第六章顯示偏好與跨期消費以偏好為基礎的分析方法中

1、第六章 顯示偏好與跨期消費 以偏好為基礎的分析方法中，理性的假定本身就隱含著消費者的需求行為與效用或偏好最大化的一致性。這種理論模式被稱之為需求或消費者行為的邊際效用分析法和無差異曲線分析法。然而這種方法只有在已知消費者的效用函數或偏好序列，且具有若干良好性質時，上述分析才是有意義的。但在實際生活中，效用或偏好是不能直接被觀察到的，能夠直接觀察的只是消費者的選擇行為。如果能找到消費者的選擇行為與偏好之間的某種關系，那么，需求理

2、論和偏好理論就可以建立在可觀察的消費者行為的基礎上，這就為檢驗消費者行為與最大化公理的一致性提供了可能，這就是“顯示偏好理論”的基本思想。,第一節(jié)顯示偏好 一、 顯示偏好的概念 1.顯示偏好理論的產生與發(fā)展 因為大多數經濟理論最終都是以一個使其偏好 的效用最大化的消費者作為基礎的，所以，如何說 明觀察到的消費者需求行為就是由于偏好關系或效 用極大化產生的，這就成為經濟學家們所面臨且必 須解決的重大問題。

3、,保羅．A·薩綏爾森率先提出了“顯示偏好理論”，在一系列文章和論著中對顯示偏好的基本思想、大多數術語以及若干公理進行了系統(tǒng)闡述。薩繆爾森提出了“顯示偏好弱公理” 。在此基礎上，霍撒克提出了“顯示偏好強公理” ，而里克待則進一步提出了比顯示偏好強公理更強的“顯示偏好的合同公理” 。在這些公理體系的基礎上，經濟學家們以顯示偏好弱公理為基礎，重新證明了需求定律；以顯示偏好強公理為基礎，重新推導出了無差異曲線。由此證明了顯示偏好公理與

4、各類理性概念的一致性，從而在理性概念與可觀測的消費者行為之間建立了聯系。,,2.顯示偏好的定義 為了使得論述簡單化，我們在這里假設：消費者的基本偏好是嚴格凸的。也就是說對于每個預算，有且僅有一個需求束。 如圖6.1所示，圖中描繪了兩個需求束，分別是A ，B 。消費者是一個以追求效用最大化的典型代表。因此，在既定的預算約束下, B 必然是可以實現的一種消費組合，并

5、且如果消費者選擇了這種組織，在購買后還會有多余的貨幣。而A 是最優(yōu)消費組合，它比消費者能購買的其他任何消費組合都好，當然，它也一定優(yōu)于消費組合B。,,,這個結論對于位于預算線和預算線以下的不同于需求束的任一消費組合都成立。由于這些消費組合在既定的預算約束下本來是可以購買的，但它們卻沒有被購買，所以被購買的消費束一定要更好一些。正是在這里，我們使用了“對于每個預算，有且只有一個需求束”的假設。如果偏好不是嚴格凸的，從而無差異

6、曲線上有一段平坦的部分，則預算線上的某些消費組合就有可能同需求束一樣好。處理這種復雜的情況并不十分困難，但通過假設把它排除則更為容易。,,,,圖6-1 顯示偏好,在圖6-1中，預算線以下的全部消費組合都要比消費組合A要并，這是因為它們本來是可以被選擇的，但是為了選擇A，只好放棄它們。對于顯示偏好的分析用代數方式可以表達為： 設A是消費者在收入為m時按價格 購買的消費組合。在當前的價格和收入水平下，B也是有能力購買

7、的一種消費組合，并且對它進行購買之后還有部分貨幣剩余。也即有：,,,因為A是按既定預算實際購買的消費組合，所以，它一定滿足等式形式的預算約束 聯立這兩個方程，B在預算約束 下是有能力購買的這句話就意味著 如果這個不等式得到滿足，而且B又確實是不同于A的消費束，我們就稱A被直接顯示偏好于B。,,,,注意，這個不等式的左邊是消費者按價格

8、 在實際選擇的消費束上的支出。因此，顯示偏好是按某種預算實際需求的消費組合，和按這種預算能夠購買但并未購買的消費組合之間的一種關系。 “顯示偏好”這個概念其實有點誤導，它同偏 好并沒有什么內在的聯系，盡管我們在上面看到，如果消費者在進行最優(yōu)選擇，這兩人個概念 是密切聯系的。與其說“A被顯示偏好于B”，不如 說“A比B先被選擇”更好一些。當

