畢業(yè)論文基于稀疏表示的圖像去噪算法研究

1、<p><b>　　畢業(yè)設(shè)計(jì)說明書</b></p><p>　　基于稀疏表示的圖像去噪算法研究</p><p>　　學(xué)生姓名： 學(xué)號(hào)： </p><p>　　系 別： </p><p>　　專 業(yè)：

2、 </p><p>　　指導(dǎo)教師： </p><p><b>　　2014年6月</b></p><p><b>　　中 文 摘 要</b></p><p>　　圖像去噪是信號(hào)處理領(lǐng)域

3、中的一個(gè)重要研究課題，稀疏表示理論的研究隨著近年來興起的壓縮傳感理論，越來越引起研究學(xué)者的重視。因此基于稀疏表示的圖像去噪成為近年來該領(lǐng)域的一個(gè)前沿研究課題。</p><p>　　本文在深入研究了稀疏表示理論及相關(guān)重構(gòu)算法的基礎(chǔ)上，將小波去噪轉(zhuǎn)化</p><p>　　為一個(gè)最優(yōu)化問題，從而建立了基于稀疏表示的去噪模型。文中分別采用了最速</p><p>　　下降法和

4、OMP重構(gòu)算法，通過恢復(fù)小波系數(shù)的稀疏性，達(dá)到去除噪聲的目的。</p><p>　　本文的主要工作如下：</p><p>　　建立一種基于稀疏表示的小波去噪模型。將小波去噪的問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)最優(yōu)</p><p>　　化問題，通過求解該問題，得到不含噪聲的小波系數(shù)，最終達(dá)到去除噪聲的目的。</p><p>　　利用最速下降法求解上述問題，實(shí)現(xiàn)信號(hào)

5、與圖像的去噪。該方法將小波系數(shù)作為一個(gè)整體進(jìn)行求解，利用了小波系數(shù)的整體特性，克服了小波閾值去噪僅對(duì)系數(shù)逐點(diǎn)處理的缺點(diǎn)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，該算法切實(shí)有效，特別是針對(duì)低信噪比信號(hào)和圖像，表現(xiàn)出很好的效果。</p><p>　　利用OMP重構(gòu)算法與迭代閾值思想來實(shí)現(xiàn)信號(hào)與圖像去噪。由于OMP算法僅適用于圖像重構(gòu)，不具有去噪性能，為此我們?cè)贠MP算法迭代的過程中，引入了迭代閾值的思想，不斷干預(yù)重構(gòu)小波系數(shù)，使其更具稀疏性。

6、實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，該方法對(duì)一維信號(hào)進(jìn)行處理的效果更明顯。</p><p>　　關(guān)鍵詞：圖像去噪；稀疏表示；最速下降法；OMP算法</p><p><b>　　ABSTRACT</b></p><p>　　Image denoising is one of the important branches in the field of signal p

7、rocessing．Sparse representation has also attracted researchers’attention recently especially with the development of the new compressed sensing theory．Therefore image denoising based on sparse representation becomes one

8、of the frontier issues in signal processing．</p><p>　　The main contributions of this paper are as follows：A new wavelet denoising model based on sparse representation is presented．The traditional wavelet den

9、oising problem is converted to all optimization problem．And Then the noise—free wavelet coefficients are obtained by solving the optimization problem．</p><p>　　The steepest descent method is used to solve th

10、e problem above and</p><p>　　Thus complement the signal and image denoising．This method considers the overall wavelet coefficients as a whole and makes use of the structure properties of the coefficients．It

11、greatly overcomes the shortcomings of the wavelet thresholding method which deals with the wavelet coefficients in a point-wise manner．The experimental results show that the algorithm</p><p>　　is efficient e

12、specially for those signal sand images with low signal to noise ratios． </p><p>　　An idea of the iterative threshold is introduced to OMP algorithm for signal and image denoising．As the OMP algorithm is only

13、 effective for image reconstruction and doesn’t have the denoising property,the idea of the iterative threshold is introduced in the iterative process of the OMP algorithm，which could make the reconstructed wavelet coeff

14、icients sparser．The experimental results show that the method is efficient for one-dimensional signal denoising．</p><p>　　KEYWORDS：Image Denoising；Sparse Representation；Steepest descent method；OMP algorithm&

15、lt;/p><p>　　CLASSNO：TN911．7</p><p><b>　　目 錄</b></p><p><b>　　1 緒論1</b></p><p>　　1.1 研究背景和意義1</p><p>　　1.2 國內(nèi)外研究現(xiàn)狀1</p><

16、p>　　1.3 本文內(nèi)容與結(jié)構(gòu)2</p><p>　　2 圖像去噪綜述2</p><p><b>　　2.1 引言2</b></p><p>　　2.2 傳統(tǒng)圖像去噪方法5</p><p>　　2.3 經(jīng)典小波去噪方法6</p><p>　　2.3.1 小波去噪方法模型和特點(diǎn)

17、6</p><p>　　2.3.2 小波去噪方法7</p><p>　　2.3.3 小波閾值去噪法8</p><p>　　2.4 本章小結(jié)12</p><p>　　3 稀疏表示的圖像去噪13</p><p>　　3.1 小波變換理論13</p><p>　　3.1.1 多分辨分析

18、13</p><p>　　3.1.2 離散小波變換14</p><p>　　3.2 稀疏表示理論16</p><p>　　3.3 基于稀疏表示的圖像去噪模型19</p><p>　　3.4 最速下降法圖像去噪21</p><p>　　3.4.1 最速下降法理論21</p><p&g

19、t;　　3.4.2 最速下降法去噪模型22</p><p>　　3.4.3 去噪算法步驟23</p><p>　　3.4.4 最速下降法實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析24</p><p>　　3.5 基于改進(jìn)的OMP重構(gòu)算法圖像去噪31</p><p>　　3.5.1 OMP重建算法31</p><p>　　3.5.2

20、 基于改進(jìn)的OMP圖像去噪算法步驟32</p><p>　　3.5.3 基于改進(jìn)的OMP算法去噪實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析34</p><p>　　3.6 本章小結(jié)42</p><p>　　4 總結(jié)與展望42</p><p><b>　　1 緒論</b></p><p>　　1.1 研究背景和意

21、義</p><p>　　21世紀(jì)是信息化的時(shí)代，信息的形式不再是單純的語音，而是發(fā)展到包括數(shù)據(jù)、文字、圖像、視頻等在內(nèi)的多媒體形式。據(jù)統(tǒng)計(jì)，人類接受外界的信息中有80％來自圖像。圖像處理技術(shù)是針對(duì)性很強(qiáng)的技術(shù)，它在人類生產(chǎn)和生活的方方面面起到了越來越重要的作用。因此，應(yīng)根據(jù)不同的應(yīng)用、不同的要求采用不同的處理方法。例如，人們?cè)诰W(wǎng)絡(luò)上瀏覽、下載、共享豐富的圖像、視頻等多媒體信息；醫(yī)生根據(jù)核磁共振掃描圖像對(duì)患者進(jìn)行疾

22、病診斷；科學(xué)家根據(jù)衛(wèi)星遙感圖像對(duì)礦產(chǎn)進(jìn)行定位和預(yù)測等。圖像的廣泛應(yīng)用對(duì)圖像的表示方法、處理模型和算法提出了新的發(fā)展要求。</p><p>　　一般來說，在圖像采集、編碼、傳輸、恢復(fù)的幾個(gè)基本步驟中，影響圖像質(zhì)量的因素很多。例如：現(xiàn)實(shí)圖像中無用的信息對(duì)我們而言就是噪聲，設(shè)備、環(huán)境、方法等因素會(huì)引進(jìn)許多噪聲干擾。如電磁干擾、相片顆粒噪聲、采集圖像信號(hào)的傳感器噪聲，甚至濾波器產(chǎn)生的噪聲等等。因此提取有用信號(hào)抑制噪聲，提

