動(dòng)態(tài)規(guī)劃在經(jīng)濟(jì)管理中的應(yīng)用【信息科學(xué)與技術(shù)專業(yè)】【畢業(yè)設(shè)計(jì)+文獻(xiàn)綜述+開題報(bào)告】

1、<p>　　本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）</p><p><b>　?。ā?011　屆）</b></p><p>　　動(dòng)態(tài)規(guī)劃在經(jīng)濟(jì)管理中的應(yīng)用</p><p>　　所在學(xué)院 </p><p>　　專業(yè)班級(jí) 信息與計(jì)算科學(xué) </p&

2、gt;<p>　　學(xué)生姓名 學(xué)號(hào) </p><p>　　指導(dǎo)教師 職稱 </p><p>　　完成日期 年 月 </p><p>　　摘要：動(dòng)態(tài)規(guī)劃是考察求解多階段決策問(wèn)題的途徑和方法，最優(yōu)化原理是動(dòng)態(tài)規(guī)劃的基礎(chǔ)。動(dòng)態(tài)

3、規(guī)劃方法求解問(wèn)題可以有正向和逆向兩種思維方法，一般來(lái)說(shuō)多階段決策問(wèn)題多采用動(dòng)態(tài)規(guī)劃逆向思維方法解決。本文通過(guò)動(dòng)態(tài)規(guī)劃在經(jīng)濟(jì)管理的應(yīng)用舉例說(shuō)明怎樣用動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法解決實(shí)際問(wèn)題，對(duì)于動(dòng)態(tài)規(guī)劃的經(jīng)典問(wèn)題進(jìn)行了具體的分析。給出了動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法的基本原理，建立了動(dòng)態(tài)規(guī)劃數(shù)學(xué)模型，通過(guò)一些實(shí)際應(yīng)用例子具體說(shuō)明動(dòng)態(tài)規(guī)劃求解問(wèn)題的過(guò)程，并總結(jié)出動(dòng)態(tài)規(guī)劃在此類問(wèn)題中的優(yōu)越性。并闡述了動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法求解問(wèn)題的優(yōu)勢(shì)和解題注意事項(xiàng)。</p><p

4、>　　關(guān)鍵詞: 動(dòng)態(tài)規(guī)劃；經(jīng)濟(jì)管理；多階段決策 </p><p>　　Dynamic Programming in Economic Management</p><p>　　Abstract：Dynamic programming is one way to investigate multi-stage decision-making problem，and the optimi

5、zation principle is the basis of dynamic programming. Using dynamic programming method to solve problems can have two kinds of thinking methods，forward and reverse. Generally speaking, we always use reverse thinking meth

6、od to solve multi-stage decision-making problems. This article through the dynamic planning in economic management application illustrates how to use dynamic programming metho</p><p>　　Keywords: Dynamic prog

7、ramming; economic management; multi-stage decision-making</p><p><b>　　目錄</b></p><p>　　1.緒論- 1 -</p><p>　　1.1問(wèn)題的背景- 1 -</p><p>　　1.2問(wèn)題的意義- 1 -</p>

8、<p>　　2.動(dòng)態(tài)規(guī)劃- 2 -</p><p>　　2.1動(dòng)態(tài)規(guī)劃概述- 2 -</p><p>　　2.2動(dòng)態(tài)規(guī)劃的基本概念2</p><p>　　2.3多階段決策過(guò)程的最優(yōu)化- 4 -</p><p>　　2.4動(dòng)態(tài)規(guī)劃建模5</p><p>　　3.動(dòng)態(tài)規(guī)劃在經(jīng)濟(jì)管理中的應(yīng)用6</

9、p><p><b>　　3.1背包問(wèn)題6</b></p><p>　　3.2設(shè)備更新問(wèn)題7</p><p>　　3.3生產(chǎn)與存儲(chǔ)問(wèn)題8</p><p>　　3.4資源分配問(wèn)題9</p><p>　　3.5動(dòng)態(tài)規(guī)劃的應(yīng)用舉例10</p><p>　　4.動(dòng)態(tài)規(guī)劃解題的好

10、處及注意事項(xiàng)- 16 -</p><p>　　4.1動(dòng)態(tài)規(guī)劃解題的好處- 16 -</p><p>　　4.2動(dòng)態(tài)規(guī)劃解題的注意事項(xiàng)- 16 -</p><p>　　5.結(jié)束語(yǔ)- 17 -</p><p><b>　　致謝- 17 -</b></p><p><b>　　參考文

11、獻(xiàn)19</b></p><p><b>　　1.緒論</b></p><p><b>　　1.1問(wèn)題的背景</b></p><p>　　21世紀(jì)中國(guó)進(jìn)入到了一個(gè)新的時(shí)代，隨著經(jīng)濟(jì)的快速發(fā)展和社會(huì)的進(jìn)步，整個(gè)社會(huì)運(yùn)行的各個(gè)方面——無(wú)論是在政治、經(jīng)濟(jì)、文化、科技、軍事、外交方面，還是在環(huán)境、生態(tài)、資源問(wèn)題方面，都

12、將著眼于解決能否實(shí)現(xiàn)的問(wèn)題擴(kuò)充到更加重視解決如何優(yōu)化實(shí)現(xiàn)的問(wèn)題，從解決局部的簡(jiǎn)單問(wèn)題擴(kuò)充到解決系統(tǒng)的復(fù)雜問(wèn)題，從靜態(tài)地解決問(wèn)題到動(dòng)態(tài)地解決問(wèn)題，從解決涉及單一領(lǐng)域的獨(dú)立發(fā)展問(wèn)題擴(kuò)充到解決涉及多個(gè)領(lǐng)域的協(xié)同發(fā)展的問(wèn)題，從通過(guò)直接辦法解決問(wèn)題擴(kuò)充到通過(guò)間接的辦法解決問(wèn)題等，都迫切需要?jiǎng)討B(tài)規(guī)劃及其應(yīng)用。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展和普及，動(dòng)態(tài)規(guī)劃的應(yīng)用越來(lái)越廣泛。它已成為人們合理利用有限資源制定最佳決策的有利工具。[1][2]</p>

13、<p><b>　　1.2問(wèn)題的意義</b></p><p>　　作為運(yùn)籌學(xué)O.R.的一個(gè)分支，動(dòng)態(tài)規(guī)劃是分析和解決多階段決策過(guò)程最優(yōu)化的理論與辦法，根據(jù)動(dòng)態(tài)規(guī)劃思想，可以根據(jù)人們所采取的措施一步步地控制過(guò)程的發(fā)展，以實(shí)現(xiàn)預(yù)定的要求。</p><p>　　這以運(yùn)籌學(xué)分支最初是由美國(guó)數(shù)學(xué)家Bellman等人根據(jù)一類多階段決策問(wèn)題的特性，提出了解決這類問(wèn)題的最優(yōu)

