高階拉格朗日密度的表面項(xiàng)和運(yùn)算技巧的探索【優(yōu)秀】【開(kāi)題報(bào)告+文獻(xiàn)綜述+畢業(yè)論文】

1、<p><b>　　畢業(yè)論文開(kāi)題報(bào)告</b></p><p><b>　　理論物理</b></p><p>　　高階拉格朗日密度的表面項(xiàng)和運(yùn)算技巧的探索</p><p>　　一、選題的背景與意義</p><p>　　自然界中存在著許多不隨時(shí)間演化，或稱守恒的量，這是為大量實(shí)驗(yàn)所證實(shí)了的。因

2、此，在以場(chǎng)為出發(fā)點(diǎn)構(gòu)造描述物理體系的拉格朗日量時(shí)，要能正確地反映出體系的守恒律，和動(dòng)力學(xué)方程。</p><p>　　而在任意D維區(qū)間內(nèi)應(yīng)用最小作用量原理求解動(dòng)力學(xué)方程時(shí)，區(qū)間邊界上都會(huì)產(chǎn)生一個(gè)D-1維曲面積分，而當(dāng)區(qū)間的范圍趨于無(wú)窮時(shí)，這一項(xiàng)往往是零，所得到的方程也就是該維度下的引力場(chǎng)方程，所謂動(dòng)力學(xué)方程表面項(xiàng)（以后簡(jiǎn)稱之為表面項(xiàng)）就是指在有限區(qū)間內(nèi)，這項(xiàng)不為零的D-1維曲面積分。</p><

3、p>　　二、研究的基本內(nèi)容與擬解決的主要問(wèn)題：</p><p>　　我所研究的是處理場(chǎng)論中邊界條件下的表面項(xiàng)問(wèn)題</p><p>　　在無(wú)界空間中對(duì)此函數(shù)做變分可以得到場(chǎng)的演化方程，然而在有界空間中對(duì)作用量變分，則會(huì)額外產(chǎn)生出一個(gè)表面項(xiàng)。</p><p>　　對(duì)于任意的拉格朗日函數(shù)密度求變分：</p><p>　　則式中將產(chǎn)生表面項(xiàng)，它

4、使得拉格朗日方程在邊界上不成立。</p><p>　　為了能夠在有界空間中得到拉格朗日方程，我們必須對(duì)作用量積分進(jìn)行修改—在拉格朗日函數(shù)密度體積分的基礎(chǔ)上添加一個(gè)面積分，以抵消多余出來(lái)的邊界積分，即：</p><p><b>　　令其中 </b></p><p><b>　　即</b></p><p&

5、gt;<b>　　即為表面項(xiàng)</b></p><p>　　對(duì)于某些情況，表面項(xiàng)并不存在，因?yàn)樗⒉皇悄硞€(gè)二元函數(shù)的全微分的形式，但是選擇一定的邊界條件，卻可以將二元拉格朗日函數(shù)密度，在邊界上變?yōu)橐辉暮瘮?shù)，這樣就可以僅通過(guò)一重積分的手段求得。</p><p><b>　　假設(shè)</b></p><p>　　很顯然，不存在這樣

6、的函數(shù)，使得</p><p>　　但是如果我們施加Dirichlet邊界條件：</p><p>　　則在邊界上，，于是有</p><p><b>　　這樣便得到</b></p><p>　　而邊界條件由決定于邊界上的動(dòng)力學(xué)方程（EOM）</p><p>　　隨后我便研究了一個(gè)簡(jiǎn)單的實(shí)例來(lái)說(shuō)明這個(gè)問(wèn)

7、題：</p><p>　　在量子場(chǎng)論中常用到的Klein-Gordon方程</p><p><b>　?。‥OM）</b></p><p><b>　　它的拉格朗日密度為</b></p><p><b>　　則</b></p><p><b>

8、　　由EOM 可知</b></p><p>　　接下來(lái)我還要再繼續(xù)研究，因?yàn)槲覀冎辽僦?，Dirichlet條件只是一種特殊的邊界條件，它對(duì)應(yīng)于 ，的情況</p><p>　　于是我下一步將去討論更一般的情況：</p><p><b>　　在邊界條件為</b></p><p><b>　　時(shí)的表面項(xiàng)

9、問(wèn)題</b></p><p>　　這項(xiàng)研究是有意義的，因?yàn)槲覀冎溃谀蹜B(tài)物理中有時(shí)會(huì)用到高階的拉格朗日函數(shù)</p><p>　　這也必將產(chǎn)生高階的表面項(xiàng)問(wèn)題</p><p>　　例如對(duì)于含有場(chǎng)量二階微分的拉格朗日函數(shù)</p><p><b>　　作用量變分</b></p><p>

10、　　此時(shí)如果施加適當(dāng)?shù)倪吔鐥l件，對(duì)于問(wèn)題的解決時(shí)有幫助的。</p><p>　　三、研究的方法與技術(shù)路線</p><p>　　首先，我們知道對(duì)于某些情況，表面項(xiàng)并不存在，因?yàn)樗⒉皇悄硞€(gè)二元函數(shù)的全微分的形式，但是選擇一定的邊界條件，卻可以將二元拉格朗日函數(shù)密度，在邊界上變?yōu)橐辉暮瘮?shù)，這樣就可以僅通過(guò)一重積分的手段求得。</p><p><b>　　假設(shè)

