數(shù)學(xué)科學(xué)的魅力與精髓-福州一中

1、魅力與精髓,數(shù)學(xué)科學(xué)的,南京大學(xué)數(shù)學(xué)系,蘇維宜,數(shù) 學(xué),揭示宇宙的規(guī)律,用智慧的思維、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿?精湛的技巧、縝密的推理,我的目錄 —,一、連續(xù)統(tǒng)假設(shè),與牛頓微積分,二、分?jǐn)?shù)維數(shù),與分形微積分,,先從一個(gè)故事開(kāi)始 “驚天的成就” （王元的評(píng)價(jià)）,這樣的數(shù)列,由素?cái)?shù)構(gòu)成的等差數(shù)列,素?cái)?shù)等差數(shù)列,稱(chēng)為數(shù)列的長(zhǎng)度,存在不存在 ？,為素?cái)?shù)，,其中,為公差，,素?cái)?shù)等差數(shù)列,數(shù)列,答案當(dāng)然是肯定的 ！

2、 例如,項(xiàng)數(shù),公差,,目前，計(jì)算機(jī) 能找到的 最長(zhǎng)的 等差素?cái)?shù)列 為,素?cái)?shù)等差數(shù)列,非常非常大的素?cái)?shù),738,095,860 —— 7億3千8百零9萬(wàn)…,素?cái)?shù)等差數(shù)列,56萬(wàn)2千1百13億8千3百76萬(wàn)零3百97,44萬(wàn)5千4百67億3千8百另9萬(wàn)5千8百60,大約是1025萬(wàn)億的數(shù)量級(jí),等差素?cái)?shù)列的存在性定理 定理：對(duì)于任意的,素?cái)?shù)等差數(shù)列,,素?cái)?shù)集必包含長(zhǎng)度為,的等差素?cái)?shù)列。,,“存在性” 的證

3、明 方法之難、技巧之高、 思維之精、理論之深 令人嘆為觀止 達(dá)到數(shù)學(xué)科學(xué)的頂峰。,素?cái)?shù)等差數(shù)列,,世界輿論驚呼： “美麗的素?cái)?shù)、偉大的證明” “一步登天的杰作” “驚天的杰作”,素?cái)?shù)等差數(shù)列,“第二位華裔數(shù)學(xué)家出現(xiàn) 在

4、Fields獎(jiǎng)壇上”,陶澤軒、 B. Green（澳大利亞華裔數(shù)學(xué)家） (美國(guó))用調(diào)和分析、數(shù)論、遍歷理論等 證明了：任意長(zhǎng)度 的 素?cái)?shù)等差數(shù)列存在,陶澤軒、Green,,陶澤軒,陶澤軒,,31歲（2006年）獲 菲爾茲（Fields）獎(jiǎng) 同年，獲麥克阿瑟天才基金。,陶澤軒,他的一本書(shū)：,分析學(xué),給我以啟發(fā)，決定講下面的內(nèi)容。,,中國(guó)老一輩、新一代的

5、 數(shù)學(xué)家們的期盼： “實(shí)現(xiàn)中國(guó)本土 Fields獎(jiǎng)零的突破”,期盼,這個(gè)突破，歷史地,落到你們的肩上。,要達(dá)到科學(xué)的 頂 峰,必須 熱愛(ài)科學(xué)，熱愛(ài)數(shù)學(xué) 訓(xùn)練從小開(kāi)始 用心去學(xué) 就像鋼琴、體操、…,一、,連續(xù)統(tǒng)假設(shè)

6、 與牛頓微積分,從數(shù)集開(kāi)始,自然數(shù)集,整數(shù)集,有限數(shù)集,非負(fù)數(shù)集,等等,,早在公元前500多年，古希臘的數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯和以他為首的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，對(duì)“數(shù)”進(jìn)行了研究，他們認(rèn)為 一切數(shù)都可表示為 兩整數(shù)之比（quitient）至今還有人稱(chēng)有理數(shù)為比例數(shù),都是無(wú)限數(shù)集,把數(shù)放在“數(shù)軸”上,,,,,,,0,1,2,3,,,-1,-2,4,x,,,,,,,,幾個(gè)重要的問(wèn)題,1、 何謂無(wú)限數(shù)集 ？2、無(wú)限

