第四講-黃金分割及數學的真、善、美

1、,,第四講 黃金分割及數學的真、善、美,提綱：,1、引 言2、黃金分割的簡單性質3、正五邊形中的黃金分割4、黃金分割與斐波那契數列5、黃金分割與優(yōu)選法6、余音：數學的真、善、美,,藝術與生活中黃金比的美,,一、引言,黃金分割是具有悠久歷史同時卻永葆青春的數學珍品。 “幾何學有兩大財富：一個是畢達哥拉斯定理，另一個是按照中外比劃分一個線段。第一大財富可稱得上是黃金定理，而第二大財富則可稱之為珍珠定理。”

2、——德國天文學家 開普勒,《幾何原本》第二篇問題11：分割一已給直線，使整段與其中一分段所成矩形等于另一分段上的正方形。,,A,B,C,D,E,F,G,H,,,,《幾何原本》第六篇中的定義：,分一線段為二線段，當整體線段比大線段等于大線段比小線段時，則稱此線段被分為中外比（extreme and mean ratio）。需指出的是：黃金分割這一名稱只是在它十分出名之后，即到19世紀初期才出現的。,二、黃金分割的簡單性質,·

3、,A,C,B,E,F,1,上圖E點位線段AC的黃金分割點,0.5,黃金比的幾何畫法,黃金分割點（比）,,A,B,C,,,1,,,,,解得,其正根為,即,有,,黃金比的連分數表示：,,黃金比的根式表示：,由,,,還可得,三、正五邊形中的黃金分割,,,,,,,,,,,,B,C,D,E,F,G,H,I,J,A,命題3.1：正五邊形邊長與對角線之比為黃金比,,,,,,,,,,,,B,C,D,E,F,G,H,I,J,A,·,四、黃金分割

4、與斐波那契數列,,斐波那契兔子問題：,,兔子出生以后兩個月就能生小兔，若每次不多不少恰好生一對（一雌一雄），且每月生一次。假如養(yǎng)了初生的小兔一對，則一年以后共可有多少對兔子（如果生下來的小兔都不死的話）？,,用○表示一對小兔子，用●表示一對大兔子 。且用下圖a表示一對小兔子一月后長成一對大兔子，圖b表示一對大兔子一月生一對小兔子。,●,●,○,,,,(a),(b),,●,○,●,●,●,●,●,●,●,●,●,●,●,●,●,●,●,

5、●,●,,,,○,○,○,○,○,○,○,○,○,○,○,○,●,●,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,┅ ┅ ┅ ┅ ┅ ┅ ┅ ┅ ┅ ┅ ┅ ┅ ┅ ┅ ┅ ┅ ┅ ┅ ┅ ┅ ┅,命題4、1：當,即,,,,n個1,其中 為斐波那契數列的第n項。,斐波那契數列的通項公式 ：,,,斐波那契數列的一些有趣性質:,命題4.4：成立,命題4.3：成立,命題4.

6、5：成立,命題4.2：成立,,,,,,命題4.6：成立,,命題4.6的一個簡單應用：七個依次的矩形之和等于一個大的正方形。,,,,,,,,,13×21,8×13,5×8,3×5,2×3,,1×2,,1×1,,,爬樓梯問題：上樓梯時，從樓梯外只能進入第1梯，跨入樓梯后若允許每次跨一梯或兩梯，問：可以用多少種方法，跨到第n梯？,,,,,2,3,4,5,1,n-2,n-1

7、,n,蜜蜂進蜂房問題：一只蜜蜂從蜂房A出發(fā)，想爬到第1,2,3，……，n號蜂房，但只允許它自左向右（不許反向倒走），問它爬到第n號蜂房的路線數可以有多少條？,推廣的斐波那契數列：盧卡斯數列,從任何兩個前小后大的正整數開始，往后的每一個數是該數之前兩個數的和，由此構成的無窮數列稱為推廣的斐波那契數列。 1,3,4,7,11,18，29…，現稱為盧卡斯數列。它與黃金分割同樣有密切的聯系。,五、黃金分割點與優(yōu)選法,,中國數學家

8、 華羅庚,,假設在區(qū)間【0,1】上有一個單峰函數，我們要求其達到極大值的點?？梢酝ㄟ^在區(qū)間上不斷取點進行比較后得到。 在區(qū)間上取兩個點的原則是：這兩個點應該關于區(qū)間的中點對稱配置，同時，其中的任何一個點應同時是縮小區(qū)間中的一個這樣的點。,,用優(yōu)選法在一個區(qū)間中所選的兩個點，就是此區(qū)間上的左、右黃金分割點。換言之，優(yōu)選法是基于黃金分割的優(yōu)選法。黃金分割點具有再生性。,,,,,,,,,,,,,,余 音：數學的真、善、美,思 索

9、：黃金分割是美的，同時亦是有用的（善的），它的美和善來自何方？黃金分割的美和善來自于它的真。即它是本存在于自然界與人類社會許多事物之間的確定的數量關系。當人們通過深入的觀察，把這種數量關系抽象出來后，就成為了具有普遍聯系性的知識和有用的一種思想方法。而美的東西與有用的東西之間常常是有聯系的。因此，黃金分割正是集真、善、美與一體的數學藝術品。,,數學教學應當是在激起學生的學習興趣后，在學習數學知識中以“求聯”為目的，在此基礎上盡量“求