多粒子體系的統(tǒng)計(jì)理論初步

1、多粒子體系的統(tǒng)計(jì)理論初步,平衡態(tài)下的宏觀量與微觀量的關(guān)系。平衡態(tài)下的物理量的分布（能量、速率等）非平衡態(tài)下的熱現(xiàn)象（熱傳導(dǎo)、擴(kuò)散等）,§1.經(jīng)典統(tǒng)計(jì)的概念,一.理想氣體微觀模型：,2.除碰撞外，分子間相互作用力及重力可忽略，分子視為自由運(yùn)動。,3.分子間、分子與器壁間為完全彈性碰撞。,實(shí)際氣體在溫度較高，壓強(qiáng)較低時(shí)可視為理想氣體。,1.分子間平均距離 ＞＞分子線度，視為質(zhì)點(diǎn)。,理想氣體是大量自由的、無規(guī)則運(yùn)動的彈性粒子組成

2、的多粒子體系。,二、平衡態(tài),在不受外界影響的條件下，物體的宏觀性質(zhì)不隨時(shí)間變化的狀態(tài)——平衡態(tài),①不受外界影響，是指外界對系統(tǒng)不作功、不傳熱。,②宏觀性質(zhì)不隨時(shí)間變化，是指物體的宏觀可觀測性質(zhì)確定不變。,③熱動平衡,三.宏觀量與微觀量,1.宏觀量：描述體系宏觀性質(zhì)的物理量，與宏觀態(tài)相對應(yīng)，可由實(shí)驗(yàn)測量。,2.微觀量：描述個(gè)別粒子特性的物理量。,四.統(tǒng)計(jì)的規(guī)律性和漲落現(xiàn)象,1.統(tǒng)計(jì)規(guī)律,伽耳頓板實(shí)驗(yàn),大量小球落下的分布——宏觀態(tài)每個(gè)小球

3、落下的位置——微觀態(tài),,2.漲落現(xiàn)象,一個(gè)宏觀態(tài)下的微觀態(tài)是不確定的、變化的，各種微觀態(tài)以一定的概率出現(xiàn)，宏觀態(tài)即是對應(yīng)的微觀態(tài)的統(tǒng)計(jì)平均值。,各次實(shí)驗(yàn)結(jié)果與理論統(tǒng)計(jì)平均值之間存在偏差，為統(tǒng)計(jì)規(guī)律的特點(diǎn)之一。,一個(gè)宏觀態(tài)包含有大量的微觀態(tài)，宏觀態(tài)不是微觀態(tài)簡單的疊加，而是服從一種新的規(guī)律——統(tǒng)計(jì)規(guī)律。,,四.統(tǒng)計(jì)規(guī)律的定量分析,以伽耳頓板實(shí)驗(yàn)為例：,,,Δxi,,hi,則落在第個(gè)i槽中的小球數(shù) ΔN=C

4、Δxihi,xi,第i個(gè)槽的位置坐標(biāo)為xi，槽的寬度為△xi 在此槽中小球的高度為hi，C 為單位面積內(nèi)的小球數(shù)。,小球總數(shù),小球落入第 i個(gè)槽的概率,令Δx → 0，則有,設(shè)：,則：,或,小球沿x的分布函數(shù)，小球落入x附近單位區(qū)間的概率（概率密度）。,歸一化條件：,五.等概率假設(shè),在經(jīng)典統(tǒng)計(jì)理論中，波爾茲曼提出：對于處在平衡態(tài)的孤立系統(tǒng)，其各個(gè)可能的微觀態(tài)出現(xiàn)的概率相等。設(shè)微觀態(tài)的總數(shù)為P，則任一微觀態(tài)出現(xiàn)的概率為1/P。等概率假設(shè)是

5、經(jīng)典統(tǒng)計(jì)理論的重要出發(fā)點(diǎn)，已為大量實(shí)驗(yàn)所證實(shí)。,§2 分子平均平動動能統(tǒng)計(jì)分布規(guī)律,一.氣體分子運(yùn)動等概率假設(shè),1.氣體分子在容器中各處出現(xiàn)的概率是均等的。即氣體分子數(shù)密度處處相等。,2.氣體分子沿各方向運(yùn)動的概率相等，即分子速度在各方向上分量的各種平均值相等。,二.壓強(qiáng)公式,1.氣體產(chǎn)生壓強(qiáng)的原因,氣體壓強(qiáng)不可能由氣體分子的重力產(chǎn)生。,壓強(qiáng)是大量分子對容器壁不斷碰撞而產(chǎn)生的。,2.公式推導(dǎo),推導(dǎo)思路,,,,,①求i分子與器壁

