自動(dòng)控制系統(tǒng)的頻域分析法

1、第五章 自動(dòng)控制系統(tǒng)的頻域分析法,引言,對(duì)于一個(gè)系統(tǒng)而言，均可以采取一定的方法，求得其傳遞函數(shù) 如下：,,,將 中 的 用來(lái)替代，所得到的式子即為該系統(tǒng)的頻率特性，這種分析方法就稱為頻域分析法,幅相頻率特性分析法,考慮系統(tǒng)的傳遞函數(shù) ，它可用頻域表示成如下形式：,其中：,,系統(tǒng)頻率特性也可通過(guò)幅值 和相角 表示成如下形式：,,,,

2、式中：,,極坐標(biāo)平面如下圖所示：,對(duì)數(shù)頻率特性圖,對(duì)數(shù)頻率特性圖又稱為伯德圖，它由對(duì)數(shù)幅頻曲線和對(duì)數(shù)相頻曲線組成，是工程中廣泛使用的一種分析工具?，F(xiàn)將頻率特性表示如下：,,對(duì)數(shù)幅頻特性曲線的橫坐標(biāo)按 分度，單位為弧度/秒 ，其縱坐標(biāo)按 的線性分度，單位是分貝 。其中 的表達(dá)式如下：,,,對(duì)數(shù)相頻曲線的縱坐標(biāo)按 線性分度，單位是度 ，橫坐

3、標(biāo)與幅頻曲線的相同，由此構(gòu)成的坐標(biāo)系稱為半對(duì)數(shù)坐標(biāo)系,,,對(duì)數(shù)分度示意圖如下所示：,十倍頻程中的對(duì)數(shù)分度：,比例環(huán)節(jié) （ ）,,頻率特性：,,其幅相曲線圖和對(duì)數(shù)頻率特性圖分別如下圖所示：,慣性環(huán)節(jié) （ ）,頻率特性：,對(duì)數(shù)幅頻特性：,對(duì)數(shù)相頻特性為：,其幅相曲線圖和對(duì)數(shù)頻率特性圖分別如下圖所示：,積分環(huán)節(jié) （ ）,,開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)中極點(diǎn)位于原點(diǎn)處的因子稱為積分環(huán)節(jié),頻率特性：,,對(duì)數(shù)幅頻特性為：,,對(duì)數(shù)相頻

4、特性為：,,其幅相曲線圖和對(duì)數(shù)頻率特性圖分別如下圖所示：,微分環(huán)節(jié)（ ）,開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)中零點(diǎn)位于原點(diǎn)處的因子稱為微分環(huán)節(jié),頻率特性：,,對(duì)數(shù)幅頻特性為：,,對(duì)數(shù)相頻特性為：,,其幅相曲線圖和對(duì)數(shù)頻率特性圖分別如下圖所示：,一階微分環(huán)節(jié)（ ）,頻率特性：,,對(duì)數(shù)幅頻特性：,對(duì)數(shù)相頻特性為：,,其幅相曲線圖和對(duì)數(shù)頻率特性圖分別如下圖所示：,二階微分環(huán)節(jié) （

5、 ）,,頻率特性：,對(duì)數(shù)幅頻特性：,對(duì)數(shù)相頻特性：,,當(dāng) 時(shí)：,當(dāng) 時(shí)：,當(dāng) 時(shí)：,,其幅相曲線圖和對(duì)數(shù)頻率特性圖分別如下圖所示：,振蕩環(huán)節(jié) （ ）,頻率特性：,,對(duì)數(shù)幅頻特性為：,相應(yīng)的對(duì)數(shù)相頻特性為：,當(dāng) 時(shí)：,當(dāng) 時(shí)：,當(dāng) 時(shí)：,,,,,

6、,,,,,其幅相曲線圖和對(duì)數(shù)頻率特性圖分別如下圖所示：,一般系統(tǒng)頻率特性的繪制,研究傳遞函數(shù)的一般形式：,,該系統(tǒng)包含了Q個(gè)零點(diǎn)，N個(gè)在原點(diǎn)處的極點(diǎn)，M個(gè)在實(shí)軸上的極點(diǎn)和R對(duì)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)。該系統(tǒng)的對(duì)數(shù)幅頻特性和對(duì)數(shù)相頻特性如下：,,,從上式可以看出，系統(tǒng)中包含了如下幾個(gè)典型環(huán)節(jié)：① 比例環(huán)節(jié) ；② 積分環(huán)節(jié) ；③一階微分環(huán)節(jié) ；④慣性環(huán)節(jié)

