散貨船錨機底座的自由振動模態(tài)分析【畢業(yè)設(shè)計】

1、<p>　　本科畢業(yè)論文(設(shè)計)</p><p><b>　　目錄</b></p><p><b>　　摘 要3</b></p><p><b>　　緒論4</b></p><p><b>　　1．緒論5</b></p>

2、<p>　　1.1本文的研究背景及意義5</p><p>　　1.2錨機底座振動研究現(xiàn)狀5</p><p>　　1.3有限元方法在板結(jié)構(gòu)振動分析中的應(yīng)用7</p><p>　　1.4本論文的研究工作8</p><p>　　2．薄板的自由振動10</p><p>　　2.1 薄板結(jié)構(gòu)橫向振動方程10

3、</p><p>　　2.2四邊簡支的矩形薄板的自由振動13</p><p>　　2.3 兩對邊簡支的矩形薄板的自由振動16</p><p>　　3．船舶板梁組合結(jié)構(gòu)振動特性分析21</p><p>　　3.1 自由振動分析21</p><p>　　3.1.1 系統(tǒng)固有頻率、實模態(tài)矩陣21</p>

4、<p>　　3.1.2 求解結(jié)構(gòu)固有頻率和主振型的方法21</p><p>　　3.2動力響應(yīng)振動分析25</p><p>　　3.2.1 振型疊加法25</p><p>　　3.2.2 數(shù)值積分法27</p><p>　　3.3 結(jié)構(gòu)動力學(xué)問題的有限元法29</p><p>　　3.3.1概述

5、29</p><p>　　3.3.2動力學(xué)方程30</p><p>　　3.3.3 特征值問題31</p><p>　　4．船舶艙口蓋結(jié)構(gòu)有限元軟件的振動計算33</p><p>　　4.1 PATRAN軟件簡介33</p><p>　　4.2 MSC.Patran軟件關(guān)于自由振動板的計算舉例34</

6、p><p>　　4.3有限元計算錨機底座模型38</p><p>　　4.4結(jié)果分析與討論43</p><p>　　4.5網(wǎng)格細化建模結(jié)果對比47</p><p>　　5 結(jié)論與展望52</p><p><b>　　致 謝53</b></p><p><b>

7、;　　參考文獻54</b></p><p>　　17000T散貨船錨機底座的自由振動模態(tài)分析</p><p><b>　　摘 要</b></p><p>　　在船舶設(shè)計生產(chǎn)過程中，振動問題不容忽視。由于船舶上攜載著各種機械，固有頻率的機械振動以及船舶運動中產(chǎn)生的共振時刻威脅著船體結(jié)構(gòu)的強度，從而成為船體航行的安全的不安因素。&

8、lt;/p><p>　　在船舶振動研究中，錨機底座自由振動模態(tài)分析是非常重要的環(huán)節(jié)，錨機底座振動傳遞關(guān)系到首甲板的安全。本文通過有限元方法以及MSC.Patran/Nastran軟件針對17000T散貨船的錨機底座為研究對象開展了其自由振動模態(tài)分析，考察了網(wǎng)格疏密對于分析結(jié)果的影響。</p><p>　　[關(guān)鍵詞] MSC.Patran/Nastran；船舶；錨機底座；自由振動；有限元方法&l

9、t;/p><p>　　17000T bulk anchor the base of the free vibration modal analysis</p><p>　　[Abstract] The vibration can not be ignored in ship design and production process. Due to the free vibration of

10、a variety of machinery in ship, the resonance resulted from the natural frequency of mechanical vibration will threaten the strength of the hull structure and safety of navigation of unrest. </p><p>　　The

11、 study of ship vibration, anchor the base of the free vibration modal analysis. It is a very important part of the windlass base vibration transmission related to the safety of the first deck. We analysis its free vibrat

12、ion modal by the finite element method and MSC.Patran / Nastran software for 17000T bulk carrier anchored machine base for the study.</p><p>　　[Key words] MSC.Patran/Nastran；ship；free vibration; finite eleme

13、nt method 1．緒論</p><p>　　1.1本文的研究背景及意義</p><p>　　振動問題是現(xiàn)今板研究中比較常見的問題，隨著工程中各種結(jié)構(gòu)物、機械系統(tǒng)不斷向著復(fù)雜、高速、高精度方向發(fā)展，振動問題越來越成為現(xiàn)今結(jié)構(gòu)研究的重點。由于船舶上攜載著各種機械，固有頻率的機械振動以及船舶運動中產(chǎn)生的自由振動時刻威脅著船體結(jié)構(gòu)的強度，從而成為船體航行的安全的不安因素。船體是一種復(fù)雜的彈

14、性結(jié)構(gòu)，在船舶的營運過程中將受到各種外界激振力的作用而產(chǎn)生總體的振動，這種振動有時會對船員及乘客的舒適性等產(chǎn)生有害影響，使乘客和服務(wù)人員感到不適，還會使設(shè)備儀表失靈或損壞，而且振動還會在結(jié)構(gòu)構(gòu)件中產(chǎn)生交變應(yīng)力，加速結(jié)構(gòu)疲勞，影響船體強度。因此在船舶設(shè)計階段就需要準確地估算出船體結(jié)構(gòu)的動態(tài)特性及其響應(yīng)，指導(dǎo)正確選擇螺旋槳葉數(shù)和主機缸數(shù)，以免船舶構(gòu)件發(fā)生共振?；蛘呤请m然不共振，但由于激勵過大和/或結(jié)構(gòu)剛度過弱所造成劇烈的船舶振動，都會引起船

15、員和旅客的不適，工作效率降低，位于船上的機械設(shè)備、儀器儀表不能正常工作，引起結(jié)構(gòu)構(gòu)件的交變應(yīng)力，加速結(jié)構(gòu)的疲勞損傷，船體結(jié)構(gòu)會產(chǎn)生裂紋等。所以，在船舶設(shè)計生產(chǎn)過程中，振動問題不容忽視。</p><p>　　1.2錨機底座振動研究現(xiàn)狀 </p><p>　　錨機機組底座作為機組的支撐部分，其結(jié)構(gòu)設(shè)計必須滿足：一，具有良好的性能；二，足夠的強度；三，具體有良好的剛度。只有滿足了這三個方面才能保

16、證機組的正常運行和安全出發(fā)。機組底座必須具有良好的動力特性和遵守為之而規(guī)定的鑒定標(biāo)準，同時又是一個極為復(fù)雜的問題；機組底座動力特性鑒定標(biāo)準的確定，在國際上存在著不同的觀點，我國很多專家對此進行了研究；機組底座的傳統(tǒng)動力分析方法有共振法和振幅法，其中在“《動力機器基礎(chǔ)設(shè)計規(guī)范》”（GB50040-96）中的振幅法規(guī)定，機組正常運行狀態(tài)下機組底座在擾力作用點的計算垂直振幅不能超過的允許范圍。因此計算機組底座各個擾力作用下的轉(zhuǎn)速-振幅曲線，確

