均勻磁場(chǎng)中二維各向異性諧振子的波函數(shù)和本征值求解【開(kāi)題報(bào)告+文獻(xiàn)綜述+畢業(yè)論文】

1、<p><b>　　畢業(yè)論文開(kāi)題報(bào)告</b></p><p><b>　　物理學(xué)</b></p><p>　　均勻磁場(chǎng)中二維各向異性諧振子的波函數(shù)和本征值求解</p><p>　　一、選題的背景與意義</p><p>　　在研究物理學(xué)問(wèn)題時(shí)，為了更好的揭示和理解物理現(xiàn)象背后的規(guī)律性，我們需

2、要對(duì)研究對(duì)象進(jìn)行一定的概括和抽象，而概括和抽象最主要的依據(jù)是抓住主要矛盾、忽略次要因素。在物理學(xué)上我們熟知的且成功再不能成功的物理模型有很多，比如說(shuō)質(zhì)點(diǎn)模型、理想氣體模型、點(diǎn)電荷模型等等還有很多。諧振子模型是普通物理學(xué)中在研究機(jī)械振動(dòng)問(wèn)題時(shí)所涉及的一個(gè)最重要物理模型。在各種周期性振動(dòng)中，最簡(jiǎn)單、最基本的振動(dòng)形式就是簡(jiǎn)諧振動(dòng)。在自然界中廣泛存在和碰到簡(jiǎn)諧振動(dòng)。任何體系在平衡位置附近的小振動(dòng)，例如，分子的振動(dòng)、晶格的振動(dòng)、原子核表面振動(dòng)以及

3、輻射場(chǎng)的振動(dòng)等都是簡(jiǎn)諧振動(dòng)，且在選擇恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系后，常?？梢苑纸鉃槿舾瑟?dú)立的一維諧振動(dòng)。最重要的是諧振子還往往作為復(fù)雜運(yùn)動(dòng)的初步近似，在其基礎(chǔ)上進(jìn)行各種改進(jìn)，所以諧振子的運(yùn)動(dòng)的研究，無(wú)論在理論上或在應(yīng)用上都是很重要的。一維諧振子的能量本征值問(wèn)題，在歷史上首先為Heisenberg的矩陣力學(xué)解決。后來(lái)Dirac用算子代數(shù)的方法給出極其漂亮的解。而我所要研究的均勻磁場(chǎng)中二維諧振子的模型也是最基礎(chǔ)最簡(jiǎn)單的模型。它直接為三維諧振子出場(chǎng)做了鋪墊。

4、雖然比一維諧振子只多了一個(gè)在均勻磁場(chǎng)和維數(shù)，但是他們</p><p>　　二、研究的基本內(nèi)容與擬解決的主要問(wèn)題</p><p>　　（?。┲貜?fù)推導(dǎo)出求解均勻磁場(chǎng)中二維各向異性諧振子模型的本征值和相應(yīng)的波函數(shù)。</p><p>　?。áⅲ┰诖嘶A(chǔ)上，計(jì)算一個(gè)特例—均勻磁場(chǎng)中二維各向同性諧振子模型的本征值和相應(yīng)的波函數(shù)，并進(jìn)行比較。</p><p&g

5、t;　　三、研究的方法與技術(shù)路線</p><p>　　（?。亓?xí)量子力學(xué)和數(shù)理方法，閱讀和學(xué)習(xí)文獻(xiàn)【1】，理解在均勻磁場(chǎng)中各向異性二維諧振子模型。</p><p>　?。áⅲ├苗壅儞Q重復(fù)推導(dǎo)出在均勻磁場(chǎng)中各向異性二維諧振子模型的本征值和相應(yīng)的波函數(shù)。</p><p>　?。á＃┰诖嘶A(chǔ)上，計(jì)算一個(gè)特例—均勻磁場(chǎng)中二維各向同性諧振子模型的本征值和相應(yīng)的波函數(shù)，并進(jìn)

6、行比較。</p><p>　　四、研究的總體安排與進(jìn)度</p><p>　　2010年12月24日之前完成開(kāi)題論證；</p><p>　　2011年02月01日之前完成內(nèi)容（1）；</p><p>　　2011年03月25日之前完成內(nèi)容（2）；</p><p>　　2011年04月04日之前完成論文初稿；</p&

7、gt;<p>　　2011年04月29日之前畢業(yè)論文定稿；</p><p><b>　　五、主要參考文獻(xiàn)</b></p><p>　　[1] 田志良, 游陽(yáng)明，恒定均勻磁場(chǎng)中帶電諧振子的運(yùn)動(dòng)分析，滄州師范專(zhuān)科學(xué)校學(xué)報(bào)，2004 </p><p>　　[2] 陳 皓， 周園園，磁場(chǎng)中諧振子的量子與經(jīng)典對(duì)應(yīng)，遼寧師專(zhuān)學(xué)報(bào)，2009 &

8、lt;/p><p>　　[3] 吳奇學(xué)，帶電粒子在均勻磁場(chǎng)與三維各向同性諧振子場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的雙波描述，物理學(xué)報(bào)，2000, </p><p>　　[4] 趙素琴，二維各向同性諧振子在均勻磁場(chǎng)中的能級(jí)及簡(jiǎn)并度變化，青海師專(zhuān)學(xué)報(bào)（教育科學(xué)），2007 </p><p>　　[5] 馬志民，二維諧振子的雙波函數(shù)描述，哈爾濱師范大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報(bào)，2002 </p>&

9、lt;p>　　[6] 蔡春芳，關(guān)于諧振子的量子力學(xué)研究進(jìn)展，榆林學(xué)院學(xué)報(bào)，2008 </p><p>　　[7] 趙素琴，均勻磁場(chǎng)中三維各向同性諧振子微擾矩陣元的普遍表達(dá)式，大學(xué)物理，2007 </p><p>　　[8] 韓萍，李菲菲，量子諧振子與經(jīng)典諧振子的比較，渤海大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2007 </p><p>　　[9] 李體俊，一維諧振子薛定諤方

10、程的一種解法，云南民族大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2008 </p><p>　　[10] O. Dippel, P. Schmelcher, and L. S. Cederbaum, Phys. Rev. A 49,4415(1944) </p><p>　　[11] H. D. Meyer, J. Kucar, and L. S. Cederbaum, J. Math. Phys. 29,

11、 1417(1988) </p><p>　　[12] H.Friedrich, Phys. Rev. A26,1827(1982) </p><p>　　[13]Evolution of squeezed states under the Fock-Darwin Hamiltonian，PHYSICAL REVIEW A 80, 053401，2009</p>

12、;<p>　　[14]Selected Works V. A. Fock Quantum Mechanics and Quantum Field Theory，Selections. English. 2004 </p><p>　　[15] M.Vincke and D.Baye,J.Phys.B21.2407(1988) </p><p>　　[16]

13、 D.Baye and M.Vincke,J.Phys.B23,2467(1990) </p><p>　　[17] D. J. Heinzen and D. J. Wineland, Phys. Rev. A 42, 2977（1990）</p><p><b>　　畢業(yè)論文文獻(xiàn)綜述</b></p><p><b>　　理論物理學(xué)&

14、lt;/b></p><p>　　均勻磁場(chǎng)中二維各向異性諧振子的波函數(shù)和本征值求解</p><p>　　摘要：在研究物理學(xué)問(wèn)題時(shí)，為了更好的揭示和理解物理現(xiàn)象背后的規(guī)律性，我們需要對(duì)研究對(duì)象進(jìn)行一定的概括和抽象，而概括和抽象最主要的依據(jù)是抓住主要矛盾、忽 略次要因素。在物理學(xué)上我們熟知的且成功再不能成功的物理模型有很多，比如說(shuō)質(zhì)點(diǎn)模型、理想氣體模型、點(diǎn)電荷模型等等還有很多。諧振子模型

15、是普通物理學(xué)中 在研究機(jī)械振動(dòng)問(wèn)題時(shí)所涉及的一個(gè)最重要物理模型。在各種周期性振動(dòng)中，最簡(jiǎn)單、最基本的振動(dòng)形式就是簡(jiǎn)諧振動(dòng)。在自然界中廣泛存在和碰到簡(jiǎn)諧振動(dòng)。對(duì)諧振子的研究歷史和研究現(xiàn)狀做了詳細(xì)的分析，得出做該題目的意義。</p><p>　　關(guān)鍵詞：二維諧振子、波函數(shù)、本征值、研究歷史、研究現(xiàn)狀、意義</p><p>　　在研究物理學(xué)問(wèn)題時(shí)，為了更好的揭示和理解物理現(xiàn)象背后的規(guī)律性，我們需

