第3章控制系統(tǒng)的時域分析

1、第3章 控制系統(tǒng)的時域分析,內(nèi) 容 提 要,控制系統(tǒng)在典型輸入信號作用下的動態(tài)過程的品質(zhì)及穩(wěn)態(tài)性能直接表征了系統(tǒng)的優(yōu)劣。系統(tǒng)的穩(wěn)定性是系統(tǒng)正常工作的首要條件，系統(tǒng)的穩(wěn)定性完全由系統(tǒng)自身的結(jié)構(gòu)和參數(shù)決定，而與系統(tǒng)的輸入無關(guān)；系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差是系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能指標，它標志著系統(tǒng)的控制精度；系統(tǒng)的時域響應(yīng)可定性或定量分析系統(tǒng)的動態(tài)性能。介紹了如何用MATLAB和SIMULINK進行瞬態(tài)響應(yīng)分析。,知 識 要 點,系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件，Rout

2、h判據(jù)，誤差與穩(wěn)態(tài)誤差的定義，靜態(tài)誤差系數(shù)及系統(tǒng)的型號，線性定常一階、二階系統(tǒng)的時域響應(yīng)及動態(tài)性能的計算，高階系統(tǒng)的主導極點，偶極子及高階系統(tǒng)的降階。,第3章 控制系統(tǒng)的時域分析,目 錄,§3.1 線性定常系統(tǒng)的時域響應(yīng) §3.2 控制系統(tǒng)時域響應(yīng)的性能指標 §3.3 線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性 §3.4 系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差 §3.5 一階系統(tǒng)的時域響應(yīng) §3.6 二

3、階系統(tǒng)的時域響應(yīng) §3.7 高階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng) §3.8 用MATLAB和SIMULINK進行瞬態(tài)響應(yīng)分析,第3章 控制系統(tǒng)的時域分析,§3.1 線性定常系統(tǒng)的時域響應(yīng),對于一單輸入單輸出n階線性定常系統(tǒng)，可用一n階常系數(shù)線性微分方程來描述。,系統(tǒng)在輸入信號r(t)作用下，輸出c(t)隨時間變化的規(guī)律，即式(3-1)微分方程的解，就是系統(tǒng)的時域響應(yīng)。 由線性微分方程理論知，方程式的

4、解由兩部分組成，即 c(t)=c1(t)+c2(t) (3-2) c1(t)——對應(yīng)齊次微分方程的通解 c2(t)——非齊次微分方程的一個特解,第3章 控制系統(tǒng)的時域分析,從系統(tǒng)時域響應(yīng)的兩部分看，穩(wěn)態(tài)分量(特解)是系統(tǒng)在時間t→∞時系統(tǒng)的輸出，衡量其好壞是穩(wěn)態(tài)性能指標：穩(wěn)態(tài)誤差。系統(tǒng)響應(yīng)的暫態(tài)分量是指從t=0開始到進入穩(wěn)態(tài)之前的這一段過程，采用動態(tài)

5、性能指標(瞬態(tài)響應(yīng)指標)，如穩(wěn)定性、快速性、平穩(wěn)性等來衡量。,返回,第3章 控制系統(tǒng)的時域分析,§3.2 控制系統(tǒng)時域響應(yīng)的性能指標,3.2.1 穩(wěn)態(tài)性能指標 采用穩(wěn)態(tài)誤差ess來衡量，其定義為：當時間t趨于無窮時，系統(tǒng)輸出響應(yīng)的期望值與實際值之差。即,第3章 控制系統(tǒng)的時域分析,1．上升時間tr：從零時刻首次到達穩(wěn)態(tài)值的時間,即階躍響應(yīng)曲線從t=0開始第一次上升到穩(wěn)態(tài)值所需要的時間。,3.2.2 動態(tài)性能指標,第3

6、章 控制系統(tǒng)的時域分析,2. 峰值時間tp：從零時刻到達峰值的時間，即 階躍響應(yīng)曲線從t=0開始上升到第一個峰值所需要的時間.3.最大超調(diào)量Mp：階躍響應(yīng)曲線的最大峰值與穩(wěn)態(tài)值的差與穩(wěn)態(tài)值之比，即,第3章 控制系統(tǒng)的時域分析,4. 調(diào)整時間ts：階躍響應(yīng)曲線進入允許的誤差帶(一般取穩(wěn)態(tài)值附近±5%或±2%作為誤差帶)并不再超出該誤差帶的最小時間，稱為調(diào)整時間(或過渡過程時間)。5. 振蕩次數(shù)：在調(diào)整時