17、保該曲線不超過允許的范圍是底座分析的主要任務(wù)。而為了計算振幅曲線，對其峰值分布進行調(diào)整，又必須知道機組底座的自振頻率和振型。機器的振動是影響安全穩(wěn)定運行的首要問題,它不僅增加了機組附加動應(yīng)力，還縮短了機組壽命，甚至釀成災(zāi)難性事故。</p><p>　　文獻[1]提出整船結(jié)構(gòu)振動分析中的幾個連續(xù)變量問題，振動分析是測試船舶振動性能的良好辦法，它可分為自由振動和分析計算，涉及到的相關(guān)領(lǐng)域有：力學(xué)模型研究、模型結(jié)構(gòu)參數(shù)

18、研究、計算方法研究，其中，力學(xué)模型的建立主要是結(jié)構(gòu)的簡化；模型的結(jié)構(gòu)參數(shù)中較為重要的是阻尼振動的研究。</p><p>　　文獻[2][3]通過比較分析，討論了使用于甲板結(jié)構(gòu)振動分析的簡化模型。</p><p>　　文獻[4]利用有限元方法，對首甲板總振動和上層建筑局部振動進行了計算研究。并將各種建模方法的運算實例結(jié)果進行了詳細的對比。</p><p>　　文獻[5

19、]通過有限元法對一艘6400DWT散貨船船進行了全船的振動性能研究，詳細的計算了船體各離散部位的固有頻率和振動模態(tài)，以及全船的振動性能建模分析。</p><p>　　文獻[6]主要講述的是MSC.Patran在船舶結(jié)構(gòu)局部強度分析中的應(yīng)用，對首甲板的一些結(jié)構(gòu)進行建模研究，分析計算得出甲板如何加強結(jié)構(gòu)強度。</p><p>　　文獻[7][8]對有限元法在振動模態(tài)分析中得應(yīng)用進行了詳細的分析

20、。有限元法研究對象廣泛，不僅可以解決桿系結(jié)構(gòu)分析問題，而且能進行平面、空間連續(xù)體、板殼及各種復(fù)雜組合結(jié)構(gòu)的計算；不僅可以分析結(jié)構(gòu)的彈性性能，而且能應(yīng)用于彈塑性等復(fù)雜力學(xué)性能問題；不僅適用靜力分析，而且適用于動力分析。由于船體結(jié)構(gòu)的特殊性，有限元方法在振動計算中往往需要考慮一些特殊的因素。局部模態(tài)的處理。對于復(fù)雜的上層建筑結(jié)構(gòu)，不可避免地存在著許多局部模態(tài)，這些局部模態(tài)會給計算結(jié)果帶來較大的影響。主從自由度方法的應(yīng)用可以較好地解決這一問題

21、。文獻介紹了有效地應(yīng)用主從自由度方法對船舶結(jié)構(gòu)總體振動和局部振動性能進行有限元計算分析。</p><p>　　文獻[9]提出了高效的船舶有限元建模方法，利用AutoCAD中的二維結(jié)構(gòu)圖快速生成船舶結(jié)構(gòu)的三維有限元模型，是一種自動化程度高，工作效率高的方法，以介紹船舶結(jié)構(gòu)有限元模型數(shù)據(jù)的計算生成方法為媒介，得出了其在船舶結(jié)構(gòu)有限元建模上的優(yōu)越性及局限性的觀點。</p><p>　　文獻[10

22、]本文以4000TEU級巴拿馬型集裝箱船為基礎(chǔ)，采用計算和比較方法，通過首甲板應(yīng)力結(jié)構(gòu)分，結(jié)合身高甲板高度分析對首甲板強度的統(tǒng)計分析，以及錨機長寬度，自由振動分析，完成錨機底座最終設(shè)計。</p><p>　　文獻[11]對載重?zé)o限航區(qū)散貨船錨機底座強度進行了校核。按照《散貨船共同結(jié)構(gòu)規(guī)范》要求進行有限元建模并確定外載荷，通過有限元計算并對原設(shè)計結(jié)構(gòu)進行優(yōu)化改進，以滿足規(guī)范的強度要求。通過計算該錨機底座主要支撐構(gòu)件

23、的應(yīng)力，驗證了優(yōu)化建模結(jié)構(gòu)的合理性。</p><p>　　文獻[12]本文對船舶局部結(jié)構(gòu)包括錨機底座振動分析中邊界條件的簡化問題做了體統(tǒng)的分析研究，提出了一種邊界簡化建模與修正的方法。</p><p>　　文獻[13]提出大型散貨船錨機底座疲勞問題，基于S-N曲線提出分析方法，對某艘大型遠洋散貨船上的典型錨機底座結(jié)構(gòu)進行疲勞壽命分析，并將計算結(jié)果與船級社規(guī)范推薦方法計算的結(jié)果相比較，得出分

24、析結(jié)論。</p><p>　　文獻[14]提出了在研究船舶振動時, 通常是按振動分布范圍、船體受力情況及船體振動的形態(tài)加以分類。按振動分布的范圍分為總體振動和局部振動, 　按船體受力情況分類分為自由振動和強迫振動, 按船體振動形態(tài)分類分為垂向振動、水平振動、扭轉(zhuǎn)振動和縱向振動。船舶振動亟待解決的問題有：加強型船資料的積累, 盡快建立型船比較法；船舶振動的研究模型；舷外水對船體總振動的影響；開展實船和模型振動的測試

25、；振動標(biāo)準的研究。</p><p>　　文獻[15]對某28000dwt多用途船首甲板及其錨機底座部分進行有限元強度分析，最后得到合理的載荷值，并與船舶理論提供的原始值進行比較，分析得出最終相似度結(jié)果。</p><p>　　文獻[16]針對48000t多用途貨散貨船開展了其減振問題的研究，提出了首甲板在錨機底座部分加墊板以及強結(jié)構(gòu)對于首甲板強度的影響，經(jīng)實船試驗后，取得了明顯的減振效果。在

26、船舶減振措施研究方面，驗證了相應(yīng)的結(jié)論。</p><p>　　文獻[17]采用Mindlin板單元和參考軸桿單元，建立了考慮板剪切變形。骨架剪切變形和骨架偏心影響的船舶板梁組合結(jié)構(gòu)振動分析模型并研究比較了不同船舶板梁組合結(jié)構(gòu)振動分析有限元模型的計算精度。最后通過對某艙室甲板固有頻率計算值和實測值的比較，討論了船舶局部結(jié)構(gòu)振動分析中邊界條件處理問題。</p><p>　　文獻[18]對大型散

27、貨船中高頻域振動及艙室噪聲數(shù)值計算的建模方法進行研究。探討了大型集裝箱船統(tǒng)計能量分析模型的建模特點，通過考察子系統(tǒng)模態(tài)密度，確定了統(tǒng)計能量方法在集裝箱船振動噪聲預(yù)報中的適用范圍。初步揭示了超大型集裝箱船首甲板由于錨機工作所產(chǎn)生的振動與傳播機理，為超大型散貨船類的減振設(shè)計提供參考。</p><p>　　文獻[19]應(yīng)用有限元分析軟件 MSC. Patran 首甲板與錨機底座的 3D有限元模型 ,計算了其模態(tài) ,并對