7、數(shù)集中元的 “個(gè)數(shù)” 是多少 ？無(wú)限數(shù)集能比多少否3、 比有理數(shù)集更大的數(shù)集 存在嗎 ？有不是有理數(shù)的數(shù)否,研究無(wú)限集及其中元的個(gè)數(shù),自然數(shù)集與偶數(shù)集 哪個(gè)集的個(gè)數(shù)多 ？ 顯然,回答：自然數(shù)集比偶數(shù)集 多出一倍,用“一對(duì)一”比較,自然數(shù)集比作無(wú)限多個(gè)椅子 偶數(shù)集中每個(gè)數(shù)代表一個(gè)人,一人坐一個(gè)椅子，不多也不少,有理數(shù)竟然能與自然數(shù)一對(duì)一,以[0,1]中的有理數(shù)為例,

8、于是,無(wú)限集的定義,一個(gè)集合 ，若存在與它 一一對(duì)應(yīng)的真子集,則稱(chēng)其為無(wú)限集,自然數(shù)集“個(gè)數(shù)”,將自然數(shù)集作為無(wú)限數(shù)集的 標(biāo)準(zhǔn)集，稱(chēng)其“個(gè)數(shù)”為 勢(shì) cardinal number,記為 讀作 阿里夫零,下列數(shù)集都可建立一一對(duì)應(yīng),自然數(shù)集,整數(shù)集,有理數(shù)集,非負(fù)整數(shù)集,幾個(gè)無(wú)限集的勢(shì),請(qǐng)同學(xué)們自行證明,勢(shì)的運(yùn)算規(guī)則,德國(guó)數(shù)學(xué)家Cantor發(fā)現(xiàn)：冪運(yùn)算

9、 也能推廣到“勢(shì)”,比阿里夫零更大的勢(shì),代表 自然數(shù)集的全體子集 所構(gòu)成的集的“勢(shì)”Cantor 證明了,,回顧無(wú)理數(shù)的誕生 畢達(dá)哥拉斯 古希臘（Pythagoras, 約BC580～BC500） 畢達(dá)哥拉斯學(xué)派對(duì)數(shù)學(xué)有巨大貢獻(xiàn)如數(shù)論、幾何（勾股定理）、數(shù)學(xué)的抽象思維研究方法等等。但卻頑固 堅(jiān)持：任何數(shù)都是有理數(shù),付出血的代價(jià)

10、 希帕索斯 的悲劇 （Hippasus） 相傳第一個(gè)發(fā)現(xiàn) 不能表示成分?jǐn)?shù)的希帕索斯，被同一學(xué)派人投入大海而斃命。 習(xí)題：證明 不能表成分?jǐn)?shù),,越來(lái)越多的數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)了無(wú)理數(shù)，這使得數(shù)學(xué)家的思想認(rèn)識(shí)發(fā)生混亂，導(dǎo)致數(shù)學(xué)史上有名的 “第一次數(shù)學(xué)危機(jī)”。,直到19世紀(jì)七十年代

11、，德國(guó)數(shù)學(xué)家 康托 （Cantor）、 戴德金（Dedekind）、 魏斯特拉斯（Weierstrass）分別獨(dú)立地提出了三種不同方式 定義無(wú)理數(shù)使 實(shí)數(shù)理論得以真正公理化。,無(wú)理數(shù)的勢(shì),無(wú)理數(shù)誕生后， 數(shù)學(xué)家證明了 無(wú)理數(shù)的“勢(shì)”就是,證明方法非常巧妙,1、個(gè)數(shù)為 的有限集合 的

