許瑞麟-臺灣數(shù)學(xué)教育學(xué)會

1、從應(yīng)用數(shù)學(xué)角度審視高中數(shù)學(xué)教材,國立屏東高中 2010. 6. 22.,1,許瑞麟,學(xué)經(jīng)歷: 國立清華大學(xué)數(shù)學(xué)系學(xué)士美國北卡羅萊納州立大學(xué)博士 美國紐澤西州AT&T貝爾實(shí)驗(yàn)室研究員國立成功大學(xué)數(shù)學(xué)系暨應(yīng)用數(shù)學(xué)所教授兼系主任,

2、2,Outline,讀數(shù)學(xué)可以做什麼職業(yè)?應(yīng)用數(shù)學(xué)問題舉例函數(shù) – 動態(tài)系統(tǒng)斜率 – 最基礎(chǔ)的函數(shù)會轉(zhuǎn)彎的函數(shù)指數(shù)與對數(shù)週期函數(shù)斜率向量所定義的內(nèi)積交錯(cuò)項(xiàng)與非線性數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí),3,數(shù)學(xué) = 解題?,已知: 求已知: 是三角形三邊長. 求證:高中數(shù)學(xué)的教學(xué), 難道是為了會解這些題目?數(shù)學(xué)被稱為科學(xué)之母. 但是國中, 高中數(shù)學(xué)在日常生

3、活中的角色卻鮮少被彰顯過.,4,學(xué)生心中總是會有的疑惑,為何負(fù)負(fù)會得正? (這些規(guī)定總該有個(gè)理由吧?)分?jǐn)?shù)為何要通分才能相加?為何要學(xué)三角函數(shù)? (不就是背一些三角恆等式, 再做一些測量塔高之類的應(yīng)用問題嗎?)數(shù)學(xué)歸納法的型態(tài)為什麼那麼怪?數(shù)學(xué)歸納法為什麼要放在第一冊第二章? (放在別的地方不行嗎?)內(nèi)積為何要定義成為 那我們學(xué)數(shù)學(xué), 除了考聯(lián)考, 還能幹什麼?,5,各種職業(yè)所需數(shù)學(xué)能力分級(美國「職業(yè)調(diào)查完全手冊」),第

4、1級：基本算數(shù)加減乘除(小學(xué))第2級：分?jǐn)?shù)與小數(shù), 比例, 百分比(國中)第3級：多項(xiàng)式, 指數(shù)與對數(shù)(高中)第4級：方程式, 不等式, 三角與幾何, 座標(biāo), 極限, 連續(xù) (高中, 大一上微積分)第5級：解析幾何, 微積分與機(jī)率統(tǒng)計(jì) (一年微積分,一學(xué)期機(jī)率, 一學(xué)期統(tǒng)計(jì)學(xué))第6級：大學(xué)數(shù)學(xué)系程度的數(shù)學(xué)課程 (初微, 高微, 線性代數(shù),

5、 複變, 一學(xué)期的抽象代數(shù), 一學(xué)期機(jī)率,一學(xué)期的統(tǒng)計(jì)學(xué)),決策、經(jīng)營、管理類經(jīng)理、決策者、高階管理人員：第4級會計(jì)師、稽核員、成本分析師、銀行放款主任：第4級專業(yè)類：工程師：第6級精算師、系統(tǒng)分析師、統(tǒng)計(jì)師：第6級國高中以上教師(數(shù)學(xué)相關(guān)領(lǐng)域) ：第6級自然科學(xué)家(化學(xué)、物理、氣象學(xué)、地質(zhì)學(xué)) ：第6級健康診斷人員(醫(yī)師、牙醫(yī)) ：第5級建築師、測量員、生命科學(xué)家：第5級社會科學(xué)家

6、(經(jīng)濟(jì)學(xué)、心理學(xué)、都市規(guī)劃等) ：第5級律師與法官、檢察官：第4級國高中教師(不含數(shù)學(xué)與科學(xué)) ：第4級行銷業(yè)務(wù)人員收銀員：第2至3級售貨員：第2至3級市場及行銷中層主管：第3級,行政支援人員：詢問臺(接待員、售票員等)：第2級股票交易員：第2級交通、運(yùn)輸辦事員：第2級一般文書人員：第2級銀行櫃臺人員：第3級其他行政助理：第2級勞力服務(wù)業(yè)門房、清潔人員：第1至2級食品業(yè)、冷飲業(yè)櫃臺人員：第1級保母、美容師

7、、居家護(hù)理人員：第2級消防員：第2級警衛(wèi)：第1至2級農(nóng)林漁牧業(yè)園藝家和地主：第2級農(nóng)場管理人員：第2級,機(jī)械、生產(chǎn)與維修人員數(shù)值機(jī)具操作、工作母機(jī)、金屬製程、模具：第4級電機(jī)、電子設(shè)備維修人員：第3至4級機(jī)工與維修領(lǐng)班：第3至4級汽車維修人員：第3至4級美國全部12,000萬工人中，大約有400萬人的職業(yè)要求第5級或第6級的數(shù)學(xué)程度，也就是包含微積分，這只占全部勞動人口的3%。但是這個(gè)金字塔頂端的 3%, 幾乎都