28、計算結(jié)果進行了分析 ,說明了其產(chǎn)生的原因與改善措施。</p><p>　　1.3有限元方法在板結(jié)構(gòu)振動分析中的應(yīng)用</p><p>　　有限元分析是計算機輔助設(shè)計的基本組成部分，由于它提供了更快捷和低成本的方式評估設(shè)計的概念和細節(jié)，因此，人們越來越多地應(yīng)用有限元仿真的方法代替樣品原形的試驗。例如，在汽車設(shè)計領(lǐng)域中，對初期設(shè)計概念和最終設(shè)計細節(jié)的評估，碰撞的仿真代替了整車的試驗；如布置判定氣

29、囊釋放的加速計和氣囊釋放的釋放過程、內(nèi)部緩沖裝置，以及選擇材料和滿足碰撞準則的構(gòu)件截面。在許多制造領(lǐng)域中，可以進行加工過程的仿真，從而加速了設(shè)計過程，例如金屬薄板成型、擠壓和鑄造。在電子工業(yè)中，為了評估產(chǎn)品的耐久性，仿真分析代替了跌落試驗。</p><p>　　有限元法是近40年來隨著電子計算機的廣泛應(yīng)用而發(fā)展起來的一種數(shù)值方法。它具有極大的通用性和靈活性，可以用來求解各種復(fù)雜邊界問題。它運用離散化方法將一個真實

30、連續(xù)體劃分為由有限多個特定形狀的單元組成的離散體，通過尋找與原連續(xù)體場問題的等價的泛函變分形式，得到一組代數(shù)方程組，對其求解而獲得近似解。有限元法的基本思想是離散化，這一概念早在40年代就已被提出，但由于當(dāng)時計算條件的限制，沒有引起重視。50年代，美國的R.W.Clough教授運用三角形單元對飛機結(jié)構(gòu)進行了計算，并在1960年首次提出了“有限單元法”這個名稱。從此以后，有限元方法在國際上得到蓬勃發(fā)展。60年代后期，一些數(shù)學(xué)家們開始對有限

31、元法進行研究，使有限元法的發(fā)展有了堅實的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。1965年，O.C.Zienkiewicz和Y.K.Ceung宣布，有限元法適用于所有能按變分形式進行計算的場問題，把有限元法的應(yīng)用擴展到更廣闊的領(lǐng)域。</p><p>　　有限元法最先被應(yīng)用于航空工程，經(jīng)過迄今約半個世紀的發(fā)展，它已日趨成熟實用，現(xiàn)在已被迅速地推廣應(yīng)用到機械、建筑、汽車與船舶等眾多工程技術(shù)領(lǐng)域，并從固體力學(xué)領(lǐng)域擴展到流體、電磁、聲學(xué)以及振動等多學(xué)

32、科。有限元法研究對象廣泛，不僅可以解決桿系結(jié)構(gòu)分析問題，而且能進行平面、空間連續(xù)體、板殼及各種復(fù)雜組合結(jié)構(gòu)的計算；不僅可以分析結(jié)構(gòu)的彈性性能，而且能應(yīng)用于彈塑性等復(fù)雜力學(xué)性能問題；不僅適用靜力分析，而且適用于動力分析。有限元法已經(jīng)在許多領(lǐng)域取得了巨大的進展，利用它成功地解決了一大批重大意義的實際問題。由于有限元法的一個獨特優(yōu)點是可以求解結(jié)構(gòu)形狀和邊界條件都相當(dāng)任意的力學(xué)問題，所以有限單元法出現(xiàn)后，立刻就應(yīng)用于機械、汽車、航空等各行業(yè)中，

33、成為一種有效的新的理論計算方法。近40年來，隨著電子計算機的飛速發(fā)展，有限元法的應(yīng)用范圍不斷擴大，先后應(yīng)用于機械工程和汽車工程構(gòu)件等的計算分析中，應(yīng)用十分廣泛，并取得了許多實際效益?？梢院敛豢鋸埖卣f，有限元法己經(jīng)成為計算機輔助設(shè)計/分析(CAD/CAE)中的一部分，滲透到各大機械、汽車等的設(shè)計中，成為機械設(shè)計與分析中一種必不可少的工具。</p><p>　　有限元法的最大特點是能夠適應(yīng)各種復(fù)雜的邊界形狀和邊界條件

34、，這是因為它有豐富的單元類型和節(jié)點幾何狀態(tài)描述形式來模擬結(jié)構(gòu)。常用的單元類型有：一維的桿單元、梁單元、彈簧單元；二維的平面剪力單元、薄板彎曲單元、薄殼單元；三維的塊體單元等。不同的單元可以方便地組合在一起實現(xiàn)對復(fù)雜結(jié)構(gòu)的模擬。例如帶加強肋的殼體，可將殼體和加強肋分別劃分為殼單元和梁單元。這種情況在差分法和邊界元法中則很難處理。另外，通過對節(jié)點位移狀態(tài)的描寫，有限元法可以模擬各種邊界支承條件和連接條件。例如，通過規(guī)定節(jié)點在各個自由度方向上

35、是否可動，以區(qū)分固定、鉸接、滑動連接等邊界條件；用節(jié)點之間的主－從控制關(guān)系，來表示剛度相差懸殊的各部分連接關(guān)系。</p><p>　　有限元技術(shù)的出現(xiàn)，為工程設(shè)計領(lǐng)域提供了一個強有力的計算工具。它所以能得到迅速的發(fā)展和廣泛的應(yīng)用，除了高速計算機的出現(xiàn)與發(fā)展提供了充分有利的條件以外，還與有限元法本身的所具有的優(yōu)越性分不開的，其中主要有：</p><p>　　1）可完成一般力學(xué)中無法解決的對復(fù)

36、雜結(jié)構(gòu)的分析問題。</p><p>　　2）引入邊界條件的辦法簡單，為編輯通用化的程序帶來了極大的簡化。</p><p>　　3）有限元法不僅適應(yīng)于復(fù)雜的幾何形狀和邊界條件，而且能應(yīng)用于復(fù)雜的材料性質(zhì)問題。它還成功地用來求解如熱傳導(dǎo)、流體力學(xué)以及電磁場、生物力學(xué)等領(lǐng)域的問題。它幾乎適用于求解所有關(guān)于連續(xù)介質(zhì)和場的問題。</p><p>　　1.4本論文的研究工作&l

