倒向問(wèn)題的隨機(jī)數(shù)值算法研究.pdf

1、對(duì)于正向隨機(jī)微分方程（FSDE）的研究，興起于上世紀(jì)40年代末，它不僅有直接的應(yīng)用背景，并且擁有了完善的理論框架。相對(duì)而言，倒向隨機(jī)微分方程（BSDE）的研究是近30年才興起的，但進(jìn)展十分迅猛，并取得非常豐富的成果，它在很多領(lǐng)域如偏微分方程(PDE)、金融數(shù)學(xué)、隨機(jī)控制、微分幾何、隨機(jī)對(duì)策論等都有重要的應(yīng)用，逐漸成為一個(gè)強(qiáng)有力的數(shù)學(xué)工具。 但一直以來(lái)，對(duì)BSDE的研究大都是定性的，除了線性和一些特殊方程的解具有解析表達(dá)式外，一般

2、的非線性BSDE的解卻不有完全通過(guò)解析式描述出來(lái)。為此學(xué)者們開(kāi)始轉(zhuǎn)向?qū)で驜SDE的數(shù)值解，有關(guān)它的數(shù)值計(jì)算目前是一個(gè)很熱門(mén)的問(wèn)題，有許多研究小組或個(gè)人想要尋求一個(gè)快速有效的計(jì)算方法。本文考慮BSDE的一種特殊形式，正倒向隨機(jī)微分方程的數(shù)值解?；凇八牟椒ā崩碚摚丛谡瓜螂S機(jī)微分方程里，倒向方程的話應(yīng)解可以由正方程的解顯式表示，但要借助于某個(gè)拋物型方程，然后離散正倒向隨機(jī)微分方程中的前向部分，最后獲得正倒向隨機(jī)微分方程的數(shù)值解。目前有關(guān)

3、離散FSDE的研究成果已經(jīng)很多，因此，重要的是如何離散非線性拋物型方程。從某種程度上來(lái)說(shuō)，BSDE的數(shù)值計(jì)算轉(zhuǎn)化為偏微分方程的數(shù)值計(jì)算。 本文的目的是基于“四步法”離散正倒向隨機(jī)微分方程，因此需首先給出數(shù)值求解相應(yīng)的拋物型的算法。傳統(tǒng)的數(shù)值求解拋物型方程的方法大多是確定性方法，但它們?cè)陔x散非線性情況時(shí)遇到了困難。我們通過(guò)不確定性（隨機(jī)）的方法，來(lái)構(gòu)造求解半線性和擬線性拋物型方程初值問(wèn)題的數(shù)值算法-分層方法，這種方法的構(gòu)造主要依賴

4、于拋物型方程解的概率表示，和對(duì)與概率表示相關(guān)聯(lián)的隨機(jī)微分方程系統(tǒng)的離散方法的選擇。它的優(yōu)勢(shì)在于該算法對(duì)拋物型方程的維數(shù)沒(méi)有限制，而一般確定性的數(shù)值算法僅適合3維以下的問(wèn)題。另外，它的最大優(yōu)點(diǎn)是僅需對(duì)時(shí)間區(qū)間進(jìn)行離散，而和空間變量x沒(méi)有必然聯(lián)系，算法的穩(wěn)定性是方法本身所固有的，盡管為了算法的可執(zhí)行性和減少計(jì)算量，需要對(duì)x進(jìn)行離散，事實(shí)上，空間變量x區(qū)域的截取并不影響最終的數(shù)值結(jié)果，這些將會(huì)在方法的構(gòu)造過(guò)程和數(shù)值試驗(yàn)中得到驗(yàn)證。 本

5、文首先針對(duì)一類擬線性拋物型方程的初值問(wèn)題構(gòu)造分層方法，利用對(duì)原方程求導(dǎo)后所得的方程和原方程在形式上的一致性，在第二章里利用弱顯式歐拉算法構(gòu)造了求解擬線性拋物型方程的一類分層方法，進(jìn)而在第三章里通過(guò)對(duì)第二章算法的改進(jìn)和推廣，構(gòu)造出了更一般化、更精確的一類分層方法族。然后，在第四章里主要構(gòu)造了求解兩類正倒向隨機(jī)微分方程的數(shù)值算法，由“四步法”，它們分別與半線性和擬線拋物型方程相聯(lián)系，而其中對(duì)擬線拋物型方程的數(shù)值算法的構(gòu)造采用了與前兩章不同的