電磁場與電磁波第3章

1、時變情況下，電場和磁場相互關聯(lián)，構成統(tǒng)一的電磁場 當場源不隨時間變化時，激發(fā)不隨時間變化的靜態(tài)場 靜態(tài)情況下，電場和磁場由各自的源激發(fā)，且相互獨立,第3章　靜態(tài)場分析,3.1 靜電場的靜電位及其微分方程,3.1.1 靜電場的靜電位,基本方程,邊界條件,在靜電場情況下，由　　　　　　　　　，即靜電場可以用一個標量的梯度來表示。標量?稱為標量位或標量電位。,,任意常數(shù),電位的定義,對于連續(xù)分布電荷，有,,體電荷,,面電荷,,線電荷,

2、,位于r′處的點電荷,,位于不同位置r i′的N個點電荷,上式兩邊從點P到點Q沿任意路徑進行積分，得,P、Q兩點間的電位差,電場力做的功,關于電位差的說明,P、Q兩點間的電位差等于電場力將單位正電荷從P點移至Q點所做的功，電場力使單位正電荷由高電位處移到低電位處 電位差也稱為電壓，可用U表示 電位差有確定值，只與首尾兩點位置有關，與積分路徑無關,3.1.2 電位差,顯然，電位函數(shù)?不是唯一確定的，可以加上任意一個常數(shù)仍表示同一

3、個電場，即,為使空間各點電位具有確定值，可以選定空間某一點作為參考點，且令參考點的電位為零，由于空間各點與參考點的電位差為確定值，所以該點的電位也就具有確定值，即,選參考點,,令參考點電位為零,電位確定值(電位差),兩點間電位差有定值,選擇電位參考點的原則 應使電位表達式有意義 應使電位表達式最簡單 同一個問題只能有一個參考點,標量泊松方程,在均勻、線性和各向同性的介質中，利用 有,,拉

4、普拉斯方程,,3.1.3 電位的微分方程,,理想導體是等位體,靜電位的邊界條件,設P1和P2是介質分界面兩側緊貼界面的相鄰兩點，其電位分別為?1和?2。當兩點間距離⊿l→0時,理想介質表面,,,點電荷：設點電荷q在原點，參考點Q，場點 (電位考察點)P，選擇路徑P→M → Q(路徑可以任意選擇)進行積分，有,,積分貢獻為零,3.1.4 電位的表達式,線電荷：設線電荷?l在原點，參考點Q，場點 (電位考察點)P，沿如前路徑進行積分，有

5、,如果選擇參考點在rQ=∞，得?P=∞，顯然不合理。如果選擇rQ=1，得　　　　　　，顯然這種形式最簡單。,面電荷(例3-1)：無限大面電荷產生的電場在空間均勻分布。設均勻電場E0，場中任意兩點P1和P2的電位差為,例 3-2 電偶極子的電位和電場強度。電偶極子由空間兩個等量異號的點荷組成如圖。,解：設電偶極子中心位于座標原點，p=ql?？臻g任意點M處的電位可以看成是由兩個點電荷產生，即有,當場點M到電偶極子的距離r>>

6、l時，得,,3.1.5 電位的多極展開,零極子　處于一個幾何點的電荷系統(tǒng)稱為零極子，其電性質只需用總電量q表示，其電位為,電偶極子與電偶極矩 電偶極子：兩個等值異號相距微小距離的點電荷系統(tǒng)，總電量Q＝0，用電偶極矩p=ql表示其電特性 電荷系統(tǒng)的電偶極矩：并不是只有電偶極子才有電偶極矩,p與座標系有關；對稱系統(tǒng)p＝0； p和Q是不同的物理量；Q＝0的電荷系統(tǒng)仍可能產生電位,電偶極子場：,電荷系統(tǒng)的電偶極矩場：只需將電偶極子場中的