12、 所有子集共有 個(gè),2、勢(shì)為 的無(wú)限集 的所有 子集設(shè)為 ，記為,構(gòu)造一個(gè)集合,1、設(shè) 為 的所有子集的集合,2、設(shè),為單點(diǎn)集所成的集,構(gòu)造集合,導(dǎo)出矛盾！（練習(xí)題）,導(dǎo)出矛盾,是 的子集,從而導(dǎo)出矛盾！故得,是,的元,數(shù)學(xué)家的不斷努力，使數(shù)集不斷完善。 無(wú)理數(shù)的誕生使得數(shù)軸被 “填滿(mǎn)”，獲得了實(shí)數(shù)系,勢(shì)為阿里夫的集,基數(shù)阿里夫也稱(chēng)為

13、 連續(xù)統(tǒng)基數(shù),連續(xù)統(tǒng)假設(shè),Cantor猜想 ——基數(shù)阿里夫與阿里夫零 之間不存在其他基數(shù),Hilbert 23問(wèn)題,1900年巴黎的第二次國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)上，Hilbert 提出舉世聞名的 23 問(wèn)題，連續(xù)統(tǒng)假設(shè)顯赫地排在 第一個(gè) 。,Hilbert 23問(wèn)題的答案,1966年美國(guó)數(shù)學(xué)家科恩 p.J. Cohen因證明連續(xù)統(tǒng)假設(shè)與ZF集合公理系統(tǒng)彼

14、此獨(dú)立彼此相容，而獲Fields獎(jiǎng),成為微積分的基礎(chǔ),連續(xù)統(tǒng)假設(shè)是 獨(dú)立的現(xiàn)代邏輯工具更成為 牛頓微積分的基礎(chǔ),連續(xù)統(tǒng)假設(shè)的本質(zhì),連續(xù)統(tǒng)假設(shè)與 ZF公理系統(tǒng) （Zermelo）- (Fraenkel) 彼此獨(dú)立,ZF公理系統(tǒng),1、 空集存在2、元素相同的集相等3、兩集的序?qū)ǚe集）存在4、集中的一些元素的并集存在5、集的所有子集（冪集）

15、存在,ZF公理系統(tǒng),6、集在單值映射下的像仍是集7、正則公理：集不是自己的元8、無(wú)限公理：無(wú)限集存在9、選擇公理：不含空集的非空 集族,七種等價(jià)結(jié)論,連續(xù)統(tǒng)假設(shè)成為微積分的基礎(chǔ)， 常用的是七個(gè)等價(jià)原理1、非空有界集的確界存在原理2、單調(diào)有界序列的收斂原理3、 Cantor 區(qū)間套原理4、 Heine-Borel有限覆蓋定理 （有界閉區(qū)間的緊致性）,七種等價(jià)結(jié)論,5、 Bolzano-

16、Weiestrass 定理 （有界閉區(qū)間的序列緊性）6、 Weiestrass 聚點(diǎn)定理 （ 有界無(wú)限數(shù)集的列緊性）7、 Cauchy 序列的收斂性定理 （實(shí)數(shù)集的完備性）,我們只解釋一下比較直觀的 區(qū)間套原理：設(shè)遞減閉區(qū)間序列,的長(zhǎng)度,趨向于 0,當(dāng),則存在唯一一點(diǎn)屬于所有區(qū)間。,用數(shù)學(xué)記號(hào),區(qū)間套,存在唯一的一個(gè)公共點(diǎn),,,,,,,,,,,,當(dāng)區(qū)間長(zhǎng)度趨向于零時(shí)，應(yīng)當(dāng),,思考：

17、為何以連續(xù)統(tǒng)假設(shè)為基礎(chǔ)？,牛頓微積分,要解決的核心問(wèn)題,英國(guó) 德國(guó) （Newton, 1643～1727） （ Leibniz, 1646～1716 ） 微積分 科學(xué)家聯(lián)手，成為 微積分的 奠基人,牛頓,萊布尼

