物理競(jìng)賽電磁學(xué)習(xí)題講解

1、電磁學(xué)典型習(xí)題講解,例: 求電偶極子在其中垂線上和電偶極子軸線延長(zhǎng)線上某點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度.,電偶極子:一對(duì)等量異號(hào)電荷相距一定距離形成電偶極子,解:先計(jì)算電偶極子軸線延長(zhǎng)線上某點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度.,如上圖所示:令電偶極子軸線的中點(diǎn)O到場(chǎng)點(diǎn)A的距離為r(r>>L),由點(diǎn)電荷場(chǎng)強(qiáng)公式,有:,則A點(diǎn)的合場(chǎng)強(qiáng)為:,電偶極子軸線延長(zhǎng)線上某點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng),如右下圖所示:令電偶極子中點(diǎn)O到中垂線上的場(chǎng)點(diǎn)B的距離為r(r>>L),由點(diǎn)電荷場(chǎng)

2、強(qiáng)公式,有:,電偶極子中垂線上某點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng),解：均勻帶電球體的電場(chǎng)也具有球?qū)ΨQ性,即同一球面上場(chǎng)強(qiáng)相等,方向沿徑向。故選取同心的球面為高斯面。,練習(xí)題：-----割補(bǔ)法證明：電荷體密度為?的均勻帶電球體中挖 出一個(gè)球形空洞內(nèi)的電場(chǎng)為均勻場(chǎng)。,證明：如圖所示，由高斯定理可求，均勻帶電球體內(nèi)任一點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)為：,球體無洞時(shí)：,洞位置帶-?的球體內(nèi)：,練習(xí)題：電荷體密度為?的無限長(zhǎng)圓柱體，其中有一個(gè)圓柱孔，試求孔中任

3、意點(diǎn)的電場(chǎng)。,解：如圖所示，由高斯定理可知：均勻帶電圓柱體內(nèi)任一點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)為：,帶?的大圓柱體在空腔內(nèi)任意點(diǎn)產(chǎn)生的電場(chǎng)為：,帶-?的小圓柱體在空腔內(nèi)任意點(diǎn)產(chǎn)生的電場(chǎng)為：,例 有一外半徑 和內(nèi)半徑 的金屬球殼，在球殼內(nèi)放一半徑 的同心金屬球，若使球殼和金屬球均帶有 的正電荷，

4、問 兩球體上的電荷如何分布？球心的電勢(shì)為多少？,解 根據(jù)靜電平衡的條件求電荷分布,作球形高斯面,,作球形高斯面,根據(jù)靜電平衡條件,,,例2、 兩個(gè)大帶電導(dǎo)體平面A 、B平行放置，板面積為S，現(xiàn)給A板帶電QA ，B板帶電QB ， 且QA > QB >0. 求靜電平衡時(shí),金屬板上的電荷分布和周圍空間的電場(chǎng)分布(忽略邊緣效應(yīng)). 如果金屬板B接地,情況又是如何?,解：靜電平衡后，導(dǎo)體內(nèi)部無凈電荷,電荷只能分布于導(dǎo)體表面.設(shè)金屬

5、板各面所帶電荷面密度如圖所示:,同理：,（1）由電荷守恒得：,解得：,可見金屬板A,B相背的兩面帶等量的同號(hào)電荷,相對(duì)的兩面帶等量的異號(hào)電荷.,金屬板A的左側(cè)的場(chǎng)強(qiáng)為:,金屬板A,B之間的場(chǎng)強(qiáng)為:,金屬板B右側(cè)的場(chǎng)強(qiáng)為:,如果將金屬板B接地,由于金屬板A帶正電荷,所以金屬板B只帶負(fù)電荷,而正電荷都流入大地.即:,與前面一樣的解題思路,有:,電荷守恒：,,單位長(zhǎng)度的電容,解 設(shè)兩金屬線的電荷線密度為,例 兩半徑為 的平行長(zhǎng)直導(dǎo)線中心間

6、距為 ，且 , 求單位長(zhǎng)度的電容 .,例： 一平行平板電容器充滿兩層厚度各為 和 的電介質(zhì)，它們的電容率分別為 和 , 極板面積為 .當(dāng)極板上的自由電荷面密度的值為 時(shí)，求；（1）各電介質(zhì)內(nèi)的電位移和場(chǎng)強(qiáng). （2）電容器的電容,解（1）設(shè)這兩層電介質(zhì)中的場(chǎng)強(qiáng)和電位移矢量分別為E1,E2;D1,D2.由高斯面S1可知：,由高斯面S2可知：,（2）

7、：板間電勢(shì)差為：,電容器電容為：,例4 （1）計(jì)算：帶電量為Q，半徑為R的孤立導(dǎo) 體球的靜電能.（球外真空） （2）在多大半徑的球面內(nèi)所儲(chǔ)存的能量 為總能量的一半？,解（1）由高斯定理得,（2）設(shè)離球心R0遠(yuǎn)的空間范圍內(nèi)所儲(chǔ)存的 能量是總能量的一半，即：,可見：電場(chǎng)越強(qiáng)的地方，電場(chǎng)能量密度越大；相同的體積中儲(chǔ)存