6、A碰撞一 次時(shí)施于A的沖量,②求i分子在△t時(shí)間內(nèi)對A的碰撞次數(shù),③求i分子在△t時(shí)間內(nèi)施于A的沖量,,,④N個(gè)分子△t時(shí)間內(nèi)施于A的總沖量,⑤壓強(qiáng),分子數(shù)密度,X方向速率平方的平均值,分子平均平動動能,,4.壓強(qiáng)公式討論,①假設(shè),分子大小、分子力及分子所受重力均可忽略。,②宏觀量與微觀量聯(lián)系起來，反映宏觀量的微觀本質(zhì),分子在運(yùn)動中遵守力學(xué)定律，在碰撞時(shí)可視為完全彈性小球。,③壓強(qiáng)取決于分子數(shù)密度和平均平動動能值值,分子沿各方向運(yùn)動的分

7、子數(shù)目相等,分子速度在各方向分量的各種平均值相同。,,④壓強(qiáng)是大量分子對器壁沖量的統(tǒng)計(jì)平均效果，單個(gè)分子的壓強(qiáng)沒有意義。,,,,三.溫度的統(tǒng)計(jì)意義,1.宏觀意義：冷熱程度，是決定某一系統(tǒng)與另一系統(tǒng)處于熱平衡的宏觀標(biāo)志。,溫標(biāo)—溫度的數(shù)值表示法，量化冷熱程度。,攝氏溫標(biāo)(0C):規(guī)定1atm下，純水的冰點(diǎn)為0度，汽點(diǎn)為100度。,華氏溫標(biāo)(0F):規(guī)定1atm下，水、冰和氯化銨混合物為00F，水的汽點(diǎn)為2120F。,,熱力學(xué)溫標(biāo)(K):與

8、測溫物質(zhì)無關(guān)。,T = 273.15 + t,絕對0度能否達(dá)到？,2.微觀統(tǒng)計(jì)意義,分子數(shù)密度,玻爾茲曼常數(shù),分子平均平動動能公式。,,溫度是分子平均平動動能的量度，表示大量分子熱運(yùn)動的劇烈程度，對個(gè)別分子溫度沒有意義。,,§3 分子能量的統(tǒng)計(jì)分布,質(zhì)點(diǎn)：3個(gè)平動自由度(t),火車（看成質(zhì)點(diǎn)）在鐵道上運(yùn)行，自由度為1；輪船（看成質(zhì)點(diǎn)）在大海中航行，自由度為2；飛機(jī)（看成質(zhì)點(diǎn)）在天空中飛行，自由度為3 ；,確定物體位置的獨(dú)立

9、坐標(biāo)數(shù).,,剛體：,①平動：,質(zhì)心位置,②軸線方位：,③轉(zhuǎn)動：,X、Y、Z,α、β、（γ）,φ,3個(gè)平動自由度(t),3個(gè)轉(zhuǎn)動自由度(r),,,,雙原子分子,平動自由度t=3,平動自由度t=3,轉(zhuǎn)動自由度r=2,三原子分子,平動自由度t=3,轉(zhuǎn)動自由度r=3,,二、能量均分定理,氣體分子沿 x、y、z 三個(gè)方向運(yùn)動的平均動能完全相等，可以認(rèn)為分子的平均平動動能 均勻分配在每個(gè)平動自由度上。,,在溫度為T的平衡態(tài)下，分子的每個(gè)自

10、由度具有相同的平均動能，其大小都等于,1.能量按自由度均分定理：,2.平均總能量理論實(shí)驗(yàn)對比 單原子分子：吻合 雙原子分子：不吻合,我們的研究以常溫下為主。只考慮雙原子分子的平動和轉(zhuǎn)動自由度，不考慮振動自由度。,1.氣體的內(nèi)能：所有分子的（N個(gè)分子）各種形式的動能和勢能的總和。,動能：,平動動能,轉(zhuǎn)動動能,振動動能,勢能：,分子間的勢能,分子內(nèi)原子間的勢能,2.理想氣體的內(nèi)能：所有分子的（N個(gè)分子）平動動能和轉(zhuǎn)動動能的總

11、和。,3.注意①自由度數(shù)的確定 單原子分子i＝3，雙原子分子i＝5,②區(qū)別平均平動動能、平均總動能、平均總能量以及內(nèi)能。,一定質(zhì)量理想氣體的內(nèi)能為,1mol理想氣體的內(nèi)能為,i＝t＋r,例題：某容器內(nèi)裝有氧氣，m=1mol，P=1atm，t=27℃，求：ρ、n、,四.氣體分子的能量分布,——討論分子數(shù)與力場的關(guān)系。,當(dāng)氣體分子處在重力場或帶電離子處在電場中，此時(shí)分子數(shù)的分布與力場有關(guān)，單位體積的分子數(shù)（n）不再均