23、高信噪比，以及為后續(xù)更高層次的處理做好準(zhǔn)備等，對(duì)圖像進(jìn)行去噪處理是不可缺少的重要環(huán)節(jié)。</p><p>　　1.2 國內(nèi)外研究現(xiàn)狀</p><p>　　信號(hào)的稀疏表示算法研究最早可以追溯到1982年，Huber在統(tǒng)計(jì)回歸領(lǐng)域時(shí)首次提出了投影追蹤法。如今，信號(hào)的稀琉表示越來越表現(xiàn)出它的優(yōu)越性，尤其是近年來壓縮傳感理論的提出，壓縮傳感與稀疏表示理論研究引起了眾多人士的關(guān)注。</p>

24、<p>　　1993年，在小波分析理論的基礎(chǔ)上，Mallat和Zhang率先提出了信號(hào)基于過完備原子庫上的分解思想，通過信號(hào)在過完備庫(over．complete dictionary)上的分解，用來表示信號(hào)的基可以自適應(yīng)地根據(jù)信號(hào)本身特點(diǎn)靈活選取。分解的結(jié)果，將可以得到一個(gè)非常簡潔的表達(dá)。這種在變換域用盡量少的基函數(shù)來準(zhǔn)確地表示原始信號(hào)，就是信號(hào)的稀疏表示(Sparse Representation)。它開創(chuàng)了信號(hào)的稀疏

25、表示這一信號(hào)分析的新方向。</p><p>　　由于信號(hào)的稀疏表示的優(yōu)良特性，信號(hào)稀疏表示的研究很快從一維信號(hào)推廣到二維圖像表示研究上，并表現(xiàn)出極大的優(yōu)越性。尤其是近年來在數(shù)學(xué)和工程領(lǐng)域同時(shí)興起的壓縮傳感與稀疏表示理論，使得稀疏表示理論的研究和應(yīng)用越來越引起眾多人士的重視。</p><p>　　1.3 本文內(nèi)容與結(jié)構(gòu)</p><p>　　本文以圖像去噪方法為研究對(duì)象

26、，對(duì)比了傳統(tǒng)去噪方法和小波去噪方法，提出了基于稀疏表示的圖像去噪方法，并對(duì)其進(jìn)行了理論研究分析和實(shí)驗(yàn)實(shí)現(xiàn)。全文安排具體如下：</p><p>　　第一章為緒論，主要對(duì)圖像去噪問題進(jìn)行簡單介紹，包括噪聲圖像模型，噪聲特性及圖像質(zhì)量評(píng)價(jià)的標(biāo)準(zhǔn)等。</p><p>　　第二章主要對(duì)傳統(tǒng)的圖像去噪方法進(jìn)行總結(jié)和對(duì)比，綜述了經(jīng)典的小波去噪方法，并圍繞小波閾值去噪方法進(jìn)行了詳細(xì)的分析。</p&g

27、t;<p>　　第三章主要采用了基于稀疏表示的小波去噪方法。包括了基于最速下降法和改進(jìn)后的OMP重構(gòu)算法的去噪方法。這些方法的基本思想都是以恢復(fù)小波系數(shù)的稀疏性來達(dá)到去噪的目的，這就是稀疏表示去噪的核心思想。本章先建立稀疏表示的去噪模型，然后圍繞這個(gè)去噪模型對(duì)這兩種去噪方法進(jìn)行了理論研究和驗(yàn)證，并對(duì)算法進(jìn)行具體描述，通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證并進(jìn)行分析，得出結(jié)論。</p><p>　　第四章主要是總結(jié)和展望。對(duì)全

28、文進(jìn)行總結(jié)，并對(duì)下一步的研究方向進(jìn)行展望。</p><p><b>　　2 圖像去噪綜述</b></p><p><b>　　2.1 引言</b></p><p>　　在獲取和傳輸過程中，圖像經(jīng)常會(huì)被噪聲破壞。圖像去噪的目的就是在去除噪聲影響的同時(shí)盡可能多地保留圖像原有的有用信息。在所處理的圖像中，相鄰像素的灰度間大多

29、具有一定的相關(guān)性。因?yàn)檫@種空問狄度相關(guān)性的存在，一般圖像的能量主要集中在低頻，而圖像的細(xì)節(jié)部分集中在高頻區(qū)域。由于在圖像的存取、數(shù)字化和傳輸中常伴有噪聲出現(xiàn)，而這部分干擾信息主要集中在高頻區(qū)域內(nèi)，所以消除噪聲的一般方法是利用低通濾波來衰減高頻分量。但與之同時(shí)帶來的負(fù)面影響是圖像的細(xì)節(jié)也有一定的衰減，從視覺效果上來看圖像比處理前模糊。一個(gè)較好的去噪方法應(yīng)該是既能消去噪聲對(duì)圖像的影響，又不使圖像細(xì)節(jié)變模糊。</p><p

30、><b>　　含噪模型：</b></p><p>　　現(xiàn)實(shí)中數(shù)字圖像在數(shù)字化和傳輸過程中，常受到成像設(shè)備與外部環(huán)境噪聲干擾等影響，成為含噪圖像。去除或減輕在獲取數(shù)字圖像中的噪聲稱為圖像去唰</p><p>　　在圖像去噪之前我們先要建立～個(gè)圖像含噪聲的模型，為了簡便，我們研究以下加性噪聲模型，即含噪圖像僅由原始圖像疊加上一個(gè)隨機(jī)噪聲形成：</p>

31、<p><b>　　（1-1）</b></p><p>　　表示圖像，為噪聲，含噪圖像記為。</p><p><b>　　噪聲特性：</b></p><p>　　在對(duì)這個(gè)含噪模型進(jìn)行研究之前，我們有必要了解一下噪聲的一些特性，經(jīng)常影響圖像質(zhì)量的噪聲源可以分為三類。人們對(duì)其生成原因及相應(yīng)的模型作了大量研究：<

32、/p><p>　　(1)電子噪聲。在阻性器件中由于電子隨機(jī)熱運(yùn)動(dòng)而造成的電子噪聲是三種模型中最簡單的，一般常用零均值高斯白噪聲作為其模型，它可用其標(biāo)準(zhǔn)差來完全表征。</p><p>　　(2)光電子噪聲。由光的統(tǒng)計(jì)本質(zhì)和圖像傳感器中光電轉(zhuǎn)換過程引起，在弱光照的情況下常用具有泊松分布的隨機(jī)變量作為光電噪聲的模型，在光照較強(qiáng)時(shí)，泊松分布趨向于更易描述的高斯分布。</p><p&

33、gt;　　(3)感光片顆粒噪聲。由于曝光過程中的感光顆粒只有部分被曝光，而其涂部分則未曝光，底片的密度變化就由曝光后的顆粒密集程度變化所決定，而曝光顆粒的分布呈現(xiàn)一種隨機(jī)性，在大多數(shù)情況下，顆粒噪聲可用高斯白噪聲作為有效模型。</p><p>　　通過以上分析可以看出，絕大多數(shù)的常見圖像噪聲都可用均值為零，方差不同的高斯白噪聲作為其模型，因而為了簡便和一般化，我們采用零均值的高斯白噪聲作為噪聲源。</p&g

34、t;<p><b>　　圖像質(zhì)量的評(píng)價(jià)</b></p><p>　　如何評(píng)價(jià)一個(gè)圖像經(jīng)過去噪處理后所還原圖像的質(zhì)量，對(duì)于我們判斷去噪方</p><p>　　法的優(yōu)劣有很重要的意義?，F(xiàn)有的評(píng)價(jià)方法一般分為主觀和客觀兩種：</p><p><b>　　主觀評(píng)價(jià)：</b></p><p>　