14、化原理，并研究了許多實(shí)際問(wèn)題而建立起來(lái)的。[3]</p><p>　　雖然動(dòng)態(tài)規(guī)劃主要用于求解以時(shí)間劃分階段的動(dòng)態(tài)過(guò)程的優(yōu)化問(wèn)題，但是一些與時(shí)間無(wú)關(guān)的靜態(tài)規(guī)劃，只要人為地引進(jìn)時(shí)間因素，把它視為多階段決策過(guò)程，也可以用動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法方便地求解。 </p><p>　　動(dòng)態(tài)規(guī)劃程序設(shè)計(jì)是對(duì)解最優(yōu)化問(wèn)題的一種途徑、一種方法，而不是一種特殊算法。不象前面所述的那些搜索或數(shù)值計(jì)算那樣，具有一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)

15、學(xué)表達(dá)式和明確清晰的解題方法。動(dòng)態(tài)規(guī)劃程序設(shè)計(jì)往往是針對(duì)一種最優(yōu)化問(wèn)題，由于各種問(wèn)題的性質(zhì)不同，確定最優(yōu)解的條件也互不相同，因而動(dòng)態(tài)規(guī)劃的設(shè)計(jì)方法對(duì)不同的問(wèn)題，有各具特色的解題方法，而不存在一種萬(wàn)能的動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法，可以解決各類最優(yōu)化問(wèn)題。因此讀者在學(xué)習(xí)時(shí)，除了要對(duì)基本概念和方法正確理解外，必須具體問(wèn)題具體分析處理，以豐富的想象力去建立模型，用創(chuàng)造性的技巧去求解。我們也可以通過(guò)對(duì)若干有代表性的問(wèn)題的動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法進(jìn)行分析、討論，逐漸學(xué)會(huì)并掌

16、握這一設(shè)計(jì)方法。</p><p><b>　　2.動(dòng)態(tài)規(guī)劃</b></p><p><b>　　2.1動(dòng)態(tài)規(guī)劃概述</b></p><p>　　動(dòng)態(tài)規(guī)劃是解決多階段決策過(guò)程最優(yōu)化問(wèn)題的一種方法。該方法是由美國(guó)數(shù)學(xué)家貝爾曼（R Bellman）等人在20世紀(jì)50年代提出的。他們針對(duì)多階段決策問(wèn)題的特點(diǎn)，提出了解決這類問(wèn)題的最

17、優(yōu)化原理，并成功地解決了生產(chǎn)管理、工程技術(shù)等方面的許多實(shí)際問(wèn)題，從而建立了運(yùn)籌學(xué)的一個(gè)新分支。1957年，R Bellman發(fā)表了該分支領(lǐng)域的第一本專著《動(dòng)態(tài)規(guī)劃》（Dynamic Programming）。</p><p>　　動(dòng)態(tài)規(guī)劃是現(xiàn)代企業(yè)管理中的一種重要決策方法，可用于解決最優(yōu)路徑問(wèn)題、資源分配問(wèn)題、生產(chǎn)計(jì)劃與庫(kù)存、投資、裝載、排序等問(wèn)題及生產(chǎn)過(guò)程的最優(yōu)控制等。由于它有獨(dú)特的解題思路，在處理某些優(yōu)化問(wèn)題

18、時(shí)，比線性規(guī)劃或非線性規(guī)劃方法更有效。[4][5]</p><p>　　動(dòng)態(tài)規(guī)劃可以高效地解決許多用“貪心算法”或“分治算法”難以解決的最優(yōu)解的問(wèn)題。用動(dòng)態(tài)規(guī)劃解題，首先要把原問(wèn)題分解為若干子問(wèn)題，這一點(diǎn)與遞歸方法類似。動(dòng)態(tài)規(guī)劃與遞歸的區(qū)別在于：?jiǎn)渭兊倪f歸往往會(huì)導(dǎo)致子問(wèn)題的解一旦被求出就會(huì)被保存，所以，每個(gè)子問(wèn)題只需求解1次。[6]</p><p>　　2.2動(dòng)態(tài)規(guī)劃的基本概念</p

19、><p>　　動(dòng)態(tài)規(guī)劃中描述多階段決策過(guò)程的基本概念有：階段和階段變量，狀態(tài)和狀態(tài)變量，決策、決策變量和決策序列，狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程，階段效應(yīng)和目標(biāo)函數(shù)等。</p><p>　　1 階段和階段變量</p><p>　　把所研究的多階段決策過(guò)程恰當(dāng)?shù)貏澐譃槿舾蓚€(gè)相互獨(dú)立又相互聯(lián)系的部分，每一個(gè)部分就稱為一個(gè)階段。事實(shí)上一個(gè)階段也就是需要做出一個(gè)決策的子問(wèn)題部分。通常階段是按照

20、過(guò)程進(jìn)行的時(shí)間和空間上的先后順序劃分，并用階段變量表示。階段數(shù)等于多階段決策過(guò)程中從開始到結(jié)束所需要作出決策的數(shù)目，劃分階段的目的是便于求解。</p><p>　　2 狀態(tài)和狀態(tài)變量</p><p>　　在多階段決策過(guò)程中，狀態(tài)是描述系統(tǒng)情況所必須的信息。一般定義為某一個(gè)階段的初始點(diǎn)、初始位置或初始情況。狀態(tài)變量必須包含在給定的階段上確定全部允許決策所需要的信息，階段的狀態(tài)表示為。比如：

21、在最短路問(wèn)題中，狀態(tài)就是網(wǎng)絡(luò)中的各個(gè)節(jié)點(diǎn)。</p><p>　　狀態(tài)變量的取值有一定的允許范圍，稱為狀態(tài)可能集。狀態(tài)可能集是關(guān)于狀態(tài)的約束條件。狀態(tài)可能集用相應(yīng)階段狀態(tài)的大寫字母表示，其中。狀態(tài)可能集可以是一個(gè)離散取值的集合，也可以是一個(gè)連續(xù)的區(qū)間，視所給問(wèn)題而定。</p><p>　　3 決策、決策變量和決策序列</p><p>　　決策就是決策者從本階段出發(fā)對(duì)

22、下一階段狀態(tài)的選擇。多階段決策過(guò)程的發(fā)展是用各個(gè)階段的狀態(tài)演變來(lái)描述的。因?yàn)橛脿顟B(tài)描述的過(guò)程具有無(wú)后效性，因此在進(jìn)行階段決策時(shí)，只須根據(jù)當(dāng)前的狀態(tài)進(jìn)行而無(wú)須考慮過(guò)去的歷史。在階段，如果給出了決策變量隨狀態(tài)變量變化的對(duì)應(yīng)關(guān)系，就確定了根據(jù)不同的當(dāng)前狀態(tài)作出不同決策的規(guī)則。即決策變量是狀態(tài)變量的函數(shù)，稱為決策函數(shù)，表示為。</p><p>　　和狀態(tài)變量一樣，決策變量的取值也有一定的允許范圍，稱為允許決策集合。允許決