12、勻。,波爾茲曼提出：,勢能為零分子數(shù)密度,勢能為Ep分子數(shù)密度,海平面上壓強(qiáng),,,,,,,,,,,,L,蘭媚耳實(shí)驗(yàn):,§4.氣體分子速率的統(tǒng)計(jì)分布,——討論氣體分子數(shù)隨速率的分布情況,S,P,,,平衡態(tài)下，一定量氣體分子總數(shù)為N,分子速率處于 區(qū)間的分子數(shù)為dN。,一.麥克斯韋速率分布函數(shù),表示速率分布在 區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率。,與速率v有關(guān),與速率區(qū)間dv有關(guān)

13、,速率分布函數(shù),速率在v附近單位速率間隔內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率。,歸一化條件,,,二.速率分布曲線 （ f(v)— v 曲線）,分布在vp所在區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的幾率最大。,,1.最概然速率,最概然速率：與分布函數(shù)f(v)的極大值相對應(yīng)的速率。,極值條件,2.麥克斯韋分布曲線隨溫度變化,溫度越高，分布曲線中的最概然速率vp增大，但歸一化條件要求曲線下總面積不變，因此分布曲線寬度增大，高度降低。,3.麥克斯韋分布曲線隨質(zhì)量變化,

14、分子質(zhì)量越大，分布曲線中的最概然速率vp越小，但歸一化條件要求曲線下總面積不變，因此分布曲線寬度減小，高度升高。,三.兩種速率,1.平均速率,對于連續(xù)分布,2.方均根速率,例題：溫度300K時(shí)，氧氣分子的最概然速率，平均速率與方均根速率。,解：,§5.分子碰撞的統(tǒng)計(jì)分布,一.平均碰撞頻率,單位時(shí)間內(nèi)分子的平均碰撞次數(shù)。,碰撞機(jī)構(gòu)的簡單模型,? 假設(shè)氣體分子都是直徑為d的剛球（有效直徑）,分子之間的碰撞是完全彈性的,● 柱體中的

15、分子數(shù),● 凡是能夠與a發(fā)生碰撞的分子，其球心必須在半徑為d的圓柱體內(nèi),● 平均碰撞頻率,● 修正后的平均碰撞頻率,,,,d,2.計(jì)算,1.定義,分子在連續(xù)兩次碰撞所通過的自由路程的平均值——平均自由程,,§ 6.氣體的輸運(yùn)過程,——從非平衡態(tài)過渡到平衡態(tài)的過程,二.熱傳導(dǎo)現(xiàn)象,一.擴(kuò)散現(xiàn)象,三.粘滯現(xiàn)象,四.滲透現(xiàn)象,一.擴(kuò)散現(xiàn)象,1.微觀解釋：接觸層密度的區(qū)別，使進(jìn)入雙方的分子數(shù)不同，出現(xiàn)質(zhì)量遷移。,2.基本規(guī)律——菲克定

16、律,接觸時(shí)間,接觸面積,擴(kuò)散系數(shù),密度梯度,質(zhì)量輸運(yùn)方向,3.實(shí)質(zhì)：密度不一致引起分子質(zhì)量的輸運(yùn),,1.微觀解釋：接觸層通過交換分子，使分子熱運(yùn)動動能發(fā)生遷移。,二.熱傳導(dǎo)現(xiàn)象,3.實(shí)質(zhì)：溫度不一致引起分子熱運(yùn)動能量的輸運(yùn),2.基本規(guī)律——傅立葉定律,熱導(dǎo)率,接觸面積,接觸時(shí)間,溫度梯度,熱量傳遞方向,,1.實(shí)驗(yàn)規(guī)律,接觸面積,粘滯系數(shù),流速梯度,2.實(shí)質(zhì)：氣體內(nèi)定向動量的輸運(yùn),三.粘滯現(xiàn)象,,四.滲透現(xiàn)象,,,,,h,,,2.微觀解釋

17、,,,,,1.宏觀現(xiàn)象——選擇性擴(kuò)散現(xiàn)象,半透膜：對溶液的通透具有選擇性,,,,3.基本規(guī)律——范托夫定律,滲透壓,mol濃度,1升水溶解20克的糖，可產(chǎn)生14米水柱高的滲透壓。,腹瀉與脫水：,土壤的呼吸：,1.強(qiáng)相互作用：短程力，它使原子核牢固的保持為一個(gè)整體，盡管質(zhì)子間存在很大的排斥作用。,2.電磁力：長程力，它使原子核與電子能聚集在一起形成原子。,3.弱相互作用：短程力，能引起粒子間的某些過程，例如中子和原子的放射性衰變，以及其它