7、p用相應電荷系統(tǒng)的電偶極矩代入即可，顯然有,電四極子與電四極矩　電四極子：兩個大小相同、方向相反的電偶極子±p構成的系統(tǒng)，Q＝0，p＝0，電特性用電四極矩表示?！‰娝臉O矩張量：共有9個分量，表示為,電四極子場：,電荷系統(tǒng)的電四極矩場：任何電荷系統(tǒng)都有電四極矩，其電位為,電荷系統(tǒng)電位的多極展開　任意電荷系統(tǒng)有可能具有Q，p，Qij，其電位可表示成,式中各項分別為各級電極子產生的電位，隨著r增加，高階項可忽略。r很大時，可將

8、有限區(qū)域中分布的電荷等效成點電荷。,,導體所帶電荷與導體電位之比,電容C只與導體幾何性質和周圍介質有關，與q和?無關　如空氣中半徑為a的孤立帶電球，,與q和?無關,孤立導體：,雙導體組成的電容器,同樣地，電容C只與導體幾何性質和介質有關　如平行板電容器,與q和?無關,,,3.2 導體系統(tǒng)的電容,3.2.1 電容的定義與計算,例3-5　如圖所示的平行雙線傳輸線，導線的半徑為a，兩導線的軸線相距為D，且D>>a。試求傳輸

9、線單位長度的電容。,解：由于D>>a，近似認為電荷均勻分布在導體表面，且可將導線看成線電荷，則利用高斯定理得x軸上的電場分布,單個導體上的電量,雙導體時，一個導體上的電量,如果把大地看成?0=0的導體，則單個導體存在時，導體上的電量為,兩個導體存在，且考慮大地影響時，相當于3個導體的情況，其中一個導體上的電量為,其中C12為導體1，2間的電容，C10為導體與大地間的電容,N個導體存在，導體i上的電量與它和其它導體之間的電位差

10、（包括大地）有關，即有,3.2.4 部分電容,物理意義：　導體系統(tǒng)中各導體間都存在電容　各導體的電荷正比于導體間的電位差，其比例系數(shù)稱為部份電容,關于部份電容Cij的討論,Cij為導體i與導體j之間的電容；而Cii為導體i本身的電容，即與大地間的電容，可寫成Cii=Ci0=Ci Cij=Cji （i≠j），對稱性（互易性） Cij只與導體的幾何形狀、介質性質和各導體的相對位置有關，與各導體所帶電量無關,例1 兩個同心

11、導體球殼，半徑分別為a和b，離地很遠。求部分電容。,解：由于球殼離地很遠，可以認為電荷在導體表面均勻分布。兩個球殼上的電量分別為,由于C12，C21，C11，C22與q1，q2無關，可任意選擇q1和q2值。令q1 =0， q2 =1，得,靜電屏蔽,,,孤立球的電容,不表示導體與地之間無電容，表示導體上電荷分布不受地的影響，是均勻分布。,,同心球電容,,3.3.1 電場能量,討論系統(tǒng)充電并穩(wěn)定后的電場能量，與充電過程無關 從零狀態(tài)開

12、始充電，充電結束時，電荷為?、電位為? 充電過程中，電荷與電位同比增加，比例因子?，即充電過程中某一時刻電荷與電位分別為??和?? 充電過程由? = 0到? = 1，由無數(shù)個充電單元d? 組成 對于系統(tǒng)中的一個單位體積，在每個充電單元，電源將輸送電荷?d?，同時做功(??)(?d?)，此功將轉換為電場的能量,所以，在一個充電單元中，整個系統(tǒng)能量的增加，即外電源為此所做的功為,3.3 靜電場能量和靜電力,當V無窮大時，由于S包括了

13、整個電場空間，其外部沒有電場存在，所以沒有電場穿出S，即在S上D→0，第一項為零，得,由此得電場的能量密度為,對于線性各向同性介質，有,空間任意點的能量密度由當?shù)氐碾妶鰶Q定,關于靜電場能量表達式的補充說明,討論的是充電完成系統(tǒng)穩(wěn)定后的情況，所以只適用于靜電場 積分區(qū)域為存在電荷分布的空間，由于在無電荷分布的區(qū)域積分為零，所以積分也可以為整個空間 能量是分布在有電場存在的整個空間，并非僅僅存在于有電荷分布的區(qū)域，所以被積函數(shù)