37、t;/p><p>　　論文研究了船體結(jié)構(gòu)中的板結(jié)構(gòu)自由振動計算方法，主要研究內(nèi)容包括以下幾個方面：</p><p>　　1、大致了解薄板的自由振動振動公式推導(dǎo)過程。從薄板板結(jié)構(gòu)橫向振動微分方程推導(dǎo)了薄板板結(jié)構(gòu)固有頻率和振型求解的解析方法，板結(jié)構(gòu)四邊簡支、兩對邊簡支的矩形薄板的自由振動；</p><p>　　2、船體板振動計算有限元理論與方法，學(xué)習(xí)了有限元方法在板結(jié)構(gòu)動力

38、學(xué)分析中的理論和方法應(yīng)用，主要有有限元基本理論、振動方程、板結(jié)構(gòu)的剛度矩陣和質(zhì)量矩陣計算、固有頻率和振型的計算等；</p><p>　　3、對于錨機底座結(jié)構(gòu)的振動分析。應(yīng)用有限元計算軟件MSC.Patran/Nastran完成了錨機底座結(jié)構(gòu)振動分析，包括Patran軟件模態(tài)分析功能學(xué)習(xí)、錨機底座結(jié)構(gòu)的有限元建模與計算、錨機底座結(jié)構(gòu)振動計算結(jié)果分析等。</p><p><b>　　

39、2．薄板的自由振動</b></p><p>　　2.1 薄板結(jié)構(gòu)橫向振動方程 </p><p>　　關(guān)于薄板的自由振動問題，現(xiàn)只討論薄板在垂直于中面方向的稱為橫向振動，因為這是工程實際中的一個重要問題。至于薄板在平行于中面方向的稱為縱向振動，由于它在工程實際中并不太重要，而且在數(shù)學(xué)上也很難以處理，甚至不能處理，所以不加討論，因此本論文主要針對薄板的橫向自由振動進行討論。&l

40、t;/p><p>　　薄板自由振動的一般問題是這樣子提出來的：在一定的橫向荷載作用下處于平衡位置的薄板，當(dāng)受到的干擾力被除去以后，在這個平衡位置附近作一個微小幅度的振動。（1）試求薄板振動的頻率，特別是最低的頻率。（2）設(shè)已知薄板的初始條件，也就是已知初撓度以及初速度，試求薄板在任一瞬時的撓度。</p><p>　　當(dāng)然如果求得了薄板在任一瞬時的撓度，那就很容易求得薄板在這個瞬時的內(nèi)力。<

41、;/p><p>　　假設(shè)薄板在平衡位置的撓度為：</p><p>　　那么此時薄板所受到的橫向靜荷載為： </p><p>　　按照薄板的彈性曲面微分方程，則有：</p><p><b>　?。?-1）</b></p><p>　　式（2-1）表示：薄板每單位面積上所受到的彈性力 和它所受到的橫向

42、載荷q是成平衡的。</p><p>　　假設(shè)薄板在振動過程中的任一個瞬時t的撓度為 那么薄板每單位面積上在這個瞬時所受到的彈性力 將與橫向載荷q及慣性力所平衡，即：</p><p><b>　?。?-2）</b></p><p>　　注意薄板的加速度是，因此每單位面積上的慣性力是：</p><p>　　其中是薄板每單

43、位面積內(nèi)的質(zhì)量，那么式（2-2）就可以改寫為：</p><p><b>　?。?-3）</b></p><p>　　將式（2-3）和式（2-1）相減，可以得到</p><p>　　由于不隨時間而改變，又，所以上式又可以改寫成為：</p><p><b>　?。?-4）</b></p>

44、<p>　　在下面的計算分析中，為了簡便，因此把薄板的撓度不是從平面位置量起，而是從平衡位置量起。于是薄板在任一瞬時的撓度為可以表示為： ，而式（2-4）則又可以轉(zhuǎn)變?yōu)椋?lt;/p><p>　　或 （2-5）</p><p>　　這個就是薄板自由振動的微分方程。</p><p>　　接下來就是試求微分方

45、程（2-5）的如下形式的解答：</p><p><b>　?。?-6）</b></p><p>　　在這里，薄板上每一點（x,y）的撓度，被表示成為無數(shù)多個簡諧振動下的撓度所相疊加，而每一個簡諧振動的頻率則是 。而另一方面，薄板在每一個瞬時t的撓度，則又被表示成為無數(shù)多個多種振形下的撓度所相疊加，而每一種振形下的撓度又是由振形函數(shù)所表示的。</p>&l

46、t;p>　　因此為了求出各種振形下的振形函數(shù)以及與它相對應(yīng)的頻率</p><p>　　這里?。?</p><p>　　把上式代入到自由振動微分方程（2-5）中去，然后再消去因子，就可以得出所謂的振形微分方程： </p><p><b>　?。?-7）</b>&

47、lt;/p><p>　　如果可以由這個微分方程求得W的滿足邊界條件的非零解，也就可以由關(guān)系式：</p><p><b>　?。?-8）</b></p><p>　　求得相對應(yīng)的自由振動的頻率，這個也被稱作為自然頻率或者是固有頻率，它們是完全決定于薄板的固有特性，與外來的因素是沒有關(guān)系的。</p><p>　　在實際上，通常只

48、有當(dāng)薄板每單位面積內(nèi)的振動質(zhì)量是一個常量的時候，才有可能求得函數(shù)形式的結(jié)果。這時，就可以令： </p><p><b>　?。?-9）</b></p><p>　　那么振形微分方程(2-7)就可以簡化成一個常系數(shù)的微分方程，如下：</p><p>　?。?-10） </p><p&g

49、t;　　這樣子就可能比較簡單方便地求出W的滿足邊界條件的函數(shù)形式的非零解，接下來就可以求得相對應(yīng)的值，然后再利用（2-8）式來求出相對應(yīng)的頻率。將求出來的那些振形函數(shù)和相對應(yīng)的頻率分別取為和代入上面的表達式（2-6），就可以利用初始條件來求得這個表達式中的系數(shù)和 。</p><p>　　如果假設(shè)初始條件為： </p><p>　　那么，可以由（2-6）式得到

50、如下的式子：</p><p>　　根據(jù)上面的過程，我們可以得到：為了求出和 ，必須要把已知的初撓度和初速度分別展開為的級數(shù)，但是這個過程在數(shù)學(xué)處理上相對來說是比較困難的。因此，只有在特殊的簡單的情況下，我們才有可能求出薄板自由振動的完整解答，也就是任一瞬時的撓度。在絕大多數(shù)的情況下，都很難求出上述解答，而是只可能求得各種振形的振形函數(shù)以及相應(yīng)的頻率。但是，這樣我們已經(jīng)可以基本解決工程上的主要問題了。</p&

51、gt;<p>　　2.2四邊簡支的矩形薄板的自由振動</p><p>　　當(dāng)矩形薄板的四邊都為簡支邊時候，也就是如圖2-1所示，那么就可以相對來說比較簡單地得出自由振動的一個完整的解答。這里取振形函數(shù)為：</p><p><b>　?。?-11）</b></p><p>　　在上式中m和n都是整數(shù)，這樣可以滿足邊界條件。再代入到前