35、　主觀評(píng)價(jià)通常有兩種：一種是作為觀察者的主觀評(píng)價(jià)，這是對(duì)圖像直接用肉眼進(jìn)行觀察，然后分別對(duì)其所觀察的圖像的質(zhì)量作或好或壞的評(píng)價(jià)。這是一種定性的方法，沒有定量的標(biāo)準(zhǔn)，而且受到觀察者主觀因素的影響，評(píng)價(jià)結(jié)果有一定的不確定性。另一種是隨著模糊數(shù)學(xué)的發(fā)展，可以用模糊綜合評(píng)判方法來盡量減少主觀因素的影響，實(shí)現(xiàn)對(duì)圖像質(zhì)量近似定量的評(píng)價(jià)，不過它仍然沒有完全消除主觀不確定性的影響，其定量計(jì)算公式中的參數(shù)往往要依賴專家經(jīng)驗(yàn)確定。</p>&

36、lt;p><b>　　客觀評(píng)價(jià)：</b></p><p>　　圖像質(zhì)量的客觀評(píng)價(jià)由于著眼點(diǎn)不同而有多種方法，這里介紹的是一種經(jīng)常使用的所謂的逼真度測量。合理的測量方法應(yīng)和主觀實(shí)驗(yàn)結(jié)果～致，而且要求簡單易行。</p><p>　　對(duì)于連續(xù)圖像場合，設(shè)為一定義在矩形區(qū)域，的連續(xù)圖像，其降質(zhì)圖像為，它們之間的逼真度可用歸一化互相關(guān)函數(shù)K來表示：</p>

37、<p><b>　?。?-2）</b></p><p>　　對(duì)于數(shù)字圖像場合，設(shè)為原參考圖像，為其降質(zhì)圖像，逼真度可定義為歸一化的均方誤差值NMSE：</p><p><b>　?。?-3） </b></p><p>　　其中，運(yùn)算符表示在計(jì)算逼真度前，為使測量值與主觀評(píng)價(jià)的結(jié)果一致而進(jìn)行的某種預(yù)處理。如對(duì)數(shù)處

38、理、冪處理等，常用的為，,,,均為常數(shù)。</p><p>　　外一種常用的峰值均方誤差PMSE：</p><p><b>　?。?-4）</b></p><p>　　式中，為的最大值。實(shí)用中還常采用簡單的形式。此時(shí)，對(duì)于8比特精度的圖像，A=255，M、N為圖像尺寸。</p><p>　　峰值均方誤差PMSE也被表示成等

39、效的峰值信噪比PSNR：</p><p><b>　　（1-5）</b></p><p>　　主觀評(píng)價(jià)和客觀評(píng)價(jià)這兩種圖像質(zhì)量評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)有各自的優(yōu)缺點(diǎn)。由于人眼視覺特性的準(zhǔn)確模型還沒有完全建立起來，因此主觀評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)還只是一個(gè)定性的描述方法，不能作定量描述，但它能反映人眼的視覺特性。峰值信噪比PSNR能夠?qū)D像質(zhì)量給出定量的描述。它是一種數(shù)學(xué)上統(tǒng)計(jì)的處理方法，缺點(diǎn)是它并不

40、是總能反映人眼的真實(shí)感覺。所以在衡量圖像“去噪”算法的優(yōu)劣時(shí)，將主觀與客觀兩種標(biāo)準(zhǔn)結(jié)合起來考慮。</p><p>　　2.2 傳統(tǒng)圖像去噪方法</p><p>　　數(shù)字圖像噪聲處理方法一般可分為空間域處理和變換域處理。</p><p>　　圖像空間域去噪方法是在原始圖像上直接進(jìn)行數(shù)據(jù)運(yùn)算，對(duì)像素的灰度值進(jìn)行處理。經(jīng)典的空間域去噪方法有均值濾波(包括鄰域平均法和多幀平

41、均法)、中值濾波、維納濾波等。這些方法的共同特點(diǎn)是用同一種方式去處理圖像中的每一個(gè)像素，而不顧每個(gè)像素點(diǎn)自身的特性。它們?cè)谌コ郊拥碾S機(jī)噪聲方面非常有效，但是在降低噪聲的同時(shí)，也使圖像產(chǎn)生了較為嚴(yán)重的模糊，特別是在圖像的邊緣和細(xì)節(jié)處。</p><p>　　基于圖像變換域的去噪方法是另外一類非常有效的圖像去噪方法，其基本思想是：首先對(duì)含噪圖像進(jìn)行某種變換，將其從空間域轉(zhuǎn)換到變換域，隨后再對(duì)變換域中的變換系數(shù)進(jìn)行處理

42、，之后進(jìn)行反變換將含噪圖像從變換域再轉(zhuǎn)換到原始空間域，以此來達(dá)到去除圖像中噪聲的目的。常見的將圖像從空間域轉(zhuǎn)換到變換域的變換方法很多，如傅立葉變換、離散余弦變換、沃爾什變換、小波變換以及多尺度幾何分析方法等。變換后的系數(shù)特征分布明顯，很多在空間域中無法進(jìn)行有效分析的信號(hào)，放到變換域中則可以進(jìn)行有效的分析，有利于進(jìn)行包括去噪在內(nèi)的各類圖像處理任務(wù)，因此該類方法多年來～直是圖像去噪領(lǐng)域中的研究熱點(diǎn)。</p><p>

43、　　2.3 經(jīng)典小波去噪方法</p><p>　　2.3.1 小波去噪方法模型和特點(diǎn)</p><p>　　小波理論由于其具備良好的時(shí)頻特性和多分辨率特性，已經(jīng)成功地在自然科學(xué)、應(yīng)用科學(xué)、社會(huì)科學(xué)等許多領(lǐng)域得到廣泛的應(yīng)用。</p><p>　　小波去噪方法的模型如下：</p><p>　　小波變換去噪，在基于變換域的圖像去噪中應(yīng)用十分廣泛。小

44、波去噪方法的成功主要得益于小波具有的如下特點(diǎn)：</p><p>　　(1) 低熵性 小波系數(shù)的稀疏分布，使得圖像變換后的熵降低。熵越低，信息的規(guī)律性越強(qiáng)；</p><p>　　(2) 多分辨率 由于采用了多分辨率的方法，所以可以很好地刻畫信號(hào)非平穩(wěn)特征，如邊緣、尖峰、斷點(diǎn)等：</p><p>　　(3) 去相關(guān)性 小波變換可以對(duì)信號(hào)進(jìn)行去相關(guān)性，且噪聲在變換后有白化

45、趨勢，所以小波域比時(shí)域更利于去噪；</p><p>　　(4) 選基靈活性 小波變換可以靈活選擇變換基，可以根據(jù)信號(hào)的特點(diǎn)和降噪要求，選用多帶小波、小波包等，在不同場合，可以選擇不同的小波基函數(shù)。</p><p>　　2.3.2 小波去噪方法</p><p>　　目前，基于小波變換的圖像去噪方法大致可以分為三大類：模極大值法、相關(guān)法和閾值法。下面逐一簡單介紹：<

46、;/p><p><b>　　1) 模極大值法</b></p><p>　　模極大值去噪法最早是由 Mallat提出的。由于信號(hào)和噪聲在小波變換中有著不同的傳播特性，即隨著尺度的增大，信號(hào)所對(duì)應(yīng)的模極大值將增大或保持不變，而噪聲所對(duì)應(yīng)的模極大值將減小。因此，連續(xù)做若干次小波變換之后，噪聲對(duì)應(yīng)的模極大值已經(jīng)基本去除或者幅值很小，其余極值點(diǎn)主要由信號(hào)控制。。模極大值去噪法就是利