11、</b></p><p>　　很顯然，不存在這樣的函數(shù)，使得</p><p>　　但是如果我們施加Dirichlet邊界條件：</p><p>　　則在邊界上，，于是有</p><p><b>　　這樣便得到</b></p><p>　　沿著這樣的思路我們將把二階甚至高階的邊界項(xiàng)求出來(lái)

12、。</p><p>　　四、研究的總體安排與進(jìn)度</p><p>　　1.閱讀相關(guān)文獻(xiàn)和書(shū)籍，并在數(shù)據(jù)庫(kù)中搜索有關(guān)信息。保證一邊學(xué)習(xí)相關(guān)的基礎(chǔ)理論，一邊與該領(lǐng)域的前沿保持聯(lián)系并盡量靠攏。</p><p>　　2.時(shí)常和導(dǎo)師進(jìn)行溝通，積極思考，遇到新的問(wèn)題不回避，要敢于解決，科學(xué)研究的結(jié)果往往是未定的，所以要做好隨時(shí)調(diào)整科研方案的準(zhǔn)備。</p><

13、p>　　3.為論文答辯做好演示文稿。</p><p>　　盡量在下學(xué)期開(kāi)學(xué)之前完成論文初稿，在下學(xué)期開(kāi)學(xué)時(shí)把論文拿給導(dǎo)師，之后對(duì)論文進(jìn)行反復(fù)修改和補(bǔ)充，在期中之前完成論文，確保在答辯之前完成答辯的一切準(zhǔn)備。</p><p><b>　　五、主要參考文獻(xiàn)</b></p><p>　　[1]王正行 簡(jiǎn)明量子場(chǎng)論 北京大學(xué)出

14、版社 2008. 04[2]Michael E. Peskin, Daniel V. Schroeder   An Introduction to Quantum Field Theory  October 17, 2005[3]Wald

15、0;R M. Some Properties of Noether Charge and a Proposal for Dynamical Black Hole Entropy arXiv:gr-qc/9403028v1 15 Mar 1994[4]S.&#

16、160;Kachru, X. Liu and M. Mulligan, Gravity Duals of Lifshitz-like Fixed Points, Phys. Rev. D78 (2008) 106005, [arXiv:0808.1725].[5]M.

17、 Taylor, Non-relativistic holography, [arXiv:0812.0530].[6]R. Mann, Lifshitz Topological Black Holes</p><p>　　[12] Y. Li, T. Ma, R. B. Tao, arxiv:0707.1472</p

18、><p>　　[13] G. W. Gibbons and S. W. Howking, Phys. Rev., D15, 2751(1977)</p><p><b>　　畢業(yè)論文文獻(xiàn)綜述</b></p><p><b>　　理論物理</b></p><p>　　高階拉格朗日密度的表面項(xiàng)和運(yùn)算技巧的探

19、索</p><p>　　摘要：在場(chǎng)論中， 與質(zhì)點(diǎn)力學(xué)中的廣義坐標(biāo) 相類似的廣義坐標(biāo)是定域場(chǎng)，前者標(biāo)記維數(shù)的分立指標(biāo) ，現(xiàn)在變成了位置矢量 。由于場(chǎng)指標(biāo)的連續(xù)性，每個(gè)場(chǎng)原則上都是無(wú)窮維度的。描寫(xiě)系統(tǒng)性質(zhì)的函數(shù)是拉格朗日函數(shù)。由拉格朗日函數(shù)可以構(gòu)造作用量，這是一個(gè)最重要的物理量。通過(guò)對(duì)作用量加上適當(dāng)?shù)倪厳l件進(jìn)行變分，我們就可以得到歐拉-拉格朗日方程，即運(yùn)動(dòng)方程。</p&g

20、t;<p>　　關(guān)鍵詞：定域場(chǎng)及其運(yùn)動(dòng)方程</p><p>　　在場(chǎng)論中， 與質(zhì)點(diǎn)力學(xué)中的廣義坐標(biāo)相類似的廣義坐標(biāo)是定域場(chǎng)前者標(biāo)記維數(shù)的分立指標(biāo)，現(xiàn)在變成了位置矢量。由于場(chǎng)指標(biāo)的連續(xù)性，每個(gè)場(chǎng)原則上場(chǎng)都是無(wú)窮維度的。需要注意，場(chǎng)論中的廣義坐標(biāo)是場(chǎng)量，位置矢量只是參數(shù)。當(dāng)在同一時(shí)空點(diǎn)上有多個(gè)場(chǎng)時(shí)，不同的場(chǎng)量可以用另外一個(gè)分立指標(biāo)區(qū)分，如。 </p><p>　　對(duì)定域場(chǎng)論，拉格

21、朗日量是場(chǎng)的泛函</p><p>　　與質(zhì)點(diǎn)力學(xué)中情形相同，此處泛函只是時(shí)間的函數(shù)，與參數(shù)無(wú)關(guān)，并且假定只依賴于和。作用量因此也是 和的泛函，其變分為</p><p>　　由哈密頓原理，結(jié)合邊界條件</p><p>　　可得場(chǎng)的拉格朗日運(yùn)動(dòng)方程</p><p>　　為了能更清晰地看出場(chǎng)方程的相對(duì)論協(xié)變性，數(shù)學(xué)上可以先把空間離散化，最后再取極限