14、 不代表能量密度 被積函數(shù) 代表能量密度，說明有場存在的地方即會有能量,對N個點電荷組成的系統(tǒng)，電荷體密度為,利用?函數(shù)的挑選性,點電荷相互作用能,,對N個帶電導體組成的系統(tǒng)，各導體的電位為?i，電量為qi，表面積為Si，則導體系統(tǒng)的電場能量為,3.3.2 帶電導體系統(tǒng)的能量,3.3.3 點電荷系統(tǒng)的相互作用能,例3-7 原子核是一個帶電為q的點電荷，周圍均勻分布有帶負電的球形電子云。電子云的半徑為r

15、0，其總電量為－q。求原子模型的結合能。,解：結合能=電子云自能+云與核的相互作用能。由高斯定理得電子云產生的電場,3.3.4 電荷分布在外電場中的能量,帶電體的自有能和相互作用能　設兩個帶電體電荷密度分別為?1和?2，產生的電位和電場分別為?1和?2，E1和E2。則總電場為E=E1+E2，電場總能量為,其中：We1和We2分別為帶電體1和2的自有能量，分別對應各自所產生的電場； We互為兩個帶電體的相互作用能，在線性各向同性介質中

16、有：,帶電體在外電場中的能量　帶電體在外電場中的能量，即為帶電體與產生外場的電荷之間的相互作用能。設外電場對應的電位為?e，帶電體的電荷密度為?，則帶電體在外電場中的能量為,當電荷分布在一個小區(qū)域內，且電位?e緩慢變化時，可將電位?e在=0處按泰勒級數(shù)展開為：,,,,總電量的能量,電偶極矩的能量,電四極矩的能量,3.3.5 靜電力,靜止電荷間的作用力一般總可以用庫侖定律求得，但對于許多實際問題，用庫侖定律計算非常復雜，通?？捎锰撐灰?/p>

17、法?！√撐灰品ǎ杭僭O帶電體在電場的作用下發(fā)生一個位移（假想的），電場能量將發(fā)生改變（電場做功，能量改變），根據(jù)能量的變化情況可以求出帶電體所受的力?！≡O有N個帶電導體組成的系統(tǒng)，第i個導體在電場力Fi的作用下發(fā)生位移??i，電場力做功為?A=Fi??i，此時系統(tǒng)靜電場能量的變化為?We。如果各導體與外電源相聯(lián)，則此時外電源將對系統(tǒng)提供能量?Ws。由能量守恒定律，得,,,,,,,外界提供的能量=電場對導體做功+系統(tǒng)能量的增加,可見，系

18、統(tǒng)靜電能量的改變分別由電荷和電位的變化引起?！「鲗w不與電源相連，即?qi = 0　由于各導體不與電源相連，導體系統(tǒng)與外界隔絕，沒有能量交換，即?Ws= 0，則有,各導體與電源相連，即??i = 0　為保持各導體電位不變，電源將向導體i提供電量?qi，同時即提供能量?i ?qi，則有,3.4 恒定電場及其基本方程,3.4.1 恒定電場的基本方程,恒定電場由密度不隨時間變化的電荷產生，但電荷并非靜止，即J≠0。此時有,均勻介質,

19、基本方程,,邊界條件,恒定電場與靜電場有相似的特性，即同樣為無旋場，得,,3.4.2 焦爾定理,設導體內的電荷密度為?，運動速度為v，則在dt時間內電場力對dV體積元中的電荷?dV所做的功為,由此得體積元dV中的損耗功率為,,功率密度,電場對電荷做功消耗的功率,3.4.3 電阻,在導電媒質中，電流I從一個電極流向另一個電極，兩電極間電流I與電壓U之比稱為電導，即,,,恒定電場（源外）　　　　　靜電場（無源區(qū)）,,,,,,,靜電　

20、 E D ? 　q ? C,恒定　 E J 　　? 　　 I ? G,恒定電場與靜電場比擬,關于恒定電場的進一步說明,與靜電場性質相同，但產生的源不同，分別為運動電荷和靜止電荷，但其密度都不隨時間變化 恒定電場同時存在于導電體外和導電體內，其表面同時有法向和切向分量，電場不垂直于表面，此時導電體不是等位體,電場矢量在分界面上的折射關系,如?