52、面所提到的振形微分方程（2-10）可以得到如下的結(jié)果：</p><p>　　為了這個條件在薄板中面上的所有各點都能滿足，也就是在x和y取得任意值的時候都能夠滿足，則必須要有如下等式：</p><p>　　由上式則可以推出： </p><p><b>　　（2-12）</b></p>

53、<p>　　在將式（b）代入（2-9）式中，就可以得到一個求自然頻率的公式，如下：</p><p><b>　　（2-13）</b></p><p>　　令m和n都是不同的整數(shù)值，那么可以求出相應(yīng)于不同振形的自然頻率：</p><p><b>　?。?-14）</b></p><p>　　

54、那么當(dāng)薄板以這個頻率振動的時候，振形函數(shù)就可以表示如下：</p><p>　　而薄板的撓度就可以表示如下：</p><p><b>　　（2-15）</b></p><p>　　舉例1：試求解寬等于100，長等于200的一個四邊簡支的板結(jié)構(gòu)的自由振動。</p><p>　　解：以下的分析過程求解了這個板結(jié)構(gòu)在不同的m、n

55、值時的振形</p><p>　?。?）當(dāng)m=n=1時，則自然頻率表示如下：</p><p>　　與此相對應(yīng)的，薄板振動的振形函數(shù)為：</p><p>　　那么振型就可以用圖2-2所示圖形來表示：</p><p>　　圖2-2 四邊簡支板一階振型</p><p>　　分析：這種情況下薄板在x方向和y方向都只有一個正弦半波

56、，最大的撓度發(fā)生在薄板的中央也就是：x=a/2，y=b/2處。</p><p>　　（2）當(dāng)m=2而n=1時，則自然頻率表示如下：</p><p>　　那么相對應(yīng)的振形函數(shù)就可以表示如下：</p><p>　　分析：薄板在x方向上有兩個正弦的半波，但是在y 方向卻只有一個正弦的半波。并且存在一個對稱軸，對稱軸x=a/2是一根節(jié)線：撓度為零的線，也就是在薄板振動的時候

57、這更線是保持靜止不動的。振型就可以用圖2-3所示圖形來表示（藍色的地方是表示向下凹，紅色的地方是表示向上凸）。在紅色的地方如果顏色越深，這就表示向上的振幅越大，相對應(yīng)的在藍色的地方如果顏色越深，就表示向下的振幅越大。</p><p>　　圖2-3 四邊簡支板二階振型</p><p>　?。?）當(dāng)m=1而n=2時，就得到如下表示：</p><p>　　振型就可以用圖2

58、-4所示圖形來表示。</p><p>　　圖2-4 四邊簡支板三階振型</p><p>　　分析：薄板在y方向上有兩個正弦的半波，但是在x方向卻只有一個正弦半波（同樣的，紅色的地方表示向上凸，藍色的地方表示向下凹）。和上面的分析相似的：在紅色的地方如果顏色越深，這就表示向上的振幅越大，相對應(yīng)的在藍色的地方如果顏色越深，就表示向下的振幅越大。</p><p>　　（4

59、）當(dāng)m=n=2時，則可以表示為：</p><p><b>　　，</b></p><p>　　分析：薄板在y方向上有兩個正弦的半波，并且在x方向上也有兩個正弦的半波（同樣的，紅色的地方表示向上凸，藍色的地方表示向下凹）。和上面的分析相似的：在紅色的地方如果顏色越深，這就表示向上的振幅越大，相對應(yīng)的在藍色的地方如果顏色越深，就表示向下的振幅越大。</p>

60、<p>　　振型就可以用圖2-5所示圖形來表示。其余以此類推可以得出相應(yīng)的結(jié)果與圖</p><p>　　圖2-5 四邊簡支板四階振型</p><p>　　因此薄板在自由振動中任一瞬時的總撓度，就可以寫成如上式（2-15）表達式的總和，也就是可以用如下的表達式來表示：</p><p><b>　?。?-16）</b></p>

61、;<p>　　2.3 兩對邊簡支的矩形薄板的自由振動</p><p>　　當(dāng)矩形薄板只有兩對邊為簡支邊的時候，這種情況下，雖然不可能完整地求出自由振動的解答，但是可以求出振形微分方程的函數(shù)形式的非零解，從而就可以求出薄板自然頻率的精確解答。</p><p>　　假設(shè)薄板中x=0和x=a的這兩個邊是簡支邊，那么就可以取振形函數(shù)如下：</p><p>&l

62、t;b>　?。?-17）</b></p><p>　　上式中 只是y的函數(shù)，這樣可以滿足這兩個簡支邊的邊界條件，只是與振形的振幅所有關(guān)。</p><p>　　如果假設(shè)的振幅等于1，那么對于不同m值時的振形就如下幾種情況所表示：</p><p>　　（1）當(dāng)m=1時，振型可以用圖2-6所示圖形來表示：</p><p>　　圖2

63、-6 兩對邊簡支板一階振型</p><p>　?。?）當(dāng)m=2時，振型可以用圖2-7的圖形來所示：</p><p>　　圖2-7 兩對邊簡支板二階振型</p><p>　?。?）當(dāng)m=3時，振型可以用圖2-8的圖形來所示：</p><p>　　圖2-8 兩對邊簡支板三階振型</p><p>　　由上面的分析可以得到

64、，半弦波的數(shù)量和m的取值有關(guān)，以此類推。</p><p><b>　　另外計算過程如下：</b></p><p>　　如果將式（2-17）代入振形微分方程式（2-10），就可以得出微分方程如下：</p><p><b>　?。?-18）</b></p><p>　　它的特征方程可以用下面的式子來表示

65、：</p><p>　　而上述方程的解為如下：</p><p>　　， （2-19）</p><p>　　在大多數(shù)的情況下，通常是，并且上式（2-19）所表示的四個解是兩個實根和兩個虛根，這樣，我就又可以將上式表示為：</p><p><b>　　， </b></p><p&g

66、t;　　特別要注意的是 ，我們?nèi)∷恼龑崝?shù)根，也就是：</p><p><b>　　（2-20）</b></p><p>　　那么上述的四個根分別可以表示為，而微分方程（2-18）的解可則以寫成：</p><p>　　從而可以退出振形函數(shù)的表達式，如下：</p><p><b>　?。?-21）</b&g

67、t;</p><p>　　在少數(shù)情況下，有，此時式（2-19）所示的四個根就都是實根。此時，我就可以取正實數(shù)根為：</p><p><b>　?。?-22）</b></p><p>　　那么振形函數(shù)的表達式就可以表示如下：</p><p><b>　?。?-23）</b></p>&l

68、t;p>　　不論是在哪一種情況下，都可以由y=0和y=b處的四個邊界條件得出的一組四個齊次方程。對應(yīng)于薄板的任何振動，振形函數(shù)W必須是某一個非零解才可以，因這個系數(shù)就不能全部等于零。于是就可以假設(shè)上述的齊次線性方程組的系數(shù)行列式等于零，從而得出一個計算自然頻率的方程。</p><p>　　假設(shè)y=0的一邊是簡支邊，而y=b的一邊則是夾支邊，那么就會有以下的四個邊界條件：</p><p&g