22、。設(shè)空間小體積元的場(chǎng)量可以用體積元中場(chǎng)量的平均值.</p><p>　　表示。由于對(duì)連續(xù)分布的場(chǎng)</p><p>　　對(duì)分立的相鄰體積元中場(chǎng)量的平均值</p><p>　　由此可以看出，相鄰體積元場(chǎng)量的平均值互相依賴。注意，這并不意味著此時(shí)場(chǎng)是非定域的，正如一個(gè)普通連續(xù)函數(shù)也有同樣的性質(zhì)。因此，</p><p><b>　　取連續(xù)極

23、限后</b></p><p>　　描述量子場(chǎng)的拉格朗日密度應(yīng)當(dāng)滿足物理場(chǎng)所具有的性質(zhì)，如對(duì)相對(duì)論性的場(chǎng)滿足</p><p>　　洛倫茲不變性，亦即拉格朗日密度應(yīng)當(dāng)是洛倫茲標(biāo)量。按照相互作用的哈密頓原理</p><p>　　可以得到按照哈密頓量密度表示的歐拉－拉格朗日運(yùn)動(dòng)方程</p><p><b>　　亦即</b&

24、gt;</p><p>　　從上式可以看出，場(chǎng)的拉格朗日量(2.10)可以通過(guò)拉格朗日密度表達(dá)為場(chǎng)及其一階導(dǎo)數(shù)的泛函</p><p>　　此處場(chǎng)的一階導(dǎo)數(shù)不僅是對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，而是對(duì)時(shí)空各分量的導(dǎo)數(shù)。由于我們假定拉氏量或拉氏密度僅依賴于場(chǎng)參數(shù)的一階微分，由拉氏方程得出的運(yùn)動(dòng)方程至多是二階微分方程。對(duì)于時(shí)空中同時(shí)存在多個(gè)場(chǎng)的情形，可得到多個(gè)場(chǎng)的拉格朗日密度為</p><p&

25、gt;　　其中。可以通過(guò)場(chǎng)的哈密頓原理直接得到場(chǎng)的運(yùn)動(dòng)方程為</p><p><b>　　參考文獻(xiàn)：</b></p><p>　　王正行 簡(jiǎn)明量子場(chǎng)論 北京大學(xué)出版社 2008. 04</p><p>　　Michael E. Peskin, Daniel V. Schroeder An Introduction to Quantum Fi

26、eld Theory October 17, 2005</p><p>　　Wald R M. Some Properties of Noether Charge and a Proposal for Dynamical Black Hole Entropy arXiv:gr-qc/9403028v1 15 Mar 1994</p><p>　　S. Kachru, X. Liu and

27、 M. Mulligan, Gravity Duals of Lifshitz-like Fixed Points, Phys. Rev. D78 (2008) 106005, [arXiv:0808.1725].</p><p>　　M. Taylor, Non-relativistic holography, [arXiv:0812.0530].</p><p>　　R. Mann,

28、Lifshitz Topological Black Holes, [arXiv:0905.1136].</p><p>　　G. Bertoldi, B. Burrington and A. Peet, Black Holes in asymptotically Lifshitz spacetimes with arbitrary U. Danielsson and L. Thorlacius, Black h

29、oles in asymptotically Lifshitz spacetime, JHEP 0903 (2009) 070, [arXiv:0812.5088].</p><p>　　G. Bertoldi, B. Burrington and A. Peet, Thermodynamics of black branes in asymptotically</p><p>　　周邦融

30、 量子場(chǎng)論 高等教育出版社 2007. 09</p><p>　　李書(shū)民 電動(dòng)力學(xué)概論 中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社.</p><p>　　U. Danielsson and L. Thorlacius, Black holes in asymptotically Lifshitz spacetime, JHEP 0903 (2009) 070, [arXiv:0812.5088]</p&

31、gt;<p>　　Y. Li, T. Ma, R. B. Tao, arxiv:0707.1472</p><p>　　G. W. Gibbons and S. W. Howking, Phys. Rev., D15, 2751(1977)</p><p><b>　　本科畢業(yè)設(shè)計(jì)</b></p><p><b>　?。?/p>

32、20 屆）</b></p><p>　　高階拉格朗日密度的表面項(xiàng)和運(yùn)算技巧的探索</p><p>　　【摘要】在經(jīng)典場(chǎng)論中，如果我們將力學(xué)系統(tǒng)和場(chǎng)進(jìn)行類比，就建立了場(chǎng)的拉格朗日方程。在無(wú)界空間內(nèi)對(duì)作用量變分可以得到場(chǎng)的演化方程，然而在有界空間內(nèi)對(duì)作用量變分，則會(huì)額外產(chǎn)生出一個(gè)表面項(xiàng)。該表面項(xiàng)存在可求解與不可求解兩種情況，論文中分別對(duì)其進(jìn)行了舉例說(shuō)明。根據(jù)Noether定理，可

33、證明存在守恒流滿足。我們將其推廣到量子場(chǎng)論中的高階拉格朗日方程中，得到Noether流。因?yàn)橛嘘P(guān)任意拉氏密度Noether流的計(jì)算是一項(xiàng)相對(duì)復(fù)雜的工作，文中通過(guò)構(gòu)造一個(gè)六維矢量計(jì)算Noether流，使計(jì)算機(jī)編程的過(guò)程變得容易。本文還精確定義了，進(jìn)行了算符的重參數(shù)化。</p><p>　　【關(guān)鍵詞】Noether流；拉格朗日方程；表面項(xiàng)</p><p>　　【ABSTRACT】In Clas

34、sical Field Theory, if we compare mechanical systems with field, we will set up a Lagrange Equation of the field. We can also get the evolution equation of field by calculate variance in unbounded spaces; however, an add