21、2>>1，? 2≠90°，?1＝0，電力線近似垂直良導體表面，近似等位體 如介質1為理想介質，?1＝0，J1=0，導電體一側中只有切向電流和切向電場,恒定電場問題可利用對應量變換，先變成靜電場問題求解，最后再換回來,,由J 的邊界條件可得,例3 同軸線內外導體半徑分別為a和b，填充介質?≠0，具有漏電現(xiàn)象。同軸線外加電源電壓為U，求漏電介質內的?、E、J和單位長度的漏電電導。,解：內外導體內E=0，且表面是等位

22、面，介質中電位只是r 的函數(shù)，滿足拉氏方程為,,,,例4　一個有兩層介質的平行板電容器，其參數(shù)分別為?1、?1和?2、?2，外加電壓U。求介質面上的自由電荷密度。,解：極板是理想導體，為等位面，電流沿z方向。,,例5 同軸線內外導體半徑分別為a和b，其間填充電導率為?的導電介質，求單位長度的絕緣電阻。,解：先變成靜電場。內外導體間,,例6 求半徑為a的金屬導體球形接地器的接地電阻。土壤的電導率為?。,解：導體深埋，不考慮地表對接地

23、電阻的影響,,例7 在一塊厚度為h的導電板上，由兩個半徑為r1和r2的圓弧和夾角為?0的兩半徑割出一段環(huán)形導電媒質。計算沿?方向的兩個電極間的電阻。,解：設兩極板間電壓為U0，則電流沿?方向流動，電位?只是變量?的函數(shù)，即有,3.5 靜磁場的矢量磁位及其微分方程,3.5.1 靜磁場的矢量磁位,恒定磁場及其源（恒定電流）不隨時間變化，有,靜磁場的基本方程,邊界條件,對于理想介質，表面不存在傳導電流,式中，A即磁場的矢量磁位，也稱為矢量

24、位。,矢量磁位的定義 磁場是無源場，可以引入一個矢量來描述磁場，即　　　由,矢量位的任意性 與標量位?一樣，矢量位A也不是唯一確定的，它加上任意一個標量?的梯度以后，仍然表示同一個磁場，即,對矢量位的限制 矢量位A的任意性是因只規(guī)定了其旋度，沒有規(guī)定其散度造成。為得到確定的A，可對A的散度加以限制，即　　　　，稱為庫侖條件。另外，還有洛侖茲條件。,3.5.2 靜磁場的矢量磁位的微分方程,,,,泊松方程,,,拉普

25、拉斯方程,3.5.3 靜磁場的矢量磁位的表達式,在直角坐標系中，矢量位A的各分量滿足標量泊松方程，即,,其中1, 2, 3分別對應x, y, z,與靜電場標量位? 滿足的泊松方程比較，可得Ai之解，即,,滿足,對面電流和細導線電流回路，矢量位A的解為,用矢量位計算磁通量,矢量位的邊界條件,補充內容：矢量位的多極展開,在靜電場中，體電荷產生的電位可展開為各級電極子電位的疊加。同樣，對體電流產生的矢量位，也可以進行多極展開。,式中各項對應

26、各級磁極子。對應磁零極子的第1項等于零；對應磁偶極子的第2項等于一個電流環(huán)的矢量位。隨著r增加，高階項可忽略。r很大時，可將體電流等效成一個電流環(huán)。,例8 求無限長線電流I的矢量位和磁場。設電流沿+z方向流動。,解：用靜電場標量位比較法求解。由無限長線電荷的電位,關于矢量位A 的補充說明,線電流的矢量位與電流方向一致，求解比較簡單 對體分布電流，需要直接從泊松方程求解，其過程比較復雜 引入矢量位A是為了簡化求解磁場，但只有對復雜

27、問題才能顯示出其優(yōu)越性，對于簡單問題，還是直接求解磁場為宜,Here,回路C通有電流I，空間磁場B，且B∝I，則B在回路C所圍面積中產生的磁通?∝I，即,對于粗導體，自感L＝內自感Li＋外自感Lo 內自感,外自感,自感,3.6 電感,3.6.1 電感的定義,例3-13 求同軸電纜單位長度的自感。設內導體半徑為a，外導體厚度可忽略不計，其半徑為b，空氣填充。,解：先求內自感。設電纜中的電流為I，由安培環(huán)路定律得,再求外自感。由安