47、用上述信號(hào)和噪聲在不同尺度上的模極大值的不同傳播特性，從所有小波變換模極大值中選擇信號(hào)的模極大值而去除噪聲的模極大值，然后利用剩余的小波變換模極大值重構(gòu)出原始信號(hào)。</p><p><b>　　2) 相關(guān)系數(shù)法</b></p><p>　　信號(hào)或圖像邊緣在各尺度相應(yīng)位置上的小波系數(shù)之間往往具有很強(qiáng)的相關(guān)性，而噪聲對(duì)應(yīng)的小波系數(shù)則具有弱相關(guān)或不相關(guān)的特點(diǎn)，相關(guān)法就是根據(jù)

48、此原理來去除噪聲的。例如，Xu等人提出了一種SSNF(Spatiaily Selective Noise Filtration)方法，該方法就是利用了信號(hào)和噪聲在小波域內(nèi)的不同相關(guān)特性，通過計(jì)算和比較相鄰尺度間小波系數(shù)的相關(guān)性大小，來判別小波系數(shù)的類型，從而進(jìn)行取舍的。</p><p>　　3) 小波閾值去噪法</p><p>　　在眾多的小波去噪的方法中，運(yùn)用最廣泛的就是小波閾值法。小波

49、閾值去噪法最早是由Donoho和John stone提出的，它主要基于以下事實(shí)：小波變換是一種去相關(guān)變換，經(jīng)小波變換后，信號(hào)能量主要集中于少數(shù)幅值較大的小波系數(shù)上，而噪聲能量則均勻分布于大部分小波系數(shù)上，即比較大的小波系數(shù)一般以實(shí)際信號(hào)為主，而比較小的小波系數(shù)則很大程度上是噪聲。因此，在小波系數(shù)中，低頻分量中含有大量的有用信息，應(yīng)該予以保留；同時(shí)在高頻分量中，一些絕對(duì)值較大的重要的小波系數(shù)并不是噪聲，而是邊緣信息，也應(yīng)予以保留。因此可以

50、通過設(shè)定合適的閾值，將絕對(duì)值小于閾值的小波系數(shù)置零，而保留絕對(duì)值大于閾值的小波系數(shù)。</p><p>　　2.3.3 小波閾值去噪法</p><p>　　小波閾值去噪法是運(yùn)用最廣泛的去噪方法。因?yàn)樗艿玫皆夹盘?hào)的近似最優(yōu)估計(jì)，且采用軟閾值法所得到的估計(jì)信號(hào)至少和原始信號(hào)同樣光滑，并且不同閾值的選擇以及閾值的施加方式對(duì)不同信號(hào)的降噪效果也不同。</p><p>　　

51、小波閾值去噪法的關(guān)鍵是閾值和閾值函數(shù)的選取，閾值和閾值函數(shù)選取的好壞直接影響到圖像的去噪效果。下面我們分別對(duì)閾值去噪過程中閾值和閾值函數(shù)的選取方法和策略做總結(jié)和分析。</p><p><b>　　1、閾值的選取</b></p><p>　　閾值的選取是閩值去噪過程中的一個(gè)關(guān)鍵因素。若閾值選取得過大，則一些</p><p>　　較小的信號(hào)系數(shù)可能

52、被當(dāng)作噪聲去除；若閾值選取得過小，則一些較大的噪聲系數(shù)可能被當(dāng)作信號(hào)保留。以下介紹幾種常用的閾值：</p><p>　　1) Donoho和John stone提出的統(tǒng)一閾值（Visu Shrink)。其中為噪聲標(biāo)準(zhǔn)差，為圖像的大小。</p><p>　　該閾值是在正態(tài)高斯噪聲模型下，針對(duì)獨(dú)立正態(tài)變量聯(lián)合分布，在維數(shù)趨于無窮時(shí)得出的結(jié)論，即大于該閾值的系數(shù)含有噪聲的概率趨于零。由可以看出，

53、當(dāng)MN較大時(shí)，閾值趨向于將所有小波系數(shù)置零，即</p><p>　　對(duì)小波系數(shù)有“過扼殺’’傾向，從而會(huì)丟失過多的高頻信息，導(dǎo)致重建誤差較大。并且這個(gè)閾值公式還要有一個(gè)先驗(yàn)條件，必須知道噪聲的方差，但是對(duì)一幅具體的圖像來說，我們不可能預(yù)先知道噪聲的方差，我們通常采用第一層細(xì)節(jié)信號(hào)來估計(jì)噪聲的方差：</p><p><b>　?。?-1）</b></p>

54、<p>　　(第一層細(xì)節(jié)信號(hào))。式中的分子部分表示對(duì)分解出的第一層小波系數(shù)取絕對(duì)值后再取中值。因此，統(tǒng)一閾值是最佳閾值的上限，但不是最佳閾值。它僅從圖像的噪聲特性來考慮，而沒有考慮圖像本身的特性。</p><p>　　2) 基于零均值正態(tài)分布的置信區(qū)間閾值和</p><p>　　該閾值也就是人們熟知的“"準(zhǔn)則’’，即考慮到零均值正態(tài)分布變量落在之外的概率非常小，所以絕對(duì)

55、值大于的系數(shù)一般被認(rèn)為主要是信號(hào)系數(shù)。置信區(qū)間閾值雖然跟圖像的尺寸無關(guān)，但由于隨著圖像尺寸增大，大的噪聲系數(shù)出現(xiàn)的數(shù)目會(huì)增多，并被保留，因而導(dǎo)致誤差增大。</p><p>　　3) Bayes Shrink閾值和Map Shrink閾值</p><p>　　在小波系數(shù)服從廣義高斯分布的假設(shè)下，Chang等人給出了Bayes Shrink閾值的公式：</p><p>

56、<b>　　（2-2）</b></p><p>　　其中，為噪聲標(biāo)準(zhǔn)差，為廣義高斯分布的標(biāo)準(zhǔn)差。實(shí)驗(yàn)表明，Bayes Shrink閾值能夠獲得接近于理想閾值的去噪效果。在小波系數(shù)服從Laplace分布的假設(shè)下，Moulin等人給出了基于MAP方法，其中為Laplace分布的參數(shù)值。</p><p>　　上述l）- 3)描述的閾值最大的共同點(diǎn)，就是具有顯示表達(dá)式。<

57、;/p><p>　　4) 最小最大化閾值</p><p>　　該閾值是Donoho和John stone在最小最大化意義下得出的閾值，與前面介紹的三種閾值不同，它是依賴于信號(hào)的，而且沒有顯式表達(dá)式，在求取時(shí)，需要預(yù)先知道原始信號(hào)，而且此閾值是基于悲觀決策的思想，因此會(huì)“過扼殺"系數(shù)。 </p><p><b>　　SURE閾值</b>&l

58、t;/p><p>　　該閾值是在均方差(MSE，Mean Square Deviation)準(zhǔn)則下的最優(yōu)閾值，同最小最大化閾值一樣，也沒有顯式的表達(dá)式，并且這個(gè)閾值的計(jì)算通常也需預(yù)先知道信號(hào)本身。但是由于實(shí)際求取時(shí)，這是不可能的，所以人們通過對(duì)這一準(zhǔn)則的估計(jì)信號(hào)，求出使估計(jì)最小的閾值，并以此為理想閾值的估計(jì)。目前常用的主要有以下兩種：一個(gè)是SURE Shrink閾值，它是在SURE(Stein’S Unbiased