16、要對(duì)研究對(duì)象進(jìn)行一定的概括和抽象，而概括和抽象最主要的依據(jù)是抓住主要矛盾、忽略次要因素。在物理學(xué)上我們熟知的且成功再不能成功的物理模型有很多，比如說(shuō)質(zhì)點(diǎn)模型、理想氣體模型、點(diǎn)電荷模型等等還有很多。諧振子模型是普通物理學(xué)中在研究機(jī)械振動(dòng)問(wèn)題時(shí)所涉及的一個(gè)最重要物理模型。在各種周期性振動(dòng)中，最簡(jiǎn)單、最基本的振動(dòng)形式就是簡(jiǎn)諧振動(dòng)。在自然界中廣泛存在和碰到簡(jiǎn)諧振動(dòng)。任何體系在平衡位置附近的小振動(dòng)，例如，分子的振動(dòng)、晶格的振動(dòng)、原子核表面振動(dòng)以及

17、輻射場(chǎng)的振動(dòng)等都是簡(jiǎn)諧振動(dòng)，且在選擇恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系后，常常可以分解為若干獨(dú)立的一維諧振動(dòng)。最重要的是諧振子還往往作為復(fù)雜運(yùn)動(dòng)的初步近似，在其基礎(chǔ)上進(jìn)行各種改進(jìn)，所以諧振子的運(yùn)動(dòng)的研究，無(wú)論在理論上或在應(yīng)用上都是很重要的。一維諧振子的能量本征值問(wèn)題，在歷史上首先為Heisenberg的矩陣力學(xué)解決。后來(lái)Dirac用算子代數(shù)的方法給出極其漂亮的解。</p><p>　　而我們所要研究的均勻磁場(chǎng)中二維各向異性諧振子的波函

18、數(shù)和本征值問(wèn)題恰好就是一個(gè)物理里幾個(gè)為數(shù)不多的可以精確解的問(wèn)題。關(guān)于諧振子的研究的歷史，可以追溯到很久以前，早在1898年期間，foke對(duì)諧振子的研究已經(jīng)非?？捎^，幾乎可以把它完美的解析出來(lái)，寫(xiě)在自己的論文集中發(fā)表，這篇論文集在物理學(xué)上也可以說(shuō)是堪稱(chēng)經(jīng)典的論文集。在此基礎(chǔ)上接下來(lái)的幾年中，狄拉克符號(hào)的完整性幫助諧振子理論更加簡(jiǎn)潔更加完美，而且還不斷有學(xué)者對(duì)其理論解法進(jìn)行優(yōu)化研究便升級(jí)。期間也出現(xiàn)了大量的好的解法，值得我們學(xué)習(xí)。其中就有一

19、篇</p><p>　　論文（《Charged anisotropic harmonic oscillator and the hydrogen atom in crossed fields》，收集在PHYSICAL REVIEW A ,VOLUME49,NUMBER6，JUNE1994）也就是我拿來(lái)作為翻譯的文獻(xiàn)就寫(xiě)得非常好，很適合像我們本科生這種基礎(chǔ)的學(xué)生看，它不僅把理論重新推導(dǎo)了一遍，更重要的是它還

20、應(yīng)用到氫原子的定態(tài)問(wèn)題中去，結(jié)果理論計(jì)算的結(jié)果和實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù)很好的相吻合，以此來(lái)驗(yàn)證了理論的正確性。到現(xiàn)在為止，關(guān)于在均勻磁場(chǎng)中二維各向異性諧振子的波函數(shù)，理論上已經(jīng)非常完善了，技術(shù)上也有很好的發(fā)展，有非常巧妙簡(jiǎn)潔的解法。</p><p>　　關(guān)于諧振子現(xiàn)在的研究現(xiàn)狀，已經(jīng)不僅僅停留在只是研究均勻磁場(chǎng)中定態(tài)二維諧振子的波函數(shù)，現(xiàn)在更流行研究非定態(tài)也就是含時(shí)變化的問(wèn)題。這也就是我的第二遍文獻(xiàn)（《Time-depend

21、ent rotated Hartree: Formal development》本論文收集在J. Math. Phys. 29 (6), June 1988），雖然與我的論文的相關(guān)性不是很大也只有一部分和我的課題相符，但是它卻表明了均勻磁場(chǎng)中二維諧振子理論的發(fā)展和前沿研究現(xiàn)狀?，F(xiàn)在關(guān)于諧振子研究問(wèn)題主要是往非定態(tài)問(wèn)題中研究或者說(shuō)研究其演化問(wèn)題。而態(tài)演化問(wèn)題主要包括高斯波包態(tài)、相干態(tài)和壓縮態(tài)。</p><p>　　

22、關(guān)于高斯波包的演化問(wèn)題，在Harmilton 力學(xué)中, 相空間是一個(gè)基本的概念。量子相空間理論也是一個(gè)非常有趣的領(lǐng)域，1990年，Torres-Vega和Frederick共同引入了一種滿(mǎn)足量子力學(xué)數(shù)學(xué)要求的量子相空間表象，在這個(gè)表相中，波包的含時(shí)演化也是由薛定諤方程決定的。</p><p>　　到目前為止，該理論已經(jīng)被廣泛應(yīng)用于物理學(xué)的各個(gè)分支，如Wigner函數(shù)應(yīng)用于統(tǒng)計(jì)力學(xué)、核物理、原子和分子物理，特別是量

23、子光學(xué)和相對(duì)論夸克模型以及最近的量子信息科學(xué)。自從1932年Wigner為了對(duì)經(jīng)典統(tǒng)計(jì)力學(xué)體系做量子修正而提出的Wigner函數(shù)以來(lái)，已有許多工作從兩個(gè)不同的途徑致力于發(fā)展量子相空間理論。</p><p>　　它在庫(kù)倫相互作用和微擾起到很大作用的量子霍爾效應(yīng)中也有很大應(yīng)用。此哈密頓量在量子點(diǎn)的研究領(lǐng)域也已經(jīng)卓有成效，它可以對(duì)I-V曲線給出很好的解釋。此外，此哈密頓量對(duì)于二維諧振勢(shì)中無(wú)相互作用費(fèi)米子的軌道磁問(wèn)題可以

24、精確求解。</p><p>　　對(duì)于高斯波包演化的研究也可以追溯到量子力學(xué)的開(kāi)始。首先進(jìn)行研究的是Schodinger,Kennard,Darwin,研究了一個(gè)自由粒子和一個(gè)在恒定電磁場(chǎng)中的粒子的諧振子的高斯波包演化。這個(gè)問(wèn)題今天在很多領(lǐng)域仍然吸引著我們。在量子力學(xué)中, 自由粒子波包的擴(kuò)散是一個(gè)非常有趣的問(wèn)題. 其擴(kuò)散的原因可歸結(jié)為具有不同動(dòng)量的波, 具有不同的相速度, </p><p>

25、　　因此當(dāng)動(dòng)量分布不變時(shí), 坐標(biāo)分布則變得十分彌散, 即Fourier 變換效應(yīng). 于是, 坐標(biāo)與動(dòng)量的測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系隨著時(shí)間的演化而變大。</p><p>　　薛定諤研究了時(shí)間演化的最小不確定態(tài)，諧振子相干態(tài)，這是近代物理學(xué)中的一個(gè)重要概念。把相干態(tài)用粒子態(tài)｜n〉的完備性展開(kāi)得</p><p>　　這表明相干態(tài)是包含不同量子態(tài)的疊加，這些態(tài)是相位同步的，它是量子力學(xué)中諧振子能夠達(dá)到的一種特殊

26、量子態(tài)，存在于大量的量子力學(xué)系統(tǒng)中。諧振子相干態(tài)最初是薛定諤在1926年發(fā)現(xiàn)的，這個(gè)態(tài)是他滿(mǎn)足薛定諤方程時(shí)找到的第一個(gè)量子力學(xué)解。薛定諤的最終目的是探討量子力學(xué)與經(jīng)典力學(xué)更深刻的聯(lián)系，尋找局限于空間一個(gè)小區(qū)域中的不擴(kuò)散的波包,它在任意長(zhǎng)的時(shí)間運(yùn)動(dòng)與經(jīng)典粒子完全相同。對(duì)于諧振子, 這種狀態(tài)他已經(jīng)找到了. 這種態(tài)被Glauber稱(chēng)為相干態(tài)。Glauber還證明了一個(gè)經(jīng)典的振蕩電流分布會(huì)輻射一個(gè)相干態(tài)。相干態(tài)展現(xiàn)出的運(yùn)動(dòng)性質(zhì)與經(jīng)典振子很相似。

27、主要是指以下方面:</p><p><b>　　在此狀態(tài)下,</b></p><p>　　(1) 諧振子的能量平均值(零點(diǎn)能除外)與經(jīng)典振子能理相同;</p><p>　　(2) 坐標(biāo)和動(dòng)量的平均值(即波包中心的位置與動(dòng)量)隨時(shí)間的演化也與以經(jīng)典振子完相同;</p><p>　　(3) 波包不擴(kuò)散,具有最小的不確定度&l

