離散數學-第十章的課件_第1頁
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文檔簡介

1、第十章 群與環(huán),主要內容群的定義與性質子群與生成子群循環(huán)群與置換群,2,半群、獨異點與群的定義半群、獨異點、群的實例群中的術語群的基本性質,10.1 群的定義與性質,3,半群、獨異點與群的定義,定義10.1(1) 設V=是代數系統,°為二元運算,如果°運算是可 結合的,則稱V為半群.(2) 設V=是半群,若e∈S是關于°運算的單位元,則稱V 是幺半群,也叫做獨異點. 有時也將獨異點V 記作

2、 V=. (3) 設V=是獨異點,e?S關于°運算的單位元,若 ?a?S,a?1?S,則稱V是群. 通常將群記作G.,注意:在半群、獨異點和群中,由于只有一個二元運算,在不發(fā)生混淆的情況下,經常將算符省去,例如將x°y寫作xy 。 下文將采用這種簡略表示。,4,實例,例10.1 (1) ,,,,,都是半群,+是普通加法. 這些半群中除外都是獨異點,其中,,,都是群,分別叫做整數加群、有理數加群、實數加群和復數

3、加群(2) 設n是大于1的正整數,和都是半群,也都是獨異點,其中+和·分別表示矩陣加法和矩陣乘法, 是群,不是群(3) 為半群,也是獨異點和群,其中?為集合對稱差運算(4) 為半群,也是獨異點和群,其中Zn={0,1,…,n?1},?為模n加法 (5) 為半群,也是獨異點,其中?為函數的復合運算(6) 為半群,其中R*為非零實數集合,?運算定義如下:?x, y?R*, x?y=y,這個系統不構成獨異點和群,因為它沒

4、有單位元,5,例10.2 設G={ e, a, b, c },G上的運算由下表給出,稱為Klein四元群,,實例,特征:1. G中的單位元是e2. G中的運算滿足交換律2. 每個元素的逆元就是它自己3. a, b, c中任何兩個元素運算結 果都等于另一個元素,6,有關群的術語,定義10.2 (1) 若群G是有窮集,則稱G是有限群,否則稱為無限群. 群G 的基數稱為群 G 的階,有限群G的階記

5、作|G|. (2) 只含單位元的群稱為平凡群. (3) 若群G中的二元運算是可交換的,則稱G為交換群或阿貝爾 (Abel) 群.,7,定義10.3 設G是群,a∈G,n∈Z,則a 的 n次冪,群中元素的冪,群中元素可以定義負整數次冪. 元素的冪可推廣到半群和獨異點。但是冪指數在半群中只能取正整數Z+,在獨異點中只能取N,只有在群中可以取負整數Z-在中有 2?3 = (2-1)3 = 13

6、 = 1?1?1 = 0 在中有 (?2)?3 = ((?2)?1)3 = 23 = 2+2+2 = 6,3?5=?,元素的階,定義10.4 設G是群,a∈G,使得等式 ak=e 成立的最小正整數k 稱為a 的階,記作|a|=k,稱 a 為 k 階元. 若不存在這樣的正整數 k,則稱 a 為無限階元.,例如,在中, 2和4是3階元, 3是2階元, 1和5是6階元

7、, 0是1階元. 在中,0是1階元,其它整數的階都不存在. Klein四元群中e為1階元,其它元素都是2階元,群的性質,定理10.1 設G 為群,則G中的冪運算滿足: (1) ?a∈G,(a?1)?1=a(2) ?a,b∈G,(ab)?1=b?1a?1(3) ?a∈G,anam = an+m,n, m∈Z(4) ?a∈G,(an)m = anm,n, m∈Z (5) 若G為交換群,則 (ab)n = anbn.,

8、定理10.2 G為群,則G中適合消去律,即對任意a,b,c∈G 有(1) 若 ab = ac,則 b = c.(2) 若 ba = ca,則 b = c.,定理10.3 G為群,a∈G且 |a| = r. 設k是整數,則 (1) ak = e當且僅當r | k (2 )|a?1| = |a|,10,10.2 子群與群的陪集分解,定義10.5 設G是群,H是G的非空子集,(1) 如果H關于G中的運算構成群,則稱H是G的子群,

9、記作H≤G. (2) 若H是G的子群,且H?G,則稱H是G的真子群,記作H<G.,例如 nZ (n是自然數) 是整數加群 的子群. 當n≠1時,nZ是Z的真子群.對任何群G都存在子群. G和{e}都是G的子群,稱為G的平凡子群.,11,子群的判定定理,定理10.4(判定定理一)設G為群,H是G的非空子集,則H是G的子群當且僅當(1) ?a,b∈H ,有ab∈H(2) ?a∈H ,有a?1∈H.,定理10.5 (判定

10、定理二)設G為群,H是G的非空子集. H是G的子群當且僅當?a,b∈H有ab?1∈H.,定理10.6 (判定定理三) 設G為群,H是G的非空有窮子集,則H是G的子群當且僅當?a,b∈H ,有ab∈H.,12,生成子群,例10.8 設G為群,a∈G,令H={ak| k∈Z},即H由a的所有的冪構成的集合,則H是G的子群,稱為由 a 生成的子群,記作.,實例:例如整數加群,由2生成的子群是 ={2k | k∈Z}=2Z中,

11、由2生成的子群={0,2,4}Klein四元群 G = {e,a,b,c}的所有生成子群是: ={e}, ={e,a}, ={e,b}, ={e,c}.,13,10.3 循環(huán)群與置換群,定義10.7 設G是群,若存在a∈G使得 G={ak| k∈Z} 則稱G是循環(huán)群,記作G=,稱 a 為G 的生成元.,循環(huán)群根據生成元a的階