59、Risk Estimation)準(zhǔn)則下得到的閾值，SURE準(zhǔn)則是均方差準(zhǔn)則的無偏估計(jì)，因此，SURE Shrink閾值趨近于理想閾值。另一個(gè)是GCV Shrink閾值，它是在GCV(Generalized Cross Validation)準(zhǔn)則下得到的閾值，GCV準(zhǔn)則雖然是有偏的，但是由于用這種準(zhǔn)則得到的最優(yōu)閾值也趨近于理想閾值，而且不需要對(duì)噪聲方差進(jìn)行估計(jì)，所以常用來確定合適的小波閾值。理想閾值從理論上說，是重建誤差最小的閾值，因而其

60、估計(jì)版本SURE Shrink閾值和GCV Shrink閾值往往能夠獲得較為滿意的去噪效果，但是其趨向于“過保留’’小波系數(shù)。</p><p>　　Neigh Shrink閾值</p><p>　　前面提到的Visu Shrink和SURE Shrink等閾值方法都是針對(duì)每個(gè)小波系數(shù)，然后對(duì)每個(gè)小波系數(shù)進(jìn)行處理，但是都沒有考慮鄰域系數(shù)對(duì)當(dāng)前小波系數(shù)的影響。然而小波系數(shù)在一個(gè)較小鄰域內(nèi)有一定

61、的相關(guān)性，比如說對(duì)于一個(gè)大的小波系數(shù)，其鄰域內(nèi)出現(xiàn)大的小波系數(shù)的可能性較大。Cai等利用鄰域系數(shù)間的相關(guān)性，提出了針對(duì)一維信號(hào)的NeighCoef算法。Chen等將NeighCoef算法推廣，并提出]Neigh Shrink算法。對(duì)大小為的二維圖像而言，對(duì)一個(gè)小波系數(shù)，需要考慮以它為中心的一個(gè)鄰域窗，設(shè)其大小為L*L，一般L=3,5,7...如下圖：L=3，為3*3的滑動(dòng)窗口。</p><p><b>

62、　　設(shè)</b></p><p><b>　　則閾值函數(shù)為：</b></p><p><b>　　（2-3）</b></p><p><b>　　式中</b></p><p>　　到目前為止，閾值選取方法的研究仍在進(jìn)行當(dāng)中，仍有新的閾值公式不斷提出，但通常的閾值是根據(jù)

63、實(shí)際應(yīng)用的需要，通過確定合適的準(zhǔn)則，并通過對(duì)可能的閾值進(jìn)行尋優(yōu)來選擇的。</p><p><b>　　2、閾值函數(shù)的選取</b></p><p>　　閾值函數(shù)的選取是閾值去噪過程中的另一關(guān)鍵因素，它體現(xiàn)了對(duì)超過或低于閾值的小波系數(shù)的不同處理和估計(jì)方法。常用的閾值函數(shù)主要包括硬閾值函數(shù)和軟閾值函數(shù)兩種。令五表示給定的閾值，則硬閾值函數(shù)可以表示為：</p>

64、<p><b>　?。?-4）</b></p><p>　　軟閾值函數(shù)可表示為：</p><p><b>　?。?-5）</b></p><p>　　式中為閾值處理后的小波系數(shù)，為符號(hào)函數(shù)。</p><p>　　下圖中用來表示，x為閾值處理前的小波系數(shù)。</p><p&

65、gt;　　硬閾值函數(shù)是將絕對(duì)值小于閾值的小波系數(shù)置為零，并認(rèn)為這時(shí)的主要由噪聲引起，而將絕對(duì)值大于閾值的小波系數(shù)不加任何處理予以保留，認(rèn)為這時(shí)的主要由信號(hào)引起。硬閾值函數(shù)能取得較好的去噪效果，但由于其為不連續(xù)的，所以在處理含有豐富邊緣信息的圖像時(shí)會(huì)產(chǎn)生許多“人為”噪聲。軟閾值函數(shù)并不是將絕對(duì)值大于閾值的小波系數(shù)完全保留，而是做收縮處理。軟閾值函數(shù)是一個(gè)連續(xù)函數(shù)，它能較好地克服硬閾值函數(shù)帶來的“人為”噪聲。但軟閾值函數(shù)減小了絕對(duì)值大的小波

66、系數(shù)，造成一定高頻信息的損失，從而導(dǎo)致了圖像邊緣的模糊。</p><p>　　總的來說，硬閾值函數(shù)可以很好地保留圖像邊緣等局部特征，但是圖像會(huì)出現(xiàn)偽吉布斯效應(yīng)等視覺失真現(xiàn)象；軟閾值函數(shù)處理結(jié)果則相對(duì)平滑得多，但是軟閾值函數(shù)可能造成圖像的邊緣模糊等失真現(xiàn)象，這將給重構(gòu)信號(hào)帶來不可避免的誤差。軟閾值處理在恢復(fù)圖像質(zhì)量和光滑性方面要優(yōu)于硬閾值。</p><p>　　現(xiàn)在有很多種方法對(duì)閾值函數(shù)進(jìn)行

67、了改進(jìn)，使得改進(jìn)后的閾值函數(shù)不但同軟閾值函數(shù)一樣是連續(xù)的，而且是高階可導(dǎo)的，非常便于處理。如下式：</p><p><b>　?。?-6）</b></p><p>　　上式是以直線為漸近線的，也就是說這個(gè)新構(gòu)造出的閾值函數(shù)是以為漸近線的，隨著的增大，逐漸接近，克服了硬閾值不連續(xù)可導(dǎo)的缺點(diǎn)，也克服了軟閾值函數(shù)中有恒定偏差的缺點(diǎn)。</p><p>

68、　　從上式我們可以看出，當(dāng)時(shí)，式(2-6)為硬閾值函數(shù)，當(dāng)時(shí)，上式為軟閾值函數(shù)。由此可見，很多閾值函數(shù)都是介于軟硬閾值函數(shù)之間靈活選擇的，并且可以通過N的取值的變化得到實(shí)用的閾值函數(shù)。</p><p><b>　　2.4 本章小結(jié)</b></p><p>　　本章主要介紹了傳統(tǒng)的圖像去噪方法，包括時(shí)域和變換域的去噪方法。介紹了小波去噪的三種方法，模極大值法，去相關(guān)性

69、法和閾值去噪法，并詳細(xì)介紹小波去噪方法中的閾值去噪法。在閾值去噪法中，對(duì)閾值的選取及選取規(guī)則、閾值函數(shù)進(jìn)行了論述，并對(duì)各自的優(yōu)缺點(diǎn)進(jìn)行了比較。</p><p>　　3 稀疏表示的圖像去噪</p><p>　　3.1 小波變換理論</p><p>　　3.1.1 多分辨分析</p><p>　　在實(shí)際應(yīng)用中，我們所關(guān)心的是連續(xù)小波變換及其逆變

70、換的離散形式，即尺度參數(shù)和平移參數(shù)的離散化。一般情況下，用框架理論可以研究連續(xù)小波變換的離散化問題。在這里我們介紹由Mallat和Meyer建立的多分辨分析的概念，它詳細(xì)地闡述了多分辨率空間的數(shù)學(xué)性質(zhì)。</p><p>　　定義3.1 設(shè)為中的一串閉子空間序列，如果滿足：</p><p><b>　　1) 單調(diào)性： ；</b></p><p>

71、　　2) 平移不變性： ；</p><p><b>　　3）伸縮性： ;</b></p><p>　　4) 逼近性： ；這里用表示集合的閉包。</p><p>　　5）Riese基存在性：存在函數(shù)，使得構(gòu)成的Riese基，即)是線性無關(guān)。，且存在常數(shù)與，滿足，得對(duì)任意的，總存在序列，使得滿足：</p><p><b