23、策集合是決策的約束條件。的允許決策集合表示為，。要根據(jù)相應(yīng)的狀態(tài)可能集并結(jié)合具體問(wèn)題來(lái)確定。</p><p>　　決策序列叫策略。策略有全過(guò)程策略和-子策略之分。全過(guò)程策略是整個(gè)段決策過(guò)程中依次進(jìn)行的階段決策構(gòu)成的決策序列稱為-子策略，表示為</p><p>　　當(dāng)時(shí)，-子策略就是全過(guò)程策略。相應(yīng)地，從階段到階段的過(guò)程稱為-子過(guò)程，當(dāng)時(shí)，-子過(guò)程就是全過(guò)程。</p><

24、p>　　在段決策問(wèn)題中，各階段的狀態(tài)可能集和決策允許集確定了決策的允許范圍。特別是，過(guò)程的初始狀態(tài)不同，決策和策略也就不同，即策略是初始狀態(tài)的函數(shù)。</p><p><b>　　4 狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程</b></p><p>　　狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程表示從階段到階段的狀態(tài)轉(zhuǎn)移規(guī)律的表達(dá)式。</p><p>　　多階段決策過(guò)程的發(fā)展就是用階段狀態(tài)的相繼

25、演變來(lái)描述的。對(duì)具有無(wú)后效性的多段決策過(guò)程，系統(tǒng)由階段到階段的狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程表示為</p><p>　　即階段的狀態(tài)完全由階段的狀態(tài)和決策確定，與系統(tǒng)過(guò)去的狀態(tài)及其決策無(wú)關(guān)。稱為變換函數(shù)或變換子。變換函數(shù)可以分為兩種類型，即確定型和隨機(jī)型，據(jù)此形成確定型動(dòng)態(tài)規(guī)劃和隨機(jī)型動(dòng)態(tài)規(guī)劃。</p><p>　　5 階段效應(yīng)和目標(biāo)函數(shù)</p><p>　　多階段決策過(guò)程中，在階

26、段的狀態(tài)執(zhí)行決策，不僅帶來(lái)系統(tǒng)狀態(tài)的轉(zhuǎn)移，而且也比必然帶來(lái)對(duì)目標(biāo)函數(shù)的影響。階段效應(yīng)就是執(zhí)行階段決策時(shí)所帶來(lái)的目標(biāo)函數(shù)的增量。</p><p>　　在具有無(wú)后效性的多階段決策過(guò)程中，階段效應(yīng)完全由階段的狀態(tài)和決策決定，與階段以前的狀態(tài)和決策無(wú)關(guān)，表示為。</p><p>　　多階段決策過(guò)程關(guān)于目標(biāo)函數(shù)的總效應(yīng)由各階段效應(yīng)累積形成。適于動(dòng)態(tài)規(guī)劃求解的問(wèn)題的目標(biāo)，必須具有關(guān)于階段效應(yīng)的可分離形

27、式、遞推性和對(duì)于變?cè)膰?yán)格單調(diào)性。-子過(guò)程的目標(biāo)函數(shù)可以表示為</p><p>　　其中表示某種運(yùn)算，可以是加、減、乘、除、開方等。經(jīng)濟(jì)管理領(lǐng)域中最常見的目標(biāo)函數(shù)取階段效應(yīng)之和的形式，即</p><p>　　后文要討論的主要就是這種形式的目標(biāo)函數(shù)。</p><p>　　2.3多階段決策過(guò)程的最優(yōu)化</p><p>　　多階段決策過(guò)程，是一類特

28、殊的活動(dòng)過(guò)程，它可以按時(shí)間順序分解成若干相互聯(lián)系的階段，每個(gè)階段稱為“時(shí)段”。在每個(gè)時(shí)段都需要做出決策，全部過(guò)程的決策是一個(gè)決策序故多階段決策問(wèn)題屬貫決策問(wèn)題。</p><p>　　多階段決策過(guò)程最優(yōu)化的目標(biāo)是要達(dá)到整個(gè)活動(dòng)過(guò)程的總體效果最優(yōu)。由于各階段決策間有機(jī)地聯(lián)系著，所以本階段決策的執(zhí)行將影響到下一段的決策，以至于影響總體效果，故決策者在短階段決策時(shí)不應(yīng)僅考慮本階段最優(yōu)，還應(yīng)考慮對(duì)最終目標(biāo)的影響，從而做出對(duì)

29、全面來(lái)講是最優(yōu)的決策。</p><p>　　使用動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法解決多階段決策問(wèn)題，首先耍將實(shí)際問(wèn)題寫成動(dòng)態(tài)規(guī)化模型，具體包括以下思想：</p><p>　　(一)將多階段決策過(guò)程劃分階段，恰當(dāng)?shù)剡x取狀態(tài)變量、決策變量及定義最優(yōu)指標(biāo)函數(shù)，從而把問(wèn)題化成一族同類型的子問(wèn)題，然后逐個(gè)求解。</p><p>　　(二)求解時(shí)從邊界條件開始，逆(或順)過(guò)程行進(jìn)方向，逐段遞推尋優(yōu)

30、。在每一個(gè)子問(wèn)題求解時(shí)，都要使用它前面已求出的子問(wèn)題的最優(yōu)結(jié)果，最后一個(gè)子問(wèn)題的最優(yōu)解，就是整個(gè)問(wèn)題的最優(yōu)解。</p><p>　　(三)動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法是既把當(dāng)前一段與未來(lái)各段分開，又把當(dāng)前效益和未來(lái)效益結(jié)合起來(lái)考慮的一種最優(yōu)化方法， 因此每段的最優(yōu)決策選取是從全局考慮的，與該段的最優(yōu)選擇一般是不同的。動(dòng)態(tài)規(guī)劃的基本方程是遞推逐段求解的根據(jù)，一般的動(dòng)態(tài)規(guī)劃基本方程可以表為：</p><p>

31、　　式中可根據(jù)求解問(wèn)題取或，為狀態(tài)、決策 時(shí)對(duì)應(yīng)的第階段的指標(biāo)函數(shù)值。[7]</p><p><b>　　2.4動(dòng)態(tài)規(guī)劃建模</b></p><p>　　(1)將實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程劃分成恰當(dāng)階段，確定階段變量</p><p>　　根據(jù)多階段決策問(wèn)題的實(shí)際過(guò)程，將其劃分為若干個(gè)相互獨(dú)立又相互聯(lián)系的部分，每一個(gè)部分為一個(gè)階段，劃分出的每一個(gè)階段通常就是

32、需要做出一個(gè)決策的子問(wèn)題目。階段通常是按決策進(jìn)行的時(shí)間或空間上的先后順序劃分的，階段變量用表示。</p><p>　　(2)確定狀態(tài)，正確選擇狀態(tài)變量</p><p>　　在多階段決策過(guò)程中，狀態(tài)是描述每個(gè)階段所必須的信息，表示每個(gè)階段開始時(shí)所處的自然狀況或客觀條件。一個(gè)階段有若干個(gè)狀態(tài)，用一個(gè)或一組變量來(lái)描述，狀態(tài)變量必須既能描述過(guò)程的演變，又要滿足無(wú)后效性。用表示第個(gè)階段的狀態(tài)變量。&