35、itional surface term will come into being if we calculate variance in bounded spaces. The surface term can either be calculable or incalculable and I have made examples of both in my paper. According to Noether’s Theory,

36、 we can approve that there exists a conserv</p><p>　　【KEYWORDS】Noether current；Lagrange equation；surface term。</p><p><b>　　目　錄</b></p><p><b>　　目　錄11</b><

37、/p><p>　　1拉格朗日量的發(fā)展與應(yīng)用12</p><p>　　1.1經(jīng)典力學(xué)中的拉格朗日量12</p><p>　　1.2經(jīng)典場(chǎng)論中的拉格朗日量13</p><p>　　1.3量子場(chǎng)論中的拉格朗日量16</p><p>　　1.3.10自旋場(chǎng)16</p><p>　　1.3

38、.21/2自旋場(chǎng)17</p><p>　　2拉格朗日量的邊界問(wèn)題18</p><p>　　2.1邊界條件下的表面項(xiàng)問(wèn)題 在無(wú)界空間內(nèi)對(duì)作用量變分可以得到場(chǎng)的演化方程，然而在有界空間內(nèi)對(duì)作用量變分，則會(huì)額外產(chǎn)生出一個(gè)表面項(xiàng)。18</p><p>　　2.2可求解的邊界問(wèn)題18</p><p>　　2.3不可求解的邊界問(wèn)題

39、22</p><p>　　3拉格朗日量的高階推導(dǎo)和計(jì)算25</p><p>　　3.1高階Noether流的一般公式25</p><p>　　3.2型拉氏密度的“六維矢量法”25</p><p>　　3.3關(guān)于的精確定義27</p><p>　　3.4算符的重參數(shù)化與空間28</p>

40、<p><b>　　4總結(jié)30</b></p><p><b>　　參考文獻(xiàn)31</b></p><p>　　致謝錯(cuò)誤!未定義書(shū)簽。</p><p>　　拉格朗日量的發(fā)展與應(yīng)用</p><p>　　經(jīng)典力學(xué)中的拉格朗日量</p><p>　　力學(xué)體系的運(yùn)動(dòng)

41、規(guī)律的最一般形式可以由所謂最小作用量原理給出。根據(jù)這一原理，每一力學(xué)體系由一定的函數(shù)來(lái)描述其特性，而體系的運(yùn)動(dòng)滿足下面的條件。</p><p>　　假定在和的時(shí)刻，體系占有兩個(gè)確定的位置，這兩個(gè)位置分別由兩組坐標(biāo)值決定。這時(shí)，體系在兩個(gè)位置之間按照使積分</p><p><b>　?。?.1.1） </b></p><p>　　有最小可能值的方

42、式運(yùn)動(dòng)。函數(shù)L叫做該體系的拉格朗日量，而積分S則叫做作用量。</p><p>　　接下來(lái)我們來(lái)推導(dǎo)確定積分（1.1）最小值的積分方程。為了簡(jiǎn)化公式的書(shū)寫(xiě)，我們先假定體系只有一個(gè)自由度，這樣一來(lái)，應(yīng)該決定的只有一個(gè)函數(shù)q(t)了。</p><p>　　假定q=q(t)正巧是使S有極小值的函數(shù)。這就是說(shuō)，以形如</p><p><b>　　（1.1.2）<

43、;/b></p><p>　　的函數(shù)代換q(t)時(shí)，S就增大，其中，是在從到整個(gè)時(shí)間間隔內(nèi)都很小的函數(shù)。既然當(dāng)和時(shí)，所有用以比較的函數(shù)（1.1.2）應(yīng)該有相同的值，因而應(yīng)該有</p><p><b>　?。?.1.3）</b></p><p>　　以取代q引起的S的變化由差</p><p>　　決定。這個(gè)差按和（在

44、被積分式子內(nèi)）指數(shù)的展開(kāi)式是從一級(jí)項(xiàng)開(kāi)始的，這些項(xiàng)的總和等于零是S為極小值的必要條件。這總和叫做積分的第一變分。因此，最小作用量原理可以寫(xiě)作</p><p><b>　?。?.1.4） </b></p><p><b>　　或者進(jìn)行變分后，</b></p><p>　　對(duì)第二項(xiàng)實(shí)行分部積分，并注意到我們得到</p&g

45、t;<p><b>　　(1.1.5)</b></p><p>　　由于條件(1.1.3),式中的第一項(xiàng)消失，所以，當(dāng)取任意值的時(shí)候，剩下的積分應(yīng)該等于零。這只有在被積分的式子恒等于零的情況下才是可能的。因此，我們得到方程</p><p>　　（i =1,2,…,s） (1.1.6)</p><

46、p>　　這就是要找的微分方程，在力學(xué)里它們叫做拉格朗日方程。假定所給定的力學(xué)體系的拉格朗日量已經(jīng)知道，則方程（1.1.6）確定加速度、速度和坐標(biāo)間的關(guān)系，也就是說(shuō)，它是體系的運(yùn)動(dòng)方程。</p><p>　　經(jīng)典場(chǎng)論中的拉格朗日量</p><p>　　物理場(chǎng)通?？捎靡唤M變量來(lái)描述，這些量一般是時(shí)空坐標(biāo)的函數(shù)，如電磁場(chǎng)的矢勢(shì)與標(biāo)勢(shì)、量子場(chǎng)的波函數(shù)等，我們將它們一般地記為 ,其地位相當(dāng)于分