28、t;/p><p>　　鑒于相干態(tài)有固定特點(diǎn)（例如它是一個(gè)量子力學(xué)態(tài)，最接近于經(jīng)典情況；它是一個(gè)不正交的態(tài)，并具有超完備性，因而從一個(gè)算符的相干態(tài)對(duì)角元就可以決定算符本身等），人們對(duì)相干態(tài)理論的研究與應(yīng)用的興趣日益濃厚。相干態(tài)已被廣泛的應(yīng)用于物理的各個(gè)領(lǐng)域。</p><p>　　Kennard 研究了諧振子的更一般的波包演化，即壓縮態(tài)。自1970年D．Stoler在國(guó)際上首次引入壓縮態(tài)的概念以來(lái)

29、，有關(guān)這一領(lǐng)域的研究工作進(jìn)展就一直十分迅速。1976年，H.P.Yuan從理論上構(gòu)造了廣義光子湮滅算符的本征態(tài)即所謂的雙光子相干態(tài),因這種雙光子相干態(tài)具有壓縮效應(yīng),故人們又稱(chēng)之為壓縮態(tài)；這是人類(lèi)有史以來(lái)首次從理論上發(fā)現(xiàn)光場(chǎng)具有壓縮效應(yīng)的重大轉(zhuǎn)折性研究成果，它在量子光學(xué)研究中起了重大轉(zhuǎn)折作用。</p><p>　　除了Darwin的文章提到了均勻電磁場(chǎng)中非相對(duì)論帶電粒子的態(tài)的時(shí)間演化問(wèn)題，Malkin,Man’ko

30、,Trifonov,和Dodonov也對(duì)這個(gè)問(wèn)題進(jìn)行過(guò)研究，得到了格林函數(shù)的準(zhǔn)確表示，研究了系統(tǒng)的不變量，Lewis和Riesenfeld,也研究過(guò)該系統(tǒng)的不變量；Kim 和Weiner研究了與隧道問(wèn)題相關(guān)的磁場(chǎng)中各項(xiàng)同性諧振勢(shì)和鞍點(diǎn)勢(shì)中的高斯波包的演化。</p><p>　　所以說(shuō)雖然諧振子問(wèn)題是一個(gè)很完美很古老的研究課題，在均勻磁場(chǎng)中的二維各向異性諧振子的波函數(shù)更是最簡(jiǎn)單也是最基礎(chǔ)的可以當(dāng)成模型的問(wèn)題，只有我

31、們把二位各向異性的諧振子問(wèn)題弄得明明白白了，我們才能著手做三維各向同性的諧振子問(wèn)題，再才能做三維各向異性的諧振子，后面這些很高深的什么態(tài)演化問(wèn)題，其實(shí)也沒(méi)什么可怕的，以為情況變了就不會(huì)處理了，其實(shí)就是一個(gè)含時(shí)變化的問(wèn)題，基于我們本科生的知識(shí)基礎(chǔ)，我們可能做不出來(lái)，但是記住我們要腳踏實(shí)地，要一步一個(gè)腳印，不要好高騖遠(yuǎn)，首先把最基礎(chǔ)的均勻磁場(chǎng)中二維各向異性諧振子的波函數(shù)和本征值的問(wèn)題弄得明明白白，透透測(cè)測(cè)才有機(jī)會(huì)接觸高深的理論，其實(shí)高深的理

32、論計(jì)算起來(lái)是不復(fù)雜的，復(fù)雜的是其背后的理論基礎(chǔ)，我們只有循序漸進(jìn)一步一步來(lái)，否則我們就根本碰不動(dòng)這一塊知識(shí)，所以我的畢業(yè)論文做得就是這一塊內(nèi)容，只希望把歷史上的一些經(jīng)典知識(shí)自己重新再推導(dǎo)一邊，最主要的是把其中的物理思想領(lǐng)會(huì)到，把別人的東西消化之后轉(zhuǎn)化為自己的知識(shí)，只有這樣之后才能沿著時(shí)間，專(zhuān)研一些現(xiàn)在前沿的一些理論和課題。 </p><p><b>　　參考文獻(xiàn)：</b></p>

33、<p>　　[1] 田志良, 游陽(yáng)明，恒定均勻磁場(chǎng)中帶電諧振子的運(yùn)動(dòng)分析，滄州師范專(zhuān)科學(xué)校學(xué)報(bào)，2004 [2] 陳 皓， 周園園，磁場(chǎng)中諧振子的量子與經(jīng)典對(duì)應(yīng)，遼寧師專(zhuān)學(xué)報(bào)，2009 [3] 吳奇學(xué)，帶電粒子在均勻磁場(chǎng)與三維各向同性諧振子場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的雙波描述，物理學(xué)報(bào)，2000, [4] 趙素琴，二維各向同性諧振子在均勻磁場(chǎng)中的能級(jí)及簡(jiǎn)并度變化，青海師專(zhuān)學(xué)報(bào)（教育科學(xué)），2007 [5

34、] 馬志民，二維諧振子的雙波函數(shù)描述，哈爾濱師范大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報(bào)，2002 [6] 蔡春芳，關(guān)于諧振子的量子力學(xué)研究進(jìn)展，榆林學(xué)院學(xué)報(bào)，2008 [7] 趙素琴，均勻磁場(chǎng)中三維各向同性諧振子微擾矩陣元的普遍表達(dá)式，大學(xué)物理，2007 [8] 韓萍，李菲菲，量子諧振子與經(jīng)典諧振子的比較，渤海大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2007 [9] 李體俊，一維諧振子薛定諤方程的一種解法，云南民族大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2008 [10] O.&

35、#160;Dippel, P. Schmelcher, and L. S. Cederbaum, Phys. Rev. A 49,4415(1944) [11] H. D. Meyer</p><p><b>　　本科畢業(yè)設(shè)計(jì)</b></p><p&g

36、t;<b>　?。?0 屆）</b></p><p>　　均勻磁場(chǎng)中二維各向異性諧振子的波函數(shù)和本征值求解</p><p><b>　　摘　要</b></p><p>　　【摘要】我們僅僅用大學(xué)本科所學(xué)的初等量子力學(xué)和相對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)物理方法的理論基礎(chǔ)，在量子力學(xué)領(lǐng)域中解決一個(gè)在均勻磁場(chǎng)中二維各向異性的諧振子波函數(shù)和本征值的

37、問(wèn)題。利用分離變換和幺正變換物理理論知識(shí)和傅里葉變換的數(shù)學(xué)理論知識(shí)，把均勻磁場(chǎng)中的二維各向異性的諧振子轉(zhuǎn)化為兩個(gè)獨(dú)立的一維諧振子。最后應(yīng)用均勻磁場(chǎng)中二維各向異性諧振子的理論，計(jì)算一個(gè)它的特例—均勻磁場(chǎng)中二維各向同性諧振子的波函數(shù)和本征值。</p><p>　　【關(guān)鍵詞】波函數(shù)；本征值；對(duì)易關(guān)系；幺正變換；哈密頓算符；諧振子。</p><p><b>　　Abstract</

38、b></p><p>　　【ABSTRACT】We just use the knowledge of elementary quantum mechanics and the methods of mathematical physics theory that we have learned to solve eigenfunctions and eigenvalues of two-dimension

39、al anisotropic harmonic oscillator of quantum mechanics in a uniform magnetic field.Using separate physical transformation and unitary transformation theory and the mathematical theory of Fourier transformation, two-dime

40、nsional anisotropic harmonic oscillator can be Separation in two one-dimensional indepen</p><p>　　【KEYWORDS】eigenfunction;eigenvalue;commutation;unitary transformation;Hamiltonian;oscillator.</p><

41、p><b>　　目　錄</b></p><p><b>　　摘　要10</b></p><p>　　Abstract10</p><p><b>　　目　錄11</b></p><p><b>　　1引言13</b></p>

42、<p>　　1.1諧振子的研究狀況13</p><p>　　1.1.1課題研究歷史13</p><p>　　1.1.2未來(lái)研究趨勢(shì)13</p><p>　　1.2論文組織方式15</p><p>　　1.2.1論文的研究路線15</p><p>　　1.2.2論文的組織結(jié)構(gòu)15<

43、/p><p>　　1.3課題研究的意義及其目的16</p><p>　　2量子力學(xué)基本理論18</p><p>　　2.1薛定諤方程18</p><p>　　2.1.1波函數(shù)18</p><p>　　2.1.2本征值19</p><p>　　2.2算符的運(yùn)算和變換19<

44、/p><p>　　2.2.1算符的對(duì)易關(guān)系19</p><p>　　2.2.2算符的幺正變換20</p><p>　　2.2.3算符的傅里葉變換21</p><p><b>　　2.3δ函數(shù)8</b></p><p>　　2.3.1定義8</p><p>　

45、　2.3.2性質(zhì)8</p><p>　　2.4無(wú)外場(chǎng)下一維諧振子的薛定諤方程的本征值和波函數(shù)9</p><p>　　2.4.1薛定諤方程的變換9</p><p>　　2.4.2波函數(shù)和本征值的精確解10</p><p>　　3均勻磁場(chǎng)中二維各向異性諧振子的波函數(shù)與本征值11</p><p>　　3.