7、間ts內(nèi)響應(yīng)曲線振蕩的次數(shù)。,返回,第3章 控制系統(tǒng)的時域分析,3.3 線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性,3.3.1 穩(wěn)定性的概念 若控制系統(tǒng)在足夠小的初始偏差的作用下，其過渡過程隨時間的推移，逐漸衰減并趨于零，即具有恢復原平衡狀態(tài)的能力，則稱這個系統(tǒng)穩(wěn)定。否則，稱這個系統(tǒng)不穩(wěn)定。,第3章 控制系統(tǒng)的時域分析,3.3.2 線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件,設(shè)n階線性定常系統(tǒng)的微分方程為 對式(3-

8、7)作拉氏變換，得,第3章 控制系統(tǒng)的時域分析,在式(3-8)中取R(s)=0，得到在初始狀態(tài)影響下系統(tǒng)的時間響應(yīng)(即零輸入響應(yīng))為若pi為系統(tǒng)特征方程D(s)=0的根且當pi各不相同時，有若系統(tǒng)所有特征根pi的實部均為負值，即Re［pi］<0 則零輸入響應(yīng)(暫態(tài)響應(yīng))最終將衰減到零，即 這樣的系統(tǒng)就是穩(wěn)定的。,第3章 控制系統(tǒng)的時域分析,反之，若特征根中有一個或多個根具有正實部時，則暫態(tài)響應(yīng)將隨時間的推移

9、而發(fā)散，即這樣的系統(tǒng)就是不穩(wěn)定的。 綜上所述，系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是系統(tǒng)特征根的實部均小于零，或系統(tǒng)的特征根均在根平面的左半平面。,第3章 控制系統(tǒng)的時域分析,3.3.3 勞斯判據(jù),設(shè)n階系統(tǒng)的特征方程為 D(s)=a0sn+a1sn-1+…+an-1s+an =a0(s-p1)(s-p2)…(s-pn)=0 將上式的系數(shù)排成下面的行

10、和列，即為勞斯陣列(勞斯表),第3章 控制系統(tǒng)的時域分析,sn a0 a2 a4 a6 ……sn-1 a1 a3 a5 a7 ……sn-2 b1 b2 b3 b4 ……sn-3 c1 c2 c3 c4 ……… … …s2 f1 f2s1 g1s0 h1,第3章 控制系統(tǒng)的時域分析,其中

11、勞斯判據(jù)給出了控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充分條件是，勞斯表中第一列所有元素均大于零。,第3章 控制系統(tǒng)的時域分析,例3-1 已知三階系統(tǒng)特征方程為勞斯陣列為 故得出三階系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件為各系數(shù)大于零，且a1a2>a0a3,第3章 控制系統(tǒng)的時域分析,例 3-2已知系統(tǒng)特征方程 方程無缺項，且系數(shù)大于零。列勞斯表： 勞斯表中第一列元素大于零，系統(tǒng)是穩(wěn)定的，即所有特征根均s

12、平面的左半平面。,第3章 控制系統(tǒng)的時域分析,例 3-3 系統(tǒng)特征方程為各項系數(shù)均大于零。列勞斯表： 勞斯表中第一列各元素符號不完全一致，系統(tǒng)不穩(wěn)定。第一列元素符號改變兩次，因此系統(tǒng)有兩個右半平面的根。,第3章 控制系統(tǒng)的時域分析,例 3-4 系統(tǒng)特征方程 它有一個系數(shù)為負的，有勞斯判據(jù)的系統(tǒng)不穩(wěn)定。但究竟有幾個右根，仍需列勞斯表： 勞斯表中第一列元素符號改變兩次，系統(tǒng)有2個右半平面的根

13、,第3章 控制系統(tǒng)的時域分析,有兩種特殊情況需要說明：＊1. 勞斯表中某一行的第一個元素為零，而該行其它元素并不為零，則在計算下一行第一個元素時，該元素必將趨于無窮大，以至勞斯表的計算無法進行。＊2. 勞斯表中某一行的元素全為零。則表示在s平面內(nèi)存在一些大小相等符號相反的實根或共軛虛根，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。,第3章 控制系統(tǒng)的時域分析,例 3-6系統(tǒng)特征方程 列勞斯表 勞斯表中第一列元素符號沒有改變，系