72、>　?。?-1）</b></p><p><b>　　且</b></p><p><b>　　（3-2）</b></p><p>　　則稱為尺度函數(shù)，為的一個(gè)多分辨分析()。特別地，構(gòu)成的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基，則稱為正交尺度函數(shù)，相應(yīng)地，稱為的一個(gè)正交多分辨分析。</p><p>　　多

73、分辨分析的空間關(guān)系可形象地用圖3-1來說明，其中在和之間是相互嵌套的，即：</p><p><b>　?。?-3）</b></p><p>　　在多分辨分析中，稱為逼近空間。一般地，隨著的不同，尺度函數(shù)也不同，從而對(duì)應(yīng)的不同的多分辨分析。在實(shí)際中，較有用的一類尺度函數(shù)是具有緊支撐的函數(shù)。</p><p>　　3.1.2 離散小波變換</p

74、><p>　　對(duì)于空間中的任意函數(shù)，總有以下展開式</p><p><b>　　（3-4）</b></p><p><b>　　其中</b></p><p><b>　?。?-5）</b></p><p>　　但由于實(shí)際中尺度函數(shù)和小波函數(shù)往往沒有解析表達(dá)式

75、，故上式通常難以直接計(jì)算，對(duì)于這一問題，Mallat基于多分辨分析的框架和雙尺度方程提出了如下的離散小波變換(DWT)公式：</p><p><b>　　相應(yīng)的重構(gòu)公式為</b></p><p>　　這就是所謂的Mallat塔式分解和重構(gòu)算法。該算法相當(dāng)于FFT在Fourier分析中的地位，其優(yōu)點(diǎn)是可以直接給出函數(shù)的分解系數(shù)而無須寫出基函數(shù)。這對(duì)數(shù)字信號(hào)的分解與重構(gòu)來

76、說，可以方便地用計(jì)算機(jī)來實(shí)現(xiàn)，而且實(shí)用性很強(qiáng)。同時(shí)，它將小波分析與濾波器緊密地聯(lián)系起來，即雙尺度方程中的系數(shù)h(k)和g(k)分別起著低通濾波器和高通濾波器的作用，通常稱之為尺度濾波器和小波濾波器。由此還可以推導(dǎo)出小波基與共軛鏡像濾波器之間的等價(jià)性，這些濾波器組可以實(shí)現(xiàn)一種快速正交小波變換。即對(duì)長度為Ⅳ的離散信號(hào)，該變換所需要的運(yùn)算次數(shù)僅為。J下是由于小波具有這種特殊的性質(zhì)，才使得它從一丌始就受到工程技術(shù)人員的青睞，從而極大地促進(jìn)了小波

77、理論和應(yīng)用的發(fā)展。</p><p>　　如果引入無窮矩陣 ，則Mallat塔式分解算法還可以寫成以下矩陣形式：</p><p><b>　　相應(yīng)的重構(gòu)算法為</b></p><p>　　且當(dāng)H,G滿足：時(shí)可以實(shí)現(xiàn)精確重構(gòu)，其中“”代表共軛轉(zhuǎn)置。</p><p>　　在Mallat分解算法(3-9)、(3-10)中，由于變

78、換矩陣H、G是通過MRA導(dǎo)出的，所以稱為小波濾波器。因此，在Mallat分解算法(3-9)、(3-10)中，如果我們能從其他途徑找到小波濾波器H，G，又能找到一組初始系數(shù)，就可以直接應(yīng)用Mallat算法進(jìn)行小波分解，而無須具體給出尺度函數(shù)和小波函數(shù)，這就是Mallat算法之所以能夠廣泛、快捷應(yīng)用的原因。</p><p>　　3.2 稀疏表示理論</p><p>　　在介紹稀疏表示理論之前

79、，我們先對(duì)一些基本概念進(jìn)行描述：</p><p>　　稀疏信號(hào)(Sparse Signal)的定義：若信號(hào)x只有有限個(gè)(比如K個(gè))非零采樣點(diǎn)，而其它采樣點(diǎn)均為0，則稱信號(hào)X是K稀疏的。</p><p>　　實(shí)際中，通常時(shí)域內(nèi)的自然信號(hào)都是非稀疏的，嚴(yán)格稀疏的信號(hào)很少，盡管有位置的值很小，但不一定等于零，于是引入可壓縮信號(hào)(Compressible Signal)的概念。</p>

80、<p>　　可壓縮信號(hào)的定義：如果某一信號(hào)在不丟失任何信息的條件下通過某種變換，可以得到稀疏信號(hào)，也就是說信號(hào)在某些變換域是稀疏的，則我們稱之為可壓縮信號(hào)。</p><p>　　近年來，隨著現(xiàn)代傳感器技術(shù)的發(fā)展，許多領(lǐng)域面臨著日益膨脹的大量數(shù)據(jù)，如地震數(shù)據(jù)、地球物理數(shù)據(jù)、工業(yè)控制數(shù)據(jù)、音頻數(shù)據(jù)、天文數(shù)據(jù)、基因數(shù)據(jù)等。如何實(shí)現(xiàn)對(duì)這些數(shù)據(jù)更為靈活、簡潔和自適應(yīng)的表達(dá)已成為一個(gè)倍受關(guān)注的問題。</p

81、><p>　　通常，信號(hào)的分解變換是根據(jù)信號(hào)本身的特點(diǎn)，通過如傅立葉變換、短時(shí)傅立葉變換、離散余弦變換、小波變換等，將信號(hào)分解在一組完備的正交基上，從而在這些變換域上表達(dá)原始信號(hào)，這就是信號(hào)的表示。它們共同的特點(diǎn)就是給定信號(hào)的表示形式唯一，一旦信號(hào)的特性與基函數(shù)不完全匹配，那么所獲得的分解結(jié)果就不一定是信號(hào)的稀疏表示了。因此，尋求新的信號(hào)稀疏表示方法必將帶來信號(hào)表示的深刻變革。</p><p>

82、;　　1993年，在小波分析理論的基礎(chǔ)上，Mallat和Zhang率先提出了信號(hào)基于過完備原子庫上的分解思想，通過信號(hào)在過完備庫(over．complete dictionary)上的分解，用來表示信號(hào)的基可以自適應(yīng)地根據(jù)信號(hào)本身特點(diǎn)靈活選取。分解的結(jié)果，將可以得到一個(gè)非常簡潔的表達(dá)。這種在變換域用盡量少的基函數(shù)來準(zhǔn)確地表示原始信號(hào)，就是信號(hào)的稀疏表示(Sparse Representation)。它開創(chuàng)了信號(hào)的稀疏表示這一信號(hào)分析的新

83、方向。</p><p>　　由于信號(hào)的稀疏表示的優(yōu)良特性，信號(hào)稀疏表示的研究很快從一維信號(hào)推廣到二維圖像表示研究上，并表現(xiàn)出極大的優(yōu)越性。尤其是近年來在數(shù)學(xué)和工程領(lǐng)域同時(shí)興起的壓縮傳感與稀疏表示理論，使得稀疏表示理論的研究和應(yīng)用越來越引起眾多人士的重視。</p><p>　　信號(hào)的稀疏表示算法研究最早可以追溯到1982年，Huber在統(tǒng)計(jì)回歸領(lǐng)域時(shí)首次提出了投影追蹤法。如今，信號(hào)的稀琉表示