33、lt;/p><p>　　(3)確定決策變量及允許的決策集合</p><p>　　決策的實(shí)質(zhì)是關(guān)于狀態(tài)的選擇，是決策者從給定階段狀態(tài)出發(fā)對(duì)下一階段狀態(tài)作出的選擇。決策變量用表示；允許的決策集合是決策變量的取值范圍用表示。</p><p>　　(4)寫出狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程</p><p>　　狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程，這里的函數(shù)關(guān)系因問(wèn)題的不同而不同，如果給定第個(gè)階段

34、的狀態(tài)變量，則該階段的決策變量一經(jīng)確定，第階段的狀態(tài)變量的值也就可以確定。</p><p><b>　　(5)列出指標(biāo)函數(shù)</b></p><p>　　指標(biāo)函數(shù)的關(guān)系，并要求具有可分離性及遞推性；</p><p>　　(6)寫出動(dòng)態(tài)規(guī)劃函數(shù)基本方程，用表示階段的最優(yōu)策略函數(shù)：</p><p><b>　　[8]

35、</b></p><p>　　3.動(dòng)態(tài)規(guī)劃在經(jīng)濟(jì)管理中的應(yīng)用</p><p><b>　　3.1背包問(wèn)題</b></p><p><b>　　1)一維背包問(wèn)題</b></p><p>　　(1)問(wèn)題 有一個(gè)人帶一個(gè)背包上山，其可攜帶物品重量的限度為公斤。設(shè)有種物品可供他選擇裝入背包中，

36、這中物品編號(hào)為1，2，，。已知第種物品每件重量為公斤，在上山過(guò)程中的作用(價(jià)值)是攜帶數(shù)量的函數(shù)。問(wèn)此人應(yīng)如何選擇攜帶物品(各幾件)，使所有作用（總價(jià)值)最大。這就是著名的背包問(wèn)題，類似的問(wèn)題有工廠里的下料問(wèn)題，運(yùn)輸中的貨物裝載問(wèn)題，人造衛(wèi)星內(nèi)的物品裝載問(wèn)題等等。</p><p>　　(2)模型及其解法 設(shè)為第種物品的裝入件數(shù)，則問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型為：</p><p>　　它是一個(gè)整數(shù)規(guī)劃問(wèn)

37、題。如果只取0或1，又稱為0—1背包問(wèn)題。下面用動(dòng)態(tài)規(guī)劃的方法來(lái)求解，可寫出動(dòng)態(tài)規(guī)劃的順序遞推關(guān)系式為：</p><p>　　然后，逐步計(jì)算出最優(yōu)值函數(shù)及相應(yīng)的決策函數(shù)，最后得出的 ( 就是所求的最大價(jià)值，其相應(yīng)的最優(yōu)策略由反推運(yùn)算即可得出。</p><p><b>　　2)二維背包問(wèn)題</b></p><p>　　(1)問(wèn)題 如果還增加背包

38、體積的限制為，并假設(shè)第種物品每件的體積為立方米，問(wèn)應(yīng)如何裝使得總價(jià)值最大。</p><p>　　(2)模型及其解法：</p><p><b>　　它的數(shù)學(xué)模型為：</b></p><p>　　用動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法來(lái)解，其思想方法與一維背包問(wèn)題完全類似，只是這時(shí)的狀態(tài)變量是兩個(gè)(重量和體積的限制)，決策變量仍是一個(gè)(物品的件數(shù))。設(shè)最優(yōu)值函數(shù)，表示當(dāng)總

39、重量不超過(guò)公斤，總體積不超過(guò)立方米。背包中裝入第1種到第種物品的最大使用價(jià)值。故可寫出順序逆推關(guān)系式為:</p><p>　　最后算出即為所求的最大價(jià)值。[9][10]</p><p><b>　　3.2設(shè)備更新問(wèn)題</b></p><p>　　(1)問(wèn)題 從經(jīng)濟(jì)上來(lái)分析，一種設(shè)備應(yīng)該用多少年后進(jìn)行更新為恰當(dāng)，即更新的最佳策略應(yīng)該如何。從而使

40、在某?時(shí)間內(nèi)的總收入達(dá)到最大(或總費(fèi)用達(dá)到最小)?，F(xiàn)以一臺(tái)機(jī)器為例，隨著使用年限的增加，機(jī)器的使用效率降低，收入減少，維修費(fèi)用增加，而且機(jī)器使用年限越長(zhǎng)，它本身的價(jià)值就越小，因而更新時(shí)所需的凈支出費(fèi)用就愈多。</p><p>　　(2)模型及其解法 設(shè)為在第年機(jī)器役齡為年的一臺(tái)機(jī)器運(yùn)行所得的收入。</p><p>　　為在第年機(jī)器役齡為年的一臺(tái)機(jī)器運(yùn)行所需運(yùn)行費(fèi)用。</p>

41、<p>　　為在第年機(jī)器役齡為年的一臺(tái)機(jī)器更新時(shí)所需要更新凈費(fèi)用。</p><p>　　為折扣因子(O≤≤1)，表示一年以后的單位收入的價(jià)值視為現(xiàn)年的單位。</p><p>　　表示在第一年開始時(shí)，正在使用的機(jī)器的役齡。</p><p>　　表示計(jì)劃的年限總數(shù)。</p><p>　　表示在第年開始使用一個(gè)役齡為年的機(jī)器時(shí)，第年至第

42、年內(nèi)的最佳收入。表示給出時(shí),在第年開始時(shí)的決策(保留或更新)。</p><p><b>　　即得遞推關(guān)系式為：</b></p><p>　　由于研究的是今后年的計(jì)劃，故還要求：。[11]</p><p>　　3.3生產(chǎn)與存儲(chǔ)問(wèn)題</p><p>　　(1)問(wèn)題 要制定一個(gè)階段(年)的生產(chǎn)(或購(gòu)買)計(jì)劃：設(shè)為第階段對(duì)產(chǎn)品

43、的需求量，為第階段產(chǎn)品的生產(chǎn)(或采購(gòu))量，為第階段結(jié)束時(shí)的產(chǎn)品庫(kù)存量，表示第階段生產(chǎn)時(shí)的成本，表示第階段結(jié)束時(shí)有庫(kù)存量所需的存儲(chǔ)費(fèi)用，表示每階段產(chǎn)品的最大生產(chǎn)能力。</p><p>　　若第1階段之初和第階段結(jié)束的庫(kù)存量為0，每階段的需求確定，則如何制定生產(chǎn)(或采購(gòu))計(jì)劃，使階段的總成本最小?</p><p><b>　?。?）模型及解法</b></p>

44、<p><b>　　狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程</b></p><p>　　第階段的指標(biāo)為：其中</p><p>　　最優(yōu)指標(biāo)函數(shù)表示從第1階段之初庫(kù)存量為0到第階段之末庫(kù)存量為時(shí)的最小總費(fèi)用。[12]</p><p><b>　　3.4資源分配問(wèn)題</b></p><p>　　1)一維資源分配問(wèn)題&