8、是高收入的專業(yè)族群，而且這些工作的可替代性非常低。,數(shù)學(xué)能力=謀職機(jī)會,常有學(xué)生問我：「我很喜歡數(shù)學(xué)，但數(shù)學(xué)系畢業(yè)後能作什麼事？教書嗎？」根據(jù)我在學(xué)校的觀察，大約有一半的數(shù)學(xué)系畢業(yè)生選擇教書。但是另外一半人，有第6級的數(shù)學(xué)能力，還是有很多的選擇機(jī)會。他們有人做保險(xiǎn)精算師、系統(tǒng)分析師、行銷專家、網(wǎng)路管理師或財(cái)務(wù)分析師等等。這些人就是從事 應(yīng)用數(shù)學(xué) 的相關(guān)工作.,系友會統(tǒng)計(jì)資料,畢業(yè)總?cè)藬?shù)2769人更新人數(shù)1129人(40.77%)

9、有提供職業(yè)853人(30.81%),系友會職業(yè)統(tǒng)計(jì),系友會職業(yè)-教育類,系友會職業(yè)-其他類,問題, 數(shù)學(xué), 數(shù)學(xué)問題,有意義的數(shù)學(xué)問題, 必須包括(1) 一個(gè)現(xiàn)實(shí)問題; (2) 量化成數(shù)學(xué)模組(公式); (3) 數(shù)學(xué)或電腦求解.現(xiàn)行的高中教材, 缺乏對實(shí)際問題以及對量化過程的描述, 使得求解數(shù)學(xué)問題變成是純?nèi)患记傻挠?xùn)練.,15,現(xiàn)實(shí)生活的問題(舉例):,飛行員排班問題. (矩陣, 空間中平面)碼頭貨櫃場管理問題. (向量)鐵原子

10、晶格磁極研究. (指數(shù), 對數(shù), 多項(xiàng)式, 遞迴數(shù)列)多層次無線通訊傳輸. (三角函數(shù), 對數(shù))動脈粥狀栓塞治療. (切線斜率),16,問題解析、量化(以飛行員排班為例),航空公司每一季公佈班表. 飛行員和空中小姐值班表是一個(gè)很複雜的問題. (聽起來像是高職畢業(yè)做的事)一個(gè)航空公司最大的成本支出是油料，其次是人事費(fèi)用。 而人事費(fèi)用則跟排班班表有關(guān)。所謂飛行員排班問題是:在班機(jī)時(shí)刻表已公佈的情況下，找出一個(gè)最節(jié)省成本的飛行員值班

11、表。這個(gè)值班表不僅需要涵蓋班機(jī)時(shí)刻表上的每一班次，而且符合航空公司運(yùn)作方式、安全法規(guī)、、、等規(guī)定。,我們首先要了解排班有什麼限制跟規(guī)定, 比如說, 政府對飛安的要求, 公司的內(nèi)規(guī), 薪水的算法, 工會爭取來的福利, 還有機(jī)師能飛的機(jī)種, 航線, 空中小姐能講的語言, 都要考慮在內(nèi). 光美國聯(lián)邦的飛安規(guī)定就是厚厚一本冊子.,Rules,每一個(gè) legal trip都必需滿足 Rules的要求，這些 Rules規(guī)範(fàn)了飛航安全，也影響飛行人員

12、的權(quán)利，及航空公司人事成本的計(jì)算。建構(gòu)一套完整的 Rules包含著數(shù)以百條的規(guī)定?，F(xiàn)僅就較具代表性的Rules來探討。(l) Brief time 機(jī)師、副機(jī)師和空服人員在每天的duty period開始之前，必須先在機(jī)場填寫表格或任務(wù)提示。一般為三十分鐘 。(2)Debrief time 機(jī)師和副機(jī)師在每天結(jié)束他們的飛行工作之後，必須在終點(diǎn)機(jī)場填寫表格或作任務(wù)報(bào)告。一般為三十分鐘 。,Rules (Cont’d)

13、,(3)休息時(shí)間 機(jī)師一天基本上至少要休息十個(gè)鐘點(diǎn)。其中必需包含晚上十點(diǎn)到早上六點(diǎn)的這一段時(shí)間，除非所飛的班次起飛或降落在該段時(shí)間之內(nèi)。但是 brief time和 debrief time不能算是休息時(shí)間，但可以在晚上十點(diǎn)以後或早上六點(diǎn)之前執(zhí)行。(4)最多工作時(shí)數(shù) 機(jī)師一天之內(nèi)，最多的工作時(shí)數(shù)，包括: flowntime、connection time、deadhead time、brief time，and d

14、ebrief time等，其總和不得超過一個(gè) duty period工作時(shí)數(shù)的最大上限。,Rules (Cont’d),(5) 最多飛行時(shí)數(shù) 機(jī)師一天之內(nèi)，實(shí)際開飛機(jī)的 flown time的總時(shí)數(shù)所必須少於的最大上限。 (6) minimum connection time 轉(zhuǎn)機(jī)時(shí)間不得少於四十分鐘。,Rules (Cont’d),薪資及 cost的計(jì)算(以分鐘為單位)機(jī)師在某一個(gè) trip中，自離開 base起，

