標(biāo)符號記為,,,,,,以平

10、面應(yīng)力狀態(tài)為例，設(shè)新坐標(biāo)系由原坐標(biāo)系逆時針轉(zhuǎn)動θ而成，新坐標(biāo)軸的基矢e 1' 、e2' 對原基矢e1 、e2 的過渡矩陣為式 [lij]=l，則坐標(biāo)變換公式 [σi'j']=l[σij]lT,,,,其展開形式為,,平面應(yīng)力狀態(tài)的主應(yīng)力和主方向可按照材料力學(xué)的方法求得，空間應(yīng)力狀態(tài)可按照線性代數(shù)的方法。,應(yīng)力分量根據(jù)切應(yīng)力互等定理，為對稱張量。

11、當(dāng)坐標(biāo)系變化時，應(yīng)力分量也發(fā)生變化，當(dāng)坐標(biāo)系轉(zhuǎn)動到某些位置時，應(yīng)力分量中切應(yīng)力為零，僅有正應(yīng)力不為零，這些正應(yīng)力稱為主應(yīng)力。這時坐標(biāo)系所指方向為主方向。從變換的角度來說，主應(yīng)力是應(yīng)力矩陣的特征值，主方向是特征向量的方向。 可參看Mathcad.,,,,第二章 應(yīng)力分析第四節(jié) 平衡方程,在外力作用下，物體整體平衡的同時，任何一部分也將保持平衡。我們從中取出一個單元體加以分析。,,,如果僅考慮單元體的平衡，可以不考慮單元體同一

12、方向上相隔一定距離應(yīng)力的微小變化，前后兩面的應(yīng)力可認(rèn)為是大小相等、方向相反。但是，在分析整體的平衡時，應(yīng)力的這個微小變化，各面的應(yīng)力差就是造成物體各處應(yīng)力變化的原因，必須加以考慮。,,,,,圖示單元體z軸方向的平衡，在z面的負(fù)面z處，正應(yīng)力記為σz,,在x面的負(fù)面處，切應(yīng)力記為τxz；,,,,,,,,x,y,z,o,,,z正面z+dz處應(yīng)力為,x正面x+dx處切應(yīng)力為,τxz,,在y面的負(fù)面y處，切應(yīng)力記為τyz,,,,,,,,,x,y

13、,z,o,,,y正面y+dy處應(yīng)力為,,τyz,,設(shè)Fbz 為物體的方向的體力分量。,總和后整理便得到z方向的平衡方程:,,同理得到x、y方向的平衡方程:,其中Fbx, Fby, Fbz 為物體的體力分量。,,,,平面狀態(tài)的平衡方程為：,平衡方程的張量形式是：,,,,平衡方程的矩陣形式是：Lσ+ F = 0其中L是微分算子：,,,,第二章 應(yīng)力分析 第五節(jié) 邊界條件,在外力作用下，我們從物體從中取出的單元體位于邊界處，則單元體內(nèi)

14、部應(yīng)力形成的內(nèi)力和邊界上的外力平衡。,,,,如果邊界面正好和坐標(biāo)平面平行，則立即可得到應(yīng)力應(yīng)滿足的條件。 如果邊界面和坐標(biāo)平面斜交，則應(yīng)根據(jù)形成的四面體的平衡條件得到應(yīng)力應(yīng)滿足的條件。,設(shè)邊界上一點處A的外力沿軸向的分量為px, py （沿正向為正）。,在邊界A這部分可視外力分量為應(yīng)力分量，直接得到應(yīng)力邊界條件：,σx = px τyx = py,,,,設(shè)斜面ACD為邊界面，其外法線n的方向為(l1,l2,l3)，面積為ΔS

15、，邊界外力分量為(px，py，,pz)，則三角形ABC、 ABD 、 BCD的面積分別為ΔS在各相應(yīng)方向上的投影,,,,n,l1ΔS, l2ΔS, l3ΔS,,注意，這里邊界上的外力是坐標(biāo)軸方向上的分量。,,,由x方向的平衡得到：,pxΔS = l1ΔSσx+l2ΔSτyx+l3ΔSτzx,即 px= l1σx+l2τyx +l3τzx,,,,x,y,z,0,由y、z方向的平衡得到: py= l1τxy+l2σy

16、+l3τzy pz= l1τxz +l2τyz+l3σz,,,,其張量形式為 Pi = σij lj,如果四面體取自物體內(nèi)部，則(px，py，,pz)是斜面上的應(yīng)力沿原坐標(biāo)軸方向上的分量，將其與斜面的方向矢量點積，則得到該面上的法向應(yīng)力（正應(yīng)力）,,,,切應(yīng)力可按矢量方法求得：,,,,總 結(jié) 求解的應(yīng)力應(yīng)滿足平衡方程和應(yīng)力邊界條件，在空間應(yīng)力狀態(tài)有六個未知的應(yīng)力函數(shù)，只有三個平衡方程；在平面應(yīng)力狀態(tài)有三個