18、茲,,在牛頓微積分中 導(dǎo)數(shù)意義 —— 曲線(xiàn)切線(xiàn)的斜率（數(shù)學(xué)） —— 運(yùn)動(dòng)物體的速度（物理） 積分意義 —— 圖形的長(zhǎng)度面積 （數(shù)學(xué)） —— 物體的質(zhì)量力矩 （物理）,導(dǎo)數(shù) —— 曲線(xiàn)切線(xiàn)的斜率（數(shù)學(xué)） —— 運(yùn)動(dòng)物體的速度（物理）都抽象地表示為一個(gè) “極限”,這里,是曲線(xiàn)割線(xiàn)的斜率，,或運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的平均速度。,曲線(xiàn)切線(xiàn)的斜率（數(shù)學(xué)）,這里,是曲線(xiàn)割線(xiàn)的斜率,是切線(xiàn)

19、的斜率,,,,,,,,,,曲線(xiàn)也可視為運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡,積分 —— 圖形的面積（數(shù)學(xué)） —— 物體的質(zhì)量（物理）也都抽象地表示為一個(gè) “極限”,這里,是區(qū)間,的劃分，,圖形的面積（數(shù)學(xué)）,這里,是區(qū)間,的劃分，,,,,,,,,,,,是紅色矩形面積,,是圖形面積的近似值,,牛頓微積分,粗略地說(shuō),,探索宇宙間 數(shù)與形（數(shù)學(xué)）、 運(yùn)動(dòng)體（物理） 變化率與度量的規(guī)律

20、 的學(xué)科,,牛頓微積分,核心問(wèn)題是,,如何處理 “近似值”（平均量） 與 “精確值” （極限）,因此極限是 至關(guān)重要的概念！,,牛頓微積分,本質(zhì)性質(zhì)是什么？,,也就是 要建立稱(chēng)為 “微分”、 “積分”,的概念，當(dāng)滿(mǎn)足什么 本質(zhì)性質(zhì)？,,就稱(chēng)極限值,牛頓微積分,為,在,的導(dǎo)數(shù)，記為,幾何意義：曲線(xiàn),在點(diǎn),的切線(xiàn)的斜率。,定義變化率

21、的準(zhǔn)則,作為變化率，視為求導(dǎo)運(yùn)算， 應(yīng)滿(mǎn)足以下準(zhǔn)則：（1）求導(dǎo)運(yùn)算存在逆運(yùn)算— 積分運(yùn)算（2）導(dǎo)數(shù)的Fourier變換滿(mǎn)足— Fourier 變換公式,牛頓微積分,（3） 導(dǎo)數(shù)滿(mǎn)足逼近論中的 正、逆逼近定理（4） 固有方

22、程的解 — 固有函數(shù)與固有值 是所對(duì)應(yīng)的局部緊群的 特征群的特征函數(shù) 與特征值,數(shù)學(xué)表示,（1）求導(dǎo)運(yùn)算的逆運(yùn)算 —— 積分運(yùn)算,（1）的意義,正如，加法的逆運(yùn)算 是減法,數(shù)學(xué)表示,（2）導(dǎo)數(shù)的Fouri

23、er變換 滿(mǎn)足 Fourier變換公式,（2）的意義,函數(shù)的Fourier變換 理解為信號(hào)（函數(shù)）的 頻譜,Fourier變換的意義,在實(shí)際應(yīng)用中， 信號(hào)（函數(shù)）分析 非常重要雷達(dá)測(cè)量到的是信號(hào)的 頻率（Fourier變換）,（3） 導(dǎo)數(shù)滿(mǎn)足逼近論中 正、逆逼近定理,（3）的意義,,亦即，函數(shù)愈光滑，最佳逼近,趨于零的速度愈快；

24、反之亦然。,,唯一的多項(xiàng)式，稱(chēng)為最佳近。,則函數(shù)越光滑（存在導(dǎo)數(shù)的階 越高），最佳逼近趨于零的速 度愈快；反之亦然。,其意思是：用多項(xiàng)式近似代替,（逼近）一個(gè)函數(shù)時(shí)，存在,（4） 固有方程的解—— 固有函數(shù)與固有值 是所對(duì)應(yīng)的局部緊群的 特征群的特征函數(shù)