15、至再回到 base止，所經(jīng)歷的時(shí)間，以分鐘來計(jì)算。當(dāng) dead_head的情況發(fā)生時(shí)，薪資計(jì)算方式以 dead_head的分鐘數(shù)乘上0.8。一個(gè) duty period的total flown time，以分鐘來計(jì)算。,,以一個(gè)全球服務(wù)超過300個(gè)城市的航空公司而言, 符合所有規(guī)定的legal trips, 至少有數(shù)兆兆種以上的組合.如何從中挑出數(shù)千條trips, 可以cover所有公佈的班表, 並分派給機(jī)組人員, 是一個(gè)超大的工

16、程.這不是找個(gè)資工的人來寫寫程式就可以解決的, 這是 數(shù)學(xué)問題.,現(xiàn)實(shí)生活的問題: 免費(fèi)經(jīng)濟(jì),相對價(jià)格,還沒降價(jià)前, Lindt 比 Hershey 貴15倍. 降價(jià)以後, 變成貴無窮多倍. 與其說人是非理性的, 用數(shù)學(xué)的說法是: 人的想法是非線性的.,,,,,,Alchian-Allen Theorem,為何在宜蘭三星當(dāng)?shù)刭I不到最好的三星蔥?假設(shè)三星蔥一把的栽種成本是一般蔥的3倍. 兩種蔥運(yùn)到臺北都需要再加上1元的管銷費(fèi)用那麼,

17、 在臺北的三星蔥比在宜蘭的三星蔥相對售價(jià)要來的便宜.三星蔥成本 = a, 一般蔥=b, a>b>0. Then, a/b > (a+1)/(b+1). 同樣的原理可以解釋, 在臺灣你捨不得花的錢, 出國後都敢花. 因?yàn)榧由蠙C(jī)票費(fèi)後, 奢侈品相對就變得不那麼奢侈了.,數(shù)學(xué)上描述數(shù)量相對關(guān)係的工具: 函數(shù),一個(gè)數(shù)量或物件自己本身不會有太大的意思.我們找出 trip, 同時(shí)一定要關(guān)心這個(gè) trip 可以 c

18、over哪些航班? 要安排哪組機(jī)組人員來飛? 成本要多少錢?當(dāng)你考89分時(shí), 你一定會想知道全班有幾個(gè)人上90分? (自己的成績和別人成績的關(guān)係)當(dāng)你量體重50Kg, 你第一個(gè)想法是變胖還是變瘦. (現(xiàn)在的體重和之前體重的關(guān)係)數(shù)量只有在相對的基準(zhǔn)下才會有應(yīng)用上的意義.,28,兩個(gè)量之間的關(guān)係 -- 函數(shù)(Function)的抽象定義,A function(函數(shù)) is a triple(三要素) whe

19、re: is a set (called the domain of the function定義域; 自變數(shù)域). is a set (called the codomain of the function對應(yīng)域; 值域). is a relation from to . 寫作 簡言之, 函數(shù) f 就是用來表達(dá)兩種量x和y之間的關(guān)係. 其中x來自集合A, y來自集合B.,29,動態(tài)系統(tǒng)(數(shù)量與時(shí)間的

20、關(guān)係),這個(gè)世界是動態(tài)的. 46億年前大氣層主要成分是二氧化碳, 如今是氮(79%), 氧(20%), Ar(1%), 二氧化碳約只剩萬分之三.1億8千萬年前, 由沉積物的分析發(fā)現(xiàn)當(dāng)時(shí)南極大陸的氣候相當(dāng)溫暖, 如今卻是覆蓋冰雪的大陸.油價(jià)在幾個(gè)月前可以一桶原油賣149美元, 現(xiàn)在卻不到一桶80美元.生命系統(tǒng), 從細(xì)胞到器官到整個(gè)生態(tài)系, 也是動態(tài)的(Dynamical, 隨時(shí)間改變).,30,動態(tài)系統(tǒng)和函數(shù),動態(tài)系統(tǒng)就是數(shù)據(jù)和時(shí)間

21、的相對關(guān)係. 也就是說動態(tài)系統(tǒng)是時(shí)間的函數(shù).我們關(guān)心下列事情: (i) 什麼現(xiàn)象(數(shù)量)在隨著時(shí)間改變? (What is changing?); (ii) 變化的速度有多快? (How fast?); (iii) 變成了什麼? (What is it changing into?),Green House Effect (溫室效應(yīng)),溫室效應(yīng)是關(guān)心溫度(T) 與二氧化碳濃度(y)之間的關(guān)係.寫成T=h(y).大氣層內(nèi)二氧化碳濃度又

22、會隨時(shí)間改變. 所以二氧化碳濃度是一個(gè)動態(tài)系統(tǒng). 以數(shù)學(xué)語言來說, 二氧化碳(y)是時(shí)間(t)的函數(shù). 寫成 y=f(t).溫度跟二氧化碳濃度有關(guān),二氧化碳濃度又隨著時(shí)間變化, 所以溫度(應(yīng)變數(shù)T)也是動態(tài)系統(tǒng), 隨時(shí)間(自變數(shù)t)在改變. 寫成T= h(f(t))=g(t).函數(shù)g是h和f的合成.,合成函數(shù),複雜一點(diǎn)的函數(shù), 通常是由基礎(chǔ)函數(shù)加以運(yùn)算(+,-,*,/,根號…)或合成而得.例如:大學(xué)聯(lián)考裡, 有些像看過,