14、統(tǒng)沒有右半平面的根，但由P(s)=0求得 即系統(tǒng)有一對共軛虛根，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定，從工程角度來看，臨界穩(wěn)定屬于不穩(wěn)定系統(tǒng)。,第3章 控制系統(tǒng)的時域分析,例3-7 系統(tǒng)的特征方程為列勞斯表：勞斯表中第一列元素符號改變一次，系統(tǒng)不穩(wěn)定，且有一個右半平面的根，由P(s)=0得,第3章 控制系統(tǒng)的時域分析,3.3.4 赫爾維茨判據(jù),設(shè)系統(tǒng)的特征方程式為以特征方程式的各項系數(shù)組成如下行列式,第3章 控制系統(tǒng)

15、的時域分析,赫爾維茨判據(jù)指出，系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是在a0>0的情況下，上述行列式的各階主子式Δi均大于零，即,第3章 控制系統(tǒng)的時域分析,例3-8 系統(tǒng)的特征方程為列出行列式 Δ由赫爾維茨判據(jù)，該系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：,第3章 控制系統(tǒng)的時域分析,或?qū)懗上到y(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件為a0>0 a1>0 a2>0 a3>0a1a2-a0a3>0,第3章 控制系

16、統(tǒng)的時域分析,例3-9 二階系統(tǒng)的特征方程為列出行列式 Δ由Hurwitz判據(jù)，系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件為a0>0 a1>0 a1a2>0即二階系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是特征方程式的所有系數(shù)均大于零。,第3章 控制系統(tǒng)的時域分析,3.3.5 系統(tǒng)參數(shù)對穩(wěn)定性的影響,應(yīng)用代數(shù)判據(jù)不僅可以判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性，還可以用來分析系統(tǒng)參數(shù)對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。例3-10 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖3-2所示，試確定系統(tǒng)

17、穩(wěn)定時K的取值范圍解 系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù) 其特征方程式為,第3章 控制系統(tǒng)的時域分析,列勞斯表 按勞斯判據(jù)，要使系統(tǒng)穩(wěn)定，應(yīng)有K>0，且30-K>0，故K的取值范圍為0<K<30,第3章 控制系統(tǒng)的時域分析,例 3-11 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖3-3所示，試分析參數(shù)K1 ，K2 ，K3和T對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。 解 系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)特征方程為,第3章 控制系統(tǒng)的時域分析,由

18、于特征方程缺項，由勞斯判據(jù)知，不論K1 ，K2 ，K3和T取何值系統(tǒng)總是不穩(wěn)定的，稱為結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定系統(tǒng)。欲使系統(tǒng)穩(wěn)定，必須改變系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)。如在原系統(tǒng)的前向通道中引入一比例微分環(huán)節(jié)，如圖3-4所示。變結(jié)構(gòu)后系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為特征方程為,第3章 控制系統(tǒng)的時域分析,列勞斯陣列：系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件為 即對于結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定系統(tǒng)，改變系統(tǒng)結(jié)構(gòu)后，只要適當選配參數(shù)就可使系統(tǒng)穩(wěn)定。,第3章 控制系統(tǒng)的時域分析,3.3.6

19、 相對穩(wěn)定性和穩(wěn)定裕量,相對穩(wěn)定性即系統(tǒng)的特征根在s平面的左半平面且與虛軸有一定的距離，稱之為穩(wěn)定裕量。 為了能應(yīng)用上述的代數(shù)判據(jù)，通常將s平面的虛軸左移一個距離δ，得新的復平面s1，即令s1=s+δ或s=s1-δ得到以s1為變量的新特征方程式D(s1)=0，再利用代數(shù)判據(jù)判別新特征方程式的穩(wěn)定性，若新特征方程式的所有根均在s1平面的左半平面，則說明原系統(tǒng)不但穩(wěn)定，而且所有特征根均位于-δ的左側(cè)，δ稱為系統(tǒng)的穩(wěn)定裕量,第3章

20、 控制系統(tǒng)的時域分析,例 3-12 檢驗特征方程式 是否有根在s右半平面，以及有幾個根在s=-1垂線的右邊。解 列勞斯表：由勞斯判據(jù)知，系統(tǒng)穩(wěn)定，所有特征根均在s的左半平面。,第3章 控制系統(tǒng)的時域分析,令s=s1-1代入D(s)得s1的特征方程式列勞斯表： 勞斯表中第一列元素符號改變一次，表示系統(tǒng)有一個根在s1右半平面，也就是有一個根在s=-1垂線的右邊(虛軸的左邊)，系統(tǒng)的穩(wěn)定裕量不