45、lt;/p><p>　?。?）問(wèn)題 設(shè)有某種原料，總數(shù)量為，用于生產(chǎn)種產(chǎn)品。若分配數(shù)量用于生產(chǎn)第種產(chǎn)品，其收益為。問(wèn)應(yīng)如何分配，才能使生產(chǎn)種產(chǎn)品的總收入最大？</p><p><b>　　(2)模型及其解法</b></p><p>　　此問(wèn)題可寫成靜態(tài)規(guī)劃問(wèn)題：</p><p>　　可寫出動(dòng)態(tài)規(guī)劃的逆推關(guān)系式為：</

46、p><p>　　利用這個(gè)遞推關(guān)系式進(jìn)行逐段計(jì)算，最后求得即為所求問(wèn)題的最大總收入。</p><p>　　2)二維資源分配問(wèn)題</p><p><b>　?。?）問(wèn)題</b></p><p>　　設(shè)有兩種原料擻量分別為和單位，需要分配用于生產(chǎn)種產(chǎn)品。如果第一種原料以數(shù)量為單位，第二種原料以數(shù)量為單位，用于生產(chǎn)第種產(chǎn)品，其收入為

47、。問(wèn)應(yīng)如何分配這兩種原料于種產(chǎn)品的生產(chǎn)使總收入最大?</p><p><b>　　(2)模型及其解法</b></p><p>　　此問(wèn)題可寫成靜態(tài)規(guī)劃問(wèn)題：</p><p>　　用動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法求解，故可寫出逆推關(guān)系為</p><p>　　最后求得即為所求問(wèn)題的最大收入。</p><p>　　3.5

48、動(dòng)態(tài)規(guī)劃的應(yīng)用舉例</p><p>　?。?）假定該廠生產(chǎn)每批產(chǎn)品的固定成本為3（千元），若不生產(chǎn)就為0；每單位產(chǎn)品成本為1（千元）；每個(gè)時(shí)期生產(chǎn)能力所允許的最大生產(chǎn)批量為6單位；每個(gè)時(shí)期末未售出的產(chǎn)品每單位存儲(chǔ)費(fèi)用為0.5（千元）。還假設(shè)在第一個(gè)時(shí)期的初始庫(kù)存量為0，第四個(gè)時(shí)期的庫(kù)存量也為0。試問(wèn)該廠應(yīng)如何安排各個(gè)時(shí)期的生產(chǎn)與庫(kù)存，才能滿足市場(chǎng)需要的條件下，使總成本最小。[13]</p><

49、p>　　解 狀態(tài)變量：表示每階段開始時(shí)的庫(kù)存量。</p><p>　　決策變量：表示每階段的產(chǎn)量。</p><p><b>　　狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程：</b></p><p><b>　　順序遞推關(guān)系：</b></p><p><b>　　其中：</b></p>

50、<p><b>　　邊界條件：</b></p><p><b>　　時(shí)：</b></p><p>　　對(duì)在到之間的值分別進(jìn)行計(jì)算：</p><p><b>　　時(shí)：，所以</b></p><p><b>　　時(shí)：，</b></p>

51、<p>　　，所以；，所以；，所以。</p><p>　　時(shí)：其中。對(duì)在至之間的值分別計(jì)算。從而有：</p><p><b>　　所以</b></p><p>　　，所以；，所以；，所以。</p><p>　　時(shí)：，所以；，所以；，所以；，所以；，所以。</p><p><b>

52、;　　時(shí)：由于，則</b></p><p><b>　　，。</b></p><p>　　最優(yōu)生產(chǎn)決策為：，，，。</p><p>　　Lingo程序如下：</p><p>　　min=3*y1+x1+0.5*v1+3*y2+x2+0.5*v2+3*y3+x3+0.5*v3+3*y4+x4+0.5*v4;&l

53、t;/p><p><b>　　M=10000;</b></p><p><b>　　d1=2;</b></p><p><b>　　d2=3;</b></p><p><b>　　d3=2;</b></p><p><b>　

54、　d4=4;</b></p><p><b>　　x1<=y1*M;</b></p><p><b>　　x2<=y2*M;</b></p><p><b>　　x3<=y3*M;</b></p><p><b>　　x4<=y4*

55、M;</b></p><p><b>　　v0=0;</b></p><p><b>　　v4=0;</b></p><p><b>　　v1=x1-d1;</b></p><p>　　v2=(x1-d1)+(x2-d2);</p><p>

56、　　v3=(x1-d1)+(x2-d2)+(x3-d3);</p><p>　　v4=(x1-d1)+(x2-d2)+(x3-d3)+(x4-d4);</p><p><b>　　v2>=0;</b></p><p><b>　　v3>=0;</b></p><p><b>　

57、　v4>=0;</b></p><p><b>　　x1<=6;</b></p><p><b>　　x2<=6;</b></p><p><b>　　x3<=6;</b></p><p><b>　　x4<=6;</b

58、></p><p><b>　　@gin(x1);</b></p><p><b>　　@gin(x2);</b></p><p><b>　　@gin(x3);</b></p><p><b>　　@gin(x4);</b></p>

59、<p><b>　　@bin(y1);</b></p><p><b>　　@bin(y2);</b></p><p><b>　　@bin(y3);</b></p><p><b>　　@bin(y4);</b></p><p>　　結(jié)果如下：

60、Global optimal solution found.</p><p>　　Objective value: 20.50000</p><p>　　Objective bound: 20.50000</p><p>　　Infeasibiliti

61、es: 0.000000</p><p>　　Extended solver steps: 0</p><p>　　Total solver iterations: 32</p><p>　　Va

62、riable Value Reduced Cost</p><p>　　Y1 1.000000 3.000000</p><p>　　X1 5.000000 2.500000</p><p>　　V1 3.000000 0.0

63、00000</p><p>　　Y2 0.000000 3.000000</p><p>　　X2 0.000000 2.000000</p><p>　　V2 0.000000 0.000000</p><p>　　Y3

64、 1.000000 3.000000</p><p>　　X3 6.000000 1.500000</p><p>　　V3 4.000000 0.000000</p><p>　　Y4 0.000000 3.000000</p&g

65、t;<p>　　X4 0.000000 1.000000</p><p>　　V4 0.000000 0.000000</p><p>　　M 10000.00 0.000000</p><p>　　D1 2.000000

66、 0.000000</p><p>　　D2 3.000000 0.000000</p><p>　　D3 2.000000 0.000000</p><p>　　D4 4.000000 0.000000</p><p>　

67、　V0 0.000000 0.000000</p><p>　　Row Slack or Surplus Dual Price</p><p>　　1 20.50000 -1.000000</p><p>　　2 0.000000 0.00000

68、0</p><p>　　3 0.000000 1.500000</p><p>　　4 0.000000 1.000000</p><p>　　5 0.000000 0.5000000</p><p>　　6 0.00000