23、又像沒看過的函數(shù), 幾乎都是這種類型.,33,過去千年二氧化碳對時(shí)間的函數(shù)圖形 (1800年後成指數(shù)性增長),34,近一點(diǎn)觀察, 可以看到成鋸尺狀的週期函數(shù)關(guān)係, 斜率則在50年內(nèi)暴增3倍,35,過去千年氣溫的函數(shù)圖形, 近代氣溫約從1650年起回升, 其圖形不屬於任何基礎(chǔ)函數(shù),二氧化碳, CH4, 和溫度過去40萬年的關(guān)係圖, 大致吻合,,但是時(shí)間軸每單位是10000年, 二氧化碳和溫度在時(shí)間軸上些許的不一致就會讓溫室效應(yīng)理論出現(xiàn)為期

24、不短的破綻.例如, 在上一次冰河時(shí)期剛開始的兩萬年裏, (-110,000 年~ -130,000年), 氣溫急凍, 二氧化碳濃度卻還維持在相對高點(diǎn).,當(dāng)我在念小學(xué)時(shí), 學(xué)校教的是二氧化碳將造成下一個(gè)冰河世紀(jì)的開始,函數(shù)的特性,如果這些數(shù)量是成固定倍數(shù)關(guān)係(如虎克定律), 受力大小正比於型變, 這是線性(函數(shù))關(guān)係.如果成平方關(guān)係, 如空氣阻力正比於速度平方, 這是二次(函數(shù))關(guān)係.如果成週期性, 如氣候春夏秋冬, 那就是三角函數(shù)

25、.變動劇烈的溫度圖, 則無以名之, 統(tǒng)稱為非線性函數(shù).,X增減一單位, y變化多少? 斜率的概念,斜率是函數(shù)圖形上(y=f(x)), 任兩點(diǎn)間, y増量對x増量(可以是負(fù)增量)比值. (精確說, 這叫割線斜率)由除法的意義可以得知, 這個(gè)比值所代表的, 就是在該兩點(diǎn)間, 每一單位的x, 所可以分到的y值增量.直線的割線斜率, 不管如何取, 都保持是一個(gè)定值. 所以定值的斜率, 就成為直線最重要的特徵.,41,日常生活中的斜率概念,

26、相對價(jià)格就是一種斜率的概念.其他如: 布丁一個(gè)8元, 漢堡一個(gè)79元, 車票一張741元, 選擇題一題5分, 時(shí)速100公里, 彈簧彈性係數(shù)3(N/m), 電流量(單位時(shí)間通過單位截面的電子數(shù)), 這些都是兩個(gè)量比值, 都是每一單位x所造成的y變化量, 都可以視為是廣義的效率指標(biāo), 也就是斜率的概念.總量是由斜率去求出總合(積分).,42,線性關(guān)係 y=f(x)=ax,當(dāng)我們執(zhí)行兩數(shù)乘法時(shí), 比如 8x3=24, 乘法兩端8和3兩個(gè)

27、數(shù)的位階是不一樣的. 以買賣布丁為例, 單價(jià) a=8(元/個(gè))是斜率; 買x=3(個(gè)), 所付的總價(jià)y=24(元). 買x=5個(gè), 要付y=40元. 買x=-8(個(gè))(等同於賣出8個(gè)), 要付出y=-64(元), 也就是收入64元. (你可以感覺得到負(fù)負(fù)得正嗎?)因此, 斜率a=8 (元/個(gè))的真正角色是函數(shù), 負(fù)責(zé)將布丁的個(gè)數(shù)x (定義域), 對應(yīng)到其總價(jià)y (值域). 其函數(shù)圖形是通過原點(diǎn), 第I, 第III象限之直線.,43,

28、會轉(zhuǎn)彎的函數(shù)(比如: 伸卡球),由於直線的斜率固定, 所以函數(shù)圖形不會轉(zhuǎn)彎. 如果在不同位置斜率發(fā)生變化, 那函數(shù)圖形勢必要轉(zhuǎn)彎.如果斜率越變越大, 圖形向上(也可以看成向左)彎曲. 反之, 如果斜率越變越小, 圖形則向下彎曲.斜率變大的程度(斜率變化量)越激烈, 圖形就會越陡.(越陡峭, 或越陡降).,44,以斜率說明廣告效益,公司打廣告通常為了要傳遞某個(gè)訊息.廣告效益主要是評估有沒有刺激消費(fèi)者的購買慾以及改變消費(fèi)者的購買習(xí)慣.