21、到1。,返回,第3章 控制系統(tǒng)的時域分析,§3.4 系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差,3.4.1 誤差及穩(wěn)態(tài)誤差的定義 系統(tǒng)的誤差e(t)一般定義為被控量的希望值與實際值之差。即 e(t)=被控量的希望值—被控量的實際值,第3章 控制系統(tǒng)的時域分析,對于圖3-5所示的反饋控制系統(tǒng)，常用的誤差定義有兩種 1. 輸入端定義2. 輸出端定義當圖3-5中反饋為單位反饋時，即H(s)=1時，上述兩種定義可統(tǒng)一為,第3章 控制

22、系統(tǒng)的時域分析,誤差響應(yīng)e(t)與系統(tǒng)輸出響應(yīng)c(t)一樣，也包含暫態(tài)分量和穩(wěn)態(tài)分量兩部分，對于一個穩(wěn)定系統(tǒng)，暫態(tài)分量隨著時間的推移逐漸消失，而我們主要關(guān)心的是控制系統(tǒng)平穩(wěn)以后的誤差，即系統(tǒng)誤差響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)分量——穩(wěn)態(tài)誤差記為ess。 定義穩(wěn)態(tài)誤差為穩(wěn)定系統(tǒng)誤差響應(yīng)e(t)的終值。當時間t趨于無窮時，e(t)的極限存在，則穩(wěn)態(tài)誤差為,第3章 控制系統(tǒng)的時域分析,3.4.2 穩(wěn)態(tài)誤差分析,根據(jù)誤差和穩(wěn)態(tài)誤差的定義，系統(tǒng)

23、誤差e(t)的象函數(shù) 定義 為系統(tǒng)對輸入信號的誤差傳遞函數(shù)。,第3章 控制系統(tǒng)的時域分析,由拉普拉斯變換的終值定理計算穩(wěn)態(tài)誤差，則代入E(s)表達式得 從上式得出兩點結(jié)論：1. 穩(wěn)態(tài)誤差與系統(tǒng)輸入信號r(t)的形式有關(guān)；2. 穩(wěn)態(tài)誤差與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)及參數(shù)有關(guān)。,第3章 控制系統(tǒng)的時域分析,3.4.3 穩(wěn)態(tài)誤差的計算,對于線性系統(tǒng)，響應(yīng)具有疊加性，不同輸入信號作用于系統(tǒng)產(chǎn)生的誤差等于每一個輸入信號單獨作

24、用時產(chǎn)生的誤差的疊加。對于圖3-7所示系統(tǒng)，控制信號r(t)和擾動信號n(t)同時作用于系統(tǒng)。,第3章 控制系統(tǒng)的時域分析,1.控制信號r(t)單獨作用下， 誤差 穩(wěn)態(tài)誤差essr為,(3-22),第3章 控制系統(tǒng)的時域分析,2. 擾動信號單獨作用下，誤差 穩(wěn)態(tài)誤差,第3章 控制系統(tǒng)的時域分析,定義 為系統(tǒng)對擾動的誤差傳遞函數(shù)。控制系統(tǒng)在給定信號r(t)和擾動信號n(t)同時作用下的穩(wěn)態(tài)

25、誤差ess為,第3章 控制系統(tǒng)的時域分析,例3-13 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖所示，當輸入r(t)=4·t時，求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差ess。 解 系統(tǒng)只有在穩(wěn)定的條件下計算穩(wěn)態(tài)誤差才有意義，所以應(yīng)先判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。系統(tǒng)的特征方程為列勞斯表,第3章 控制系統(tǒng)的時域分析,由勞斯判據(jù)知，系統(tǒng)穩(wěn)定條件為系統(tǒng)的誤差函數(shù)為,第3章 控制系統(tǒng)的時域分析,由終值定理求得穩(wěn)態(tài)誤差計算表明，穩(wěn)定誤差的大小與系統(tǒng)的放大倍數(shù)K有關(guān)

26、。即K越大，穩(wěn)定誤差ess越小。要減小穩(wěn)態(tài)誤差則應(yīng)增大倍數(shù)K，耳聞定性分析卻得出，使系統(tǒng)穩(wěn)定的K只應(yīng)小于5/4，表明系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精度和穩(wěn)態(tài)性對放大倍數(shù)的要求常是矛盾的。,第3章 控制系統(tǒng)的時域分析,3.4.4 應(yīng)用靜態(tài)誤差系數(shù)計算給定信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差,1.系統(tǒng)的類型 系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)可表示為 系統(tǒng)常按開環(huán)傳遞函數(shù)中所含有的積分環(huán)節(jié)個數(shù)來分類。把=0，1，2，…的系統(tǒng)，分別稱為0型，Ⅰ型，Ⅱ型，…