9、我們稱A被顯示偏 好于B時，我們的全部意思是A是在我們本來可以選擇B的時候被選擇的，也就是說，,,,二、顯示偏好的原理及兩個公理 1.顯示偏好原理 從消費者行為模型—人們總是選擇他們能夠購買的最好的東西—可以得到這樣的一個結論：人們作出的選擇一定比他們能做的選擇更受偏好?；蛘哂蒙弦还?jié)的術語表示，如果 被直接顯示偏好于 ，那么，事實上 受到的偏好就一定超過 受

10、到的偏好。更正式的說法是：,,,,,顯示偏好原理的內容：設 是按價格 選擇的消費組合， 是使得 的另一個消費束。在這種情況下，假若消費者總是他能夠購買的消費組合中選擇他最偏好的消費組合，那么，我們就一定有 。 我們也可以這樣來表述顯示偏好原理：“如果消費組合A先于B被選擇，那么對A的偏好就一定超過對B的偏好?！?/p>

11、在這個陳述中，行為模型如何使我們能利用觀察到的選擇來推斷某些偏好的信息，是十分清晰的。,,,,,,現在假設我們恰好知道 是在價格 上的需求束，而且，C 本身又顯示偏好于另一個消費束 。即有 由此，我們知道 和 。 根據傳遞性假設，我們可以得出結論： 。,,,,,,,,,圖6.2說明了這個論點。

12、顯示偏好和傳遞性告訴我們：對于作了如圖所示的選擇的消費者來說，消費組合A一定比C更好。,圖6-2 間接顯示偏好,,,在這種情況下，稱A被間接顯示偏好于C。當然，現實中觀察到的選擇“鏈”可能比3個消費組合更多。如果消費組合A被直接顯示偏好于B，B又被直接顯示偏好于C，C又被直接顯示偏好于D，依此類推，一直到M，那么就有消費組合A被間接顯示偏好于消費組合M。這種直接比較鏈可以擴展到任意的長度。 如果一個消費組合被直接顯示偏好于另

13、一個消費組合，又被間接偏好于它，那么，我們就稱第一個消費組合被顯示偏好于第二個消費組合。顯示偏好的理論雖然簡單，但是他使得我們在對消費者的行為進行觀察之后，就可以得到他的基本偏好信息。,2.顯示偏好弱公理 定義：設 是按價 格選擇的消費 組合， 是價格 為時可選擇但實際上 并未被選擇的另一消費組合，則： 就被直接顯示偏好于 ，并且如果 已被顯示偏好于

14、，則 就決不會被直接顯示偏好于 。 換言之，如果 是消費者在既定預算約束下可以買但實際上拒絕了的消費組合，這就顯示了消費者認為 比 要好。而 偏好于 這種偏好關系是不會隨時期不同而改變的。所以，當消費者在新的預算約束下選擇了 而沒有選擇 ，那不是由于消費者的偏好變了，而一定是 在新的預算約束下是買不起的消費組合。,

15、,,,,,,,,,,,,,,,,,,進一步說明： 顯示偏好弱公理的實質是說，兩個不同時期的消費組合與，不可能同時包容在兩個不同時期的預算約束內。用圖示的方法可以這樣說明,,,,,如圖7-3（1）所示，在預算1的情況下，消費者既可以購買的起消費組合 ，也可以買得起消費組合 ，而此時，消費者的實際選擇是 ，這說明 被直接顯示偏好于 。如果在新的預算集2下，消費者選擇了 ，則這種

16、行為符合顯示偏好弱公理。因為他之所以不選擇 ，不是因為消費者偏好發(fā)生變化，而是因為在新的預算集下，消費組合 是購者不起的消費組合。而在圖6-3（2）中則不同，如果在預算1時，消費者選擇了 ，而在新的預算2下，消費者又選擇了 ，則消費者的形為就違反了顯示偏好弱公理。因為，在預算2下面， 仍然是可以買得起的消費組合。這說明消費者的行為是內在不一致的。從而，違反了顯示偏好弱公理。,,,,,,,,,,,,