7、 和⑤振蕩環(huán)節(jié),,,,,,對(duì)于上述這些典型環(huán)節(jié)的概略對(duì)數(shù)頻率特性曲線我們很清楚，因此，無(wú)論是對(duì)數(shù)幅頻特性還是對(duì)數(shù)相頻特性均可以用這些基本環(huán)節(jié)組合而成。這就是一般系統(tǒng)頻率特性曲線繪制的思路,ν型開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)的幅相曲線繪制,現(xiàn)在研究下面的開(kāi)環(huán)系統(tǒng)：,,該系統(tǒng)的頻率特性的形式如下所示：,,該系統(tǒng)的幅頻和相頻分別如下所示：,,,ν型開(kāi)環(huán)系統(tǒng)幅相曲線的相關(guān)數(shù)值,,,,,,,,ν型開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)的對(duì)數(shù)頻率特性曲線

8、的繪制,對(duì)數(shù)幅頻特性和對(duì)數(shù)相頻特性如下：,,,ν型開(kāi)環(huán)系統(tǒng)對(duì)數(shù)頻率特性的相關(guān)數(shù)值,,,,,,,,,,,,,,,,,帶二階零阻尼系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)幅相曲線的繪制,不失一般性，現(xiàn)設(shè)二階系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)如下：,,將上式轉(zhuǎn)變成頻率特性得：,,幅頻特性為：,,相頻特性為：,,其中：,,帶二階零阻尼系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)對(duì)數(shù)頻率特性曲線的繪制,研究如下控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)：,,頻率特性為：,,該系統(tǒng)的對(duì)數(shù)幅頻特性和對(duì)數(shù)相頻特性：,,,且：,,奈奎斯特穩(wěn)定性

9、判據(jù),若開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù) 位于 右半平面的極點(diǎn)數(shù)為零(即 )，此時(shí)奈奎斯特判據(jù)可以簡(jiǎn)述如下：,反饋控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：當(dāng) 沿廣義D形圍線連續(xù)變化一周時(shí)，[ ]平面內(nèi)的閉合曲線 不包圍點(diǎn),,,,若 位于 右半平面的極點(diǎn)數(shù)是非零數(shù)(即 )，那么奈奎斯特判據(jù)可以表述如下：,,,,反饋控制系

10、統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：當(dāng) 沿廣義D形圍線連續(xù)變化一周時(shí)，閉合曲線 逆時(shí)針繞點(diǎn) 的圈數(shù) 等于開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù) 的正實(shí)部極點(diǎn)數(shù),,,,,,對(duì)上述判據(jù)的一個(gè)補(bǔ)充說(shuō)明：,（1）如果開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù) 的正實(shí)部極點(diǎn)數(shù)為零(即 )，若要求系統(tǒng)穩(wěn)定，則 ，即曲線 不包圍點(diǎn) 。同樣

11、地，如果 是非零數(shù)，若要求系統(tǒng)穩(wěn)定，即曲線 逆時(shí)針包圍點(diǎn) 圈,,,,,,,,,,,,（2）在計(jì)算穿越次數(shù)時(shí)，當(dāng) 穿過(guò)點(diǎn) 時(shí)，因系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)，故不計(jì) 穿越 點(diǎn)的次數(shù),,,,,曲線的確定 穿越次數(shù)的確定 的確定,對(duì)數(shù)頻率特性的穩(wěn)定性判據(jù),主要包括三個(gè)步驟：,幅值裕

12、度,設(shè) 為系統(tǒng)的穿越頻率，即：,定義幅值裕度為：,在對(duì)數(shù)坐標(biāo)下，幅值裕度的定義式為：,,幅值裕度的含義：對(duì)于閉環(huán)穩(wěn)定系統(tǒng)，如果系統(tǒng)開(kāi)環(huán)幅頻特性再增大 倍，則系統(tǒng)將處于臨界穩(wěn)定狀態(tài),,相角裕度,設(shè) 為系統(tǒng)截止頻率，即：,定義相角裕度為：,相角裕度 的含義是，對(duì)于閉環(huán)穩(wěn)定系統(tǒng)，如果系統(tǒng)開(kāi)環(huán)相頻特性再滯后 度，則系統(tǒng)將處于臨界穩(wěn)定狀態(tài),,,穩(wěn)定性小結(jié)圖,使用MATLAB繪制系統(tǒng)的頻率特性,控制系