69、t;　　再把（2—9）式代入到上面的式子中，就可以得出的齊次線性方程組如下：</p><p><b>　　， </b></p><p>　　令這個方程組的系數(shù)行列式等于零，也就是如下所示：</p><p>　　通過行列式化簡方式展開以后，再進行一些簡單的化簡，最后就可以得出如下額結(jié)果：</p><p><b>

70、;　　，或者</b></p><p>　　再利用（d），上列方程就又可以改寫為如下所示：</p><p><b>　　（2-24）</b></p><p>　　對于一定的邊長a和b，我們可取m=1，2，3，…. ，用試算法可以求出的實根，也就是說可以求得自然頻率 。</p><p>　　用以上所述的方法所求得

71、的最低自然頻率，就可以用下式表示：</p><p>　　其中k是無因次的系數(shù)，它是與邊長比值a/b有關(guān)的。通過計算就可得出k的值可以用表2—1所示。</p><p>　　表2.1 k與a/b的比值關(guān)系表</p><p>　　經(jīng)過這樣的計算，雖然可以求解得出自然頻率的精確值，但是數(shù)值計算和代數(shù)運算都是一個比較繁瑣的過程。因此，在工程實踐中計算矩形的自然頻率的時候，特

72、別是在計算最低自然頻率的時候，不論邊界條件怎么樣，通常都是用差分法或者是能量法，分別可以用（2-10）和（2-14）來進行計算就可得到。</p><p>　　3．船舶板梁組合結(jié)構(gòu)振動特性分析</p><p>　　3.1 自由振動分析</p><p>　　3.1.1 系統(tǒng)固有頻率、實模態(tài)矩陣</p><p>　　機組底座的固有頻率和主振型，可以

73、通過求解系統(tǒng)的無阻尼自由振動方程得到</p><p><b>　　(3-1) </b></p><p>　　設(shè)方程（3-1）的解為</p><p><b>　　(3-2) </b></p><p>　　式中為自由振動時的振幅向量（列陣）,該向量表示結(jié)構(gòu)振動的形態(tài)；</p><p&

74、gt;　　是時間的函數(shù)，表示結(jié)構(gòu)振動時各節(jié)點的動位移隨時間的變化規(guī)律，經(jīng)運算</p><p><b>　　(3-3) </b></p><p>　　將式（3-2），（3-3）式代入（3-1），并消去因子，得 </p><p><b>　　(3-4) </b></p><p>　　在數(shù)學(xué)中，這是廣義的

75、特征值的問題，它是一個關(guān)于未知向量X的齊次線性方程組，若結(jié)構(gòu)發(fā)生振動，它應(yīng)當(dāng)有非零解。當(dāng)有</p><p><b>　　(3-5) </b></p><p>　　式（3-5）是關(guān)于的高次方程，叫做多自由度體系自由振動頻率方程，它的次數(shù)與K、M的階數(shù)相等，即等于結(jié)構(gòu)的自由度數(shù)n。將特征值分別開方后求得n個（r=1，2，…，n），稱為系統(tǒng)的固有頻率。將特征值回帶方程式（

76、3-3），可求得n個對應(yīng)的特征向量。</p><p>　　將系統(tǒng)的n個特征向量，每一個作為一列同時排列在一個矩陣中，組成一個n階方陣，稱為模態(tài)矩陣，既</p><p>　　= (3-6) </p><p>　　式中各元素均為實數(shù)。在振動分析中，和就是結(jié)構(gòu)的第r階固有頻率和對應(yīng)的主振型。的最小值叫基本頻率，相應(yīng)的主振型叫基本振型。</p&g

77、t;<p>　　3.1.2 求解結(jié)構(gòu)固有頻率和主振型的方法</p><p>　　特征值和特征向量的求解方法主要有以下幾種方法:自由度縮減法、逆迭代法、Reyleigh-Ritz、廣義 Jacobi、子空間迭代法、 Ritz向量迭代法和Lanczos向量迭代法。其中最常用的是逆迭代法和子空間迭代法。前者算法簡單，比較適合很少數(shù)目特征對。后者實質(zhì)是將前者推廣應(yīng)用與各向量進行迭代的情況，可應(yīng)用于要求取得系

78、統(tǒng)多一些特征解的情況。現(xiàn)在我們只介紹逆迭代法和子空間迭代法。</p><p><b>　　1逆迭代法</b></p><p>　　逆迭代法在計算特征值和特征向量時非常有效，它是很多算法的基礎(chǔ)。先假定剛度矩陣K是對稱的，而質(zhì)量是零的對角元。設(shè)初始向量，及其第s=1，2，…步時的迭代公式為 </p><p><b>　　(3-7)<

79、/b></p><p>　　只要初始向量不關(guān)于矩陣與第一個特征向量正交，也就是說，則有當(dāng)時，則有。</p><p>　　式（3-7）是為了保證在迭代過程中，向量的長度不要隨迭代不斷的增大，導(dǎo)致無法收斂，同時也保證了最后得到的特征向量滿足式（3-4）。即</p><p><b>　?。?-8）</b></p><p>

80、;　　只要把（3-7）代入上式即可驗證。式（3-6）和（3-7）是基本迭代公式，但是在實際計算中還要組織更加有效的算法如下</p><p>　?。?）選取初值向量，計算</p><p><b>　　(3-9) </b></p><p><b>　?。?）解方程</b></p><p><b&g

81、t;　　(3-10)</b></p><p><b>　　得到。</b></p><p><b>　　計算</b></p><p><b>　　(3-11)</b></p><p>　　（3） 計算近似特征值</p><p><b>

82、;　　(3-12)</b></p><p><b>　　若滿足精度要求</b></p><p><b>　　(3-13)</b></p><p>　　則轉(zhuǎn)向第五步計算特征向量。否則計算下列迭代的初始向量</p><p><b>　　(3-14)</b></p&

83、gt;<p>　　然后轉(zhuǎn)向第二步作下一次迭代。</p><p><b>　?。?）計算特征向量</b></p><p><b>　　(3-15)</b></p><p>　　取特征值為，結(jié)束迭代。由此可見，逆迭代法可以得到最小的特征值及其特征向量。如果迭代方向反過來，既</p><p>

84、;<b>　　(3-16)</b></p><p>　　則可求得最大特征值。此時要求質(zhì)量陣M正定。這種稱為正迭代法或者冪法。</p><p>　　而逆迭代法除了求最小特征值和特征向量外，還可以擴大應(yīng)用范圍。和Gram-schmidt正交化過程相結(jié)合，可以求出最低幾階特征對。我們構(gòu)造一個新的初向量</p><p><b>　?。?-17