17、簡言之，判斷一個人的消費行為是否符合理性，一個必要條件是：看他的購買行為是否符合顯示偏好弱公理。這只需要做三件事：第一，畫出其在兩個不同時期的預算線；第二，在不同的預算線下標出其購買的消費品數量組合；第三，判斷：若兩個消費計劃點都落在兩條預算線的范圍內，則就違反了顯示偏好弱公理；若至少有一個消費組合點落在其中一條預算線之外，則滿足顯示偏好弱公理。 3.顯示偏好強公理（SARP） 上面所描述的顯示偏好弱公理，向我們提供了所

18、有追求效用最大化的消費者都必須滿足的一個可觀察的條件。但是還存在一個更強的條件，有時，它也是有用的。,我們已經注意到，如果消費組合A被顯示偏好于消費組合B，消費組合B又被顯示偏好于消費組合C，那么，消費組合A就一定比C更受偏好。如果消費者的偏好是一致的，我們肯定不會發(fā)現有C偏好于A的選擇序列。 顯示偏好弱公理要求，如果A被直接顯示偏好于B，那么B絕對不會反過來直接顯示偏好于A。但這個定義中，并沒有回答另一種情況，即間接顯示偏

19、好時的情況，顯示偏好強公理，就是對該問題做的補充說明。,顯示偏好強公理的定義： 如果有兩個不同的消費組合 和 ， 被直接或間接顯示偏好于 ，則 就不可能直接或間接顯示偏好于 。 由于消費者的基本偏好一定是傳遞的，所以消費者的顯示偏好也一定是傳遞的。因此，顯示偏好強公理是最優(yōu)化行為的一個必要內涵：如果消費者總是選擇他能夠負擔的

20、起的最好的消費組合，那么，觀察到的行為就一定滿足顯示偏好強公理。,,,,,,,并且任何滿足強公理的行為都可視作由下述意義上的最優(yōu)化行為產生：如果觀察到的選擇滿足顯示偏好強公理，我們就總能找到可能產生觀察到的選還擇的性狀良好的偏好。在這個意義上說，顯示偏好強公理是最優(yōu)化行為的充分條件：如果觀察到的選擇滿足顯示偏好強公理，那么我們就總有可能找到使觀察到的行為是最優(yōu)化行為的偏好。因此，顯示偏好強公理是使觀察到的選擇與消費者選擇的經濟模型相一致

21、的充分必要條件。,三、顯示偏好理論的應用 顯示偏好理論最突出的作用是取代“偏好理論”作為“消費者理論經”的基礎，這也是薩繆爾森提出這一理論的初衷。除此之外，顯示偏好理論還有許多應用，如：證明競爭性均衡的存在性和穩(wěn)定性；證明?？怂箯秃仙唐范ɡ恚环治隹坍嬁偤瓦^度需求函數；證明關于社會選擇函數的定理；等等。這些應用都使得顯示偏好理論具有了重大的理論意義。 “顯示偏好理論”在另一方面的作用，是用于考察經濟政策或價格變化

22、對消費者福利的影響。這里我們簡單介紹一下“顯示偏好理論”在指數方面的應用。,專欄６‐１ 顯示偏好理論、價格指數與消費者境況 假設在時間t的價格為 ，消費者的選擇是 ，在基期b的價格是 ， 消費者的選擇是 。要考察消費者的“平均”消費由基期b到報告期t發(fā)生了何種變化。我們 用 和 為權數來計算數量指數 ，即有：,,,,,,,,如果 ，

23、我們就可以說從基期b到報告期t“平均”消費是上升的；相反，如果 ，則“平均”消費是下降的。 這里，我們有兩組價格（基期的和報告期的），應當使用哪一組價格為權數呢？如果用基期b的價格為權數，我們得到的數量指數你為拉斯貝耶斯指數（Laspeyres Index），即：,,,,如果以報告期t的價格為權數，我們得到的數量指數稱為帕舍指數（Paasche Index），即： 如果 ，可得：

24、 這個不等式表明，商品組合 優(yōu)于商品組合 ，從而消費者在時期t的境況比時期b的境況要好一些。如果 時，可得：,,,,,,,這個不等式表明，消費者在t期無力購買b期的商品組合。 同樣，對于拉氏指數，如果 ，可得： 這個不等式表明，消費組合 被直接顯示偏好于 ，表明消費者的境況在b期比t期更好

