關(guān)于平移與旋轉(zhuǎn)的對(duì)話

1、關(guān)于關(guān)于“平移與旋轉(zhuǎn)平移與旋轉(zhuǎn)”的對(duì)話的對(duì)話東北師范大學(xué)史寧中馬云鵬孔凡哲中小學(xué)數(shù)學(xué)課程為什么加入“平移與旋轉(zhuǎn)”內(nèi)容這部分內(nèi)容的作用和價(jià)值體現(xiàn)在哪些方面如何看待其數(shù)學(xué)本質(zhì)在課程實(shí)施過程中，如何把握這些內(nèi)容及其要求針對(duì)這些問題，東北師范大學(xué)有關(guān)學(xué)者進(jìn)行了專題討論和訪談，本文就是這次交談的實(shí)錄，從中可以窺見所提問題的答案。話題話題1為什么要增加平移旋轉(zhuǎn)，其意義和作用體現(xiàn)在哪些方面為什么要增加平移旋轉(zhuǎn)，其意義和作用體現(xiàn)在哪些方面馬云鵬馬云鵬(

2、以下簡稱為M)：在本次課程改革中，幾何的變化比較大，原來小學(xué)的幾何主要涉及圖形的認(rèn)識(shí)及其計(jì)算，如長方形、正方形、長方體、正方體及其面積、周長、體積的計(jì)算，其他的內(nèi)容比較少。在《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn)稿)》(以下簡稱《課程標(biāo)準(zhǔn)》)研制前后，逐漸發(fā)現(xiàn)小學(xué)幾何的內(nèi)容結(jié)構(gòu)有許多問題。仔細(xì)分析，我們漸漸認(rèn)識(shí)到，除傳統(tǒng)的圖形認(rèn)識(shí)及其計(jì)算之外，還有一些東西是很重要的：首先是位置，知道方位，知道路線。比如說，有這樣一個(gè)最簡單的事情：你能不能描

3、述一下從東北師大到火車站應(yīng)該怎么走有的人說得非常清楚，照他說的就能走到，而有的人就講不清楚。這種線路、方位的內(nèi)容，原來只是東、南、西、北，現(xiàn)在加上東北、東南、西北、西南，加上方位、線路圖，就構(gòu)成“位置”的課程內(nèi)容。其次，就是一些基本圖形的變化。以往的中小學(xué)數(shù)學(xué)關(guān)于圖形的位置關(guān)系只涉及軸對(duì)稱，非常J笥單。而這次改革增加平移與旋轉(zhuǎn)的內(nèi)容，一個(gè)圖形經(jīng)過平移之后發(fā)生了什么變化旋轉(zhuǎn)呢另一個(gè)內(nèi)容就是“從不同方向看”，即從不同角度來觀察一個(gè)事物、圖形

4、，比如雕塑，從正面看是什么樣從側(cè)面看又是什么樣從上面呢從下面呢這有點(diǎn)像以往《畫法幾何》上所學(xué)的三視圖那樣，但又不是那樣專業(yè)，而是以生活化的方式呈現(xiàn)。將這樣一些內(nèi)容寫進(jìn)《課程標(biāo)準(zhǔn)》中，是希望小學(xué)階段的幾何內(nèi)容更豐富。學(xué)生能否接受這些內(nèi)容在小學(xué)的兩個(gè)學(xué)段，學(xué)生應(yīng)當(dāng)學(xué)習(xí)什么初中能夠接受到什么程度其間，我們參考了國外的課程標(biāo)準(zhǔn)、案例和教科書，更期望數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)驗(yàn)可以驗(yàn)證這些內(nèi)容的可行性。如何看待這些內(nèi)容的教育價(jià)值這些內(nèi)容對(duì)學(xué)生的發(fā)展又有什么作用對(duì)

5、此，我們一直希望從數(shù)學(xué)的角度，從它的意義和價(jià)值，從學(xué)生的學(xué)習(xí)角度，進(jìn)行認(rèn)真、細(xì)致的探索。當(dāng)前，在義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教科書中，平移、旋轉(zhuǎn)、方位等內(nèi)容都有涉及。盡管各個(gè)版本的教材都編人了這些內(nèi)容，但是，對(duì)于上面所提的問題，大家未必都清楚。請(qǐng)史校長談一談這些方面的問題。史寧中史寧中(以下簡稱為S)：對(duì)于你剛才所說的線路圖，關(guān)鍵知道三件事就可以：到哪兒開始拐，怎樣拐，拐完之后走多遠(yuǎn)。其實(shí)，這件事和后面有必然的聯(lián)系，一是旋轉(zhuǎn)，一是平移。M：