47、析力學(xué)中的廣義坐標(biāo)。時(shí)空坐標(biāo)則相當(dāng)于分析力學(xué)中的時(shí)間參量t.從數(shù)學(xué)表述形式上看，力學(xué)系統(tǒng)和場(chǎng)之間存在下列對(duì)應(yīng)：</p><p><b>　　(1.2.1)</b></p><p><b>　　(1.2.2)</b></p><p><b>　　(1.2.3)</b></p><p&

48、gt;　　類似于力學(xué)系統(tǒng)的牛頓方程，場(chǎng)的運(yùn)動(dòng)可用場(chǎng)函數(shù)對(duì)時(shí)空坐標(biāo)的一組偏微分方程來(lái)描寫(xiě)，如電磁場(chǎng)的麥克斯韋方程、標(biāo)量場(chǎng)的Klein—Gordon方程等。我們把這種描寫(xiě)場(chǎng)動(dòng)力學(xué)行為的方程叫做場(chǎng)方程。像力學(xué)系統(tǒng)的情形一樣，場(chǎng)方程也可通過(guò)變分原理得到。</p><p>　　一般情況下，泛函的變分定義為</p><p><b>　　（1.2.4）</b></p>

49、<p><b>　　這相當(dāng)于在全微分</b></p><p><b>　　（1.2.5）</b></p><p>　　中，用“”代替“d”，并令。根據(jù)定義容易驗(yàn)證，變分和微分與積分運(yùn)算均可以交換順序：</p><p><b>　?。?.2.6）</b></p><p&g

50、t;<b>　　（1.2.7）</b></p><p>　　變分的運(yùn)算法則與微分相同。</p><p>　　場(chǎng)的運(yùn)動(dòng)可以用一個(gè)稱為拉格朗日密度的泛函來(lái)描寫(xiě)，它對(duì)四維時(shí)空體積的積分稱為作用量。場(chǎng)的變分原理可表述為：當(dāng)場(chǎng)在區(qū)域的邊界上固定，即 </p><p><b>　?。?.2.8）</b>&l

51、t;/p><p><b>　　時(shí)，作用量取駐值：</b></p><p><b>　?。?.2.9）</b></p><p>　　將式（1.2.9）中的變分運(yùn)算作用于積分號(hào)內(nèi)，可得</p><p><b>　?。?.2.10）</b></p><p>　　由

52、邊界固定條件（1.2.8）可知，上式右端在邊界上的積分為零。于是，由的任意性，可得場(chǎng)的拉格朗日方程，即場(chǎng)方程：</p><p><b>　?。?.2.11）</b></p><p>　　場(chǎng)方程的正確性可以通過(guò)實(shí)驗(yàn)來(lái)檢驗(yàn)。在實(shí)際問(wèn)題中，往往是先知道場(chǎng)方程，再翻過(guò)來(lái)“湊”出拉格朗日函數(shù)。這樣構(gòu)造的拉格朗日函數(shù)并不唯一，可以相差一個(gè)四維散度。有時(shí)我們還需要通過(guò)一定的對(duì)稱性來(lái)

53、確定拉格朗日函數(shù)。</p><p><b>　　Noether定理</b></p><p><b>　　一般的，我們有</b></p><p><b>　　（1.2.12）</b></p><p>　　如果場(chǎng)的作用量對(duì)全變分取駐值：</p><p>&l

54、t;b>　　（1.2.13）</b></p><p>　　將式（1.2.12）代入，得到</p><p><b>　?。?.2.14）</b></p><p>　　因滿足場(chǎng)方程（1.2.11），所以右端第一個(gè)括號(hào)為零?？紤]到，可得</p><p><b>　?。?.2.15）</b>

55、;</p><p>　　令上式為零，并注意到積分區(qū)域的任意性，可證明存在守恒流</p><p><b>　?。?.2.16）</b></p><p><b>　　滿足</b></p><p>　　。 （1.2.17）</

56、p><p>　　如果場(chǎng)是某種外源所激發(fā)的，則拉格朗日函數(shù)依賴于外源。此時(shí)，Noether定理可推廣為：</p><p><b>　　當(dāng)</b></p><p><b>　　（1.2.18）</b></p><p><b>　　時(shí)，</b></p><p>&

57、lt;b>　?。?.2.19）</b></p><p>　　其中流由式（1.2.16）給出。</p><p>　　在完全的場(chǎng)論中，源也是由其他場(chǎng)引起的，那些場(chǎng)也應(yīng)當(dāng)視為動(dòng)力學(xué)變量。此時(shí)，Noether定理又回到式（1.2.17）的形式。</p><p>　　量子場(chǎng)論中的拉格朗日量</p><p><b>　　0自旋

58、場(chǎng)</b></p><p>　　對(duì)于僅由一個(gè)標(biāo)量場(chǎng)描述的系統(tǒng)，拉氏密度的最一般形式為</p><p><b>　?。?.3.1）</b></p><p>　　系數(shù)1/2是慣例，V是的標(biāo)量函數(shù)。第一項(xiàng)為動(dòng)能項(xiàng)，第二項(xiàng)為勢(shì)能項(xiàng)。在經(jīng)典理論中，的形式不受限制。一個(gè)特例是Klein-Gordon拉氏密度</p><p&g

59、t;<b>　　(1.3.2)</b></p><p>　　m是有質(zhì)量量綱的參數(shù)，它描寫(xiě)質(zhì)量為m的自由粒子。注意對(duì)于分立變換</p><p><b>　　(1.3.3)</b></p><p>　　也是不變的。一個(gè)更復(fù)雜的例子是自作用理論</p><p><b>　　(1.3.4)<