25、一些。 價格指數是以數量為權數計算的價格加權平均數，即有：,,,,,,依據不同時期的數量為權數，我們同樣可以得到兩種價格指數——拉氏價格指數（以基期b的數量為權數） 帕氏價格指數（以報告期t的數量為權數），即： 在價格指數的情況下，由于分子分母中應用的是兩組不同的價格，因而不便于應用顯示偏的地方好原理，有必要定義一個“總支出變動指數”M，即,,,,并把它與價格指數關聯起來，這樣就可以分析價格指數與總支

26、出指數之間關系的意義了。例如，對“帕氏價格指數”，如果已知 ，則可得到： 即當“帕氏價格指數”大于“總支出變動指數”時，消費者的境況變壞（因價格上升快于收入上升）；相反，如果 ，即當“帕氏價格指數”小于“總支出變動指數”時，則可得到： 即t期所購買的商品組合是b期所無力購買的，這表明消費者境況變好。,,,,,,同樣，對于“拉氏指數”，如果 ，即當拉氏價格指數小于總支出指數時，則

27、可得到： 表明消費者境況變好（因為價格上升比收入上升得慢）。反之，如果 ，即當拉氏價格指數大于總支出指數時，則所得結果表明消費者境況變壞。在運用價格指數時，重要的不是指數大于1還是小于1，而是指數大于還是小于支出指數。,,,,第二節(jié) 消費者的跨時期選擇 經濟學里關于跨期的決策模型通常是兩期模型。這里介紹的只是兩期模型的基本結構。 一、跨期的預算約束 假設在兩個時期t=1和t=

28、2中，消費者在兩期中的財產分別為 ，消費者在兩個時期的消費量為 ，且假設第一期的價格水平為1，利率水平為r。并且消費者的財產只有兩個用途，要么消費，要么儲蓄。假定該消費者在第一期的消費支出為 ，則他的儲蓄額為 ，反之，如果他第一期的消費 ，則他的借貸金額為,,,,,,,因此，消費者的跨期預算約束就有兩種情況： I： 此時，消費者第一期并未花完所有的錢，而是有一部分儲蓄，

29、儲蓄額為 。如果第二期的價格水平仍為1，那么，他在第二期的消費量為 （6.1）,,,,II: ，則他在第一期成為一個借貸者，借貸金額為 ，第二期是，他需要支付的利息為 ，加上本金，他需要支付的金額為， 最終他在第二期能消費的總量為 （仍假定第二期價

30、格水平不變?yōu)?）： （6.2）,,,,,,,需要注意的是，雖然（6.1）與（6.2）式具有相同的形式，但實際內容卻有很大并別。 的符號不相同，一正一負。 如果該消費者在每一期都抵， 則在預算線上就會有相應的一點，在該點上， 與 重合。,,,,,二

31、、跨期預算線方程的推導 對（6.2）或（6.1）式進行變形，得到： （6.3） 與 （6.4） 即有： （6.5） 在（6.3）式中， ；在（6.4）式中 因（6.3

32、）式中 ，所以它是以期值表示的跨期預算線。而在（6.4）式中， ，所以它是以現值表示的跨期預算線。,,,,,,,,預算線的橫截距度量的是稟賦的現值，縱截距度量的是稟賦的終值 圖6-4 跨時期預算線 圖6-4給出了終值與現值的幾何解釋。預算線的橫截距給出了t=1時的最大可能消費量?？疾祛A算約束，這個數量為 ，這也即是財富稟賦的現值。,,,同樣，預算線

33、的縱截距表示的是t=2時，消費者可能的最大消費量。再次依據預算約束，得到這個2期最大消費量 。 現值表示法的關鍵在于將未來的收入 貼現為現在的價值，其中 稱為貼現因子。 三、跨期的消費偏好 假定消費者對在t=1與t=2消費之間存在一組無差異曲線，這組無差異曲線反映的是消費者到跨時期消費組合的偏好，即當期消費與下期消費之間的偏好關系。而根據這種偏好關系的不同，

34、我們又可以分三種情況來說明：,,,,①假設在兩期的消費之間，存在一組斜率為-1的表示完全替代的無差異曲線是，那么它表示該消費者對于在明天消費和在今天消費毫不在于，不存在更偏好誰的情況； ②假設在兩期的消費之間，存在一組表示完全互補的無差異曲線。那么消費者就會讓今天（當期）的消費與明天（下一期）的消費量相等。不愿意用一個時期的消費換取另一個時期的消費。 ③以上兩種情況都比較極端，通常的情況是，存在著中間狀態(tài)的良好性