27、系統(tǒng)。,第3章 控制系統(tǒng)的時域分析,2. 靜態(tài)位置誤差系數(shù)Kp 當系統(tǒng)的輸入為單位階躍信號r(t)=1(t)時，由(3-22)式，有其中， ，定義為系統(tǒng)靜態(tài)位置誤差系數(shù)。,第3章 控制系統(tǒng)的時域分析,對于0型系統(tǒng)對于Ⅰ型或高于Ⅰ型以上系統(tǒng),第3章 控制系統(tǒng)的時域分析,3. 靜態(tài)速度誤差系數(shù)Kv當系統(tǒng)的輸入為單位斜坡信號時r(t)=t·1(t)，即則

28、 由式(3-22)有 其中 ，定義為系統(tǒng)靜態(tài)速度誤差系數(shù)。,第3章 控制系統(tǒng)的時域分析,對于0型系統(tǒng) 對于Ⅰ型系統(tǒng),第3章 控制系統(tǒng)的時域分析,對于Ⅱ型或Ⅱ型以上系統(tǒng),第3章 控制系統(tǒng)的時域分析,4. 靜態(tài)加速度誤差系數(shù)Ka,當系統(tǒng)輸入為單位加速度信號時，即 則

29、系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差為其中， ，定義為系統(tǒng)靜態(tài)加速度誤差系數(shù)。,第3章 控制系統(tǒng)的時域分析,對于0型系統(tǒng)，Ka=0，ess=∞；對于Ⅰ型系統(tǒng)，Ka=0，ess=∞；對于Ⅱ型系統(tǒng)，Ka=K，；對于Ⅲ型或Ⅲ型以上系統(tǒng)，Ka=∞，ess=0 。,第3章 控制系統(tǒng)的時域分析,第3章 控制系統(tǒng)的時域分析,例3-14 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖3-9所示，求當輸入信號r(t)=2t+t2時，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差ess。首

30、先判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。由開環(huán)傳遞函數(shù)知，閉環(huán)特征方程為根據(jù)勞斯判據(jù)知閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。,第3章 控制系統(tǒng)的時域分析,第3章 控制系統(tǒng)的時域分析,3.4.5 干擾信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差與系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的關(guān)系,擾動信號n(t)作用下的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖所示 擾動信號n(t)作用下的誤差函數(shù)為,第3章 控制系統(tǒng)的時域分析,穩(wěn)態(tài)誤差 若 ，則上式可

31、近似為由上可得，干擾信號作用下產(chǎn)生的穩(wěn)態(tài)誤差essn除了與干擾信號的形式有關(guān)外，還與干擾作用點之前(干擾點與誤差點之間)的傳遞函數(shù)的結(jié)構(gòu)及參數(shù)有關(guān)，但與干擾作用點之后的傳遞函數(shù)無關(guān)。,,第3章 控制系統(tǒng)的時域分析,3.4.6 改善系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)精度的途徑,從上面穩(wěn)態(tài)誤差分析可知，采用以下途徑來改善系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精度：＊1. 提高系統(tǒng)的型號或增大系統(tǒng)的開環(huán)增益，可以保證系統(tǒng)對給定信號的跟蹤能力。但同時帶來系統(tǒng)穩(wěn)定性變差，甚至導致系統(tǒng)

32、不穩(wěn)定。＊ 2. 增大誤差信號與擾動作用點之間前向通道的開環(huán)增益或積分環(huán)節(jié)的個數(shù)，可以降低擾動信號引起的穩(wěn)態(tài)誤差。但同樣也有穩(wěn)定性問題。＊ 3. 采用復合控制，即將反饋控制與擾動信號的前饋或與給定信號的順饋相結(jié)合。,返回,第3章 控制系統(tǒng)的時域分析,§3.5　一階系統(tǒng)的時域響應(yīng),3.5.1 數(shù)學模型 能夠用一階微分方程描述的系統(tǒng)為一階系統(tǒng)，其傳遞函數(shù)為其中T——一階系統(tǒng)的時間常數(shù),第3章 控制系統(tǒng)的時域分析