29、2000年3月, 可口可樂公司開始主打Diet Coke. 廣告的目的主要是連結(jié)Diet Coke與歡樂的形象. 主要訴求25-49歲的年輕族群. 這個(gè)訊息的主軸是 Be-true-to-yourself.當(dāng)這個(gè)廣告剛剛開始播送時(shí), 因?yàn)橹赖娜松? 廣告效益的成長是緩慢的. 當(dāng)這個(gè)訊息慢慢被大多數(shù)人相信而且記住時(shí), 廣告效益就快速成長. 最後, 信者恆信, 不動者恆不動, 廣告效益達(dá)到飽和(趨近某一漸進(jìn)線).,45,Logisti

30、c curves,46,廣告效率(efficiency)的指標(biāo)其實(shí)就是 斜率 = 廣告效果y/每一單位廣告預(yù)算x.由於logistic curve的特殊性, 在宣傳活動的後半段, 儘管強(qiáng)力放送(通常是增加廣告預(yù)算x以求高播放頻率), 所能增加的廣告效果y (effectiveness)卻相當(dāng)有限. 換言之, 宣傳後期廣告效率(efficiency)非常低落.廣告初期, 效率低, 斜率小. 中期效率最高, 斜率最大. 到了末期

31、, 斜率又再度變小.,47,可口可樂公司怎麼做?,將整個(gè)行銷廣告拍成一系列影集. 當(dāng)?shù)谝恢V告片的logistic curve斜率達(dá)到最大值時(shí), 續(xù)集就馬上推出. 直到一系列廣告全數(shù)播完為止.麥當(dāng)勞, 家樂福的促銷也是如此, 一個(gè)檔期接一個(gè)檔期. 前一個(gè)檔期銷售出現(xiàn)疲態(tài)(效率, 也就是斜率變低), 下個(gè)檔期馬上上陣.,Efficiency measure,效率指標(biāo)隨處可見.比如, profit-to-revenue(獲利比上營收,

32、做一塊錢生意賺多少錢). Divident-per-share(每股分紅多少股利). Cost-to-time (每單位時(shí)間的運(yùn)輸成本). Signal-to-noise (雜訊比, 一組音響好壞的重要指標(biāo)), 195/60R14 (輪胎尺寸規(guī)格, 其中的60代表扁平比, 是輪胎過彎效能的指標(biāo).)這些全部都是斜率.,49,拋物線(二次多項(xiàng)式)的特徵,拋物線 的特徵: 斜率以等差數(shù)列的方

33、式增加或減少. 公差為 .拋物線的二次領(lǐng)導(dǎo)係數(shù) 為正, 拋物線斜率以正公差的方式增加, 所以函數(shù)圖形向上彎, 開口向上. 若 為負(fù), 拋物線斜率以負(fù)公差的形式遞減, 所以函數(shù)圖形向下彎, 開口向下. 拋物線只會朝同一個(gè)方向彎, 不會上下亂轉(zhuǎn).直線因?yàn)椴粫? 斜率是定值, 可以看成公差為0的等差數(shù)列, 所以沒有二次項(xiàng).,50,二次函數(shù)在物理系統(tǒng)中的代表意義,在彈簧系統(tǒng)中，各變數(shù)分別代表 x ： 平衡態(tài)時(shí)的

34、彈簧位移(此處為未知數(shù)) a： 彈簧的彈性係數(shù) ax ： 彈力 (藉由虎克定律得知) xax ： 彈性位能 b ： 質(zhì)點(diǎn)重力(mg) bx ： 質(zhì)點(diǎn)重力位能 f (x) ： 系統(tǒng)總位能,彈簧系統(tǒng)中：,51,電路架構(gòu)：一個(gè)電池提供電能量，在電路中產(chǎn)生電流，電流流過電阻產(chǎn)生熱能散失。符號： x : 電路上的電流大小 b : 電池電壓大小 bx : 電池提供電功率=電壓x電流 R : 電阻係

35、數(shù) Rx : 歐姆定律(電壓=電阻係數(shù)x電流) x(Rx) : 電阻上的電功率散失(熱能形態(tài)) GND : 接地系統(tǒng)獲得能量功率 = 電池供應(yīng)電能的功率 -電阻熱能散失功率在此我們希望求得系統(tǒng)總能量最小(再利用KVL和歐姆定律:b=Rx)，即可得到最小能量0。,,52,指數(shù)函數(shù),以 為底數(shù)的等比型態(tài)函數(shù). 將 自乘 次. 如果底數(shù)大於1, 且只看整數(shù)的 , 後面的數(shù)永遠(yuǎn)是前面的 倍. 比如 3,

36、 9, 27, 81, 243, 729, 2187…, 起先增加的比較慢, 然後越來越快. 重點(diǎn)是, 斜率的增加方式: 6, 18, 54, 162, …, ; 換言之, 指數(shù)函數(shù)的斜率是成等比的方式增長. 這使得指數(shù)函數(shù)開口向上, 而且要比拋物線來的陡.如果底數(shù)小於1, 比如1/3, 1/9, 1/27, 1/81, …, 乘越多次, 所得結(jié)果越小. 剛開始小的快, 然後越小越慢. 斜率是以 -2/9, -2/27

37、, -2/81, …, 的方式遞增, 所以也是開口向上.,53,e=2.718… 指數(shù)函數(shù)的成長有多快?,在x軸上距離原點(diǎn)50cm處, 亦即x=50, 其y軸的對應(yīng)高度在冥王星 Pluto (The God of underworld)距離地球亦僅只有換言之, 以現(xiàn)今人類的太空科技, 是沒有辦法畫出指數(shù)函數(shù)在 x > 50 cm 之後的指數(shù)函數(shù)圖形.,54,近百年的氣溫變化（觀測）,,55,很大及很小的數(shù),大部份的人對很大及很