35、狀的無差異曲線。今天與明天的消費量之間存在不完全的替代關系。至于這種替代的比率如何，則由消費者獨有的偏好模式決定。這種情況下，偏好是呈凸性的。,相關鏈接6‐1 　利率政策對我國居民跨期消費選擇的效應 1996-1999 年， 我國連續(xù)7次下調利率， 并于1999 年1 月開始征收利息稅， 試圖刺激居民增加當期消費， 從而拉動有效需求， 使我國擺脫通縮的經濟態(tài)勢。但是依靠單純的利率下調政策， 其效應并不明顯， 未能達

36、到預期的效果。 考察１９９６ ～ １９９９ 年我國最終消費及居民消費占最終消費的比重數據， 可以發(fā)現均呈逐年下降趨勢，這與名義利率水平逐步下降形成鮮明對比。與之相對應的是政府消費，１９９６ ～ １９９９ 年無論是占最終消費的比例還是占國內支出總值的比例，政府消費均略有提高。這一方面是政府為擴大內需增加支出的緣故，另一方面利率下調使得發(fā)債成本下降，有利于政府擴大舉債規(guī)模。居民消費的減少還體現在全國物價水平的下降上，１

37、９９６ ～ １９９９ 年的連續(xù)降息，反而使居民的儲蓄意愿上升了，存款余額穩(wěn)步增加。,另據汪小亞、卜永祥等對７ 次降息對儲蓄影響的實證分 析，在1996-1999 年的７ 次降息過程中，我國居民儲蓄 存款不僅對名義利率無彈性，對實際利率也無彈性。汪小 亞等用名義利率減去１ 年以后的零售物價指數作為實際 利率，計算得出這一階段中儲蓄存款增加額與實際利率的 相關系數為－ 0.12 ，這一結果與理論上儲蓄

38、存款與實際 利率變動之間為正相關關系的論點相悖。 對此問題的觀點主要有： ① 認為我國當前客觀存在 “流動性陷阱” ， 致使利率杠桿失效（陳湛勻　2001） ； ② 在收入差異、信貸體制、文化觀念等的約束下， 居民 無從增加當期消費， 儲蓄與利率變動的相關性較低（賈 良定， 陳秋霖　2001 ； 李志寧　2001 ； 張曉宏　2001 ） ； ③ 流動性因素和不確定因素

39、成為決定我國居 民當期消費變化的重要原因， 而非利率（萬廣華等 2001） ， 等等。,2002年2 月21 日，中國人民銀行宣布從即日起降低金融機構人民幣存、貸款利率，這是1996年至今我國的第８ 次降息。而事實上，利率下調政策對于居民的當期消費和預期消費產生替代效應和收入效應，由此利率政策的有效性將取決于這兩種效應的表現程度強弱，倘若利率下降的收入效應抵消了（甚至是強于） 其所帶來的替代效應，那么利率政策對于當期消費

40、（總需求） 的拉動作用將受到較大的限制， 必須輔之以相應的配套政策才能使降息的政策效應得到顯現。認識到這一點無疑對于正確認識我國目前實施的第８ 次降息政策將帶來的效應具有相當大的現實意義。,總之， 在我國居民跨期消費選擇行為中， 由于利率下調所帶來的收入效應在很大程度上抵消了其所帶來的替代效應， 因而單一利率政策對居民當期消費的拉動作用將受到較大的限制， 必須輔之以相應的配套政策才能使利率政策效應得到凸顯。參照居民跨期消費選擇模型， 結

41、合當前我國第８ 次降息政策， 要實現其拉動當期消費的政策效應， 同樣需要有步驟、有層次地實施相應的配套政策： ① 加快完善我國社會保障體系建設， 消除居民不確定風險， 使我國居民的M１ 、M２ 群體的當期消費盡可能地向當期收入靠近， 同時使M３ 、M４ 群體敢于實行中長期的大額信貸消費； ② 合理改革我國的信貸消費體制， 刺激M３ 、M４ 群體實施信貸消費， 使其當期消費擺脫稟賦點約束， 從而大于當期收入； ③ 切實提高中低收入群體M１