84、越來越表現(xiàn)出它的優(yōu)越性，尤其是近年來壓縮傳感理論的提出，壓縮傳感與稀疏表示理論研究引起了眾多人士的關(guān)注。首先介紹一下壓縮傳感與稀疏表示的理論。</p><p>　　近兩年誕生了一種新的壓縮傳感(Compressive／Compressed Sensing)理論，該方法在獲取信號(hào)同時(shí)，對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行適當(dāng)壓縮，優(yōu)點(diǎn)就是針對(duì)可稀疏表示的信號(hào)，將傳統(tǒng)的數(shù)據(jù)采集與數(shù)據(jù)壓縮合二為一。由于壓縮傳感理論的提出，稀疏表示越來越表現(xiàn)出它

85、的優(yōu)越性，許多人將目光投向這個(gè)領(lǐng)域，并進(jìn)行了大量的研究。下面介紹壓縮傳感與稀疏表示的過程。</p><p>　　壓縮傳感核心是線性測量過程．設(shè)為傳統(tǒng)采樣得到的數(shù)字信號(hào)，長度為N，而通過壓縮傳感則可直接得到，長度為M。它們的關(guān)系是。為表示，記為。為K-稀疏的(只有K個(gè)非零元)，則測量過程可以重新寫為，其中為矩陣。我們無法直接從y(m)恢復(fù)出x(n)我們可通過求解下列優(yōu)化問題得到原信號(hào)在T變換域內(nèi)的稀疏形式：<

86、/p><p><b>　?。?-13）</b></p><p>　　我們稱之為基于壓縮傳感的稀疏表示，實(shí)質(zhì)是信號(hào)重構(gòu)過程。</p><p>　　下圖為壓縮傳感過程：</p><p>　　目前該領(lǐng)域的研究工作主要集中在傳感矩陣與重構(gòu)算法的構(gòu)造等理論層面：</p><p>　　傳感矩陣的構(gòu)造方面：<

87、/p><p>　　傳感矩陣需具備的充分條件，即一致不確定性原理(Uniform Uncertainty Principle，UUP)。</p><p>　　對(duì)任意的K-稀疏向量x，如果</p><p><b>　　(3-14)</b></p><p>　　則稱遵循集合大小為K的一致不確定原理，而且傳感矩陣的行數(shù)M與信號(hào)稀疏度

88、K之間須滿足M≥K·log(N)。</p><p>　　在所有給定大小的隨機(jī)矩陣中選擇滿足UUP特征的矩陣是NP組合難問題，計(jì)算量太大，目前采用較多的是高斯矩陣和貝努利矩陣，它們已被驗(yàn)證滿足UUP特征。</p><p>　　Donoho從定性和定量的角度給出了測量矩陣所要滿足的三個(gè)特征：①測量矩陣的列向量須滿足一定的線性獨(dú)立性；②測量矩陣的列向量體現(xiàn)某種類似噪聲的獨(dú)立隨機(jī)性；③滿

89、足稀疏度的解是滿足范數(shù)最小的向量。</p><p><b>　　2、重構(gòu)算法方面</b></p><p>　　在前面的稀疏表示的國內(nèi)外研究現(xiàn)狀中，我們提出了幾種由稀疏表示形成的重構(gòu)算法。大體上，重構(gòu)算法可粗略地歸納為以下三類：針對(duì)范數(shù)最小提出的一系列貪婪算法，針對(duì)范數(shù)最小提出的線性規(guī)劃最優(yōu)化算法，以及統(tǒng)計(jì)優(yōu)化重構(gòu)算法。目前常用的重構(gòu)算法主要是匹配追蹤算法及改進(jìn)算法，另

90、外也在嘗試梯度投影等多種凸優(yōu)化算法。</p><p>　　是針對(duì)范數(shù)最小的重構(gòu)算法，它是一個(gè)NP難問題，所以很多算法都是針對(duì) 提出的，均為貪婪算法。比如OMP算法、正則化正交匹配追蹤、最優(yōu)正交匹配追蹤(Optimized Orthogonal Matching Pursuit，OOMP)、稀疏自適應(yīng)匹配追蹤。針對(duì)范數(shù)最小的重構(gòu)算法可以解決NP難問題，將NP難問題轉(zhuǎn)化為求解線性規(guī)劃最優(yōu)化問題。比如基追蹤算法(Bas

91、is Pursuit，BP)、梯度投影稀疏重構(gòu)(Gradient Projection for Sparse Reconstruction，GPSR)等。</p><p>　　另外，以Sparse Bayesian為代表的統(tǒng)計(jì)優(yōu)化算法也在應(yīng)用，其性能介于兩</p><p><b>　　者之間。</b></p><p>　　比較經(jīng)典的重構(gòu)算法有：

92、MP算法、基于匹配追蹤方法（BMP）、正交匹配追蹤法（OMP）以及其他方法。</p><p>　　雖然有以上重構(gòu)算法提出，并且這些算法能夠重構(gòu)出信號(hào)，但缺乏嚴(yán)格的理論基礎(chǔ)，收斂性也不能保證，而且有的算法速度很慢。因此構(gòu)造穩(wěn)定的，收斂性強(qiáng)的算法是當(dāng)前壓縮傳感急需解決的問題。</p><p>　　3.3 基于稀疏表示的圖像去噪模型</p><p>　　本節(jié)建立了一種基

93、于稀疏表示的小波去噪模型。將小波去噪的問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)最優(yōu)化問題，并通過求解該問題，得到不含噪聲的小波系數(shù)，恢復(fù)小波系數(shù)的稀疏性，最終達(dá)到去除噪聲的目的。</p><p><b>　　設(shè)有如下含噪信號(hào)</b></p><p><b>　?。?-15） </b></p><p>　　其中和)分別是觀測信號(hào)和干凈無噪聲信號(hào)，是隨

94、機(jī)噪聲且服從正念分布。設(shè)表示信號(hào)對(duì)應(yīng)的小波系數(shù)，為尺度因子，表示時(shí)間(位置)。表示經(jīng)過閾值方法，比如前面提到的硬閾值法和軟閾值法而估計(jì)得到的小波系數(shù)。但是我們可以明顯看到，該操作都是屬于逐點(diǎn)處理的方式，未用到小波系數(shù)的整體結(jié)構(gòu)特性，因此有一定局限性。</p><p>　　對(duì)于理想信號(hào)來說，只要小波基選擇合適，對(duì)其進(jìn)行小波變換后得到的小波系數(shù)是稀疏的，即僅有少量大幅值系數(shù)。但是被噪聲污染后，小波系數(shù)的稀疏性將大大降

95、低。因此，我們可以考慮采用恢復(fù)小波系數(shù)的稀疏性來達(dá)到去噪的目的。這就是稀疏表示去噪方法的基本思想。</p><p>　　為了不失一般性，略去小波系數(shù)的下標(biāo)j和k，令W表示給定尺度上大小為N*1的列向量。（M小于N）稀疏表示中的隨機(jī)測量矩陣。作為一個(gè)要求：。^，必須滿足一致不確定原理：(Uniform Uncertainty Principle，簡稱UUP)，即對(duì)任意S-稀疏向量X，如果</p>&l

96、t;p><b>　　（3-16）</b></p><p>　　則稱滿足集合大小為S的UUP原理，其中。</p><p>　　設(shè)，我們可以通過求解下列問題獲得最稀疏的系數(shù)向量</p><p><b>　?。?-17）</b></p><p>　　然而在去噪應(yīng)用中，我們可以找到一種求解該問題的簡便

97、方式。如下形式：</p><p><b>　?。?-18） </b></p><p>　　上式的解在統(tǒng)計(jì)意義下是惟一的，且是無偏的，其均值恰好和理想的小波系數(shù)相同。過加性假設(shè)，觀測信號(hào)的小波系數(shù)可表示為。其中是隨機(jī)噪聲n(k)對(duì)應(yīng)的小波系數(shù)。由于，也服從零均值高斯分布。因此我們有：</p><p><b>　　（3-19）</b