69、0 0.000000</p><p>　　7 9995.000 0.000000</p><p>　　8 0.000000 0.000000</p><p>　　9 9994.000 0.000000</p><p&g

70、t;　　10 0.000000 0.000000</p><p>　　11 0.000000 0.000000</p><p>　　12 0.000000 -0.5000000</p><p>　　13 0.000000 -0.50

71、00000</p><p>　　14 0.000000 -0.5000000</p><p>　　15 0.000000 -0.5000000</p><p>　　16 0.000000 0.000000</p><p>　　17

72、 0.000000 0.000000</p><p>　　18 4.000000 0.000000</p><p>　　19 0.000000 0.000000</p><p>　　20 1.000000 0.000000</p&g

73、t;<p>　　21 6.000000 0.000000</p><p>　　22 0.000000 0.000000</p><p>　　23 6.000000 0.000000</p><p>　　（2）機(jī)器可以在高、低兩種負(fù)荷下生產(chǎn)。臺(tái)機(jī)器

74、在高低負(fù)荷下的年產(chǎn)量分別是和，高、低負(fù)荷下機(jī)器的年損耗率分別是和?，F(xiàn)有臺(tái)機(jī)器，要安排一個(gè)年的負(fù)荷分配計(jì)劃，即每年初決定多少臺(tái)機(jī)器投入高、低負(fù)荷運(yùn)行，使年的總產(chǎn)量最大。若進(jìn)一步假設(shè)，即高、低負(fù)荷下每臺(tái)機(jī)器的年產(chǎn)量分別為和，結(jié)果將有什么特點(diǎn)。</p><p>　　解 年度為階段變量，狀態(tài)為第年初完好的機(jī)器數(shù)，決策為第年投入高負(fù)荷運(yùn)行的臺(tái)數(shù)。當(dāng)或不是整數(shù)時(shí)，將小數(shù)部分理解為一年中正常工作時(shí)間或投入高負(fù)荷運(yùn)行時(shí)間的比例

75、。</p><p>　　機(jī)器在高、低負(fù)荷下的年完好率分別記為和，則，有。因?yàn)榈谀晖度氲拓?fù)荷運(yùn)行的機(jī)器臺(tái)數(shù)為，所以狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程是 （1）</p><p>　　階段指標(biāo)是第年的產(chǎn)量，有 （2）指標(biāo)函數(shù)是階段指標(biāo)之和，最優(yōu)值函數(shù)滿足 　

76、 （3）及自由終端條件 （4）</p><p>　　當(dāng)中的， 用較簡(jiǎn)單的函數(shù)表達(dá)式給出時(shí)，對(duì)于每個(gè)可以用解析方法求解極值問(wèn)題。特別，若，式中的將是的線性函數(shù)，最大值點(diǎn)必在區(qū)間的左端點(diǎn)或右端點(diǎn)取得，即每年初將完好的機(jī)器全部投入低負(fù)荷或高負(fù)荷運(yùn)行。</p><p>　　4.動(dòng)態(tài)規(guī)劃解題的好處及注意事項(xiàng)<

77、;/p><p>　　4.1動(dòng)態(tài)規(guī)劃解題的好處</p><p>　　動(dòng)態(tài)規(guī)劃的最大優(yōu)勢(shì)在于它具有極高的效率，而且動(dòng)態(tài)規(guī)劃還有其他的優(yōu)勢(shì)，例如：動(dòng)態(tài)規(guī)劃可以得出一系列解，算法清晰簡(jiǎn)便，程序易編、易調(diào)，等等。動(dòng)態(tài)規(guī)劃是研究一類最優(yōu)化問(wèn)題的方法，在經(jīng)濟(jì)、工程技術(shù)、企業(yè)管理、工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)及軍事等領(lǐng)域中都有廣泛的應(yīng)</p><p>　　用。近年來(lái)，在ACM/ICPC 中，使用動(dòng)態(tài)規(guī)劃

78、(或部分應(yīng)用動(dòng)態(tài)規(guī)劃思維)求解的題不僅常見，而且形式也多種多樣。而在與此相近的各類信息學(xué)競(jìng)賽中，應(yīng)用動(dòng)態(tài)規(guī)劃解題已經(jīng)成為一種趨勢(shì)，這和動(dòng)態(tài)規(guī)劃的優(yōu)勢(shì)不無(wú)關(guān)系。</p><p>　　4.2動(dòng)態(tài)規(guī)劃解題的注意事項(xiàng)</p><p>　　1．動(dòng)態(tài)規(guī)劃它只適于解決一定條件的最優(yōu)策略問(wèn)題，利用動(dòng)態(tài)規(guī)劃解題，階段的劃分是關(guān)鍵，必須依據(jù)題意分析，尋求合理的劃分階段(子問(wèn)題)方法。而每個(gè)子問(wèn)題是一個(gè)比原問(wèn)題

79、簡(jiǎn)單得多的優(yōu)化問(wèn)題。而且每個(gè)子問(wèn)題的求解中，均利用它的一個(gè)后部子問(wèn)題的最優(yōu)化結(jié)果，直到最后一個(gè)子問(wèn)題所得最優(yōu)解，它就是原問(wèn)題的最優(yōu)解。</p><p>　　2．應(yīng)指出，動(dòng)態(tài)規(guī)劃是考察求解多階段決策問(wèn)題的途徑和方法，但它不像線性規(guī)劃那樣，具有一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)學(xué)表達(dá)式和明確定義的一組規(guī)劃。因此我們?cè)趯W(xué)習(xí)時(shí)，除了要對(duì)基本概念和方法正確理解外，必須具體問(wèn)題具體分析處理，以豐富的想象力去建立模型，用創(chuàng)造性的技巧去求解。<

80、/p><p>　　3.動(dòng)態(tài)規(guī)劃是運(yùn)籌學(xué)的一個(gè)分支。許多隱式圖上的算法，例如求單源最短路徑的Dijkstra 算法、廣度優(yōu)先搜索算法，都滲透著動(dòng)態(tài)規(guī)劃的思想。還有許多數(shù)學(xué)問(wèn)題，表面上看起來(lái)與動(dòng)態(tài)規(guī)劃風(fēng)馬牛不相及，但是其求解思想與動(dòng)態(tài)規(guī)劃是完全一致的。[14][15]</p><p><b>　　5.結(jié)束語(yǔ)</b></p><p>　　用動(dòng)態(tài)規(guī)劃解決多

81、階段決策問(wèn)題效率是很高的，而且思路清晰簡(jiǎn)便，同時(shí)易于實(shí)現(xiàn)，雖然使用動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法也有一定的限制，如狀態(tài)變量必須滿足無(wú)后效性，并且只適用一些維數(shù)相當(dāng)?shù)偷膯?wèn)題等。但是可以看到，動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法的應(yīng)用是很廣的，已成功解決了許多實(shí)際問(wèn)題，具有一定的實(shí)用性。它在工程技術(shù)、管理、經(jīng)濟(jì)、工業(yè)生產(chǎn)、軍事及現(xiàn)代控制工程等方面都有廣泛的應(yīng)用。動(dòng)態(tài)規(guī)劃技術(shù)是基本算法設(shè)計(jì)技術(shù)中較難掌握但也是極其重要的一種方法，動(dòng)態(tài)規(guī)劃還用于解決攔截導(dǎo)彈問(wèn)題、最長(zhǎng)公共子序列問(wèn)題、字符