46、1 均勻電磁場(chǎng)中定態(tài)薛定諤方程24</p><p>　　3.1.1均勻磁場(chǎng)中三維諧振子的哈密頓算符25</p><p>　　3.1.2均勻磁場(chǎng)中三維諧振子的薛定諤方程26</p><p>　　3.2哈密頓算符的變換26</p><p>　　3.2.1哈密頓算符的分離27</p><p>　　3.2.

47、2哈密頓算符的變換28</p><p>　　3.3本征值的求解42</p><p>　　3.4波函數(shù)的求解42</p><p>　　3.4.1變換后的哈密頓算符的波函數(shù)28</p><p>　　3.4.2傅里葉變換29</p><p>　　3.5原哈密頓算符的波函數(shù)的精確解32</p>

48、;<p>　　3.6典型特例34</p><p>　　3.6.1應(yīng)用均勻磁場(chǎng)中二維各向異性諧振子理論34</p><p>　　3.6.2精確計(jì)算均勻磁場(chǎng)中二維各向同性諧振子的波函數(shù)與本征值28</p><p>　　4總結(jié)性分析53</p><p>　　4.1二維與三維諧振子的比較53</p>&

49、lt;p>　　4.2各向同性與各向異性的比較53</p><p>　　4.3分析與總結(jié)53</p><p><b>　　參考文獻(xiàn)56</b></p><p><b>　　致謝56</b></p><p><b>　　引言</b></p><

50、p><b>　　諧振子的研究狀況</b></p><p>　　諧振子模型是普通物理學(xué)中在研究機(jī)械振動(dòng)問(wèn)題時(shí)所涉及的一個(gè)最重要物理模型。對(duì)于經(jīng)典力學(xué)中的諧振子我們已經(jīng)非常熟悉，它發(fā)展的歷史也可以追溯到十七世紀(jì)，理論也非常完善。然而對(duì)于量子力學(xué)中的諧振子模型，那是一個(gè)既古老又年輕的模型，說(shuō)它古老是因?yàn)樗S著量子力學(xué)在19世紀(jì)初就一起誕生了至今也有一百多年的歷史了對(duì)于我們一代人來(lái)說(shuō)是很古老了

51、，但是相對(duì)于其他科學(xué)它又很年輕比如就說(shuō)經(jīng)典物理學(xué)那是快幾個(gè)世紀(jì)的時(shí)間了。量子力學(xué)雖然年輕但是后勁卻很足，在它誕生的一百多年里迅速發(fā)展，現(xiàn)在幾乎所有科學(xué)前沿問(wèn)題都與量子力學(xué)有關(guān)系，諧振子模型就是一個(gè)很好的例子。</p><p><b>　　課題研究歷史</b></p><p>　　關(guān)于諧振子的研究的歷史，可以追溯到很久很久以前，因?yàn)樽詮?9世紀(jì)量子力學(xué)誕生以后，諧振子模

52、型作為量子力學(xué)中幾個(gè)為數(shù)不多的可精確解問(wèn)題，曾經(jīng)有人把諧振子模型和氫原子模型比作量子力學(xué)的脊梁柱。一維諧振子的能量本征值問(wèn)題，在歷史上首先為Heisenberg的矩陣力學(xué)解決，后來(lái)Dirac用算子代數(shù)的方法給出極其簡(jiǎn)潔漂亮的解。而在同一時(shí)期，foke對(duì)二維諧振子的研究也已經(jīng)非?？捎^，幾乎可以把它完美的解析出來(lái)，寫(xiě)在自己的論文集中發(fā)表，這篇論文集在量子物理學(xué)上也是堪稱(chēng)經(jīng)典的論文集。而對(duì)于三維諧振子問(wèn)題的研究，歷史上出現(xiàn)了兩大方向：第一個(gè)方

53、向就是在直角坐標(biāo)系里，利用各種各樣的數(shù)學(xué)物理變換，隨之使得三維諧振子就轉(zhuǎn)換為三個(gè)一維諧振子的線性疊加，而它的本征波函數(shù)的形式就是三個(gè)厄米多項(xiàng)式的相乘；第二個(gè)方向就是直接在球坐標(biāo)系里做解答，在球坐標(biāo)系中本征波函數(shù)解得形式就是球諧函數(shù)和合流超幾何函數(shù)乘積的形式。這兩種形式在物理意義上是完全等價(jià)的，之所以有兩種方法是因?yàn)樗鼈冞x擇了各自的守恒量完全集，運(yùn)用不同的數(shù)學(xué)技巧，就造就了兩種不同的形式。在此基礎(chǔ)上接下來(lái)的幾年中，偉大的天才數(shù)學(xué)家狄拉克發(fā)

54、明了一套量子力學(xué)中簡(jiǎn)潔且意義明</p><p><b>　　未來(lái)研究趨勢(shì)</b></p><p>　　在量子力學(xué)發(fā)展的早期，我們所有討論的問(wèn)題都是與時(shí)間無(wú)關(guān)的，換句話說(shuō)就是諧振子的量子態(tài)是不隨時(shí)間變化而變化的，我們?cè)诹孔恿W(xué)中稱(chēng)之為定態(tài)問(wèn)題，隨之而來(lái)要滿(mǎn)足薛定諤的方程叫做定態(tài)薛定諤方程。但是隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，現(xiàn)在很多實(shí)際問(wèn)題都是包含著時(shí)間變化的問(wèn)題，所以從19世紀(jì)8

55、0年代開(kāi)始我們研究的重心就逐步轉(zhuǎn)移到含時(shí)間演化問(wèn)題。當(dāng)然我們的諧振子模型它也有含時(shí)間演化的量子態(tài)，在這里我們簡(jiǎn)單介紹一些現(xiàn)在已經(jīng)比較成熟的一些態(tài)演化問(wèn)題，主要包括高斯波包演化、相干態(tài)和壓縮態(tài)。</p><p>　　關(guān)于高斯波包的演化，在Hamilton 力學(xué)中, 相空間是一個(gè)基本的概念。量子相空間理論也是一個(gè)非常有趣的領(lǐng)域。到目前為止，該理論已經(jīng)被廣泛應(yīng)用于物理學(xué)的各個(gè)分支，如Wigner函數(shù)應(yīng)用于統(tǒng)計(jì)力學(xué)、核物

56、理、原子和分子物理，特別是量子光學(xué)和相對(duì)論夸克模型以及最近的量子信息科學(xué)。自從1932年Wigner為了對(duì)經(jīng)典統(tǒng)計(jì)力學(xué)體系做量子修正而提出的Wigner函數(shù)以來(lái)，已有許多工作從兩個(gè)不同的途徑致力于發(fā)展量子相空間理論。第一途徑是沿著構(gòu)造Wigner函數(shù)的方法直接利用坐標(biāo)表象或動(dòng)量表象中的薛定諤方程的解來(lái)構(gòu)造分布函數(shù)；另一個(gè)途徑是在相空間中定義動(dòng)量算符和坐標(biāo)算符，然后建立相應(yīng)的薛定諤方程。</p><p>　　薛定諤

57、研究了時(shí)間演化的最小不確定態(tài)，諧振子相干態(tài)，這是近代物理學(xué)中的一個(gè)重要概念。把相干態(tài)用粒子態(tài)｜n〉的完備性展開(kāi)得</p><p>　　這表明相干態(tài)是包含不同量子態(tài)的疊加，這些態(tài)是相位同步的，它是量子力學(xué)中諧振子能夠達(dá)到的一種特殊量子態(tài)，存在于大量的量子力學(xué)系統(tǒng)中。相干態(tài)展現(xiàn)出的運(yùn)動(dòng)性質(zhì)與經(jīng)典振子很相似。主要是指以下方面:</p><p><b>　　在此狀態(tài)下,</b>

58、;</p><p>　　(1) 諧振子的能量平均值與經(jīng)典振子能理相同;</p><p>　　(2) 坐標(biāo)和動(dòng)量的平均值隨時(shí)間的演化也與以經(jīng)典振子完相同;</p><p>　　(3) 波包不擴(kuò)散,具有最小的不確定度</p><p>　　鑒于相干態(tài)有固定特點(diǎn)，人們對(duì)相干態(tài)理論的研究與應(yīng)用的興趣日益濃厚。相干態(tài)已被廣泛的應(yīng)用于物理的各個(gè)領(lǐng)域。相干態(tài)