28、培環(huán)路定律得內外導體間的磁感應強度為,兩個回路C1和C2，分別通有電流I1和I2，C1在空間產生的磁場B1，B1在回路C1和C2所圍面積的磁通分別為?11 和?21，即,互易性：M12=M21=M 互感的符號：當?11 與?12同方向時，取正，反之取負 互感的特性：與回路幾何性質、相對位置和周圍介質有關，與電流無關,互感,N個回路系統(tǒng)的電感,紐曼公式,,兩個回路C1和C2，分別通有電流I1和I2，周圍是空氣。C1在空間產生的矢量

29、位為A1，磁場為B1=▽× A1，且,3.6.2 紐曼公式,電感與感應電動勢的關系　回路中的磁通發(fā)生變化時，由法拉第電磁感應定律，回路中將產生感應電動勢。由于磁通與回路的自感或互感成比例，所以感應電動勢與自感和互感也有關系?！蓚€回路的情況，回路C1和C2的自感和互感電動勢定義為,3.7 靜磁場能量和磁場力,3.7.1 電流回路系統(tǒng)的能量,單個電流回路的能量,回路C中的電流i由0變成I，dt 時間內i變化di，并引

30、起磁通量?變化d? ，從而在回路中出現(xiàn)感應電動勢 　　　　。,由于回路中出現(xiàn)的感應電動勢?將阻止電流i的增加，必須由外電源附加一個反向電壓U=－?，保證電流i增加。所以，外電源在dt 時間內使電流i增加di所做的功為,電源使電流i由0增加為I所做的功為,將以磁場能量的方式儲存在回路中,兩個電流回路的能量　設兩個回路C1和C2中的電流i1和i2均由其初始值0變成I1和I2。在此過程中，外電源要對回路系統(tǒng)做功，此功將作為磁場能量儲存在回

31、路系統(tǒng)中?！∈紫燃俣╥2=0，使i1由0↗I1。在dt 時間內i1改變量為di1，引起兩個回路中的磁通量?11和?21改變d?11和d?21，并在回路中產生感應電動勢?1和?2。　由于?1會阻止C1中電流i1的增加，所以須在C1上外加電壓U1=－?1。同時，為了使C2中的電流i2保持為零，也須在C2上外加電壓U2=－?2。所以，外電源在dt 時間內所做的功為,外電源使i1由0變?yōu)镮1過程中所做的功為,然后，保持C1中的電流I1不變，

32、將i2由0變?yōu)镮2。在此過程中，C2上的外加電源U2＝－?2 所做的功為,與前一個過程不同的是，此過程中C1中的電流一直保持為I1，所以C1上的外加電源U1將做功，即有,兩個過程外加電源所做的總功，將全部以磁場能量的形式儲存在回路系統(tǒng)中，成為兩電流回路系統(tǒng)的磁場能量，即有,或,N個電流回路的能量　將兩個回路的情況推廣到N個電流回路組成的系統(tǒng)，有,或者寫成,得,其中的Ai為回路Ci上的合成矢量磁位，即由所有回路產生。,體分布電流的能量

33、　將此式應用于體分布電流（粗回路）時，有,關于靜磁場能量表達式的補充說明,只適用于靜磁場　積分可以只在J≠0的區(qū)域進行 被積函數(shù)A·J不代表能量密度，雖然積分是在有電流的空間中進行，但能量是分布在整個有磁場存在的空間,①,3.7.2 靜磁場能量,能量密度　與電場能量一樣，磁場能量分布于磁場存在的整個空間。將J=▽×H代入①式，得,當V無窮大時，S將包圍整個磁場存在的空間，沒有磁場會穿出S，所以在S上有H→