60、/b></p><p>　　注意（在四維）是一個(gè)無(wú)量綱的參數(shù)，負(fù)號(hào)保證。這個(gè)作用量導(dǎo)致了一個(gè)可接受的量子場(chǎng)論。另一個(gè)流形的例子是Sine-Gordon拉氏密度</p><p><b>　　(1.3.5)</b></p><p>　　其中無(wú)量綱。對(duì)于，此L將再現(xiàn)(1.3.4).</p><p>　　守恒量是作用量對(duì)于

61、Poincare變換具有不變性的結(jié)果。Poincare變換是時(shí)空坐標(biāo)變換。下面考慮一個(gè)內(nèi)部對(duì)稱性的例子。</p><p>　　若理論中含有多個(gè)標(biāo)量場(chǎng)，則可能出現(xiàn)新的對(duì)稱性。考慮N個(gè)實(shí)標(biāo)量場(chǎng)，其拉氏密度為</p><p><b>　?。?.3.6）</b></p><p>　　若將看成一矢量，則對(duì)于整體轉(zhuǎn)動(dòng)</p><p>

62、;　　， （1.3.7）</p><p>　　L顯然是不變的。注意變換（1.3.7）并不改變時(shí)空坐標(biāo)，故?？梢缘贸觯睾愕腘oether流為</p><p><b>　?。?.3.8）</b></p><p><b>　　1/2自旋場(chǎng)</b></

63、p><p>　　旋量場(chǎng)的幾種形式有Dirac場(chǎng)，Weyl場(chǎng)，和Majorana場(chǎng)皆可以構(gòu)造Poincare不變的作用量，在此不再贅述。</p><p>　　拉格朗日量的邊界問(wèn)題</p><p>　　邊界條件下的表面項(xiàng)問(wèn)題 在無(wú)界空間內(nèi)對(duì)作用量變分可以得到場(chǎng)的演化方程，然而在有界空間內(nèi)對(duì)作用量變分，則會(huì)額外產(chǎn)生出一個(gè)表面項(xiàng)。</p><p>

64、　　對(duì)于任意的拉格朗日函數(shù)密度求變分：</p><p><b>　?。?.1.1）</b></p><p>　　則式中將產(chǎn)生表面項(xiàng)，又因滿足場(chǎng)方程（1.2.11），所以右端第一個(gè)括號(hào)為零，它使得拉格朗日方程在邊界上不成立。</p><p>　　為了能夠在有界空間中得到拉格朗日方程，我們必須對(duì)作用量積分進(jìn)行修改—在拉格朗日函數(shù)密度體積分的基礎(chǔ)上添

65、加一個(gè)面積分，以抵消多余出來(lái)的邊界積分，即：</p><p>　　令 得 </p><p><b>　?。?.1.2）</b></p><p><b>　　可求解的邊界問(wèn)題</b></p><p>　　添加了一個(gè)面積分后，式（2.1.1）可重

66、新寫(xiě)為</p><p><b>　?。?.2.1）</b></p><p><b>　　其中</b></p><p>　　又當(dāng)時(shí)，為了不使指標(biāo)重復(fù)，取, </p><p><b>　　取, ，得</b></p><p><b>　　(2.2.2

67、)</b></p><p><b>　　可得</b></p><p><b>　　(2.2.3)</b></p><p><b>　　取, , </b></p><p><b>　　得</b></p><p>　?。?.

68、2.4） </p><p><b>　　若存在使得</b></p><p><b>　　則有：</b></p><p><b>　?。?.2.5）</b></p><p><b>　?。?.2.6）</b></p><p>&l

69、t;b>　　顯然</b></p><p><b>　　則L寫(xiě)作如下形式</b></p><p><b>　?。?.2.7）</b></p><p>　　將（2.2.6）代入（2.2.5）的第一式，得</p><p><b>　?。?.2.8）</b></

70、p><p>　　由（2.2.8）第二式可得</p><p><b>　?。?.2.9）</b></p><p>　　將（2.2.9）代入（2.2.8）第一式，得</p><p><b>　　（2.2.10）</b></p><p><b>　　又</b>&l

71、t;/p><p>　　不妨將J寫(xiě)為，它對(duì)于的任何排列皆相等。</p><p><b>　　得</b></p><p><b>　　（2.2.11）</b></p><p>　　由（2.2.11）得：</p><p><b>　?。?.2.12）</b><

72、;/p><p><b>　　（2.2.13）</b></p><p><b>　?。?.2.14）</b></p><p><b>　　（2.2.15）</b></p><p><b>　?。?.2.16）</b></p><p>　　

73、代入（2.2.5），得</p><p><b>　　（2.2.17）</b></p><p><b>　　例：現(xiàn)有</b></p><p><b>　?。?.2.18）</b></p><p><b>　　則</b></p><p>

74、;<b>　?。?.2.19）</b></p><p><b>　　得</b></p><p><b>　　（2.2.20）</b></p><p><b>　　此時(shí)拉格朗日量為</b></p><p><b>　　不可求解的邊界問(wèn)題</b

75、></p><p>　　對(duì)于某些情況，表面項(xiàng)并不存在，因?yàn)樗⒉皇悄硞€(gè)二元函數(shù)的全微分的形式，但是選擇一定的邊界條件，卻可以將二元拉格朗日函數(shù)密度，在邊界上變?yōu)橐辉暮瘮?shù)，這樣就可以僅通過(guò)一重積分的手段求得。</p><p><b>　　假設(shè)</b></p><p><b>　?。?.3.1）</b></p&g

