第三節(jié)方向?qū)?shù)與梯度

1、,第十二章,第三節(jié),一、方向?qū)?shù),機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,二、梯度,三、物理意義,,,方向?qū)?shù)與梯度,,,,一、方向?qū)?shù),定義: 若函數(shù),則稱,為函數(shù)在點 P 處沿方向 l 的方向?qū)?shù).,在點,處,沿方向 l (方向角為,) 存在下列極限:,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,,記作,定理:,則函數(shù)在該點沿任意方向 l 的方向?qū)?shù)存在 ,,證明: 由函數(shù),且有,在點 P 可微 ,,得,

2、機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,,,故,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,對于二元函數(shù),為?, ? ) 的方向?qū)?shù)為,,向角,由定義看出，方向?qū)?shù)實際上是函數(shù)沿某一方向,的單側(cè)的增量比的極限。,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,x軸和y軸的正向分別為,特別地:,從定義立即得到，函數(shù),在點（x0 , y0)處,可偏導的充要條件為：,沿方向 （或方向

3、 ）的方向?qū)?數(shù)都存在且為相反數(shù)，且這時成立,必要性證明是顯然的；充分性證明只需注意：,例1. 求函數(shù),在點 P(1, 1, 1) 沿向量,3) 的方向?qū)?shù) .,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,,例2. 求函數(shù),在點P(2, 3)沿曲線,朝 x 增大方向的方向?qū)?shù).,解:將已知曲線用參數(shù)方程表示為,它在點 P 的切向量為,,,,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例3

4、. 設,是曲面,在點 P(1, 1, 1 )處,指向外側(cè)的法向量,,解:,方向余弦為,而,同理得,方向,的方向?qū)?shù).,在點P 處沿,求函數(shù),機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,,,,,并說明在原點處的偏導數(shù)不存在.,在原點沿任意方向,例4 求二元函數(shù),解: 對任一方向,有,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,的方向?qū)?shù),,因此在原點處沿任意方向的方向?qū)?shù)都存在.,但,偏導數(shù)不存在. 類似可知,

5、也不存在.,二、梯度,方向?qū)?shù)公式,令向量,,這說明,方向：f 變化率最大的方向,模 : f 的最大變化率之值,方向?qū)?shù)取最大值：,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,,,,,,,1. 定義,即,同樣可定義二元函數(shù),稱為函數(shù) f (P) 在點 P 處的梯度,記作,(gradient),,在點,處的梯度,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,,說明:,函數(shù)的方向?qū)?shù)為梯度在該方向上的投影.,向量

6、,同理 f 方向?qū)?shù)的最小值-|| ||在梯度的反方向,達到，或者說，沿梯度的相反方向函數(shù)值減少最快。,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,稱為函數(shù) f 的等值線 .,則L*上點P 處,,,,,,同樣, 對應函數(shù),有等值面(等量面),當各偏導數(shù)不同時為零時,,其上,點P處的法向量為,處的法向量為,2. 梯度的幾何意義,3. 梯度的基本運算公式,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)

7、束,指向函數(shù)增大的方向.,函數(shù)在一點的梯度垂直于該點等值面(或等值線) ,,例5.,證:,,試證,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,,,例6.,已知位于坐標原點的點電荷 q 在任意點,試證,證: 利用例4的結(jié)果,,這說明場強:,處所產(chǎn)生的電位為,垂直于等位面,,且指向電位減少的方向.,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,,,,,,例7,函數(shù),在點,處的梯度,,解:,則,注意 x , y , z

8、具有輪換對稱性,,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,內(nèi)容小結(jié),1. 方向?qū)?shù),? 三元函數(shù),在點,沿方向 l (方向角,的方向?qū)?shù)為,? 二元函數(shù),在點,的方向?qū)?shù)為,沿方向 l (方向角為,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,2. 梯度,? 三元函數(shù),在點,處的梯度為,? 二元函數(shù),在點,處的梯度為,3. 關系,方向?qū)?shù)存在,,偏導數(shù)存在,?,? 可微,機動 目錄 上頁 下頁

9、返回 結(jié)束,,思考與練習,1. 設函數(shù),(1) 求函數(shù)在點 M ( 1, 1, 1 ) 處沿曲線,在該點切線方向的方向?qū)?shù);,(2) 求函數(shù)在 M( 1, 1, 1 ) 處的梯度與(1)中切線方向,的夾角 ? .,2. 求函數(shù),機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,在橢圓,上點,處沿外法線方向的方向?qū)?shù)。,曲線,1. (1),在點,解答提示:,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,,M (1,1,