34、0，第二項為零，得,得磁場能量密度,例8 求半徑為a的無限長圓柱導體單位長度的內自感。,解：,，其中?i為導體柱內部的磁通。,由安培環(huán)路定理，可得導體內部的磁感應強度為,則導體內單位長度的磁場能量為,例9 求內外半徑分別為a和b的無限長同軸線單位長度的自感。（再解例3-13）,解：在內外導體之間，,,由上題（例1）得,,例10 矩形回路與長直導線共面，如圖。求二者之間的互感。當矩形回路繞軸旋轉90°時，求磁場能量的變化。

35、,解：長直導線產生的磁場為,,此時磁場能量為Wm。當矩形回路繞軸旋轉90°時，?=0，此時的互感M=0，此時的磁場能量變?yōu)?3.7.3 電流分布在外磁場中的能量,電流分布在外磁場中的能量是指電流分布與產生外磁場的電流之間的相互作用能。設回路C中的電流為I，外磁場的矢量磁位為Ae。則電流I在外磁場中的能量為,將Be(r)在r=0處按泰勒級數(shù)展開，可得,用J(r)dV替代Idl，可得體分布電流在外磁場中的能量,,位于原點的磁矩

36、在外磁場中的能量,3.7.4 磁場力,與求靜電力一樣，可以用虛位移法求解磁場力?！≡O有N個回路的系統(tǒng)，第i個回路在磁場力Fi作用下發(fā)生位移??i，磁場力做功為?A=Fi ? ? i，此時系統(tǒng)靜磁場能量的變化為?Wm。如果各回路與外電源相聯(lián)，則此時外電源對系統(tǒng)提供的能量為?Ws。由能量守恒定律，得,,,,,,,外界提供的能量=磁場對回路做功+系統(tǒng)能量的增加,可見，系統(tǒng)靜磁能量的改變分別由電流和磁通量的變化引起。,各回路上電流不變，?

37、Ii =0　由于回路i運動時，各回路的磁通將變化，從而在各回路中引起感生電流。為了維持各回路中的電流不變，外接電源將對各回路提供反向電壓,,,磁通變化引起的感生電動勢的負值,各回路上磁通不變，??i =0　此時不需與外電源相連，則有,例3-16 兩個互相平行且共軸的圓形線圈，相距為d，半徑分別為a1和a2，且a1<<d。線圈通有電流I1和I2。求兩線圈間的磁場力。,解：線圈2在線圈1上產生的磁場近似為均勻，為,,電流和

38、自感不變時,3.8 靜態(tài)場的邊界條件,3.8.1 靜電場的邊界條件,電介質分界面,導體與電介質分界面,3.8.2 電位的邊界條件,理想介質表面,,3.8.3 恒定電場的邊界條件,3.8.4 靜磁場的邊界條件,3.8.5 矢量磁位的邊界條件,對于理想介質，表面不存在傳導電流,為了簡化磁場的求解過程，引入了磁場的矢量位A，建立了相應的微分方程，即,矢量位滿足的是矢量泊松方程，其求解過程相當復雜。這里試圖像靜電場一樣，引入磁場的標

39、量位。 標量磁位(磁標位)的引入　在無電流( J = 0)的空間中，有,,標量磁位,A圖所示區(qū)域不能滿足上述條件 B圖所示區(qū)域可以滿足上述條件,3.9 靜磁場的標量磁位及其微分方程,磁荷觀點與分子電流觀點 分子電流觀點：分子形成一個分子電流，分子電流有磁矩，受到外場影響時，顯出宏觀電流和磁矩 磁荷觀點：分子是由正負磁荷組成的磁偶極子，在外場影響下，出現(xiàn)宏觀磁荷分布 磁荷是不存在的。但是磁偶極子與分子電流的磁矩具有相

40、似性，所以磁荷觀點所得結果有某些情況下仍然可用 用磁荷觀點討論介質的磁化,介質極化　　　　　　　　磁荷觀點,,,標量磁位的微分方程,標量磁位的邊界條件,,靜電場　　　　　　　　磁荷觀點,,磁荷觀點結果與靜電場結果的比較,,,,,,,,靜電　 E D P ? 　?0　　?P,磁荷　 H 　B ?0M ?m 　 ?0　　?m,例3-17 半徑為a、長為l的