12、可分兩類:n 階循環(huán)群和無限循環(huán)群. 設G=是循環(huán)群,若a是n 階元,則 G = { a0=e, a1, a2, … , an?1 }那么|G| = n,稱 G 為 n 階循環(huán)群. 若a 是無限階元,則 G = { a0=e, a±1, a±2, … } 稱 G 為無限循環(huán)群.,14,循環(huán)群的生成元,

13、定理10.11 設G=是循環(huán)群.  (1) 若G是無限循環(huán)群,則G只有兩個生成元,即a和a?1. (2) 若G是 n 階循環(huán)群,則G含有?(n)個生成元. 對于任何小 于n且與 n 互素的數r∈{0,1,…,n-1}, ar是G的生成元. ?(n)是歐拉函數,表示0,1,…,n-1中與n互素的數的個數。例如 n=9,小于9且與9互素的正整數有6個:

14、 1, 2, 4, 5 , 7, 8 所以?(9)=6.,例 設G=是模12的整數加群,因為小于12并且與12互素的數是 1, 5, 7, 11,所以?(12)=4. 根據定理10.11,G的生成元是:1, 5, 7和11.,15,循環(huán)群的子群,定理10.12 設G=是循環(huán)群. (1) 設G=是循環(huán)群,則G的子群仍是循環(huán)群.(2) 若G=是無限循環(huán)群,則G的子群除{e}以外都是無限循環(huán)群.(

15、3) 若G=是n階循環(huán)群,則對n的每個正因子d,G恰好含有一個d 階子群. 根據以上定理可以得到求循環(huán)子群的方法。如果G=是n階循環(huán)群,先求出n的所有的正因子。對于每一個正因子d,是G的唯一的d階子群。,實例,例題 設G=是12階循環(huán)群.(1)求出G的所有生成元;(2)求出G的所有子群。解: G = Z12 = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11}(1)小于12且與12互素的數是 1, 5, 7

16、, 11,?(12)=4. 故G的生成元是:1, 5, 7和11. (2)G=Z12是12階循環(huán)群. 12的正因子是1,2,3,4,6,12,因此G 的子群是: 1階子群 =={0} 2階子群 ={0,6} 3階子群 ={0,4,8} 4階子群 ={0,3,6,9} 6階子群 ={0,2,4,6,8,

17、10} 12階子群 = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11} = G,由單位元生成,由原本的生成元生成,17,n 元置換及乘法,定義10.8 設 S = {1, 2, …, n}, S上的任何雙射函數σ:S→S 稱為S上的n元置換. 一般將n元置換σ記為例如 S={1, 2, 3, 4, 5}, 下述為5元置換,,定義10.9 設σ,τ是n元置換, σ和τ的復合σ °τ 也是n元置換, 稱

18、為σ與τ 的乘積, 記作σ τ. 例如,18,n元置換的輪換表示,定義10.10 設?是S = {1, 2, …, n}上的n元置換。若 ?(i1) = i2 , ?(i2) = i3 , … , ?(ik?1) = ik , ?(ik) = i1且保持S中的其它元素不變,則稱?為S上的k階輪換,記作(i1 i2 … ik) 。 若k =2,稱?為S上的對換。設 S = {1, 2,

19、 …, n},對于任何S上的 n 元置換 ?, 存在著一個有限序列 i1, i2, …,ik, k≥1, (可以取i1=1) 使得 ?(i1) = i2, ?(i2) = i3, …, ?(ik?1) = ik, ?(ik) = i1令 ?1 = (i1 i2 … ik), 則 ?1 是從?中分解出來的第一個輪換. 根據函數的復合定義可將 ? 寫作 ?1??,其中??作用于S-{i1, i2, …,i

20、k}上的元素。繼續(xù)對 ?? 進行類似的分解. 由于S 中只有n個元素, 經過有限步以后,必得到?的輪換分解式: ? = ? 1 ? 2 … ? t,輪換分解式的特征輪換的不交性:上述分解式中任何兩個輪換都作用于不同的元素上分解的惟一性: 若 ? = ?1?2 …?t 和 ? = ?1?2 …?s 是?的兩個輪換表示式,則有 { ?1,

21、 ?2, …, ?t } = {?1,? 2, …,?s } 任何n元置換都可以表示成不交的輪換之積。,19,例10.16 設S = {1, 2, … , 8},  ,則 輪換分解式為: ? = (1 5 2 3 6) (4) (7 8) = (1 5 2 3 6) (7 8) ? = (1 8 3 4 2) (5 6 7) ,實例,20,置換的對換

22、分解,設S = {1,2,…,n},? = (i1 i2 … ik) 是S上的 k 階輪換, ? 可以進一步表成對換之積,即 (i1 i2 … ik) = (i1 i2) (i1 i3) … (i1 ik) 任何n元置換表成輪換之積,然后將每個輪換表成對換之積. 例如 8 元置換 ? = (1 5 2 3 6) (7 8) = (1 5) (1 2) (1 3) (1 6

23、) (7 8) ? = (1 8 3 4 2) (5 6 7) = (1 8) (1 3) (1 4) (1 2) (5 6) (5 7),作業(yè),書本第203頁第7題第8題第9題書本204頁第28題第29題(1)和(2),22,對換分解的特征,,對換分解式中對換之間可以有交,分解式也不惟一. 例如4元置換 可以有下面不同的對換表示:  ? = (1 2) (1 3), ?

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