25、 與特征值,（4） 的意義 物理背景強(qiáng)烈（振動(dòng)的固有頻率、 士兵過(guò)橋的故事） 數(shù)學(xué)意義深刻 （群與特征群理論）,二、,分?jǐn)?shù)維數(shù) —— 分形微積分,Mandelbrot （美籍） 1967發(fā)表（Science, 155, p.636） 英國(guó)的海岸線(xiàn)

26、 有多長(zhǎng) ？,為何在如此頂級(jí)的、 世界級(jí)科學(xué)期刊 “科學(xué)” 上， 發(fā)表幾乎是中學(xué)地理課 都會(huì)講到的一個(gè) 眾所周知的內(nèi)容呢？,更有甚者、 它的答案竟然是 無(wú)窮大 ！,,英國(guó)海岸線(xiàn)模擬,二十世紀(jì)中葉以后，諸多領(lǐng)域 的科學(xué)家們注意到大自然中出現(xiàn)的

27、 現(xiàn)象 —— 蝴蝶效應(yīng)、孤立子、湍流、 月坑、河流、凝聚現(xiàn)象、 探礦、地震、海嘯、 臨床醫(yī)學(xué)、生命科學(xué)、 市場(chǎng)行情、股票期貨、,在其他科學(xué)領(lǐng)域中，如 物理學(xué)、天文學(xué)、 生命科學(xué)、 地球科學(xué)、 環(huán)境科學(xué)、… 諸多領(lǐng)域中都也出現(xiàn)了,大自然中、 科學(xué)研究中出現(xiàn)了大量的

28、 牛頓微積分 解決不了的問(wèn)題！,數(shù)學(xué)家早就發(fā)現(xiàn) 連續(xù)但處處無(wú)導(dǎo)數(shù),,Weierstrass函數(shù)、,牛頓微積分無(wú)能為力！,Weierstrass 函數(shù),Weierstrass函數(shù),,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,其圖形為,蝴蝶效應(yīng)： 撒哈拉大沙漠中的一只蝴蝶扇扇翅膀，就會(huì)在美國(guó)紐約掀起一場(chǎng) 狂風(fēng)暴雨

29、 這是怎么一回事呢 ？,Lorentz 體系：,數(shù)學(xué)家研究了它的解：在三維空間中，解曲線(xiàn)上的點(diǎn)從原點(diǎn)出發(fā)，呈蝴蝶狀向外擴(kuò)張，然后又回到原點(diǎn)，解曲線(xiàn)上兩點(diǎn)間的距離則按指數(shù)函數(shù)增大?！安环€(wěn)定” ！,Lorentz 體系的解 不滿(mǎn)足穩(wěn)定性 —— 混沌,,,產(chǎn)生奇怪吸引子,,,,,蝴蝶效應(yīng),這里說(shuō)到 （1） 微分方程組：是指含幾個(gè)未知 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的方程組；

30、 （2） 微分方程解的存在性、唯一性、穩(wěn)定性 —— 統(tǒng)稱(chēng)“適定性” 。 不是每個(gè)偏微分方程都能解出來(lái)的， 數(shù)學(xué)家能證明，在一定條件下，它的解 存在（一定有）、唯一（只有一個(gè)）、 穩(wěn)定（不大起大落） ！,蝴蝶效應(yīng) 就是當(dāng) Lorentz 系的 穩(wěn)定性被破壞時(shí)產(chǎn)生的 自然現(xiàn)象。,,孤立子（波）,另一個(gè)現(xiàn)象,倫敦泰晤士河邊 騎馬散步的羅素發(fā)現(xiàn)了