76、t;<p>　　很顯然，不存在這樣的函數(shù)，使得</p><p><b>　?。?.3.2）</b></p><p>　　但是如果我們施加Dirichlet邊界條件： </p><p><b>　?。?.3.4）</b></p><p>　　則在邊界上，，于是有</p>&

77、lt;p><b>　?。?.3.5）</b></p><p><b>　　這樣便得到</b></p><p><b>　　（2.3.6）</b></p><p>　　而邊界條件取決于邊界上的動(dòng)力學(xué)方程（EOM）。</p><p>　　隨后我便研究了一個(gè)簡(jiǎn)單的實(shí)例來(lái)說(shuō)明這個(gè)

78、問(wèn)題：</p><p>　　在量子場(chǎng)論中常用到的Klein-Gordon方程</p><p>　?。‥OM） （2.3.7）</p><p><b>　　它的拉格朗日密度為</b></p><p><b>　?。?.3.8）</b></p

79、><p><b>　　Hence</b></p><p><b>　　（2.3.9）</b></p><p><b>　?。?.3.10）</b></p><p>　　由（2.3.7）可知</p><p><b>　　（2.3.11）</b&

80、gt;</p><p><b>　　其中</b></p><p><b>　?。?.3.12）</b></p><p>　　我們知道，Dirichlet條件只是一種特殊的邊界條件，它對(duì)應(yīng)于</p><p><b>　　，</b></p><p><

81、b>　　的情況</b></p><p>　　于是還存在更一般的情況，即在邊界條件為</p><p><b>　　（2.3.13）</b></p><p>　　時(shí)的表面項(xiàng)問(wèn)題。對(duì)其進(jìn)行研究是有意義的，因?yàn)槲覀冎溃谀蹜B(tài)物理中有時(shí)會(huì)用到高階的拉格朗日函數(shù)</p><p>　?。?.3.14）

82、 </p><p>　　這也必將產(chǎn)生高階的表面項(xiàng)問(wèn)題</p><p>　　例如對(duì)于含有場(chǎng)量二階微分的拉格朗日函數(shù)作用量變分，得</p><p>　　此時(shí)如果施加適當(dāng)?shù)倪吔鐥l件，對(duì)于問(wèn)題的解決是有幫助的。</p><p>　　拉格朗日量的高階推導(dǎo)和計(jì)算</p><p>　　高階Noether流的一般公式<

83、;/p><p>　　在1.2節(jié)中，我們已經(jīng)提到了Noether定理可以證明經(jīng)典場(chǎng)論中存在守恒流,使得</p><p>　　=0 （3.1.1）</p><p>　　我們將其推廣到量子場(chǎng)論中的高階拉格朗日函數(shù)</p><p>　　中，可得Noether流：</p><p

84、><b>　?。?.1.2）</b></p><p>　　型拉氏密度的“六維矢量法”</p><p>　　有關(guān)任意拉氏密度Noether流的計(jì)算是一項(xiàng)相對(duì)復(fù)雜的工作，而其中大量出現(xiàn)的是如下運(yùn)算：</p><p><b>　?。?.2.1）</b></p><p>　　（3.2.2）

85、 </p><p>　　如果我們?nèi)的一般形式為</p><p>　　, </p><p><b>　　代入上式得：</b></p><p><b>　?。?.2.3）</b></p><p>　　然而， 當(dāng)我們?cè)噲D進(jìn)一步求出的值時(shí)，會(huì)遇到一些麻煩。其原因

86、在于不同排列的高階導(dǎo)數(shù)算符之間的不等價(jià)性。下面我們來(lái)舉個(gè)具體的例子說(shuō)明這個(gè)問(wèn)題。</p><p><b>　　對(duì)于</b></p><p><b>　?。?.2.4）</b></p><p>　　我們不能簡(jiǎn)單地將其寫(xiě)為，因?yàn)橥瑫r(shí)還存在另外一種情況。例如，假設(shè)代表，那么（3.3.4）變?yōu)?lt;/p><p&g

87、t;<b>　?。?.2.5）</b></p><p>　　這樣一來(lái)，我們便得到了不同的結(jié)果。</p><p>　　事實(shí)上，在上述計(jì)算中，我們要考慮的是所有的排列情況。所代表的既是，又是又是，同時(shí)還是，也就是的全部可能排列。</p><p>　　這樣一來(lái)，（3.2.4）應(yīng)寫(xiě)為</p><p><b>　?。?.

88、2.6）</b></p><p>　　下面我們重點(diǎn)研究一下拉氏密度變換成相應(yīng)的Noether流時(shí)，算符結(jié)構(gòu)的變化。為了方便的說(shuō)明問(wèn)題，我們以一個(gè)六維矢量來(lái)代表場(chǎng)量的高階導(dǎo)數(shù)。顯然對(duì)于剛才所討論的拉氏密度，其對(duì)應(yīng)的Noether流為</p><p><b>　?。?.2.7）</b></p><p>　　我們可以看出，由高階拉氏密度求

89、Noether的過(guò)程實(shí)質(zhì)上是對(duì)六維矢量各分量的重新分配，分配的原則是對(duì)局部分量的“全排列”和“分割”。</p><p>　　這樣，對(duì)（3.2.3）式的操作行為可以概括為如下：</p><p>　　1.輸入六維矢量，其中</p><p>　　2.對(duì)作全排列展開(kāi)，得到組排列數(shù)，我們用來(lái)代替每組排列數(shù)。</p><p>　　3.把每組依次分割成三組