59、作為電磁場(chǎng)和量子場(chǎng)論的準(zhǔn)經(jīng)典近似情況，是相空間路徑積分的基礎(chǔ)。</p><p>　　Kennard 研究了諧振子的更一般的波包演化，即壓縮態(tài)。自1970年D.Stoler在國(guó)際上首次引入壓縮態(tài)的概念以來(lái)，有關(guān)這一領(lǐng)域的研究工作進(jìn)展就一直十分迅速。1976年，H.P.Yuan從理論上構(gòu)造了廣義光子湮滅算符的本征態(tài)即所謂的雙光子相干態(tài),因這種雙光子相干態(tài)具有壓縮效應(yīng),故人們又稱(chēng)之為壓縮態(tài)；這是人類(lèi)有史以來(lái)首次從理論上

60、發(fā)現(xiàn)光場(chǎng)具有壓縮效應(yīng)的重大轉(zhuǎn)折性</p><p>　　研究成果，它在量子光學(xué)研究中起了重大轉(zhuǎn)折作用。</p><p><b>　　論文組織方式</b></p><p>　　本篇論文目的明確，原理簡(jiǎn)單，結(jié)構(gòu)清晰，文章的組織方式也簡(jiǎn)單合理，根據(jù)我們所研究的課題的內(nèi)容，結(jié)合我們對(duì)課題所用的研究方法，來(lái)組織論文的結(jié)構(gòu)。</p><p

61、><b>　　論文的研究路線</b></p><p>　　我們這篇論文的研究路線靈魂，簡(jiǎn)單的就一句話：把未知的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知的模型來(lái)解決，把不能直接求解的形式轉(zhuǎn)換為可求解的形式，而本篇論文的研究方法也很明確，就是兩個(gè)字：轉(zhuǎn)換。首先，課題是以均勻磁場(chǎng)中三維各向異性的諧振子的波函數(shù)和本征值的求解的問(wèn)題來(lái)引出的，該問(wèn)題隸屬于量子力學(xué)的問(wèn)題，所以我們先回顧一下量子力學(xué)的一些基本理論；其次，一維

62、諧振子問(wèn)題是我們?cè)诖笕读孔恿W(xué)》中學(xué)習(xí)過(guò)的一個(gè)為數(shù)不多的可以精確求解的模型，這是本篇論文的理論基礎(chǔ)；再次；我們利用波函數(shù)的態(tài)疊加原理演化而來(lái)的算符分離理論，先把三維問(wèn)題進(jìn)行降維處理，把它分解為一個(gè)平面二維問(wèn)題和一個(gè)一維問(wèn)題；接著我們用幺正變換理論，再把本來(lái)不可再分的二維問(wèn)題轉(zhuǎn)換為兩個(gè)獨(dú)立的一維諧振子。在此基礎(chǔ)上再進(jìn)行精確求解。最后，我們應(yīng)用均勻磁場(chǎng)中二維各向異性的諧振子模型，求解出一個(gè)它的一個(gè)特例——均勻磁場(chǎng)中二維各向同性的諧振子的波

63、函數(shù)和本征值。在此基礎(chǔ)上我們對(duì)三維和二維進(jìn)行比較，各向同性和各向異性進(jìn)行比較，得出結(jié)論。</p><p><b>　　論文的組織結(jié)構(gòu)</b></p><p>　　本篇論文大概可以分成四部分：第一部分主要是介紹一下我們所要研究課題的一些歷史背景，現(xiàn)在到目前為止的研究現(xiàn)狀和分析一下未來(lái)的發(fā)展趨勢(shì)，論文的組織方式和課題所研究的意義及其目的；第二部分是為研究這個(gè)課題做理論基礎(chǔ)

64、的，把一些要用的理論和公式重新復(fù)習(xí)一下或者再推導(dǎo)一遍，以便我們后面能熟練的應(yīng)用到所研究的課題中； 第三部分那是我論文的主體部分，主要包括哈密頓算符的分離和幺正變換的轉(zhuǎn)變，再加上傅里葉變換把波函數(shù)求解出來(lái)，結(jié)合幺正變換只改變波函數(shù)不改變本征值的特點(diǎn)，把本征值也求解出來(lái)；在此基礎(chǔ)上，我們精確計(jì)算一個(gè)均勻磁場(chǎng)中二維各向異性諧振子的一個(gè)特例——均勻磁場(chǎng)中二維各向同性諧振子；；第四部分主要是一些總結(jié)性的話語(yǔ)，在得出二維各向同性精確解之后再和二維各

65、向異性的形式作比較，找出一些關(guān)鍵的區(qū)別和聯(lián)系，同時(shí)對(duì)課題的總結(jié)，然后再一次認(rèn)識(shí)到做好該課題的意義。</p><p>　　課題研究的意義及其目的</p><p>　　在研究物理學(xué)問(wèn)題時(shí)，為了更好的揭示和理解物理現(xiàn)象背后的規(guī)律性，我們常常需要對(duì)研究對(duì)象進(jìn)行一定的概括和抽象，而概括和抽象最主要的依據(jù)是抓住主要矛盾、忽略次要因素。在物理學(xué)上我們熟知的且非常成功的物理模型有很多，比如說(shuō)質(zhì)點(diǎn)模型、理想

66、氣體模型、點(diǎn)電荷模型等等還有很多。諧振子模型是普通物理學(xué)中在研究機(jī)械振動(dòng)問(wèn)題時(shí)所涉及的一個(gè)最重要物理模型。在各種周期性振動(dòng)中，最簡(jiǎn)單、最基本的振動(dòng)形式就是簡(jiǎn)諧振動(dòng)。在自然界中廣泛存在和碰到簡(jiǎn)諧振動(dòng)。任何體系在平衡位置附近的小振動(dòng)，例如，分子的振動(dòng)、晶格的振動(dòng)、原子核表面振動(dòng)以及輻射場(chǎng)的振動(dòng)等都是簡(jiǎn)諧振動(dòng)，且在選擇恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系后，常?？梢苑纸鉃槿舾瑟?dú)立的一維諧振動(dòng)。最重要的是諧振子還往往作為復(fù)雜運(yùn)動(dòng)的初步近似，在其基礎(chǔ)上進(jìn)行各種改進(jìn)，所以

67、諧振子的運(yùn)動(dòng)的研究，無(wú)論在理論上或在應(yīng)用上都是很重要的。而我所要研究的均勻磁場(chǎng)中二維諧振子的模型也是最基礎(chǔ)最簡(jiǎn)單的模型。它直接為三維諧振子出場(chǎng)做了鋪墊。雖然比一維諧振子只多了一個(gè)在均勻磁場(chǎng)和維數(shù)，但是他們倆卻有本質(zhì)的區(qū)別，最重要的區(qū)別就是在均勻磁場(chǎng)中的二維諧振子出現(xiàn)了相干項(xiàng)，這直接加大了本征值和其波函數(shù)的求解難度。這就要求我們尋找</p><p>　　課題所要研究的目的也很明確：首先對(duì)于我自己來(lái)說(shuō)那是一次對(duì)大學(xué)四

68、年學(xué)習(xí)的一個(gè)小結(jié)，在大學(xué)過(guò)了四年，自己到底學(xué)了些什么知識(shí)，能把學(xué)到的知識(shí)轉(zhuǎn)化為實(shí)踐的能力有多少，這篇論文就是一個(gè)很好的說(shuō)明；其次這也是一篇理論型的文章，理論性的就必須要求我們簡(jiǎn)單明了，并且對(duì)一類(lèi)問(wèn)題要求總結(jié)，然后是能利用這個(gè)理論思想再進(jìn)行推導(dǎo)更深層次的問(wèn)題，即為均勻磁場(chǎng)中三維各向異性的諧振子模型做的鋪墊，根據(jù)二維的思想理論三維的諧振子也能被很好的解決掉。</p><p><b>　　量子力學(xué)基本理論&l

69、t;/b></p><p><b>　　薛定諤方程</b></p><p>　　在經(jīng)典力學(xué)中，當(dāng)質(zhì)點(diǎn)在某一時(shí)刻的狀態(tài)為已知時(shí)，由質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程就可以求出以后任一時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的狀態(tài)。在量子力學(xué)中情況也是這樣，當(dāng)當(dāng)微觀粒子在某一時(shí)刻的狀態(tài)為已知時(shí)，以后時(shí)刻粒子所處的狀態(tài)也要由一個(gè)方程來(lái)決定，所不同的是，在經(jīng)典力學(xué)中，質(zhì)點(diǎn)的狀態(tài)用質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)和速度來(lái)描寫(xiě)，質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程就是