38、小的數(shù)沒有強(qiáng)烈的感受及認(rèn)知.我們已經(jīng)看過e的50次方是很大的一個(gè)天文數(shù)字. 最古老的埃及中國文明距今4千年, 更只佔(zhàn)地球歷史的百萬分之一不到.,56,百萬分之一有多小??,如果把地球歷史縮為1年, 那麼夏商周就是在12月31日23時(shí)59分30秒之後才發(fā)生. 恐龍大約在12月13日出現(xiàn), 12月24日中午還沒來的及過聖誕夜就滅絕了. 當(dāng)我們跨年倒數(shù)時(shí), 每數(shù)一秒, 就是地球歷史的150年. 相當(dāng)於我們從魏晉南北朝開始倒數(shù), 每一兩秒就

39、過一個(gè)朝代, 從隋, 唐, 五代十國, 宋, 元, 明, 清, 到現(xiàn)在.,57,,58,科學(xué)記號,我國中央政府債務(wù)餘額至2007年底約3兆6千億. 寫出來就是 3,600,000,000,000元. 你如果用工程用計(jì)算機(jī)打入這個(gè)數(shù)字, 則會顯現(xiàn)出 . 這就是科學(xué)記號, 用指數(shù)表示法紀(jì)錄第一個(gè)數(shù)字後帶幾個(gè)0.所謂的奈米, 就是一米的10億分之一. 直接寫是 0.000000001. 科學(xué)記號記為所以, 科

40、學(xué)記號可以簡潔表示很大或很小的數(shù).,59,科學(xué)記號,我國中央政府債務(wù)餘額至2007年底約3兆6千億. 寫出來就是 3,600,000,000,000元. 你如果用工程用計(jì)算機(jī)打入這個(gè)數(shù)字, 則會顯現(xiàn)出 . 這就是科學(xué)記號, 用指數(shù)表示法紀(jì)錄第一個(gè)數(shù)字後帶幾個(gè)0.所謂的奈米, 就是一米的10億分之一. 直接寫是 0.000000001. 科學(xué)記號記為所以, 科學(xué)記號可以簡潔表示很大或很小的數(shù).,60,對數(shù)

41、的特性,如果使用對數(shù), 50億年的數(shù)量級是9, 4千年的對數(shù)值是3點(diǎn)多, 百萬級的(mega-scale)是6, 奈米級(nano-scale) 就是負(fù)9.因此, 對數(shù)值可以讓我們輕易處理大至百萬級的量, 小至奈米級的量, 縮在-10跟10之間讓我們觀察使用. 只不過對數(shù)值差1,原數(shù)值(未取對數(shù)前的數(shù))不只是差1, 而是小數(shù)點(diǎn)向左或向右挪1位, 也就是差了一個(gè)數(shù)量級.所以, 以10為底的等比數(shù)列, 取對數(shù)後成等差數(shù)列.,61,韋伯－

42、費(fèi)科納法則（Weber-Fechner）,人類的感官, 不管是視覺, 聽覺, 痛覺等, 刺激源的強(qiáng)度成等比級數(shù)增加時(shí)，感覺上才只以等差級數(shù)增加。所以刺激源的強(qiáng)度要取對數(shù)才會是感覺的程度.震度(0-7)是地震時(shí), 描述地面上的人所感受到搖晃的程度，是由地表水平加速度(刺激的來源)的對數(shù)值來劃分。,62,聲壓的數(shù)量級(分貝),該標(biāo)度以「聽覺閾」，20μPa 作為參考聲壓值，定義這聲壓水平為0分貝(dB)。聲壓每增加20μPa 的10

43、倍，對數(shù)值(數(shù)量級)就增加1(級)，在分貝的刻度上每一級是20分貝。以10000μPa為例, 他是最低聽覺閾20μPa的500倍, 500的數(shù)量級介於2和3之間, 每一級是20分貝, 所以是40-60分貝.,Equal Temperament(巴哈的平均律),用對數(shù)標(biāo)度來表達(dá)聲音還有另一優(yōu)點(diǎn)：人類的聽覺反應(yīng)是基於聲音的相對變化而非絕對變化。一個(gè)人要比剛剛出力2倍才會讓對方有大聲一倍的感覺. 要出力4倍, 才會有大聲兩倍的效果. 如果要

44、你再再大聲一些, 你可能聲嘶力竭都做不到. 因此音量要取對數(shù), 才能模擬人類耳朵對聲音的反應(yīng)。人們對兩個(gè)相鄰8度音的聽覺感受，是指高8度音的頻率比原來聲音的頻率多2倍. 高24度音(三個(gè)八度音程)的音頻是原音的8倍(而不是6倍).一個(gè)8度音程如果音高要均分成12份, 每一份叫一個(gè)半音則相鄰半音的頻率比(the frequency ratio of each note)=,轉(zhuǎn)換兩次方向的函數(shù) --- Sine,上面討論的函數(shù)都只朝一個(gè)

45、方向轉(zhuǎn)彎(或不轉(zhuǎn)彎).會換方向轉(zhuǎn)的最基本函數(shù)是三角函數(shù). (當(dāng)然 也是一個(gè)轉(zhuǎn)換兩次方向的重要例子, 只是高中較少講 ).三角函數(shù)除了會向上向下輪流轉(zhuǎn)外, 最重要的是她有週期性. 如果以28天當(dāng)一個(gè)週期, 我們就用 來表示, 如果以一個(gè)月為單位, 一年一週期則以 來表示.,多變量函數(shù),多個(gè)量之間的相對關(guān)係, 是用多變量函數(shù)來描述.