33、,3.5.2 單位階躍響應(yīng),當r(t)=1(t)時，一階系統(tǒng)的輸出c(t)稱為單位階躍響應(yīng)，記作h(t)。,圖3-12 一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng),第3章 控制系統(tǒng)的時域分析,3.5.3 性能指標,1.調(diào)整時間ts 經(jīng)過時間3T～4T，響應(yīng)曲線已達穩(wěn)態(tài)值的95%～98%，可以認為其調(diào)整過程已完成，故一般取ts=(3～4)T。 2. 穩(wěn)態(tài)誤差ess 系統(tǒng)的實際輸出h(t)在時間t趨于無窮大時，接近于輸入值，即3. 超調(diào)量M

34、p 一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為非周期響應(yīng)，故系統(tǒng)無振蕩、無超調(diào)，Mp=0。,第3章 控制系統(tǒng)的時域分析,3.5.4 一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng),當輸入信號r(t)=δ(t)時，系統(tǒng)的輸出稱為單位脈沖響應(yīng)，記為g(t)。當r(t)=δ(t)， 即R(s)=1時，有,返回,第3章 控制系統(tǒng)的時域分析,§3.6 二階系統(tǒng)的時域響應(yīng),3.6.1 二階系統(tǒng)的數(shù)學模型 典型二階系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖3-14所示，其閉環(huán)

35、傳遞函數(shù)為或,圖3-14 典型二階系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖,第3章 控制系統(tǒng)的時域分析,,,其中ζ ——系統(tǒng)的阻尼比 ωn——系統(tǒng)的無阻尼自然振蕩角頻率 ——系統(tǒng)振蕩周期系統(tǒng)的特征方程為特征根為,第3章 控制系統(tǒng)的時域分析,3.6.2 二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng),1.當ζ>1時，系統(tǒng)有兩個不相等的負實根，稱為過阻尼狀態(tài)。兩個不相等的負實根為單位階躍響應(yīng),,,,第3章 控制系統(tǒng)的時域分析

36、,第3章 控制系統(tǒng)的時域分析,2. 當0<ζ<1時，系統(tǒng)有一對實部為負的共軛復根，稱為欠阻尼狀態(tài)。在欠阻尼狀態(tài)下，系統(tǒng)的兩個閉環(huán)極點為一對共軛復極點，即其中， 稱為阻尼振蕩角頻率。,,,第3章 控制系統(tǒng)的時域分析,單位階躍響應(yīng) 也可寫成 式中,,,,第3章 控制系統(tǒng)的時域分析,圖3-16 欠阻尼狀態(tài)下系統(tǒng)單位階躍響應(yīng),上升時間tr其中 (2) 峰值時間tp,,

37、,,第3章 控制系統(tǒng)的時域分析,(3) 最大超調(diào)量Mp (4) 調(diào)整時間ts 誤差帶范圍為 ±5%誤差帶范圍為± 2%(5) 振蕩次數(shù)N,,,,,第3章 控制系統(tǒng)的時域分析,3. 當阻尼比ζ=1時，系統(tǒng)的特征根為兩相等的負實根，稱為臨界阻尼狀態(tài)。,此時系統(tǒng)在單位階躍函數(shù)作用下，系統(tǒng)的超調(diào)量Mp=0，調(diào)節(jié)時間 (對應(yīng)誤差帶為5%),圖3-18 臨界阻尼系統(tǒng)階躍響應(yīng),第3章 控制系統(tǒng)

38、的時域分析,4. 當阻尼比ζ=0時，系統(tǒng)特征根為一對純虛根，稱為無阻尼狀態(tài)。 系統(tǒng)特征根 單位階躍響應(yīng)為,,,第3章 控制系統(tǒng)的時域分析,3.6.3 二階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng),1.脈沖響應(yīng)及脈沖響應(yīng)函數(shù) 當系統(tǒng)輸入信號為單位脈沖函數(shù)δ(t)時，系統(tǒng)的響應(yīng)為單位脈沖響應(yīng)，記為g(t)。,,,第3章 控制系統(tǒng)的時域分析,2. 脈沖響應(yīng)與階躍響應(yīng)的關(guān)系 系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)是該系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)的積分，或系統(tǒng)的

39、單位脈沖響應(yīng)是該系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的導數(shù)。即或,,,第3章 控制系統(tǒng)的時域分析,3. 二階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng) 當ζ>1時當0<ζ<1時當ζ=1時 當ζ=0時,,,,,第3章 控制系統(tǒng)的時域分析,例3-15 原控制系統(tǒng)如圖3-23(a)所示，引入速度反饋后的控制系統(tǒng)如圖3-23(b)所示，已知在圖3-23(b)中，系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的超調(diào)量Mp%=16.4%，峰值時間tp=1.14s，試確定參數(shù)