31、 孤立子,,,,,,,,,,,,,,,泰晤士河,,在實(shí)驗(yàn)室里產(chǎn)生孤立波，這種現(xiàn)象的數(shù)學(xué)研究方法是研究一種可積系統(tǒng)，涉 及很深的數(shù)學(xué)理論。,如今已經(jīng)可以,Mandelbrot,B.B. (1924-) 美籍波蘭人，耶魯大學(xué)教授 20世紀(jì)70年代中期提出 fractal (分形)( 來(lái)自拉丁語(yǔ)fractus，意為碎片),Mandelbro

32、t,研究對(duì)象： 自然界中不規(guī)則、支離破碎、 經(jīng)典數(shù)學(xué)難以研究的問(wèn)題 例如：Cantor集、魔鬼階梯、Weierstrass函數(shù)、Brown運(yùn)動(dòng)…,Fractal分析,Cantor三分集,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,問(wèn)題：Cantor三分集中還有點(diǎn)嗎 ？,魔鬼階梯,,能登著魔鬼階梯的每一級(jí)從底到頂嗎 ？,Cantor三分集,答案：Cantor三分集中

33、 有無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)， 多到 能與區(qū)間 [ 0,1 ] 中的點(diǎn) 一一對(duì)應(yīng)；亦即，它的勢(shì)是,,,答案（1）,答案：,,不可能 登著魔鬼階梯 每一個(gè)臺(tái)階上去！,答案（2）,（為什么？留給聽(tīng)眾思考?。?,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,Coch曲線(xiàn)（雪花曲線(xiàn)）,隨機(jī)雪花曲線(xiàn)是 英國(guó)海岸線(xiàn) 的模擬,,,,Fractal分析,,,,,

34、,,,,,,,,,,氣體分子Brown運(yùn)動(dòng),水墨畫(huà),Fractal分析,Mandelbrot 心 臟,Fractal分析,Mandelbrot 心 臟,Fractal分析,動(dòng)態(tài)的Mandelbrot心臟,樹(shù)葉,風(fēng)箏,抽象派項(xiàng)鏈,Fractal分析,龍的曲線(xiàn),Fractal分析,Julia集（兔子集）,Fractal分析,Julia集（兔子集）,Fractal分析,余弦樹(shù),Fractal分析,分形有大量的應(yīng)

35、用， 如物理、化學(xué)、天文、 地質(zhì)、經(jīng)濟(jì)、生命科學(xué)、 臨床醫(yī)學(xué)、… 等待著您！,Fractal分析,什么是分形呢？,‘分形圖形’或‘分形集’指的是 具有以下特征性質(zhì)的幾何形體:（1）在任意小的尺度下 都有細(xì)結(jié)構(gòu) （無(wú)論如何細(xì)分，都含有 自身的特征性質(zhì)）；,Fractal分析,（2）處處不可微

36、 （沒(méi)有經(jīng)典意義下的導(dǎo)數(shù)、 或逐段導(dǎo)數(shù)＝0, 接點(diǎn)無(wú)導(dǎo)數(shù)）（3）通常的度量對(duì)它們失去意義 （如長(zhǎng)度、面積、體積等, 或 = 0 ,或 = 無(wú)窮大）；,Fractal分析,（4） 有其自身生成規(guī)律性 （自相似、自仿、遞歸、 隨機(jī)自相似、隨機(jī)行走等）例如, Cantor三分集, Cantor 三分函數(shù)

37、 （魔鬼階梯）, Julia集, Brown 運(yùn)動(dòng), Weierstrass 函數(shù), Koch 曲線(xiàn), Mandelbrot 心臟, 龍的曲線(xiàn), 等等.,Fractal分析,Fractal,,向傳統(tǒng)挑戰(zhàn),Fractal分析,,經(jīng)典微積分： 導(dǎo)數(shù)（微分） —— 切線(xiàn)斜率 —— 運(yùn)動(dòng)物體的速度