13、統(tǒng)的幅相特性的繪制,函數(shù)簡(jiǎn)單介紹該函數(shù)如下：,格式：,其中：,函數(shù)也可以同時(shí)畫幾個(gè)系統(tǒng)的幅相曲線，采用如下格式：,BODE函數(shù),格式：,其中：,—待畫系統(tǒng)傳遞函數(shù)的描述句柄；,—頻率響應(yīng)幅值和相角的返回值；,功能：繪制所給定系統(tǒng)的對(duì)數(shù)頻率特性圖；,功能：在給定的頻率段范圍內(nèi)繪制所給定系統(tǒng)的對(duì)數(shù)頻率特性圖，其中 和 分別為所給定頻率段范圍的下限值和上限值,可選格式1：,可選格式2：,功能：

14、根據(jù)用戶提供的頻率矢量“ ”來(lái)評(píng)估所畫的 圖,函數(shù),該函數(shù)的主要功能就是在區(qū)間 內(nèi)均勻生成50個(gè)行矢量；如采用 格式，則在區(qū)間 內(nèi)均勻生成 個(gè)點(diǎn),,num=20*[0.1 1];den=conv([1 0],conv([0.5 1],[0.0004 0.012 1]));s=tf(num,den);

15、w=logspace(-1,3,200);bode(s);,舉例,舉例結(jié)果示意圖：,控制系統(tǒng)的Nichols曲線的繪制,舉例,設(shè)一控制系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)如下：,,試畫出該系統(tǒng)的Nichols圖,解：使用MATLAB繪制上述系統(tǒng)的程序如下：,num=[1 8];den=conv([1 0],conv([1 0.2 4],conv([1 1],[1 3])));s=tf(num,den);nichols(s);set(gca,’

16、Ylim’,[-10 35]);grid,結(jié)果如下圖所示：,控制系統(tǒng)穩(wěn)定裕度的計(jì)算和判斷,舉例,試求下列系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度,,解：計(jì)算穩(wěn)定裕度的具體程序如下：,num=20*[0.1 1];den=conv([1 0],conv([0.5 1], [0.0004 0.012 1]));s=tf(num,den);margin(s);,結(jié)果圖如下所示：,從圖中可以得到該系統(tǒng)的幅值裕度為 ，相角裕度為：,,,閉環(huán)控

17、制系統(tǒng)的帶寬：,二階系統(tǒng) 的帶寬頻率為：,一階系統(tǒng) 的帶寬頻率：,,,諧振峰值與時(shí)域指標(biāo),對(duì)于閉環(huán)系統(tǒng)而言，諧振峰值 是一個(gè)常用的指標(biāo)，它主要用來(lái)表征系統(tǒng)的穩(wěn)定程度,,現(xiàn)假設(shè)系統(tǒng)開(kāi)環(huán)相頻特性為：,,其中， 表示相角相對(duì)于 的相移,,,經(jīng)過(guò)推導(dǎo)可得：,,當(dāng)阻尼比

18、 時(shí)，諧振峰值、諧振頻率和阻尼比之間滿足如下的關(guān)系式：,,,,對(duì)于高階系統(tǒng)而言，諧振峰值與調(diào)節(jié)時(shí)間的關(guān)系可由下式求得 ：,,式中：,,同樣對(duì)于高階系統(tǒng)而言，諧振峰值與超調(diào)量之間的關(guān)系可由下式求得：,,相角裕度與時(shí)域指標(biāo),,閉環(huán)傳遞函數(shù)的特征方程為：,由此，系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)為：,設(shè)一單位負(fù)反饋系統(tǒng)，其開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為：,則開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的頻率特性為：,,經(jīng)過(guò)計(jì)算相角裕度為：,,阻尼比 與相角裕度 之間的關(guān)系如下圖所示：,,,其他頻