40、K和Kt，并計算系統(tǒng)在(a) 和(b)的單位階躍響應(yīng)h(t)。,圖3-23 例3-15圖,第3章 控制系統(tǒng)的時域分析,解 對于系統(tǒng)(b)，其閉環(huán)傳遞函數(shù)為與典型二階系統(tǒng)相比較，有 （3-55）而已知Mp=16.4% tp=1.14s根據(jù) 求得,,,,,,,第3章 控制系統(tǒng)的時域分析,求得 將 代入(3-55)得 其單位階躍響應(yīng)為,

41、,,,,第3章 控制系統(tǒng)的時域分析,對于系統(tǒng)(a)，其閉環(huán)傳遞函數(shù)為與典型二階系統(tǒng)比較有 系統(tǒng)的最大超調(diào)量 峰值時間其單位階躍響應(yīng)為,,,,,,返回,第3章 控制系統(tǒng)的時域分析,§3.7 高階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng),3.7.1 高階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng) n階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為,,第3章 控制系統(tǒng)的時域分析,,,,,當輸入為單位階躍函數(shù)r(t)=1(t)，即時，則假設(shè)所有閉環(huán)零點和極點互不相等且均為實數(shù),第

42、3章 控制系統(tǒng)的時域分析,當極點中還包含共軛復極點時 進行拉普拉斯反變換可得系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng),,,第3章 控制系統(tǒng)的時域分析,3.7.2 高階系統(tǒng)的降階,主導極點 在整個響應(yīng)過程中起著主要的決定性作用的閉環(huán)極點，我們稱它為主導極點。 工程上往往只用主導極點估算系統(tǒng)的動態(tài)特性。即將系統(tǒng)近似地看成是一階或二階系統(tǒng)。,第3章 控制系統(tǒng)的時域分析,2. 偶極子

43、 將一對靠得很近的閉環(huán)零、極點稱為偶極子。工程上，當某極點和某零點之間的距離比它們的模值小一個數(shù)量級，就可認為這對零極點為偶極子。 閉環(huán)傳遞函數(shù)中，如果零、極點數(shù)值上相近，則可將該零點和極點一起消掉，稱之為偶極子相消。,第3章 控制系統(tǒng)的時域分析,3.7.3 零極點對階躍響應(yīng)的影響,1.零點對階躍響應(yīng)的影響 假設(shè)系統(tǒng)中增加一個閉環(huán)實零點，即系統(tǒng)中增加了一個串聯(lián)環(huán)節(jié) 且閉環(huán)零點z位于復平面的左

44、半平面，,,,第3章 控制系統(tǒng)的時域分析,上式拉普拉斯反變換 可見，增加一個閉環(huán)左實零點以后，系統(tǒng)階躍響應(yīng)增加了一項，該項的值與c(t)的變化率成正比，與該零點離虛軸的距離成反比。顯然，該零點的增加將使系統(tǒng)響應(yīng)過程加快，超調(diào)量增大，系統(tǒng)對輸入作用的反應(yīng)靈敏了。,,第3章 控制系統(tǒng)的時域分析,反之，如果增加的閉環(huán)零點位于復平面的右半平面，即 ，則這將使系統(tǒng)響應(yīng)過程變慢

45、，超調(diào)量減小，系統(tǒng)對輸入作用的反應(yīng)變滯呆了。,,,第3章 控制系統(tǒng)的時域分析,2. 極點對階躍響應(yīng)的影響,假設(shè)系統(tǒng)增加一個閉環(huán)左實極點-|p|，系統(tǒng)在單位階躍信號作用下輸出 取拉普拉斯反變換得,,,第3章 控制系統(tǒng)的時域分析,可以看出：系統(tǒng)中增加一個閉環(huán)左實極點，系統(tǒng)的過渡過程將變慢，超調(diào)量將減小，系統(tǒng)的反應(yīng)變得較為滯呆。 對于閉環(huán)傳遞函數(shù)存在右極點的情況，系統(tǒng)時域響應(yīng)是發(fā)散的，系統(tǒng)不穩(wěn)定,返回,第3章 控制

46、系統(tǒng)的時域分析,§3.8 用MATLAB和SIMULINK進行瞬態(tài)響應(yīng)分析,3.8.1 單位脈沖響應(yīng) 當輸入信號為單位脈沖函數(shù)δ(t)時，系統(tǒng)輸出為單位脈沖響應(yīng)，MATLAB中求取脈沖響應(yīng)的函數(shù)為impulse( )，其調(diào)用格式為 ［y，x，t］=impulse(num，den，t) 或 impulse(num，den)式中G(s)=num/den；