46、比如地表溫度不會只有跟二氧化碳濃度有關(guān), 至少還跟太陽活動的劇烈程度, 以及地球自轉(zhuǎn)的搖擺有關(guān) – 這些都不是我們?nèi)祟惪梢詻Q定的.每一個(gè)獨(dú)立的變量都必須各自佔(zhàn)據(jù)一個(gè)變數(shù). 比如, T=f(x,y,z), T代表地表溫度, x是二氧化碳濃度, y是太陽活動的劇烈程度, z是地球自轉(zhuǎn)的搖擺偏向角. 函數(shù) f 將整個(gè)向量 (x,y,z) 對應(yīng)到溫度 T.向量的運(yùn)算: 代表各分量各加各的, 各乘各的.,斜率向

47、量,各分量會有各分量的斜率.我早餐習(xí)慣吃土司, 夾花生醬, 配一杯熱巧克力. 所以早餐的熱量 E (大卡)是土司x(片), 花生醬y(克), 巧克力z(克)的函數(shù). 寫成 E=f(x,y,z).土司91大卡/片, 這是E對x的斜率; 花生醬6大卡/克, 這是E對y的斜率; 巧克力16.2大卡/克, 這是E對z的斜率. 把三個(gè)斜率擺在一起 (91, 6, 16.2)就是作用在(x,y,z)上的斜率向量.,內(nèi)積,如果我早餐吃兩片土司,

48、抹上5克的花生醬, 再泡一杯12克的熱巧克力, 則我早餐吃下去的熱量有 91x2+6x5+16.2x12=406.4大卡.這個(gè)數(shù)字恰好是斜率向量 (91,6,16.2) 和空間向量 (2,5,12) 的內(nèi)積. 這兩個(gè)向量雖然都是3度空間的向量, 由於位階不同, 是分屬兩個(gè)不同的3度空間的向量. 放在前面的斜率向量是多變數(shù)函數(shù), 作用在後面的向量上, 值域則是等號右方的實(shí)數(shù). 如果沒有做這樣的區(qū)分, 一定無法解釋向量乘向量卻得到純量的

49、奇怪觀點(diǎn).,二次交錯(cuò)項(xiàng)的例子,在一個(gè)人工養(yǎng)殖場裏, 我們關(guān)心所養(yǎng)殖的自營生物(autotroph)和養(yǎng)殖池裏養(yǎng)分(Nutrient) 的交互關(guān)係.假定每一期初固定添加養(yǎng)分. 而令 N 代表期初養(yǎng)殖池裏養(yǎng)分的含量 (上一期末殘留的養(yǎng)分量 + 本期添加量). 而這個(gè)養(yǎng)分, 有a的比例會被自然沖刷掉.池裏餵養(yǎng)著以這些養(yǎng)分維生的自營生物. 假設(shè)數(shù)量共有 X (生物質(zhì)量單位). 在它們被收成前, 有m的整體平均死亡率. 死亡的生物, 會以1:

50、1的比例, 將其生物質(zhì)量轉(zhuǎn)換成養(yǎng)殖池裏的養(yǎng)分.這些自營生物的成長速度不是定值. 養(yǎng)分越充足, 成長速率越快. 但相對的, 消耗養(yǎng)分的速度也越快. 假設(shè)成長速率和N成正比. 因此, 期末養(yǎng)殖池裏的養(yǎng)分 F(N,X):,一個(gè)非線性和交錯(cuò)的世界,幾乎所有的促銷都是非線性的: 買報(bào)紙送蘋果(頻果日報(bào)), 第一件9折, 兩件8折起(全家便利商店). 所有的預(yù)期心理都是非線性的. 當(dāng)你很窮時(shí), 100元可以買你溫飽, 讓你滿足. 當(dāng)你有100萬

51、時(shí), 你不會把100元看在眼裡.大量製造(mass production, 鴻海集團(tuán))賺的是非線性的錢. 單位製造成本不是定值, 而是隨生產(chǎn)數(shù)量的增加而下降.走路比開車環(huán)保? 走路照樣要消耗能量. 能量的補(bǔ)充要靠食物. 種稻破壞生態(tài), 養(yǎng)豬污染河川, 肥料生產(chǎn)需要電力, 出海捕魚要燒柴油…. 除非退回到幾千年前不需要移動的社會型態(tài), 否則走路的移動效率低, 而且不見得環(huán)保.,我們生活在一個(gè)線性的指標(biāo)裏,如果地表溫度持續(xù)以目前速度暖化