70、我們所熟悉的牛頓運(yùn)動(dòng)方程；而在量子力學(xué)中，微觀粒子的狀態(tài)用波函數(shù)來(lái)描寫(xiě)，決定粒子狀態(tài)變化的方程不再是牛頓運(yùn)動(dòng)方程，而是我們的薛定諤方程。</p><p>　　薛定諤方程是我們物理學(xué)家薛定諤在1926年提出的波動(dòng)方程。應(yīng)該強(qiáng)調(diào)，薛定諤方程是量子力學(xué)中最基本的方程，其地位與牛頓方程在經(jīng)典力學(xué)中的地位相當(dāng)，應(yīng)該認(rèn)為是量子力學(xué)中的一個(gè)基本假定，并不能從什么比它更根本的假定來(lái)證明它。它的正確性，歸根到底，只能靠實(shí)踐來(lái)檢驗(yàn)。

71、俗話說(shuō)，實(shí)踐是檢驗(yàn)整理的唯一標(biāo)準(zhǔn)，也就是說(shuō)在目前我們?nèi)祟?lèi)認(rèn)知的領(lǐng)域內(nèi)，還沒(méi)有發(fā)現(xiàn)薛定諤方程是錯(cuò)的例子。 </p><p>　　薛定諤方程有三個(gè)特征：首先，它是對(duì)時(shí)間微商的微分方程；其次，薛定諤方程是線性的；最后，薛定諤方程的系數(shù)不應(yīng)該包含狀態(tài)的參量。在量子力學(xué)中，最基本也是最常規(guī)的薛定諤方程是這么定義的：</p><p>　　當(dāng)我們只討論U（r）與時(shí)間無(wú)關(guān)的情況下的薛定諤方程，我們稱(chēng)

72、之為定態(tài)薛定諤方程，定態(tài)薛定諤方程的形式如下：</p><p><b>　　波函數(shù)</b></p><p>　　把微觀粒子的波動(dòng)性和粒子性統(tǒng)一起來(lái)，更確切的說(shuō)，把微觀粒子的“原子性”與波的“相干疊加性”統(tǒng)一起來(lái)，是在1926年Born提出來(lái)的概率波。Born在用薛定諤方程來(lái)處理散射問(wèn)題時(shí)為解釋散射粒子的角度分布而提出來(lái)的。Born認(rèn)為de Broglie提出的物質(zhì)波，

73、或薛定諤方程中的波函數(shù)所描述的，并不像經(jīng)典波那樣代表什么實(shí)在的物理量在空間分布的波動(dòng)，只不過(guò)是刻畫(huà)粒子在空間的概率分布的概率波而已。</p><p>　　因此波函數(shù)在空間某一點(diǎn)的強(qiáng)度（振幅絕對(duì)值的平方）和在該點(diǎn)找到粒子的概率成正比。以后我們還將看到，由波函數(shù)可以得出體系的各種性質(zhì)，所以我們說(shuō)波函數(shù)描寫(xiě)體系的量子狀態(tài)。</p><p><b>　　本征值</b><

74、/p><p>　　在定態(tài)薛定諤方程中，我們也可以寫(xiě)成如下這種形式</p><p>　　，我們令，算符我們稱(chēng)之為哈密頓算符，也叫能量算符，那薛定諤方程更是可以簡(jiǎn)化為。這種類(lèi)型的方程稱(chēng)之為本征值方程，E稱(chēng)為算符的本征值，稱(chēng)為算符屬于本征值E的本征波函數(shù)。由此可知，當(dāng)體系處于能量算符本征函數(shù)所描寫(xiě)的狀態(tài)（以后簡(jiǎn)稱(chēng)能量本征態(tài)）時(shí)，粒子的能量有確定的數(shù)值，這個(gè)數(shù)值就是與這個(gè)本征函數(shù)相對(duì)應(yīng)的能量算符的本征

75、值。 </p><p><b>　　算符的運(yùn)算和變換</b></p><p>　　算符是指作用在一個(gè)函數(shù)上得出另一個(gè)函數(shù)的運(yùn)算符號(hào)。在量子力學(xué)中的算符代表的是對(duì)波函數(shù)（量子態(tài)）的一種運(yùn)算。</p><p>　　關(guān)于算符我們量子力學(xué)中又有一條基本的假定：如果算符表示力學(xué)量F那么當(dāng)體系處于的本征態(tài)時(shí)，力學(xué)量F有確定值，這個(gè)值就是在本征態(tài)中的本征值。

76、</p><p>　　我們知道，所有力學(xué)量的數(shù)值都是實(shí)數(shù)，既然表示力學(xué)量算符的本征值是這個(gè)力學(xué)量的可能值，因而表示力學(xué)量的算符，它的本征值必須是實(shí)數(shù)。所以量子力學(xué)中表示力學(xué)量的算符都是線性厄米算符。</p><p>　　算符的運(yùn)算和變換有很多,比如說(shuō)算符相等、單位算符、算符之和、算符之積、逆算符、算符的復(fù)共軛和轉(zhuǎn)置、對(duì)易等等。但是在算符運(yùn)算中算符的對(duì)易是最重要的，而在算符中的變換中，幺正變

77、換和傅里葉變換又是最常用的也是最常見(jiàn)的。下面我們來(lái)仔細(xì)看看。</p><p><b>　　算符的對(duì)易關(guān)系</b></p><p>　　一般來(lái)說(shuō)，算符之積不滿(mǎn)足交換律，即，這是算符運(yùn)算規(guī)則與平常數(shù)的運(yùn)算規(guī)則唯一不同之處。</p><p>　　我們定義：，上式稱(chēng)為與的對(duì)易關(guān)系，如果右邊式子等于零，我們就是這兩個(gè)算符是對(duì)易的；否則就是不對(duì)易的。在對(duì)易

78、關(guān)系中最重要的一組對(duì)易就是坐標(biāo)算符和動(dòng)量算符的對(duì)易關(guān)系。他們兩之間的對(duì)易關(guān)系如下：</p><p>　　，只要熟練掌握這個(gè)對(duì)易關(guān)系其他一些基礎(chǔ)的對(duì)易關(guān)系的運(yùn)算就變得簡(jiǎn)單易懂。</p><p>　　在這里我還要向大家介紹一個(gè)指數(shù)對(duì)易的定理：</p><p><b>　　，，，</b></p><p>　　由于這個(gè)定理我后面

79、的論訴中起決定性的作用，所以我在這里特別的說(shuō)明。</p><p><b>　　算符的幺正變換</b></p><p>　　量子力學(xué)中表象的選取取決于所討論的問(wèn)題。表象選取的恰當(dāng)可以使問(wèn)題的討論大為簡(jiǎn)化，這正如幾何學(xué)和經(jīng)典力學(xué)中選取坐標(biāo)系一樣。在討論物理問(wèn)題時(shí)，常常需要從一個(gè)表象變換到另一個(gè)表象。所以由一個(gè)表象到另一個(gè)表象的變換是幺正變換。在這里我們重點(diǎn)了解一下力學(xué)量由

80、A表象變換到B表象的變換公式：</p><p>　　幺正變換兩個(gè)重要的性質(zhì)：</p><p>　?。?）、幺正變換不改變算符的本征值。也就是說(shuō)經(jīng)過(guò)幺正變換之后變成，他們兩個(gè)的算符的本征值是一樣的。</p><p>　?。?）、幺正變換不改變矩陣的跡。即的跡等于的跡，也就是說(shuō)矩陣的跡不會(huì)因?yàn)殓壅儞Q的改變而改變。</p><p><b&g

81、t;　　算符的傅里葉變換</b></p><p>　　算符或者是波函數(shù)的傅里葉變換使我們量子力學(xué)中最常用的變換方法，也正是因?yàn)檫@樣所以我們物理系的學(xué)生都要學(xué)習(xí)一門(mén)《數(shù)學(xué)物理方法》的必修課程。這也從側(cè)面反應(yīng)出數(shù)學(xué)對(duì)物理是那么的重要，以至于我們物理系的學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)要求為何如此之高。在這里我只簡(jiǎn)單的回顧一下傅里葉變換的定義和一個(gè)重要的性質(zhì)-卷積定理。</p><p><b>

82、　　， </b></p><p><b>　　并常用符號(hào)簡(jiǎn)記為</b></p><p><b>　　， </b></p><p>　　和分別稱(chēng)為傅里葉變換的原函數(shù)和像函數(shù)。</p><p>　　傅里葉變換的卷積定理：</p><p>　　若

83、 </p><p><b>　　則</b></p><p><b>　　δ函數(shù)</b></p><p>　　我們物理學(xué)中常常要研究一個(gè)物理量在空間和時(shí)間中的分布密度，例如質(zhì)量密度、電荷密度、等等。但是我們物理中又常常運(yùn)用質(zhì)點(diǎn)、點(diǎn)電荷等抽象模型，他們不是連續(xù)分布在空間和時(shí)間中，而是集中在空間的某一點(diǎn)或某一時(shí)刻，所以我們引