47、 t為仿真時間； y為時間t的輸出響應(yīng)；x為時間t的狀態(tài)響應(yīng)。,第3章 控制系統(tǒng)的時域分析,,例3-16 試求下列系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)MATLAB命令為：>> t=[0：0.1：40]；>>num=[1]； >>den=[1，0.3，1]；>>impulse(num，den，t)；>>grid；>>title('Unit-impulse

48、 Response of G(s)=1/(s^2+0.3s+1)') 其響應(yīng)結(jié)果如圖所示。,第3章 控制系統(tǒng)的時域分析,,例3-17 系統(tǒng)傳遞函數(shù)為求取其單位脈沖響應(yīng)的MATLAB命令為>>t=[0：0.1：10]；num=[1]；>>den=[1，1，1]；>>[y，x，t]=impulse(num，den，t)>>plot(t，y

49、)；grid >>xlabel(‘t’)； ylable(‘y’)；其響應(yīng)結(jié)果如圖所示。,第3章 控制系統(tǒng)的時域分析,3.8.2 單位階躍響應(yīng),當輸入為單位階躍信號時，系統(tǒng)的輸出為單位階躍響應(yīng)，在MATLAB中可用step( )函數(shù)實現(xiàn)，其調(diào)用格式為[y， x， t]=step(num， den， t) 或step(num， den),第3章 控制

50、系統(tǒng)的時域分析,例3-18 求系統(tǒng)傳遞函數(shù)為>>num=[1]； den=[1，0.5，1]； >>t=[0：0.1：10]；>>[y，x，t]=step(num，den，t)；>>plot(t，y)；grid；>>xlabel(‘Time [sec] t’)； >>ylabel(‘y’)響應(yīng)曲線如圖3-26所示

51、,,圖3-26 單位階躍響應(yīng),第3章 控制系統(tǒng)的時域分析,3.8.3 斜坡響應(yīng),在MATLABA中沒有斜坡響應(yīng)命令，因此，需要利用階躍響應(yīng)命令來求斜坡響應(yīng)。根據(jù)單位斜坡響應(yīng)輸入是單位階躍輸入的積分。當求傳遞函數(shù)為的斜坡響應(yīng)時，可先用除得，再利用階躍響應(yīng)命令即可求得斜坡響應(yīng)。,第3章 控制系統(tǒng)的時域分析,例3-19 已知閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù) 對單位斜坡輸入 則,,,,第3章 控制系統(tǒng)的時域分析

52、,系統(tǒng)單位斜坡響應(yīng)的MATLAB命令：>> num=[1]； >>den=[1，0.3，1，0]； >>t=[0：0.1：10]； >>c=step(num，den，t)；>>plot(t，c)；>>grid；>>xlabel('t sec')；>>ylabel('Input and Output

53、9;)其響應(yīng)結(jié)果如圖所示。,第3章 控制系統(tǒng)的時域分析,3.8.4 任意函數(shù)作用下系統(tǒng)的響應(yīng),,用線性仿真函數(shù)lsim來實現(xiàn)，其調(diào)用格式為 ［y，x］=lsim(num，den，u，t) 式中 ；y(t)為系統(tǒng)輸出響應(yīng)；x(t)為系統(tǒng)狀態(tài)響應(yīng)；u為系統(tǒng)輸入信號；t為 仿真時間。,第3章 控制系統(tǒng)的時域分析,,例3-20 反饋系統(tǒng)如圖3-28(a)所示，

54、系統(tǒng)輸入信號為圖3-28(b)所示的三角波，求取系統(tǒng)輸出響應(yīng)。,第3章 控制系統(tǒng)的時域分析,MATLAB實現(xiàn)指令>>numg=[10，20]；deng=[1，10，0]；>> [num，den]=cloop(numg，deng，-1)；>>v1=[0：0.1：2]；>>v2=[1.9：-0.1：-2]；>>v3=[-1.9：0.1：0]；>>t=[0

55、：0.1：8]；>>u=[v1，v2，v3]；>> [y，x]=lsim(num，den，u，t)；>>plot(t，y，t，u)；>>xlabel('Time [sec]')；,第3章 控制系統(tǒng)的時域分析,第3章 控制系統(tǒng)的時域分析,3.8.5 Simulink中的時域響應(yīng)舉例,例3-21圖3-30的Simulink的仿真框圖可演示系統(tǒng)對典型信號的時間響應(yīng)