電子工程物理基礎(chǔ)chap-9

1、第九章 電子自旋,（一）Stern-Gerlach 實(shí)驗(yàn) (二）光譜線精細(xì)結(jié)構(gòu) （三）電子自旋假設(shè) （四）回轉(zhuǎn)磁比率,§1 電子的自旋,,（1）實(shí)驗(yàn)描述,處于 S 態(tài)的氫原子,（2）結(jié)論,I。氫原子有磁矩 因在非均勻磁場中發(fā)生偏轉(zhuǎn),II。氫原子磁矩只有兩種取向 即空間量子化的,S 態(tài)的氫原子束流，經(jīng)非均勻磁場發(fā)生偏轉(zhuǎn)，在感光板上呈現(xiàn)兩條分立線。,（一）Stern-Gerlach 實(shí)驗(yàn),（3）討論,原

2、子 Z 向受力,分析,若原子磁矩可任意取向， 則 cos ? 可在 （-1，+1）之間連續(xù)變化，感光板將呈現(xiàn)連續(xù)帶,但是實(shí)驗(yàn)結(jié)果是：出現(xiàn)的兩條分立線對(duì)應(yīng) cos ? = -1 和 +1 ，處于 S 態(tài)的氫原子 ?=0，沒有軌道磁矩，所以原子磁矩來自于電子的固有磁矩，即自旋磁矩。,鈉原子光譜中的一條亮黃線 ? ? 5893Å，用高分辨率的光譜儀觀測(cè)，可以看到該譜線其實(shí)是由靠的很近的兩條譜線組成。,其他原子

3、光譜中也可以發(fā)現(xiàn)這種譜線由更細(xì)的一些線組成的現(xiàn)象，稱之為光譜線的精細(xì)結(jié)構(gòu)。該現(xiàn)象只有考慮了電子的自旋才能得到解釋,（二）光譜線精細(xì)結(jié)構(gòu),,Uhlenbeck 和 Goudsmit 1925年根據(jù)上述現(xiàn)象提出了電子自旋假設(shè),（1）每個(gè)電子都具有自旋角動(dòng)量，它在空間任何方向上的投影只能取兩個(gè)數(shù)值：,,（2）每個(gè)電子都具有自旋磁矩，它與自旋角動(dòng)量的關(guān)系為：,自旋磁矩，在空間任何方向上的投影只能取兩個(gè)數(shù)值：,Bohr 磁子,（三）電子自旋假設(shè),

4、（1）電子回轉(zhuǎn)磁比率,我們知道，軌道角動(dòng)量與軌道磁矩的關(guān)系是：,（2）軌道回轉(zhuǎn)磁比率,則，軌道回轉(zhuǎn)磁比率為：,可見電子回轉(zhuǎn)磁比率是軌道回轉(zhuǎn)磁比率的二倍,（四）回轉(zhuǎn)磁比率,§2 電子的自旋算符和自旋波函數(shù),自旋角動(dòng)量是純量子概念，它不可能用經(jīng)典力學(xué)來解釋。 自旋角動(dòng)量也是一個(gè)力學(xué)量，但是它和其他力學(xué)量有著根本的差別,通常的力學(xué)量都可以表示為坐標(biāo)和動(dòng)量的函數(shù),而自旋角動(dòng)量則與電子的坐標(biāo)和動(dòng)量無關(guān)，它是電子內(nèi)部狀態(tài)的表征，是描寫電

5、子狀態(tài)的第四個(gè)自由度（第四個(gè)變量）。,與其他力學(xué)量一樣，自旋角動(dòng)量 也是用一個(gè)算符描寫，記為,自旋角動(dòng)量 軌道角動(dòng)量 異同點(diǎn),與坐標(biāo)、動(dòng)量無關(guān),不適用,同是角動(dòng)量,滿足同樣的角動(dòng)量對(duì)易關(guān)系,（一）自旋算符,由于自旋角動(dòng)量在空間任意方向上的投影只能取 ±?/2 兩個(gè)值,算符的本征值是,仿照,,自旋量子數(shù) s 只有一個(gè)數(shù)值,,（2）Pauli 算符,1. Pauli 算符的引進(jìn),因?yàn)镾x, Sy, Sz的本征值都是