84、入δ函數(shù)。歸根結(jié)底，其實(shí)δ函數(shù)只是我們物理有意義的一個(gè)模型，脫離了物理完全是空范的。</p><p><b>　　定義</b></p><p>　　對(duì)于質(zhì)點(diǎn)、點(diǎn)電荷這一類(lèi)集中空間某一點(diǎn)或時(shí)間某一瞬間的抽象模型，在我們物理學(xué)上引入δ函數(shù)以便描述它們的密度;</p><p><b>　　, </b></p>

85、<p>　　在這以后，數(shù)學(xué)上引入了廣義函數(shù)的概念，在嚴(yán)密的基礎(chǔ)上證明了δ函數(shù)的一些重要性質(zhì)。</p><p><b>　　性質(zhì)</b></p><p>　　δ函數(shù)具有以下幾個(gè)重要的性質(zhì)：</p><p>　?。?）、是一個(gè)偶函數(shù)，它的導(dǎo)函數(shù)是一個(gè)奇函數(shù)。</p><p>　?。?）、對(duì)于任何一個(gè)定義在R上的連

86、續(xù)函數(shù)</p><p>　　這有時(shí)也叫δ函數(shù)的挑選性。</p><p>　?。?）、δ函數(shù)傅里葉變換</p><p>　　無(wú)外場(chǎng)下一維諧振子的薛定諤方程的本征值和波函數(shù)</p><p>　　在自然界中廣泛存在簡(jiǎn)諧振動(dòng)。任何物理體系在平衡位置附近的小振動(dòng)，在選擇恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系后，常常可以分解為若干彼此獨(dú)立的一維諧振動(dòng)，諧振動(dòng)往往還是作為復(fù)雜運(yùn)動(dòng)的

87、初步近似，在其基礎(chǔ)上進(jìn)行各個(gè)方面的改進(jìn)。所以一維諧振子的研究，無(wú)論在理論上還是實(shí)際應(yīng)用上，都是很重要的。尤其對(duì)于我這個(gè)研究的課題，如果你沒(méi)有把一維的諧振子的理論基礎(chǔ)弄明白的話，你就更本無(wú)從下手，所以對(duì)于一維諧振子的波函數(shù)和本征值推導(dǎo)過(guò)程，我個(gè)人認(rèn)為還是很有必要自己完全掌握，因?yàn)檫@是最基礎(chǔ)的。只有我們一步一步的，腳踏實(shí)地的從最基礎(chǔ)的東西開(kāi)始做起我們才有做后面研究的必要。</p><p>　　一維空間內(nèi)運(yùn)動(dòng)的粒子的勢(shì)

88、能為，ω是常量，這種體系我們就稱(chēng)之為諧振子模型。一維諧振子的能量本征值問(wèn)題，在歷史上首先為Heisenberg的矩陣力學(xué)解決，后來(lái)Dirac用算子代數(shù)的方法給出極其漂亮的解。我們還是根據(jù)波動(dòng)力學(xué)的解法，再來(lái)重溫一遍這個(gè)完美的一維諧振子問(wèn)題。</p><p><b>　　薛定諤方程的變換</b></p><p>　　在解決物理問(wèn)題中，首要要考慮就是其單位制問(wèn)題，你選取不

89、同的單位制，你會(huì)得到不同的結(jié)果。在本篇研究的課題中，凡是遇到單位制問(wèn)題，我們一律默認(rèn)取自然單位制，即c==1.</p><p>　　選取合適的坐標(biāo)系，使粒子的勢(shì)能為，則體系的薛定諤方程為</p><p>　　為了方便起見(jiàn)，我們引入無(wú)量綱代替x，它們之間的關(guān)系為</p><p>　　因此薛定諤方程可以簡(jiǎn)化為</p><p>　　這是一個(gè)變系數(shù)的

90、二級(jí)常微分方程，為了求解這個(gè)方程的解我們先看看漸漸解，即趨向于無(wú)窮大時(shí)，λ相比之下就可以略去，因此方程可以寫(xiě)成</p><p>　　所以波函數(shù)解得形式就可以寫(xiě)成以下這種形式</p><p>　　最后可以得到所滿(mǎn)足的方程</p><p>　　波函數(shù)和本征值的精確解</p><p>　　根據(jù)級(jí)數(shù)解法，要求級(jí)數(shù)只含有有限項(xiàng)的條件是λ為奇數(shù)，即<

91、;/p><p>　　λ=2n+1，n=0,1,2,3……</p><p>　　根據(jù)λ就可以求出諧振子的能級(jí)為</p><p>　　對(duì)應(yīng)于不同的能級(jí)方程有不同的解。稱(chēng)為厄米多項(xiàng)式，它可以用下列式子來(lái)表示：</p><p>　　關(guān)于厄米多項(xiàng)式的性質(zhì)我們還要補(bǔ)充一個(gè)重要的積分公式：</p><p>　　這個(gè)積分公式將在我們后面傅

92、里葉變換的化簡(jiǎn)中起到舉足輕重的作用，可以這么說(shuō)你不利用這個(gè)積分公式你就沒(méi)法再繼續(xù)下去。</p><p>　　所以就可以精確求解出來(lái)對(duì)應(yīng)于能量的波函數(shù)：</p><p><b>　　式中為歸一化因子，</b></p><p>　　求到這里我們已經(jīng)把一維諧振子的波函數(shù)和本征值的能精確詳細(xì)的求解出來(lái)，而且諧振子也是為數(shù)不多的幾個(gè)能求出精確解的物理模型

93、。這在一定程度上為我們后面的在均勻磁場(chǎng)中二維各向異性的諧振子的波函數(shù)和本征值的求解提供了強(qiáng)有力的理論基礎(chǔ)，更是為我們提供了前進(jìn)的方向，思考的路線，給我們做了一個(gè)很好的鋪墊。</p><p>　　均勻磁場(chǎng)中二維各向異性諧振子的波函數(shù)與本征值 </p><p>　　均勻電磁場(chǎng)中定態(tài)薛定諤方程</p><p>　　之前我們討論了一維諧振子的波函數(shù)和本征值問(wèn)

94、題，并且根據(jù)數(shù)學(xué)上的知識(shí)，再加上物理上的思想，利用數(shù)學(xué)物理方法，把一維諧振子的波函數(shù)和本征值完全沒(méi)有利用任何近似的方法，嚴(yán)格的把精確解解答出來(lái)。物理量子力學(xué)中幾個(gè)為數(shù)不多的能夠嚴(yán)格求解的物理模型，諧振子就是其中一個(gè)。那我們?nèi)滩蛔∫伎家痪S的能精確解，二維，三維的情況又會(huì)是怎么樣？答案是肯定的如果在沒(méi)有外場(chǎng)作用下二維的諧振子就是兩個(gè)一維諧振子的疊加，三維的諧振子就是三個(gè)一維的諧振子的疊加。這個(gè)問(wèn)題解決了我們又會(huì)接著再想，在外場(chǎng)作用下，也能

95、不能求出這么完美的解呢？我可以確定的負(fù)責(zé)任地告訴你，在我們前人的努力下已經(jīng)有物理學(xué)家解出來(lái)。也正是有這一理論的完整性，只要是諧振子的問(wèn)題差不多都能求出其精確解，才使得諧振子模型在物理學(xué)上有著重要的地位，因?yàn)樗菑?fù)雜運(yùn)動(dòng)的初步近似，因?yàn)樗歉鞣N平衡位置附近振動(dòng)最理想最接近的模型。這也進(jìn)一步明確了我們學(xué)習(xí)諧振子的重要性和我對(duì)這篇課題研究的意義性。</p><p>　　接下來(lái)我們就來(lái)討論在外場(chǎng)的作用下諧振子又是怎么運(yùn)動(dòng)

96、的。自然單位制下，考慮質(zhì)量為m，帶電量為q的粒子在電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，在經(jīng)典力學(xué)中，有電磁學(xué)、電動(dòng)力學(xué)和理論力學(xué)知識(shí)可得，它的哈密頓函數(shù)可以表示為</p><p>　　在量子力學(xué)中有哈密頓函數(shù)和哈密頓算符之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系理論可知，它的哈密頓算符可以等價(jià)的表示為 </p><p>　　所以有在外場(chǎng)（電磁場(chǎng)中）定態(tài)薛定諤方程 </p><p>　　均勻磁場(chǎng)

97、中三維諧振子的哈密頓算符</p><p>　　作為我們課題的引入，在這里我們先考慮在均勻磁場(chǎng)中三維各向異性諧振子的情況，也就是比在電磁場(chǎng)中要簡(jiǎn)單的多，因?yàn)?#248;等于0，即沒(méi)有電場(chǎng)，只有磁場(chǎng)作用的情況。假設(shè)一個(gè)帶電粒子的質(zhì)量為m，受到方向的磁場(chǎng)作用，并且在各向異性諧振子勢(shì)的作用下，我們?nèi)〕Ｒ?jiàn)的規(guī)范，在此條件下的均勻磁場(chǎng)中的三維各向異性的諧振子的波函數(shù)與本征值。 </p><p>