82、串搜索問(wèn)題、0／1背包問(wèn)題、圖像數(shù)據(jù)壓縮、矩陣連乘、有向圖最短路徑、手寫字符識(shí)別問(wèn)題、網(wǎng)絡(luò)的無(wú)交叉布線和電路元件折疊等問(wèn)題，因此，掌握動(dòng)態(tài)規(guī)劃技術(shù)對(duì)提高算法設(shè)計(jì)和分析水平及解決實(shí)際計(jì)算問(wèn)題具有至關(guān)重要的作用和意義。</p><p><b>　　參考文獻(xiàn)</b></p><p>　　[1] 邱菀華,馮允成,魏法杰,周泓.運(yùn)籌學(xué)教程[M].北京:機(jī)械工業(yè)出版社,2004,

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85、4:191-191.</p><p>　　[6] 曾棕根.動(dòng)態(tài)規(guī)劃法解算多階段決策問(wèn)題研究[J].寧波職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào).2009,13(5):82-82.</p><p>　　[7] 宋烊,崔夢(mèng)天.動(dòng)態(tài)規(guī)劃在企業(yè)生產(chǎn)與儲(chǔ)存管理中的應(yīng)用[J].企業(yè)科技.2006,(6):50-51.</p><p>　　[8] 孫曉燕,李自良,彭雄鳳,傅亞力,梁志強(qiáng).利用動(dòng)態(tài)規(guī)劃法求

86、解運(yùn)輸問(wèn)題的最短路徑[J].機(jī)械設(shè)計(jì)與制造.2010,(2):224-224.</p><p>　　[9] 宋達(dá)霞.動(dòng)態(tài)規(guī)劃在經(jīng)濟(jì)管理中的應(yīng)用研究[J].科技信息.2007,(36):140-141.</p><p>　　[10] 韓伯棠.管理運(yùn)籌學(xué)(第2版)[M].北京:高等教育出版社,2005,7:209-214.</p><p>　　[11] 寧宣熙,王可定,

87、黨耀國(guó).管理運(yùn)籌學(xué)教程[M].北京:清華大學(xué)出版社,2007,8:155-157.</p><p>　　[12] 鮑祥霖.運(yùn)籌學(xué)[M].北京:機(jī)械工業(yè)出版社,2005,8:91-92.</p><p>　　[13] 吳慶豐,劉兵兵.利用動(dòng)態(tài)規(guī)劃求解資源分配問(wèn)題[J].安慶師范學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版).2008,14(2):75-75.</p><p>　　[14] 徐

88、渝,賈濤.運(yùn)籌學(xué)(上冊(cè))[M].北京:清華大學(xué)出版社,2005，2:95-95.</p><p>　　[15] 袁子寧.動(dòng)態(tài)規(guī)劃在投資分配問(wèn)題中的應(yīng)用[J].科技信息.2007,(36):581-581.</p><p><b>　　文獻(xiàn)綜述</b></p><p>　　動(dòng)態(tài)規(guī)劃在經(jīng)濟(jì)管理中的應(yīng)用</p><p><

89、;b>　　前言部分</b></p><p>　　動(dòng)態(tài)規(guī)劃是解決多階段決策過(guò)程最優(yōu)化問(wèn)題的一種數(shù)學(xué)規(guī)劃方法這類問(wèn)題的特點(diǎn)是，它涉及的活動(dòng)過(guò)程可以劃分為若干個(gè)互相聯(lián)系的階段，在每個(gè)階段都需要做出決策，且前一階段的決策影響后一階段的決策，從而影響整個(gè)過(guò)程的活動(dòng)方式。各個(gè)階段所采取的決策，構(gòu)成一個(gè)決策序列，稱為策略。由于每個(gè)階段可供采取的決策通常有多個(gè)可以選擇，因而也就可以構(gòu)成多個(gè)策略。按不同策略進(jìn)行活

90、動(dòng)的經(jīng)濟(jì)效果往往不一樣，因此，要按給定的評(píng)價(jià)指標(biāo)衡量，哪一個(gè)策略的效果好，以求得最優(yōu)策略。</p><p>　　動(dòng)態(tài)規(guī)劃在經(jīng)濟(jì)、工程技術(shù)、工業(yè)生產(chǎn)及軍事等許多領(lǐng)域都有著重要的應(yīng)用。動(dòng)態(tài)規(guī)劃的處理方法是用一種稱為“最優(yōu)化原則”的思想方法導(dǎo)出一個(gè)函數(shù)方程，然后求解。[1]</p><p>　　線性規(guī)劃研究目標(biāo)函數(shù)和約束條件都特別簡(jiǎn)單的優(yōu)化（極值）問(wèn)題。[2]與線性規(guī)劃相比，動(dòng)態(tài)規(guī)劃沒(méi)有一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)

91、的數(shù)學(xué)模型。然而，動(dòng)態(tài)規(guī)劃是一類很普遍的問(wèn)題解決方法，需要建立特定的方程以適應(yīng)各種情況。因而，對(duì)動(dòng)態(tài)規(guī)劃問(wèn)題總體結(jié)構(gòu)要求一定程度上的獨(dú)創(chuàng)性和洞察力，以識(shí)別何時(shí)以及如何通過(guò)動(dòng)態(tài)規(guī)劃的方法解決問(wèn)題，這些能力可以通過(guò)大范圍的動(dòng)態(tài)規(guī)劃應(yīng)用和對(duì)其普遍特性的研究形成。[3]</p><p><b>　　二、主題部分</b></p><p>　　2.1 動(dòng)態(tài)規(guī)劃概述</p&g

92、t;<p>　　動(dòng)態(tài)規(guī)劃是解決多階段決策過(guò)程最優(yōu)化問(wèn)題的一種方法。該方法是由美國(guó)數(shù)學(xué)家貝爾曼（R Bellman）等人在20世紀(jì)50年代提出的。他們針對(duì)多階段決策問(wèn)題的特點(diǎn)，提出了解決這類問(wèn)題的最優(yōu)化原理，并成功地解決了生產(chǎn)管理、工程技術(shù)等方面的許多實(shí)際問(wèn)題，從而建立了運(yùn)籌學(xué)的一個(gè)新分支。1957年，R Bellman發(fā)表了該分支領(lǐng)域的第一本專著《動(dòng)態(tài)規(guī)劃》（Dynamic Programming）。</p>