85、）</b></p><p><b>　　式中</b></p><p><b>　　（3-18）</b></p><p>　　這稱為Gram-schmidt正交化過程。</p><p>　　從迭代公式來看，似乎這種正交化過程是一勞永逸的，一旦初始向量與前階特征值和特征向量正交，則所有的迭代

86、向量都與前階特征向量正交。但實際計算并非如此，由于誤差的原因，不可避免的產(chǎn)生低階特征向量，迭代到最后還是最低階特征向量。為了克服這一困難，必須每迭代一次都進行正交化處理，不斷把前階特征向量從迭代向量中清除掉。</p><p>　　對于重特征值，用帶有正交化過程的迭代，可得出重特征值對應(yīng)的一組正交特征向量。當(dāng)剛度奇異時，逆迭代法中的式（3-10）無法求解，此時可利用移頻法。即對于廣義特征值（3-4）做如下變化<

87、;/p><p><b>　　（3-19）</b></p><p><b>　　得到新的特征值問題</b></p><p><b>　?。?-20）</b></p><p><b>　　式中</b></p><p>　　,

88、 （3-21）</p><p>　　新特征值的問題與原特征值的各階特征向量相同，各階特征向量移動一個距離。由于是任意的，因此總可以找到一個使新剛度矩陣為非奇異，這樣逆迭代法可順利完成，實際上，利用移頻法不僅可以解決剛度矩陣奇異問題，而且當(dāng)選擇合適的移頻量時，能改善逆迭代法的收斂速度和精度。</p><p><b>　　2 子空間迭代法</b>&

89、lt;/p><p>　　子空間迭代法是求解大型矩陣特征值問題的最常用且有效的方法，它適合求解部分特征解，被廣泛應(yīng)用于結(jié)構(gòu)動力學(xué)的有限元分析中。子空間迭代法是把瑞利－李茲法與迭代法相結(jié)合，并交替使用的一種方法，它能把特征方程的階數(shù)降低，變成一個低階的特征值問題。計算過程，其基本思路如下：</p><p>　　用瑞利－李茲法來猜想振型，就是以幾個假設(shè)振型的線性組合來代替猜想振型，即</p&g

90、t;<p><b>　?。?-22）</b></p><p><b>　　式中 </b></p><p>　　—猜想振型，是n個元素的列向量（結(jié)構(gòu)自由度為n）</p><p>　　—假設(shè)振型（全都是n個元素的列向量），注意他們不具有正交性；—為待定的列向量。</p><p>　　式（

91、3-22）可縮寫下列矩陣式</p><p><b>　?。?-23） </b></p><p>　　式中是階矩陣，是結(jié)構(gòu)的自由度數(shù)，或。因為重元素都是未知常數(shù)，可用來調(diào)節(jié)各振型的振幅</p><p>　　把（3-23）代入瑞雷商式</p><p><b>　?。?-24）</b></p>

92、<p><b>　　得</b></p><p><b>　　（3-25）</b></p><p><b>　　令</b></p><p><b>　?。?-25）</b></p><p><b>　?。?-26）</b>

93、</p><p><b>　　則</b></p><p><b>　?。?-27）</b></p><p>　　式中，分別是，在上的投影。</p><p><b>　　經(jīng)運算可得：</b></p><p><b>　?。?-28）</b&

94、gt;</p><p>　　由上式解得m組，帶入式（3-4）中可以得到較好得m 組振型X。</p><p>　　這個解法就是所謂得瑞雷一李茲法。但它有一個很大的缺點，即計算結(jié)果的好壞取決于開始取的m個振型X的正確程度，而且也沒有辦法估計其解的精確度。但如果把由此得到的m組x分別帶到式(3-4)的右端，再進行一次迭代，又可得到m組新的X，這m組X比原來的含有較強的低階振型成份，而高階振型分量

95、己相對減少。用這新的m組X按瑞雷一李茲法重復(fù)計算，如此周而復(fù)始，直到達到精度為止。</p><p>　　綜上所述，子空間迭代法可寫成下列迭代過程：</p><p><b>　?。?-29）</b></p><p>　　上式中，己知求的逆代過程，就是一次代數(shù)方程，通?？砂哑湎冗M行三角分解，然后每次只要作回代計算就可以了。</p>&

96、lt;p>　　3.2動力響應(yīng)振動分析</p><p>　　動力響應(yīng)分析就是求解系統(tǒng)的運動方程</p><p>　　即主要是求動載荷下結(jié)構(gòu)的位移，速度和加速度。求解動力學(xué)響應(yīng)常用解法有振型疊加法和逐步積分法，下面分別加以介紹。</p><p>　　3.2.1 振型疊加法</p><p>　　振型疊加法的基本思想，利用結(jié)構(gòu)自由振動的振動相互

97、正交的特性，將結(jié)構(gòu)的動力學(xué)方程成化成各廣義坐標(biāo)的非耦合方程，然后各方程可用Duhamel積分或其他方法單獨求解。</p><p><b>　?。?-30）</b></p><p>　　中，代入如下形式的解</p><p><b>　?。?-31）</b></p><p><b>　　得特征

98、方程</b></p><p><b>　?。?-32）</b></p><p>　　式中，已知正規(guī)是復(fù)參數(shù)。為了方便，上式不妨記做</p><p><b>　?。?-33）</b></p><p>　　此特征值問題的特征值和特征向量均為復(fù)數(shù)?？梢宰C明，特征向量仍具有正交性</p&g

99、t;<p><b>　?。?-34）</b></p><p>　　式中，矩陣為結(jié)構(gòu)第階振型阻尼比，它一般由實驗確定。注意這里的運算應(yīng)具有復(fù)向量運算，矩陣的轉(zhuǎn)置應(yīng)取</p><p><b>　?。?-35）</b></p><p>　　式中，表示矩陣的復(fù)共軛。先假定階特征值問題式（3-30）有個特征向量組成完備

100、的向量積，并記</p><p><b>　?。?-36）</b></p><p><b>　　作交換</b></p><p><b>　?。?-37）</b></p><p>　　將方程式（2-2）化為</p><p><b>　?。?-38）

101、</b></p><p><b>　　式中</b></p><p><b>　　（3-39）</b></p><p><b>　　初始條件化為</b></p><p>　　當(dāng)t=0時 （3-40）</p>&

102、lt;p>　　式（3-38）是一組非耦合方程，既之間的不耦合，可以單獨求解，把它寫成分量的形式，便是</p><p><b>　?。?-41）</b></p><p>　　上式的解可以用Duhamel積分表示</p><p><b>　?。?-43）</b></p><p>　　式中，和由初始

103、條件定出。得到了后，再代入式（3-37）即可得到。</p><p>　　3.2.2 數(shù)值積分法</p><p>　　微分方程數(shù)值積分法求解的基本思想是：將方程寫成增量方程的形式，把地震地面運動分成很多小的時間段，在采樣周期時間段內(nèi)，運動加速度及質(zhì)點的加速度反應(yīng)皆為線性變化，對方程進行逐步積分以求出結(jié)構(gòu)在外界擾力的作用下振動反應(yīng)的全過程。</p><p>　　常見的數(shù)