8、的能量也就越多。,例題: 證明轉(zhuǎn)動(dòng)帶電圓盤的磁矩 。,解：,等效圓電流：,寫成矢量式：,如右圖：,I3對(duì)環(huán)路上各點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度有貢獻(xiàn)嗎？,I3對(duì)圖中磁感應(yīng)強(qiáng)度的環(huán)路積分有貢獻(xiàn)嗎？,前者沒有貢獻(xiàn)，后者有貢獻(xiàn),例：同軸電纜的內(nèi)導(dǎo)體圓柱半徑為R1，外導(dǎo)體圓筒內(nèi)外半徑分別為R2、 R3，電纜載有電流I，求磁場(chǎng)的分布。,解：同軸電纜的電流分布具有軸對(duì)稱性在電纜各區(qū)域中磁力線是以電纜軸線為對(duì)稱軸的同心圓。,r < R1時(shí), 取沿半徑 r 的

9、磁感應(yīng)線為環(huán)路,,R1< r < R2 , 同理,,,,,,,R2,R3,,I,,,,,R1,,,,I,r,,,R2< r < R3 ,,,,,,,,R2,R3,,I,,,,,R1,,,,I,r,,,r > R3 ,,B = 0,結(jié)論: 均勻磁場(chǎng)中，任意形狀剛性閉合平面通電線圈所受的力和力矩為：,磁矩：,穩(wěn)定平衡,不穩(wěn)定平衡,1） 方向與 相同,2）方向相反,3）方向垂直,力矩最大,解：建立

10、如圖所示的坐標(biāo)系,x,例題：一矩形線圈處在無限長(zhǎng)載流直導(dǎo)線的磁場(chǎng)中，線圈平面和直導(dǎo)線共面，且一邊與直導(dǎo)線平行，相關(guān)參數(shù)如圖。線圈匝數(shù)為N，試求（1）：電流I1在線圈平面的磁通量和對(duì)線圈的磁力；（2）：當(dāng)線圈從d1平移到d2的過程中，磁力對(duì)線圈所作的功。,,,,,,,,,,,,,,,,解：如圖建立坐標(biāo)，取寬為dx的面積元，則通過該面積元的磁通量為：,整個(gè)線圈的磁通量為：,,,,,上下兩邊所受磁力相互抵消，左右兩邊所受磁力不等，整個(gè)線圈所受

11、的合力為：,,,,,,,,,,,,,由上式可知，線圈所受的合力為一個(gè)變力，一般情況下，當(dāng)線圈左邊距離長(zhǎng)直導(dǎo)線的距離為x時(shí)，線圈所受的合力為：,相應(yīng)的元功為：,當(dāng)線圈從d1平移到d2的過程中，磁力對(duì)線圈所作的功為：,,,,,,,,,,,,,也可以利用磁力作功的公式直接求解：,當(dāng)線圈從d1平移到d2的過程中，磁力對(duì)線圈所作的功為：,,線圈在d1位置時(shí)的磁通量為：,線圈在d2位置時(shí)的磁通量為：,例題：一導(dǎo)線ab與長(zhǎng)直導(dǎo)線AB共面且相互垂直，當(dāng)

12、ab以速度V平行于電流方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，求它產(chǎn)生的動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)。相關(guān)參數(shù)如圖。,解：一、以定義法求解,以a到b為積分路徑。如圖建立坐標(biāo)。取微元dx，有：,整個(gè)導(dǎo)線上的電動(dòng)勢(shì)為：,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,解：二、由法拉第感應(yīng)定律求解。如圖建立閉合回路。設(shè)想ab邊與另一部分假想的固定軌道bcda構(gòu)成回路，設(shè)回路方向?yàn)閍bcda，開始時(shí)刻ab邊與cd邊重合。則任意時(shí)刻，穿過回路的磁通量為：,所以感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為：,,,,,,,,,負(fù)號(hào)表示感

13、應(yīng)電動(dòng)勢(shì)方向與規(guī)定的回路方向相反，即沿adcba方向。a為高電勢(shì)點(diǎn)。,設(shè)螺線管通有電流I，管內(nèi)磁感應(yīng)強(qiáng)度,通過每匝線圈的磁通量,通過整個(gè)螺線管的磁鏈,所以螺線管的自感系數(shù),例1、有一長(zhǎng)度為l的長(zhǎng)直螺線管，單位長(zhǎng)度的匝數(shù)為n，截面積為S，其中充滿磁導(dǎo)率為 的磁介質(zhì)。試求該螺線管的自感系數(shù)。,長(zhǎng)直螺線管的自感系數(shù)：,例2. 如圖，計(jì)算無限長(zhǎng)直導(dǎo)線與一矩形線圈共面，參數(shù)如圖。求二者的互感系數(shù)和線圈中產(chǎn)生的互感電動(dòng)勢(shì)。,由直導(dǎo)線產(chǎn)生

14、穿過線圈的磁通量為：,互感系數(shù)為：,,,,,,,,,,,,,,,,線圈中產(chǎn)生的互感電動(dòng)勢(shì)為：,例1 有一圓形平行平板電容器, .現(xiàn)對(duì)其充電,板間電場(chǎng)強(qiáng)度以, 的變化率增加，兩板間為真空，略去邊緣效應(yīng), 求（1）兩極板間的位移電流;（2）兩極板間離開軸線的距離為r 處的磁感應(yīng)強(qiáng)度 .,解（1）：,（2）：電容器兩極板間