38、 積分 —— 物體的度量 長(zhǎng)度、面積、體積,牛頓微積分,,但是，經(jīng)典微積分： 求導(dǎo)數(shù)、求積分 必須有條件例如：有切線(xiàn) 無(wú)切線(xiàn),牛頓微積分,,,,,,求積分（長(zhǎng)度、面積、體積） 度量單位給定，Cantor 三分集長(zhǎng)度為零； 雪花曲線(xiàn)長(zhǎng)度為無(wú)窮大！

39、對(duì)于不滿(mǎn)足條件的曲線(xiàn)、曲面， 出現(xiàn)失去意義的情況。,牛頓微積分,英國(guó)的海岸線(xiàn)為無(wú)窮大， 是因?yàn)椋?尺度不對(duì)正如：用稱(chēng)煤的大秤去秤金項(xiàng)鏈 得到金項(xiàng)鏈的重量為 0 用天平去秤鐵塊 得到鐵塊的重量為無(wú)窮,Fractal分析,我們從維數(shù)開(kāi)始認(rèn)識(shí) “分形”點(diǎn)是 0 維，直線(xiàn)是 1 維， 平面是 2 維，空間是 3 維。有

40、 4 維、5維、…嗎 ？,,有 ½ 維嗎？ 有分?jǐn)?shù)維、無(wú)理數(shù)維嗎 ？,Fractal分析,分形分析的思維,（1）各種分形維數(shù) 超越了經(jīng)典幾何的概念 例如，Cantor集,Fractal分析,這個(gè)維數(shù)稱(chēng)為 Hausdorff 維數(shù) Cantor集在 Hausdorff 維數(shù) 之下，其 Hausdorff 測(cè)度 （不再像Lebesgue測(cè)度那樣為零了）,

41、Fractal分析,Hausdorff 維數(shù)的引入：取定 a 為直線(xiàn)上的尺度， 平面上以 a 為邊的正方形面積為 空間中以 a 為邊的立體體積為,當(dāng),作為尺度不合適時(shí)，,取,，,就是一種新“維數(shù)”,，,Fractal分析,這種思維，顯然 超 越 了 經(jīng)典幾何的測(cè)量思維方法，達(dá)到 創(chuàng) 新 水 平,F

42、ractal分析,記Hausdorff維數(shù)為 s, 則 Koch曲線(xiàn) s = ln4/ln3英國(guó)海岸線(xiàn) s = 1.2618亞馬孫河流域 s = 1.85螞蟻行走路徑 s = 1.2月球“酒?！?月坑 s = 2.3人類(lèi)的肺 s = 2.17人類(lèi)的血

43、管 s = 3,Fractal分析,（2） 分形集、分形函數(shù) 的 “變化率” 問(wèn)題 超越了牛頓微積分例如，Weierstrass函數(shù)， 處處連續(xù)、處處不可導(dǎo),Fractal分析,眾所周知， Weierstrass函數(shù),Fractal分析,Weierstrass 證明： 處處不可導(dǎo)，點(diǎn)點(diǎn)無(wú)導(dǎo)數(shù),Fractal分析,當(dāng)

44、一個(gè)質(zhì)點(diǎn)沿著 Weierstrass曲線(xiàn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，其“變化率”是什么? 又如何表示?,Fractal分析,必須建立分形微積分,“分形微積分” 是分形分析的 重要、核心 課題,Fractal分析,如何建立？,確定一個(gè)準(zhǔn)則，亦即：定義 分形函數(shù)變化率 ( “rate of change” of a Fra

45、ctal ) 的 principle ?,Fractal分析,定義變化率的準(zhǔn)則,已如前所說(shuō)， 應(yīng)滿(mǎn)足以下準(zhǔn)則：（1）求導(dǎo)運(yùn)算存在逆運(yùn)算— 積分運(yùn)算（2）導(dǎo)數(shù)的Fourier變換滿(mǎn)足— Fourier 變換公式,Fractal分析,（3） 導(dǎo)數(shù)滿(mǎn)