42、 、M２ 的當期收入， 使其稟賦點向右移動， 從而增加其當期消費。 資料來源： 蔡寧： 利率政策對我國居民跨期消費選擇的效應研究， 枟經濟科學枠， 2002 年， 第４ 期。,第三節(jié) 比較靜態(tài)分析 給定消費者的跨期預算約束和他對兩個時期消費偏好的無差異曲線，就能找到這個消費者在兩期之間的最優(yōu)消費組合。并且根據這個最優(yōu)的行為模式，推斷出他將是借款者還是貸款者（如圖6-5所示）。,圖6-5 借款

43、者與貸款者,圖A表示的是借款者的情況（錢不夠花），因為 ；圖B表示的是貸款者的情況（錢有剩余，存入銀行，成為貸款者），因為 對借款者與貸款者的研究是在兩個消費者之間的比較，下面我們來研究同一個消費者，在面對利率變動時，在偏好穩(wěn)定的情況下，利率變動對期跨期消費行為的影響。而對于利率變動時，跨期消費的行為究竟會發(fā)生什么變化，還取決于這個消費者最初是一個借款者還是一個貸款者。 利率變動，會引起預算線的

44、移動，但是考慮到稟賦總是可以支付得起的，所以預算線的這種移動，實質上是圍線稟賦點的轉動。,,,我們考慮利率上升的情況，在利率上升時，如果一個消費者最初是一個貸款者，他的預算線及消費行為將發(fā)生如圖6-6的情況。,圖6-6 利率上升后貸款者的消費選擇,如果消費者最初是個貸款者，從顯示偏好原理易知，當利率上升的時候，，利率上升時，新的消費點不可能移動稟賦點的右邊。因為在初始的預算線下，消費者可以選擇稟賦點右邊的消費組合，但是他實際上沒有選擇，

45、這說明，初始消費點顯示偏好于稟賦點右邊的點。而在新的預算線下，消費者選擇新的消費點，初始的最優(yōu)消費組合還是可以獲得的，所以新的最優(yōu)消費組合一定位于初始預算集的外面，這也就意味著他一定位于稟賦點的左邊。所以，當利率上升時，消費者一定還是貸款者。 類似的分析也可以用于借款者，如果消費者一開始是借款者，那么， 發(fā)利率下降時，他一定還是一個借款者。,因此，我們得出結論：如果某人是一個貸款者，那么利率上升后他仍然是一個貸款者；如果某人

46、是一個借款者，那么，利率下降時他仍然是一個借款者。另外，如果某人是一個貸款者，當利率下降時，他有可能轉變成一個借款者；同理，一個借款者，當利率上升時，他也有可能轉變成一個貸款者。但后兩種情況都只是一種可能性，是否能夠轉化，取決于消費者的偏好，利率變動的幅度等。 3.現值公式與貼現因子 在前面的跨期消費行為的分析中，我們提到了貨幣的貼現問題。在兩期的分析中，一個消費者在第二期消費的價值為1，那么貼現到第一期，其價值變?yōu)?

47、 。,,我們對這個問題進行擴展，考慮增加時期的數量。假設在第一期有1元貨幣，利率為r，則第二期這1元貨幣的價值就變?yōu)?，到第三期則為 。把這個過程反過來，則易知，第三期的1元貨幣貼現到第一期則為 。第一期擁有的 元貨幣，到了第三期就變?yōu)?元，或者可以說，第三期的1元錢，只相當于現在（第一期）的 元。 依此類推，要把第t期的貨幣貼現為現值，其貼現因子為,,,,

48、,,當然，這只是一種貼現方式，與之對應的是我們假設財富的增值是以年為單位的。而在實際上，還有其他的常用貼現因子。如經濟學文獻中常見到的貼現因子 。這與上面的貼現因子不同，它是這樣計算來的： 假設有1元錢存進銀行，銀行半年計一次息，年利率還是r，由此易因，半年利率為r/2。這樣到年底，1元錢就變?yōu)?元錢。如果每季度計 一次息，那么到年底，1元錢就變?yōu)?。我們知道，時間是一個連續(xù)的概念，由此，如果每

49、時 每刻都在計算利息，則這1元錢到了年底就會變?yōu)椋?,,,這個極限的實際意義是，如果每時每刻的計息（復利），1元錢到了年底就變?yōu)?元。反過來，年底的1元錢，貼現到年初的現值就變?yōu)?1/ 元。因此，每時每刻連續(xù)計息的情況下，貼現因子就為 。 進一步，如果1元錢按這一復利方式存t年，則變?yōu)?元。t年后的1元錢如果貼現，就變成了 元。以 作為貼現