98、;<b>　　設(shè)，，，則</b></p><p>　　，化簡(jiǎn)一下得： </p><p>　　經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單的化簡(jiǎn)就可以得到我們想要的哈密頓算符如下：</p><p>　　均勻磁場(chǎng)中三維諧振子的薛定諤方程</p><p>　　在均勻磁場(chǎng)中三維各向異性的諧振子的哈密頓都已經(jīng)求解出來(lái)了，再根據(jù)量子力學(xué)中的基本理論，要滿(mǎn)足定態(tài)

99、薛定諤方程。代入已求解出的哈密頓算符得：</p><p>　　由于哈密頓算符的復(fù)雜性我們必須對(duì)它進(jìn)行有效的變換。</p><p><b>　　哈密頓算符的變換</b></p><p>　　由上式我們可以看出在均勻磁場(chǎng)中的哈密頓算符是極其復(fù)雜的，復(fù)雜歸復(fù)雜，但并不是沒(méi)有什么規(guī)律可循的。比如說(shuō)它很像三個(gè)方向獨(dú)立的一維諧振子的哈密頓算符的疊加，但又不

100、是簡(jiǎn)單的疊加，因?yàn)樗直纫话愕寞B加多出一項(xiàng)角動(dòng)量項(xiàng)，正是由于這一項(xiàng)的出現(xiàn)，才讓我們做的課題遇到了困難，同時(shí)又給我們提供了方向：首先是上述哈密頓量很明顯可以把它分解成一個(gè)獨(dú)立的二維加一個(gè)獨(dú)立的一維哈密頓算符的疊加；其次是我們通過(guò)幺正變換使這個(gè)二維的算符中的角動(dòng)量項(xiàng)消去，使它在退化為一個(gè)一維的線性疊加。</p><p><b>　　哈密頓算符的分離</b></p><p>

101、;　　上述復(fù)雜的哈密頓算符經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單的變形之后可以寫(xiě)成以下形式：</p><p>　　該式子又可以把它寫(xiě)成：</p><p>　　我們令，那么剩下的自然就是</p><p>　　通過(guò)這樣的分離我們就已經(jīng)得到原來(lái)一個(gè)很復(fù)雜的三維問(wèn)題，繼而就轉(zhuǎn)化為一個(gè)二維的問(wèn)題和一個(gè)一維的問(wèn)題，從戰(zhàn)略思想上來(lái)講是一個(gè)巨大的飛躍。也就是說(shuō)在這種規(guī)范下它是一種贗三維諧振子，因?yàn)樗梢院芎?jiǎn)單的

102、就退化為一個(gè)二維諧振子和一維諧振子問(wèn)題。就是這種變換才是我們學(xué)物理的人要徹底搞清楚的地方，這才是最重要的物理思想，即把未知轉(zhuǎn)化為已知的分離思想。所以三維的波函數(shù)的本征值也可以轉(zhuǎn)換為以下形式</p><p>　　在z方向上，，它是一個(gè)一維的諧振子問(wèn)題，有我們前面的知識(shí)可以求解其波函數(shù)的精確解</p><p>　　剩下來(lái)的問(wèn)題就是我們?nèi)绾伟言趚y平面內(nèi)的波函數(shù)和本征值求解出來(lái)。從而使我們本來(lái)三

103、維的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二維問(wèn)題，這是技術(shù)上的一大突破。</p><p><b>　　哈密頓算符的變換</b></p><p>　　雖然經(jīng)過(guò)上述變換之后已經(jīng)轉(zhuǎn)化為我們所要研究的均勻磁場(chǎng)中的二維各向異性諧振子問(wèn)題，但是二維諧振子問(wèn)題的難點(diǎn)馬上就凸現(xiàn)出來(lái)了，由于存在一項(xiàng)角動(dòng)量項(xiàng)使得再繼續(xù)想把它簡(jiǎn)單的分離成兩個(gè)簡(jiǎn)單的一維問(wèn)題就變得異常的困難，幾乎就是無(wú)路可走了。那我們就必須換一個(gè)方向

104、思考問(wèn)題，那能不能先對(duì)進(jìn)行一個(gè)變換，變換之后使得它沒(méi)有角動(dòng)量項(xiàng)，我們也很容易想要幺正變換。因?yàn)殓壅儞Q可以使力學(xué)量的算符發(fā)生改變，而且對(duì)波函數(shù)的改變也不會(huì)很徹底，我們很容易就能把它轉(zhuǎn)變回來(lái)，最重要的一點(diǎn)要數(shù)幺正變換不改變算符的本征值，也就是說(shuō)變換前后的算符的本征值不變，這就提供我們一個(gè)方法前面算符的本征值比較難求，我們可以求變換后的本征值是不變的。我們就按照這個(gè)思路一步一步的進(jìn)行下去，先對(duì)不可再簡(jiǎn)單拆分二維算符進(jìn)行一個(gè)幺正變換，設(shè)變換后

105、的可算算符為，波函數(shù)為。我們先假設(shè)一些基本算符：</p><p>　　我們?cè)賮?lái)假設(shè)一些基本的常數(shù)：</p><p>　　從這里開(kāi)始讓我們引進(jìn)幺正變換算符</p><p>　　α和β為兩個(gè)重要的參數(shù)，這兩個(gè)參數(shù)根據(jù)我們的需要我們可以用待定系數(shù)法可以求解。</p><p>　　現(xiàn)在我們開(kāi)始做的幺正變換后的算符：</p><p&

106、gt;　　從這里我們可以看出我們要對(duì)做指數(shù)對(duì)易的運(yùn)算，有我們前面指數(shù)對(duì)易的定理可得：</p><p>　　做到這里我們還要繼續(xù)進(jìn)行下去，由于算符中還是具有基本算符和，然而我們最不喜歡的就是就是具有這兩項(xiàng)，因?yàn)橐挥羞@兩項(xiàng)我們的變換就失去它的意義了，變來(lái)變?nèi)プ兊皆瓉?lái)的地步了，而且還多了一個(gè)算符，那不是更加麻煩，問(wèn)題卻不是這樣，還記得我們有兩個(gè)重要的參數(shù)α和β，只要我們適當(dāng)?shù)倪x取α和β，我們就可以做到使基本算符和前的系

107、數(shù)變?yōu)榱?。這才是我們幺正變換的最終目的。</p><p>　　我們令算符和前的系數(shù)為零，我們可以把α和β解出來(lái)：</p><p>　　當(dāng)時(shí)，我們?chǔ)?、β都取正值，?lt;/p><p>　　當(dāng)時(shí)，我們?chǔ)?、β都取?fù)值，即</p><p>　　在這里我們僅僅以的情況加以詳細(xì)討論，即我們?chǔ)痢ⅵ露既≌禃r(shí)：</p><p><

108、b>　　我們令</b></p><p>　　接下來(lái)我們做一個(gè)代換和：</p><p><b>　　令</b></p><p>　　同理當(dāng)時(shí)，即我們?chǔ)?、β都取?fù)值時(shí)，同樣有類(lèi)似公式。</p><p><b>　　我們引入記號(hào)</b></p><p>　　再接著

109、我們繼續(xù)代換和</p><p><b>　　我們令</b></p><p><b>　　同理可得</b></p><p><b>　　我們令</b></p><p><b>　　同理當(dāng)時(shí)有</b></p><p>　　由以上步驟一步

110、一步推來(lái)我們便可以把的算符寫(xiě)成以下形式：</p><p>　　直到做到這里我們才算完成了二維算符的幺正變換，雖然推理的過(guò)程非常復(fù)雜，但是其思路卻是非常明確的，就是要把角動(dòng)量項(xiàng)消去，使之成為兩個(gè)獨(dú)立的一維諧振子的線性疊加，而方法就是幺正變換，雖然幺正變換過(guò)程非常麻煩，靜下心來(lái)好好推一推還是很有規(guī)律的，有很多東西都是相同的。所以我在做這個(gè)課題時(shí)，我把最詳細(xì)的步驟都放在上面，我想對(duì)后人來(lái)說(shuō)，有弊有利吧。</p&g

111、t;<p><b>　　本征值的求解</b></p><p>　　經(jīng)過(guò)幺正變換之后，合理的選取了α和β的值，使得基本算符和前的系數(shù)變?yōu)榱?，從而達(dá)到消去角動(dòng)量項(xiàng)的目的，得到的算符，經(jīng)過(guò)我們細(xì)心的整理和化簡(jiǎn)，終于變成了我們最熟悉的形式——也就是二維諧振子算符可以寫(xiě)成兩個(gè)獨(dú)立的一維諧振子的線性疊加形式：</p><p>　　正是因?yàn)槲覀兝玫氖晴壅儞Q使得&l