52、下去, 本世紀(jì)結(jié)束前北極冰帽將全部溶化.如果颱風(fēng)維持目前的行徑和速度, 預(yù)計(jì)三天後將影響臺灣東北部.按照BMI值來看, 妳的體重是超重.這波股市下殺, 主要是觀察能否守住10年均線的位置8787點(diǎn).要考上成大數(shù)學(xué)系, 數(shù), 英, 自然要頂級分.,昨是與今非,40多年前, 工業(yè)化的污染被認(rèn)定為地球即將進(jìn)入下一個(gè)冰河世紀(jì)的罪魁禍?zhǔn)? 現(xiàn)在, 眾多污染裏的一項(xiàng)二氧化碳, 則是被指稱要為全球暖化來負(fù)責(zé).十多年前被大量倡議的非核家園,

53、如今為了對抗全球暖化, 形象由黑轉(zhuǎn)綠, 連環(huán)保先鋒的芬蘭都開始蓋核電廠. (經(jīng)濟(jì)學(xué)人)幹細(xì)胞的研究, 難保不會是下一個(gè)昨是今非的例證. (Science: 幹細(xì)胞迅速用於臨床的希望已經(jīng)破滅).數(shù)學(xué)告訴我們, 線性的指標(biāo)只是提供局部的近似. 因此炒作線性指標(biāo)所造就的熱門和流行, 往往都只是曇花一現(xiàn).,不想成為流行的犧牲品,在一個(gè)動態(tài), 非線性, 交錯(cuò)的世界裡想要了解現(xiàn)象的全貌, 我們必須有質(zhì)疑的勇氣, 包容的胸襟, 和高度的想像力.

54、流行性的熱門議題幾乎年年更替, 處理這些議題的最核心技術(shù), 舉凡語言, 數(shù)學(xué), 物理, 化學(xué), 生物, 卻不會隨波逐流. 如果只學(xué)技術(shù), 不明究理, 流行更替之際, 就是淘汰之時(shí).相反的, 學(xué)習(xí)這些基礎(chǔ)科學(xué)時(shí), 研讀的角度, 動機(jī), 和面向, 都必須夠切身, 夠近代, 夠深入. 否則, 有些人學(xué)不上手, 有些人上手了以後完全不會用, 有人會用了但是變的偏執(zhí). 結(jié)果都是還沒跟上流行就陣亡了.,學(xué)生需要被啟發(fā)被訓(xùn)練,動機(jī)是慢慢蘊(yùn)釀的.角

55、度是一再調(diào)整的.面向是一層一層撥開.很多事情的答案是經(jīng)驗(yàn)的累積.這些經(jīng)驗(yàn), 花掉先人巨量的時(shí)間和智慧, 其過程, 應(yīng)該是故事性的. 其結(jié)果, 應(yīng)該是動人而肅然的.我認(rèn)為這些經(jīng)驗(yàn), 必須要有系統(tǒng)的編進(jìn)各級數(shù)學(xué)教材, 而且要與時(shí)俱進(jìn).學(xué)生將學(xué)到累積這些經(jīng)驗(yàn)的要訣, 以及日後處理問題的態(tài)度和習(xí)慣.,教科書的創(chuàng)新,國內(nèi)教科書著重定律公式陳述, 說明則減至最少, 所以都是薄薄一本. 雖然學(xué)起來效率高, 但也無趣的很.數(shù)學(xué)無法從實(shí)際問題

56、中切割出來單獨(dú)講授(純數(shù)學(xué)研究除外). 問題的本身跟數(shù)學(xué)同樣重要, 值得用相當(dāng)?shù)钠右躁U述.我們需要一本能細(xì)心敏銳地理解學(xué)生使用經(jīng)驗(yàn)的教科書. 目的在讓學(xué)生讀進(jìn)去後, 自己就可以說出個(gè)所以然來.,現(xiàn)實(shí)生活的問題, 遠(yuǎn)比數(shù)學(xué)和電腦能處理的要難上許多:,飛行員排班問題. (矩陣, 空間中平面)高解析度電視 HDTV (矩陣).碼頭貨櫃場管理問題. (向量)鐵原子晶格磁極研究. (指數(shù), 對數(shù), 多項(xiàng)式, 遞迴數(shù)列)多層次無線通訊

57、傳輸. (三角函數(shù), 對數(shù))超音波治療惡性腫瘤. (三角函數(shù), 內(nèi)積)動脈粥狀栓塞治療. (切線斜率),團(tuán)隊(duì)合作,這不是個(gè)人英雄的時(shí)代. 上面每個(gè)問題, 至少都牽涉到5個(gè)領(lǐng)域以上 –飛航, 管理, 心理, 電機(jī), 化工, 醫(yī)學(xué), 物理, 數(shù)學(xué), 電腦, 運(yùn)輸, 歷史, 經(jīng)濟(jì)…等等, 沒有任何天才可以包山包海, 也沒有人可以只懂個(gè)別專業(yè).在數(shù)學(xué)上所養(yǎng)成處理問題的態(tài)度和習(xí)慣, 包括抽象思維的訓(xùn)練, 看問題多層次思考, 對數(shù)據(jù)真正含意