46、足逼近論中的 正、逆逼近定理（4） 固有方程的解 — 固有函數(shù)與固有值 是所對(duì)應(yīng)的局部緊群的 特征群的特征函數(shù) 與特征值,Fractal分析,局部域上的分形空間,在局部域上定義分形

47、空間 將分形函數(shù)進(jìn)行分類(lèi) 研究其分析性質(zhì) 建立分形微積分,Fractal分析,“局部域”的嚴(yán)格定義 需要用到很多基礎(chǔ)知識(shí)。 最特殊的情形，就是 實(shí)數(shù)直線(xiàn)的二進(jìn)制表示， 它是特殊的局部域。,我們的思路,要解決的 主要問(wèn)題,（1） 什么是 分形函數(shù)的“導(dǎo)數(shù)”（2）

48、 如何建立 分形空間 （3） 怎樣反映 分形的動(dòng)力學(xué)行為,上世紀(jì)60～70年代分形微積分,Gibbs(英國(guó)數(shù)學(xué)家) 定義了 邏輯導(dǎo)數(shù),Fractal分析,其意義是,整體變化率,Fractal分析,,,,,,,我們通過(guò) 擬微分算子,Fractal分析,定義一種新“導(dǎo)數(shù)”，稱(chēng)

49、為 p -型導(dǎo)數(shù),可以證明，這樣定義的 新型導(dǎo)數(shù),Fractal分析,滿(mǎn)足所述的 四個(gè)準(zhǔn)則。,新型導(dǎo)數(shù)的物理意義,Fractal分析,運(yùn)動(dòng)的整體變化率； 本征方程為 ；,本征函數(shù)為 。,新型導(dǎo)數(shù)的數(shù)學(xué)意義,Fractal分析,作為運(yùn)算，有逆 ；,“可導(dǎo)性”越高，函數(shù)越

50、 “光滑”；反之亦然；,亦即，滿(mǎn)足正逆逼近定理,新型導(dǎo)數(shù)深層次的意義,Fractal分析,可推廣到 分布的導(dǎo)數(shù)；,固有函數(shù)是特征群的元,“可導(dǎo)函數(shù)” 居住在Holder型空間 ；,。,P －型導(dǎo)數(shù)與分形,,的應(yīng)用,非線(xiàn)性科學(xué),在數(shù)學(xué)科學(xué) 中的應(yīng)用,非線(xiàn)性科學(xué),調(diào)和分析、 空間理論、 函數(shù)逼近論、 偏微分方程、

51、 ……,在分形分析 中的應(yīng)用,非線(xiàn)性科學(xué),分形維數(shù)與p－型導(dǎo)數(shù)的關(guān)系、 分形空間的研究、 分形偏微分方程、 ……,p－型導(dǎo)數(shù)與 分形分析,非線(xiàn)性科學(xué),在臨床醫(yī)學(xué)、生命科學(xué) 中的應(yīng)用,腫瘤邊界形狀、 人類(lèi)基因功

52、能、 肝臟移植中 供體與受體,非線(xiàn)性科學(xué),活體肝臟移植的血流動(dòng)力學(xué)的 分形數(shù)學(xué)模型 建立與應(yīng)用,非線(xiàn)性科學(xué),輔助性原位部分肝移植,,原肝的一部分,,移植上去的部分,非線(xiàn)性科學(xué),宇宙間 處處有分形分形是 非線(xiàn)性現(xiàn)象共性中的 核心的部分,非線(xiàn)性科學(xué),非線(xiàn)性科學(xué)

53、 核心部分 混沌、 分形、 孤立子,非線(xiàn)性科學(xué),云層、山巒、地殼、 地層、礦藏、海岸線(xiàn)、 河流、樹(shù)葉、 ……,自然界的,人 體中的 神經(jīng)系統(tǒng)、血管網(wǎng)絡(luò) 經(jīng)絡(luò)（中醫(yī)學(xué)）、 臟器移植、……,非線(xiàn)性科學(xué),物理、材料、化學(xué)、能源、 天文學(xué)、地質(zhì)