第七節(jié)函數(shù)的微分

1、二、微分運(yùn)算法則,三、微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用,四、微分在估計(jì)誤差中的應(yīng)用,,,,第五節(jié),一、微分的概念,函數(shù)的微分,第二章,一、微分的概念,引例:正方形金屬薄片受熱后面積的改變量.,,,,,,,,,,,,,既容易計(jì)算又是較好的近似值,問(wèn)題: 一般函數(shù) y = f (x)是否也有 ?y = f (x+?x) – f (x) = A?x + o(?x)? A是什么?如何求?,的微分,,定義: 若函數(shù)

2、,在點(diǎn) 的增量可表示為,( A 為不依賴(lài)于△x 的常數(shù)),則稱(chēng)函數(shù),而 稱(chēng)為,記作,即,在點(diǎn),可微,,由定義知:,更通俗地說(shuō), 是 的線(xiàn)性近似.,定理 : 函數(shù),證: “必要性”,已知,在點(diǎn) 可微 ,,則,故,在點(diǎn) 的可導(dǎo),,且,在點(diǎn) 可微的充要條件是,即,可微與可導(dǎo)的關(guān)系,定理 : 函數(shù),在點(diǎn) 可微的充要條件是,在點(diǎn) 處可導(dǎo),,且,即,,“充分性

3、”,已知,即,在點(diǎn) 的可導(dǎo),,則,微分的幾何意義,,,,,,,,,,當(dāng) 很小時(shí),,則有,從而,導(dǎo)數(shù)也叫作微商,切線(xiàn)縱坐標(biāo)的增量,,自變量的微分,,記作,通常把自變量的增量,二、 微分運(yùn)算法則,設(shè) u(x) , v(x) 均可微 , 則,(C 為常數(shù)),分別可微 ,,的微分為,,,微分形式不變,5. 復(fù)合函數(shù)的微分,則復(fù)合函數(shù),例1.,求,解:,例2. 設(shè),求,解: 利用一階微分形式不變性 , 有,例3. 在下列括號(hào)

4、中填入適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)使等式成立:,說(shuō)明: 上述微分的反問(wèn)題是不定積分要研究的內(nèi)容.,注意: 數(shù)學(xué)中的反問(wèn)題往往出現(xiàn)多值性.,三、 微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用,當(dāng),很小時(shí),,,使用原則:,得近似等式:,特別當(dāng),很小時(shí),,常用近似公式:,很小),證明:,令,得,的近似值 .,解: 設(shè),取,則,例4. 求,的近似值 .,解:,例5. 計(jì)算,例6. 有一批半徑為1cm 的球 ,,為了提高球面的光潔度,,解: 已知球體體積為,鍍銅體積為 V 在,

5、時(shí)體積的增量,,,因此每只球需用銅約為,( g ),用銅多少克 .,估計(jì)一下, 每只球需,要鍍上一層銅 ,,厚度定為 0.01cm ,,四、 微分在估計(jì)誤差中的應(yīng)用,某量的精確值為 A ,,其近似值為 a ,,稱(chēng)為a 的絕對(duì)誤差,稱(chēng)為a 的相對(duì)誤差,若,稱(chēng)為測(cè)量 A 的絕對(duì)誤差限,稱(chēng)為測(cè)量 A 的相對(duì)誤差限,誤差傳遞公式 :,已知測(cè)量誤差限為,按公式,計(jì)算 y 值時(shí)的誤差,故 y 的絕對(duì)誤差限約為,相對(duì)誤差限約為,若直接測(cè)量某量得 x

6、 ,,內(nèi)容小結(jié),1. 微分概念,微分的定義及幾何意義,可導(dǎo),,,可微,2. 微分運(yùn)算法則,微分形式不變性 :,( u 是自變量或中間變量 ),3. 微分的應(yīng)用,近似計(jì)算,估計(jì)誤差,,思考與練習(xí),1. 設(shè)函數(shù),的圖形如下, 試在圖中標(biāo)出的點(diǎn),處的,及,并說(shuō)明其正負(fù) .,,,,,,,,2.,,,,5. 設(shè),由方程,確定,,解:,方程兩邊求微分,,得,當(dāng),時(shí),由上式得,求,作業(yè),P120 3 (4) , (7) , (8) , (9)