104、值解法有線性加速度法、Wilson-θ法、Newmark法、Runger-Kutta法、Adams法、Gear法、Euler法等。本文主要介紹。Wilson-θ法和Newmark法</p><p>　　1、Wilson-θ法</p><p>　　Wilson-θ法是線性加速度法的一種修正形式。它的基本假設(shè)仍然是加速度按線性變化，但其范圍延伸到時間步長之外，即設(shè)</p><

105、;p>　　， （3-44）</p><p>　　若取，這就是線性加速度法。由于線性加速度法不能保證無條件穩(wěn)定，Wilson-θ法為此做出了修正。把線性加速度法中的置換為，就可寫</p><p>　　出經(jīng)過時間之后的速度增量和位移增量，這里，以向量代替式（2-2）的向量</p><p><b>　?。?-45）&l

106、t;/b></p><p><b>　?。?-46）</b></p><p>　　式中符號“”表示對應(yīng)于時間步長的增量。同樣可得</p><p><b>　?。?-47）</b></p><p><b>　　式中</b></p><p><b

107、>　?。?-48）</b></p><p>　　從式（3-47）可算出位移增量為</p><p><b>　　（3-49）</b></p><p>　　利用這個位移增量及t時刻的速度、加速度，由式（3-46）得出經(jīng)過時間加速度增量為</p><p><b>　?。?-50）</b>

108、</p><p>　　而后，用直線內(nèi)插法，計算時間步長的加速度增量為</p><p><b>　?。?-51）</b></p><p>　　有了時刻的加速度增量，就可以按線性加速度法計算對應(yīng)這一時刻的速度增量和位移增量，由式（3-47）、式（3-48），并將換為。可得</p><p><b>　?。?-52）&

109、lt;/b></p><p><b>　?。?-52）</b></p><p>　　Wilson-θ法的穩(wěn)定性分析表明，當(dāng)時，它是無條件穩(wěn)定的。在大多數(shù)情況下，取左右，可望得出好的結(jié)果。</p><p>　　2、Newmark法</p><p>　　Newmark法是一種將線性加速度方法普遍化的方法，它通過、兩個參

110、數(shù)調(diào)整兩個時間步的加速度的比例來適應(yīng)所需要求解的問題，兩個參數(shù)的值是根據(jù)所要求的精度和穩(wěn)定性確定的。下面介紹該方法的基本思想。</p><p>　　按照動力分析慣用的寫法，將結(jié)構(gòu)的振動方程寫成統(tǒng)一的形式如下：</p><p><b>　　（3-53）</b></p><p>　　這里，以向量代替式（2-2）的向量，以向量P代替式（2-2）的&l

111、t;/p><p>　　將到間隔內(nèi)的加速度近似假設(shè)為：</p><p>　　(3-54) </p><p>　　式中：是在區(qū)間中某一點的加速度向量。</p><p>　　根據(jù)拉格朗日中值定理，時間的速度向量可表示為：</p><p><b>　　(3-55)</b></p&

112、gt;<p>　　將式(3-54)代入式(3-55)可得：</p><p>　　(3-56) </p><p>　　將位移向量進行Talyor展開并忽略高階項可得到</p><p><b>　　(3-57)</b></p><p>　　根據(jù)式(3-54)的假設(shè)，到間隔內(nèi)的可以表示

113、為</p><p><b>　　(3-58)</b></p><p>　　將式(3-58)代入式(3-57)可得</p><p>　　(3-59) </p><p>　　式(3-55)、(3-58)稱為Newmark基本方程。</p><p&g

114、t;　　在時刻，狀態(tài)向量滿足系統(tǒng)運動微分方程，即：</p><p><b>　　(3-60)</b></p><p>　　聯(lián)立求解式(3-56)、(3-59)和 (3-60)，整理得到</p><p><b>　　(3-61)</b></p><p>　　式中 ；

115、 </p><p>　　解線性方程組(3-61)求出，此時速度和加速度向量可分別由以下兩式求出：</p><p><b>　　(3-62)</b></p><p><b>　　(3-63)</b></p><p><b>　　式中：；；；；；</b></p&

116、gt;<p><b>　　；；</b></p><p>　　Newmark法中關(guān)鍵是選取、值，當(dāng)滿足，時，Newmark法是無法穩(wěn)定，通常取，通過調(diào)整值以期達到對加速度的各種修正，故也可以稱為Newmark-β法。當(dāng)時即為線性加速度法。</p><p>　　3.3 結(jié)構(gòu)動力學(xué)問題的有限元法 </p><p><b>　　

117、3.3.1概述</b></p><p>　　結(jié)構(gòu)動力學(xué)問題與結(jié)構(gòu)靜力學(xué)不同，它處理的是載荷隨時間變化的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)特性及其響應(yīng)。實際上船舶及海洋平臺在海浪中受到的外載荷，船舶機座結(jié)構(gòu)承受的主機激振力，艉部結(jié)構(gòu)受到的螺旋槳推進器的脈動作用力，都是隨時間變化的載荷。由于比靜力學(xué)問題多了一個時間變量，即結(jié)構(gòu)位移和應(yīng)力不僅是空間坐標(biāo)的函數(shù)，而且也是時間坐標(biāo)的函數(shù)，使求解動力問題控制方程的難度增加。無論是規(guī)范設(shè)計還

118、是當(dāng)前流行的船舶結(jié)構(gòu)直接設(shè)計法，一般都要求對工程結(jié)構(gòu)進行動力分析，以保證結(jié)構(gòu)及設(shè)備的正常工作與運行。隨著電子計算機的廣泛使用和有限元的發(fā)展，已使得對復(fù)雜結(jié)構(gòu)進行動力分析成為現(xiàn)實。</p><p>　　結(jié)構(gòu)動力分析的主要任務(wù)有二：其一是求出結(jié)構(gòu)的動態(tài)特性，主要指求出結(jié)構(gòu)的固有頻率和振型，其二是求出結(jié)構(gòu)對隨時間變化的載荷的響應(yīng)，亦即結(jié)構(gòu)在動載荷作用下的運動規(guī)律、應(yīng)力。</p><p>　　任務(wù)

119、一是解決結(jié)構(gòu)能否正常工作的問題，同一動載荷作用下，不同結(jié)構(gòu)的響應(yīng)是不同的，響應(yīng)的大小直接與結(jié)構(gòu)的固有頻率相關(guān)，而且對于艙室和主機基座結(jié)構(gòu)的固有頻率還要求與主機的頻率錯開以免發(fā)生共振。任務(wù)二是解決結(jié)構(gòu)能否可靠工作的問題，有了結(jié)構(gòu)各點的應(yīng)力時歷曲線，可進行響應(yīng)的極值分析和結(jié)構(gòu)疲勞壽命評估。</p><p>　　3.3.2動力學(xué)方程</p><p>　　對于動態(tài)結(jié)構(gòu)，外力和位移都是時間t的函數(shù)，