6、它和旋轉(zhuǎn)、平移有什么關(guān)系呢S：它就是旋轉(zhuǎn)、平移。因?yàn)楣諒澗褪莻€(gè)旋轉(zhuǎn)，走多遠(yuǎn)就是平移，到這個(gè)地S：假設(shè)小孩坐在火車上，他看見對(duì)面火車開了，往往會(huì)說自己坐的火車開動(dòng)了。如果這兩輛火車以同樣的速度向同方向同時(shí)開，就不會(huì)發(fā)生這樣的情況，參照系跟著變了，它就不變了。所以，參照系在紙上是不動(dòng)，你感覺到物體在變。這種理解是非常重要的，這是一個(gè)辯證的關(guān)系。M：對(duì)小學(xué)生來說，是不是也要讓他從直觀角度理解這種變換需要有參照系呢S：應(yīng)當(dāng)從直觀的角度理解。事實(shí)

7、上，旋轉(zhuǎn)變換一共有兩個(gè)要點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)軸(旋轉(zhuǎn)中心)和角度。位置變化反而較難，因?yàn)槟阌袇⒄障盗耍辛藚⒄障档臅r(shí)候，斜著變較難理解。M：是不是應(yīng)該都按水平、垂直的方向變化呢現(xiàn)在的教科書大都沒有直接寫斜著變，你要講斜著變，就先往左移動(dòng)，然后再往上移動(dòng)。S：那也行，你先把參照系定好之后，對(duì)一個(gè)變換來說，你必須把握兩點(diǎn)：如果這個(gè)參照系是直角坐標(biāo)系的話，那么，你先按它的。軸進(jìn)行變換，然后再按它的y軸進(jìn)行變換，可以達(dá)到同樣的效果。這個(gè)變換實(shí)質(zhì)上相當(dāng)于沿第

8、一條直角邊移動(dòng)，再沿第二條直角邊移動(dòng)。M：小學(xué)對(duì)于平移的處理方式通常是走兩個(gè)直角邊而不是直接走斜邊。S：對(duì)小孩子怎么說呢K：只要確定一個(gè)方向就行了，確定方向和平移距離就行了，這是兩個(gè)要點(diǎn)。只要給我規(guī)定了方向，不一定沿著水平方向和豎直方向，我就規(guī)定說讓你沿著這個(gè)方向走，我不考慮你原來參照系是什么樣，我只要規(guī)定方向和規(guī)定平移多少距離就行。S：那什么叫平移的方向K：在初中，通常是這樣描述的：將一個(gè)物體沿著同一個(gè)方向移動(dòng)一定的距離，就叫平移。S

9、：你把一個(gè)三角形平移要考慮你的參照系是什么如果沒有設(shè)定的參照系，有許多事情是說不清的。M：把圖形作為一個(gè)整體，比如說一個(gè)三角形，我在方格紙上移動(dòng)兩個(gè)格，它就相當(dāng)于把三角形上所有的點(diǎn)都按照同一個(gè)方向移動(dòng)了相同的距離……S：這話有矛盾，如何理解同一個(gè)物體什么叫按照同樣的方向M：也就是將它整體移動(dòng)。S：這句話本身是矛盾的，一個(gè)物體只能按一個(gè)方向。事實(shí)上，一方面，你是按一個(gè)物體移動(dòng)，此時(shí)只有一個(gè)方向；另一方面，你又把物體上的點(diǎn)看作是不同的，這些

10、點(diǎn)按同樣的方向移動(dòng)。K：應(yīng)該說，按相同的方向。S：怎么叫相同的方向這種表達(dá)其含義是模糊的。一個(gè)物體的同一次運(yùn)動(dòng)只能一個(gè)方向。K：有了參照系，一切就好表述了。在平面上，參照系實(shí)際上可以是兩條互相垂直的坐標(biāo)軸，也可以是由極點(diǎn)、極角和距離構(gòu)成的極坐標(biāo)系。而在直線上，數(shù)軸可以構(gòu)成參照系。在三維空間中，參照系可以是由橫軸、縱軸和豎軸構(gòu)成的坐標(biāo)系。M：方格紙也可以看作一個(gè)參照系。當(dāng)你把三角形畫在一個(gè)方格紙上進(jìn)行平移時(shí)，通常是這樣思考的：三角形有三個(gè)