6、7;?/2， 所以σx,σy,σz的本征值都是±1； σx2,σy2,σZ2 的本征值都是 。,2. 反對(duì)易關(guān)系,基于σ的對(duì)易關(guān)系，可以證明 σ各分量之間滿足反對(duì)易關(guān)系:,證：,左乘σy,右乘σy,同理可證:x, y 分量的反對(duì)易關(guān)系亦成立. [證畢],或,由對(duì)易關(guān)系和反對(duì)易關(guān)系還可以得到關(guān)于 Pauli 算符的如下非常有用性質(zhì)：,,σy2=1,3. Pauli算符的矩陣形式,根據(jù)定義,求

7、 Pauli 算符的 其他兩個(gè)分量,令,,,σX 簡化為：,令：c = exp[iα] (α為實(shí)），則,得：b = c*(或c = b*),σx2 = I,求σy 的矩陣形式,這里有一個(gè)相位不定性，習(xí)慣上取α= 0， 于是得到 Pauli 算符的矩陣形式為：,從自旋算符與 Pauli 矩陣的關(guān)系自然得到自旋算符的矩陣表示：,寫成矩陣形式,,因?yàn)樽孕请娮觾?nèi)部運(yùn)動(dòng)自由度，所以描寫電子運(yùn)動(dòng)除了用 (x, y, z) 三個(gè)坐標(biāo)

8、變量外，還需要一個(gè)自旋變量 (SZ），于是電子的含自旋的波函數(shù)需寫為：,由于 SZ 只取 ±?/2 兩個(gè)值， 所以上式可寫為兩個(gè)分量：,寫成列矩陣,規(guī)定列矩陣 第一行對(duì)應(yīng)于Sz = ?/2， 第二行對(duì)應(yīng)于Sz = -?/2。,若已知電子處于Sz = ?/2或Sz = -?/2的自旋態(tài)，則波函數(shù)可分別寫為：,（二）含自旋的狀態(tài)波函數(shù),,（1）歸一化,波函數(shù)的歸一化時(shí)必須同時(shí)對(duì)自旋求和和對(duì)空間坐標(biāo)積分，即,（2）幾率密度,表

9、示 t 時(shí)刻在 r 點(diǎn)附近 單位體積內(nèi)找到電子的幾率,表示 t 時(shí)刻 r 點(diǎn)處 單位體積內(nèi)找到自旋 Sz= ?/2的電子的幾率,表示 t 時(shí)刻 r 點(diǎn)處單位 體積內(nèi)找到 自旋 Sz = –?/2 的電子的幾率,在全空間找到Sz = ?/2的電子的幾率,在全空間找到 Sz = – ?/2 的電子的幾率,（四）含自旋波函數(shù)的歸一化和幾率密度,,波函數(shù),這是因?yàn)椋ǔＷ孕蛙壍肋\(yùn)動(dòng)之間是有相互作用的，所以電子的自旋狀

10、態(tài)對(duì)軌道運(yùn)動(dòng)有影響。但是，當(dāng)這種相互作用很小時(shí)，可以將其忽略，則ψ1 ,ψ2 對(duì) (x, y, z) 的依賴一樣，即函數(shù)形式是相同的。此時(shí)Φ可以寫成如下形式：,求：自旋波函數(shù)χ(Sz),SZ 的本征方程,令,一般情況下，ψ1 ≠ψ2，二者對(duì)(x, y, z)的依賴是不一樣的。,（五）自旋波函數(shù),similarly,平均值的計(jì)算,例:,粒子在電磁場中的運(yùn)動(dòng): Pauli方程,無自旋粒子,電子:,不考慮自旋軌道耦合,可分離變量:,磁共振