90、，每組1個(gè)，i-1個(gè)，j-i個(gè)元素，即分別含有</p><p>　　4.把后兩組排列重新整理成矢量的形式，即</p><p>　　5.將整理后的矢量與原矢量進(jìn)行重新結(jié)合：令</p><p>　　6.輸出新的六維矢量</p><p>　　即為Noether流</p><p>　　我將以上方法稱為六維矢量法，它將求高階導(dǎo)數(shù)

91、的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為排列組合的問(wèn)題，它是一種高度程序化的手段，在進(jìn)行計(jì)算機(jī)編程時(shí)是非常有用的。</p><p><b>　　關(guān)于的精確定義</b></p><p>　　在3.2節(jié)中，我們知道</p><p><b>　　（3.3.1）</b></p><p><b>　　亦即</b>&

92、lt;/p><p><b>　　（3.3.2）</b></p><p>　　其中,這種寫(xiě)法顯然非常含糊，沒(méi)有根據(jù)。為了明確的定義，應(yīng)有：</p><p><b>　?。?.3.3）</b></p><p><b>　　其中, 某些情況下</b></p><p&g

93、t;　　根據(jù)以上定義，L應(yīng)該寫(xiě)作</p><p><b>　　（3.3.4）</b></p><p><b>　　此時(shí)</b></p><p><b>　?。?.3.5）</b></p><p>　　算符的重參數(shù)化與空間</p><p>　　由上面的討論

94、可知，一個(gè)較“籠統(tǒng)”的高階偏微分算符存在種可能的形式，如果不能忽略它們之間的區(qū)別，則此算符可看做各“可能值”的加權(quán)平均，即：</p><p><b>　?。?.4.1）</b></p><p>　　即為“權(quán)重”，一般令</p><p>　　如果我們用一個(gè)參數(shù)來(lái)代表這n個(gè)變量的一組排列，即，而此排列對(duì)應(yīng)的高階偏微分算符記為</p>

95、<p>　?。?.4.1）式則可以方便地寫(xiě)為</p><p><b>　?。?.4.2）</b></p><p><b>　　而導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系</b></p><p><b>　?。?.4.3）</b></p><p><b>　　可重新寫(xiě)為</b&g

96、t;</p><p><b>　?。?.4.4）</b></p><p>　　可見(jiàn)同階的高階偏微分算符存在正交關(guān)系。</p><p>　　如果我們用一個(gè)m維空間來(lái)表示這種關(guān)系，空間的每個(gè)坐標(biāo)軸為,則算符即是這個(gè)空間中的一個(gè)向量。坐標(biāo)分量為。</p><p>　　我們可以稱這個(gè)空間為“空間”。這個(gè)概念的引入有助于更加直觀和

97、清楚的辨別各個(gè)算符之間的關(guān)系，同時(shí)，對(duì)于公式的簡(jiǎn)化也是有所幫助的。</p><p><b>　　總結(jié)</b></p><p>　　最小作用量原理是物理學(xué)中的一條基本原理，自創(chuàng)生的那一刻起的200多年間，它在各個(gè)領(lǐng)域中皆占有著舉足輕重的地位，至今仍指引著許多理論的發(fā)展方向。然而伴隨著物理學(xué)，特別是場(chǎng)論的發(fā)展，廣義動(dòng)量和廣義坐標(biāo)的具體形式也有了很大的變化；高階動(dòng)量的出現(xiàn)使

98、得最初的變分假設(shè)：邊界處的廣義坐標(biāo)變分為零，很難滿足場(chǎng)論中很多邊界問(wèn)題的需求。于是我們引入了表面項(xiàng)來(lái)彌補(bǔ)這一不足，這也是對(duì)該原理的一個(gè)小小的修正。</p><p>　　此外，經(jīng)過(guò)20世紀(jì)60~70年代的大發(fā)展，量子場(chǎng)論已經(jīng)不僅僅是一門(mén)深?yuàn)W的學(xué)問(wèn)，而更像是一套精細(xì)纖巧而且專門(mén)的演算技巧。本文的后半部分，包括“六維矢量”和“空間”的引入也是對(duì)量子場(chǎng)論中有關(guān)拉氏密度計(jì)算技巧的一次探索，在后續(xù)的問(wèn)題中，特別是涉及到大規(guī)模

99、機(jī)械化拉氏密度的運(yùn)算時(shí)，此類方法或許會(huì)起到一定的作用。</p><p><b>　　參考文獻(xiàn)</b></p><p>　　王正行 簡(jiǎn)明量子場(chǎng)論 北京大學(xué)出版社 2008. 04</p><p>　　Michael E. Peskin, Daniel V. Schroeder An Introduction to Quantum Field

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103、 in asymptotically Lifshitz spacetime, JHEP 0903 (2009) 070, [arXiv:0812.5088].</p><p>　　G. Bertoldi, B. Burrington and A. Peet, Thermodynamics of black branes in asymptotically</p><p>　　周邦融 量子場(chǎng)

104、論 高等教育出版社 2007. 09</p><p>　　李書(shū)民 電動(dòng)力學(xué)概論 中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社.</p><p>　　U. Danielsson and L. Thorlacius, Black holes in asymptotically Lifshitz spacetime, JHEP 0903 (2009) 070, [arXiv:0812.5088]</p>