98、></p><p>　　記， （3-20）</p><p>　　并且對(duì)于任意，有，即。</p><p>　　以上就是稀疏表示的理論基礎(chǔ)和保證?；诖?，我們進(jìn)行下面的算法描述和算法實(shí)現(xiàn)。</p><p>　　3.4 最速下降法圖像去噪</p><p&

99、gt;　　針對(duì)上述的最優(yōu)化問題，我們將采用最速下降法來解決。最速下降法是數(shù)值優(yōu)化方法中出現(xiàn)最早的算法。該方法直觀、簡單，有一階收斂速度，充分利用了小波系數(shù)的整體特性，克服了小波閾值去噪僅對(duì)系數(shù)逐點(diǎn)處理的缺點(diǎn)，通過在多個(gè)初始迭代點(diǎn)上多次使用傳統(tǒng)數(shù)值優(yōu)化方法來盡可能地求取全局最優(yōu)。</p><p>　　3.4.1 最速下降法理論</p><p>　　首先介紹最速下降法的基本原理：</p&

100、gt;<p>　　先考慮一個(gè)無約束問題 。其中函數(shù)具有一階連續(xù)偏</p><p>　　導(dǎo)數(shù)。通常人們?cè)谔幚磉@種問題的時(shí)候，總希望從某一點(diǎn)出發(fā)，選擇一個(gè)目標(biāo)函數(shù)值下降最快的方向，以追求目標(biāo)函數(shù)值最小，若搜索方向取該點(diǎn)的負(fù)梯度方向，使函數(shù)值在該點(diǎn)附近的范圍內(nèi)下降最快，以利于盡快達(dá)到極小點(diǎn)。這就是最速下</p><p><b>　　降法的基本思想。</b>&l

101、t;/p><p>　　最速下降法的迭代公式是，其中是從出發(fā)的搜索方向，這里取在點(diǎn)處的最速下降方向，即</p><p><b>　?。?-21）</b></p><p>　　是從出發(fā)沿方向進(jìn)行一維搜索的步長，即滿足：</p><p><b>　?。?-22）</b></p><p>

102、;　　由此可知，在最速下降法中，相鄰兩個(gè)迭代點(diǎn)上的函數(shù)梯度互相垂直。而索</p><p>　　方向就是負(fù)梯度方向，因此相鄰兩個(gè)搜索方向互相垂直。從圖3-4我們可以看出，</p><p>　　最速下降法搜索路徑是鋸齒型的，走了很多彎路，收斂性慢。</p><p>　　最速下降法的計(jì)算步驟如下：</p><p>　　給定初點(diǎn)，允許誤差，置k=1；

103、</p><p><b>　　計(jì)算搜索方向；</b></p><p>　　若，則停止計(jì)算；否則，從出發(fā)，沿’進(jìn)行一維搜索，求，使。</p><p>　　令，置七k:k+1，轉(zhuǎn)步驟(2)。</p><p>　　以上就是最速下降法的基本算法原理和步驟。</p><p>　　3.4.2 最速下降法去噪模

104、型</p><p>　　我們回到上節(jié)介紹的去噪模型：</p><p>　　針對(duì)(3．19)式： </p><p><b>　　(3-23)</b></p><p>　　用表示式右側(cè)的第一項(xiàng)，通過對(duì)求偏導(dǎo)并令其等于零可得到最小化必要條件：</p><p><b>　?。?-24）</

105、b></p><p>　　對(duì)這個(gè)式子采用最速下降法</p><p><b>　?。?-25）</b></p><p>　　其中，是一個(gè)待定常數(shù)。上式可重寫為</p><p><b>　?。?-26）</b></p><p>　　因此，上式收斂的條件是應(yīng)為一線性壓縮算子，

106、即</p><p><b>　?。?-27） </b></p><p>　　上述算法收斂的另一條件是線性算子的特征值滿足下列充分條件，該條件強(qiáng)于式(3-27)</p><p><b>　?。?-28）</b></p><p>　　定義S為矩陣的最大特征值。為了保證迭代算法的收斂性，式中的應(yīng)該選為&l

107、t;/p><p><b>　?。?-29） </b></p><p>　　然而，由于迭代公式(3-25)中并未考慮這一項(xiàng)，因此上述算法不一定能收斂到式子的最小解。為了最小化，我們?cè)谑街性黾尤缦麻撝挡僮鳎?lt;/p><p><b>　?。?-30） </b></p><p><b>　　其中是硬閾

108、值算子 </b></p><p><b>　?。?-31）</b></p><p>　　為一可選閾值。該算法中的硬閾值步驟保證了最小化中的非零系數(shù)個(gè)數(shù)得以實(shí)現(xiàn)。</p><p>　　3.4.3 去噪算法步驟</p><p>　　由于純凈信號(hào)對(duì)應(yīng)的小波系數(shù)沿著小波分解尺度具有很強(qiáng)的相關(guān)性，因此不同尺度上的非零小

109、波系數(shù)位于相同位置鄰域的可能性很大對(duì)于不同的分解尺度，擇如下不同迭代初值：</p><p><b>　?。?-32）</b></p><p>　　于是，基于稀疏表示的小波去噪算法步驟可描述如下：</p><p>　　對(duì)含噪觀測信號(hào)進(jìn)行非下采樣小波變換，并得到小波系數(shù) ；</p><p>　　擇合適的隨機(jī)矩陣，使其滿足UU

110、P特性(3-16)</p><p><b>　　計(jì)算，并令；</b></p><p><b>　　3）令，；</b></p><p>　　4）如果，則令，并利用(3—26)式計(jì)算，重復(fù)步驟4)；否則，，轉(zhuǎn)步驟5)；</p><p>　　5）若j=1，轉(zhuǎn)步驟6)；否則，令j=j-1，轉(zhuǎn)3)：</

111、p><p>　　6）利用估計(jì)得到的小波系數(shù)進(jìn)行小波反變換。</p><p>　　3.4.4 最速下降法實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析</p><p>　　以下實(shí)驗(yàn)，我們都是通過Matlab軟件來仿真實(shí)現(xiàn)的，并且加入的噪聲為加性高斯噪聲。</p><p>　　i) 首先我們先選一個(gè)一維信號(hào)進(jìn)行測試，在這里我們選取了一維心電信號(hào)：</p><p

112、>　　第一行至第四行分別表示信號(hào)的第一層、第二層、第三層、第四層高頻分量。用基于最速下降法的方法去噪之后，(如圖3-6所示)，相應(yīng)的各層的高頻分量相對(duì)圖3-5都變稀疏了，而且都保留了信號(hào)的主要有用信息。</p><p>　　圖3．7的第一層表示原始信號(hào)，第二層表示加噪聲后的信號(hào)，第三層表示經(jīng)過最速下降法處理之后恢復(fù)的信號(hào)，可以看出該算法去噪的效果不錯(cuò)。</p><p>　　在上述實(shí)驗(yàn)

113、中，我們先對(duì)一維信號(hào)進(jìn)行截取。截取的長度N=2048，信號(hào)的信噪比為6．1320dB，然后對(duì)這段信號(hào)進(jìn)行處理。處理過程中，我們選取了三次樣條小波進(jìn)行試驗(yàn)，分解尺度選為J=4。在(3-31)式中，我們?nèi)?。迭代停止的條件。從圖3．7所示，我們可以看出，對(duì)于一維信號(hào)來說，最速下降法去噪的效果很不錯(cuò)，比較準(zhǔn)確地恢復(fù)出原始信號(hào)。</p><p>　　下面我們選取了Blocks、Bumps、HeaviSine以及Dopple