montecarlo-ch03-04

1、Monte Carlo模擬,第三章 從概率分布函數(shù)的抽樣(Sampling from Probability Distribution Functions),3.4 變換抽樣法?直接抽樣法的一般形式,基本思路抽樣方法高斯分布的抽樣方法,1.基本思路,隨機(jī)變量y：pdf: g(y) ? 不易進(jìn)行抽樣隨機(jī)變量x： pdf: f(x) ? 容易進(jìn)行抽樣如果能夠找到x和y之間的一個一一對應(yīng)的變換關(guān)系，y=y(x), 使得g(

2、y)和f(x)滿足關(guān)系,則可先由f(x)分布抽取x的值?，再由變換關(guān)系得到y(tǒng)的值???滿足分布g(y),?變換抽樣法,Monte Carlo模擬,第三章 從概率分布函數(shù)的抽樣(Sampling from Probability Distribution Functions),3.4 變換抽樣法?直接抽樣法的一般形式,基本思路抽樣方法高斯分布的抽樣方法,2.抽樣方法,變換抽樣法:,找出y與x間的變換關(guān)系，y=y(x), f(x)與

3、g(y)滿足關(guān)系：由f(x)分布抽取x的值?；隨機(jī)變量y的取值： ?=y(?),直接抽樣法是變換抽樣法的一個特殊形式,X滿足U[0,1], f(x)=1;y與x間的變換關(guān)系:y=G-1(x)　?y的累積分布函數(shù)的反函數(shù),2.抽樣方法,推廣到n維隨機(jī)向量的情況：,由聯(lián)合概率密度函數(shù)　　抽取隨機(jī)向量　的值 yi的值:,Monte Carlo模擬,第三章 從概率分布函數(shù)的抽樣(Sampling from Probability D

4、istribution Functions),3.4 變換抽樣法?直接抽樣法的一般形式,基本思路抽樣方法高斯分布的抽樣方法,3.高斯分布的抽樣方法,例：高斯分布的抽樣方法,進(jìn)行變量變換：,由N(0,1)分布抽樣得到y(tǒng),,如何抽取服從N(0,1)分布的隨機(jī)變量？,3.高斯分布的抽樣方法,1. 利用中心極限定理,設(shè)x1,x2,…,xn是一組n個獨(dú)立的隨機(jī)變量，xi的平均值和方差分別為μi和бi，則當(dāng)n→∞時，變量,服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0

5、,1),設(shè)x 是在[0, 1]之間均勻分布的隨機(jī)數(shù), 對n個x的取值xi,在n→∞時，y服從N(0,1)，在實(shí)際應(yīng)用時，可取n=12,抽樣方法：,1、產(chǎn)生12個U[0,1]的隨機(jī)數(shù)?i,2、,3.高斯分布的抽樣方法,2. 利用變換抽樣法,y1和y2是兩個相互獨(dú)立的、服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)數(shù),變換：,反變換：,抽樣方法：,1）產(chǎn)生一對[0,1]區(qū)間均勻分布的隨機(jī)數(shù)?1和?2；2）,3.高斯分布的抽樣方法,證明用此方法抽取的y1,y2滿足

6、上面的聯(lián)合概率分布,雅可比行列式：,3.高斯分布的抽樣方法,3. 采用極坐標(biāo)變換,x和y是兩個相互獨(dú)立的、服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)數(shù),變換：,反變換：,則變量?和?的聯(lián)合概率密度函數(shù)為,即?在[0,2?] 區(qū)間上均勻分布, ?服從? = 1的指數(shù)分布,3.高斯分布的抽樣方法,,抽樣方法：,產(chǎn)生 ? ：?= 2? r，r?U[0,1]產(chǎn)生 ? ：? = -ln r， r?U[0,1] x= (2?)1/2 cos? ， y=(2?)1/

7、2 sin?,3.高斯分布的抽樣方法,,void test() { c1 = new TCanvas("c1","Histogram Drawing Options",200,10,700,900); c1->Divide(1,2); TH1F * h1 = new TH1F("h1","h1",100,-5.0,5.0); TH1F

8、 * h2 = new TH1F("h2","h2",100,-5.0,5.0); SetSeed(9, 11),Const Pi = 3.1415926;for(int i=0; i Fill(y1); h2->Fill(y2); } c1->cd(1);h1->Draw(); c1->cd(2);h2->Draw();},3.高斯分布的抽樣