93、<p>　　動(dòng)態(tài)規(guī)劃是現(xiàn)代企業(yè)管理中的一種重要決策方法，可用于解決最優(yōu)路徑問(wèn)題、資源分配問(wèn)題、生產(chǎn)計(jì)劃與庫(kù)存、投資、裝載、排序等問(wèn)題及生產(chǎn)過(guò)程的最優(yōu)控制等。由于它有獨(dú)特的解題思路，在處理某些優(yōu)化問(wèn)題時(shí)，比線性規(guī)劃或非線性規(guī)劃方法更有效。[4][5]</p><p>　　動(dòng)態(tài)規(guī)劃可以高效地解決許多用“貪心算法”或“分治算法”難以解決的最優(yōu)解的問(wèn)題。用動(dòng)態(tài)規(guī)劃解題，首先要把原問(wèn)題分解為若干子問(wèn)題，這一點(diǎn)與

94、遞歸方法類似。動(dòng)態(tài)規(guī)劃與遞歸的區(qū)別在于：?jiǎn)渭兊倪f歸往往會(huì)導(dǎo)致子問(wèn)題的解一旦被求出就會(huì)被保存，所以，每個(gè)子問(wèn)題只需求解1次。[6]</p><p>　　2.2動(dòng)態(tài)規(guī)劃在經(jīng)濟(jì)管理中的應(yīng)用</p><p>　　2.2.1多階段決策過(guò)程的最優(yōu)化[7]</p><p>　　多階段決策過(guò)程，是一類特殊的活動(dòng)過(guò)程，它可以按時(shí)間順序分解成若干相互聯(lián)系的階段，每個(gè)階段稱為“時(shí)段”。在

95、每個(gè)時(shí)段都需要做出決策，全部過(guò)程的決策是一個(gè)決策序故多階段決策問(wèn)題屬貫決策問(wèn)題。</p><p>　　多階段決策過(guò)程最優(yōu)化的目標(biāo)是要達(dá)到整個(gè)活動(dòng)過(guò)程的總體效果最優(yōu)。由于各階段決策間有機(jī)地聯(lián)系著，所以本階段決策的執(zhí)行將影響到下一段的決策，以至于影響總體效果，故決策者在短階段決策時(shí)不應(yīng)僅考慮本階段最優(yōu)，還應(yīng)考慮對(duì)最終目標(biāo)的影響，從而做出對(duì)全面來(lái)講是最優(yōu)的決策。</p><p>　　使用動(dòng)態(tài)規(guī)劃

96、方法解決多階段決策問(wèn)題，首先耍將實(shí)際問(wèn)題寫成動(dòng)態(tài)規(guī)化模型，具體包括以下思想：</p><p>　　(一)將多階段決策過(guò)程劃分階段，恰當(dāng)?shù)剡x取狀態(tài)變量、決策變量及定義最優(yōu)指標(biāo)函數(shù)，從而把問(wèn)題化成一族同類型的子問(wèn)題，然后逐個(gè)求解。</p><p>　　(二)求解時(shí)從邊界條件開始，逆(或順)過(guò)程行進(jìn)方向，逐段遞推尋優(yōu)。在每一個(gè)子問(wèn)題求解時(shí)，都要使用它前面已求出的子問(wèn)題的最優(yōu)結(jié)果，最后一個(gè)子問(wèn)題的

97、最優(yōu)解，就是整個(gè)問(wèn)題的最優(yōu)解。</p><p>　　(三)動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法是既把當(dāng)前一段與未來(lái)各段分開，又把當(dāng)前效益和未來(lái)效益結(jié)合起來(lái)考慮的一種最優(yōu)化方法， 因此每段的最優(yōu)決策選取是從全局考慮的，與該段的最優(yōu)選擇一般是不同的。動(dòng)態(tài)規(guī)劃的基本方程是遞推逐段求解的根據(jù)，一般的動(dòng)態(tài)規(guī)劃基本方程可以表為：</p><p>　　式中可根據(jù)求解問(wèn)題取或，為狀態(tài)、決策 時(shí)對(duì)應(yīng)的第階段的指標(biāo)函數(shù)值。</

98、p><p>　　2.2.2動(dòng)態(tài)規(guī)劃建模</p><p>　　(1)將實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程劃分成恰當(dāng)階段，確定階段變量</p><p>　　根據(jù)多階段決策問(wèn)題的實(shí)際過(guò)程，將其劃分為若干個(gè)相互獨(dú)立又相互聯(lián)系的部分，每一個(gè)部分為一個(gè)階段，劃分出的每一個(gè)階段通常就是需要做出一個(gè)決策的子問(wèn)題目。階段通常是按決策進(jìn)行的時(shí)間或空間上的先后順序劃分的，階段變量用表示。</p>

99、<p>　　(2)確定狀態(tài)，正確選擇狀態(tài)變量</p><p>　　在多階段決策過(guò)程中，狀態(tài)是描述每個(gè)階段所必須的信息，表示每個(gè)階段開始時(shí)所處的自然狀況或客觀條件。一個(gè)階段有若干個(gè)狀態(tài)，用一個(gè)或一組變量來(lái)描述，狀態(tài)變量必須既能描述過(guò)程的演變，又要滿足無(wú)后效性。用表示第個(gè)階段的狀態(tài)變量。</p><p>　　(3)確定決策變量及允許的決策集合</p><p>

100、　　決策的實(shí)質(zhì)是關(guān)于狀態(tài)的選擇，是決策者從給定階段狀態(tài)出發(fā)對(duì)下一階段狀態(tài)作出的選擇。決策變量用表示；允許的決策集合是決策變量的取值范圍用表示。</p><p>　　(4)寫出狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程</p><p>　　狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程，這里的函數(shù)關(guān)系因問(wèn)題的不同而不同，如果給定第個(gè)階段的狀態(tài)變量，則該階段的決策變量一經(jīng)確定，第階段的狀態(tài)變量的值也就可以確定。</p><p>&l

101、t;b>　　(5)列出指標(biāo)函數(shù)</b></p><p>　　指標(biāo)函數(shù)的關(guān)系，并要求具有可分離性及遞推性；</p><p>　　(6)寫出動(dòng)態(tài)規(guī)劃函數(shù)基本方程，用表示階段的最優(yōu)策略函數(shù)：</p><p><b>　　[8]</b></p><p>　　2.2.3 動(dòng)態(tài)規(guī)劃在經(jīng)濟(jì)管理中的應(yīng)用[9]</

102、p><p><b>　　1、背包問(wèn)題</b></p><p><b>　　1)一維背包問(wèn)題</b></p><p>　　(1)問(wèn)題 有一個(gè)人帶一個(gè)背包上山，其可攜帶物品重量的限度為公斤。設(shè)有種物品可供他選擇裝入背包中，這中物品編號(hào)為1，2，，。已知第種物品每件重量為公斤，在上山過(guò)程中的作用(價(jià)值)是攜帶數(shù)量的函數(shù)。問(wèn)此人應(yīng)如

103、何選擇攜帶物品(各幾件)，使所有作用（總價(jià)值)最大。這就是著名的背包問(wèn)題，類似的問(wèn)題有工廠里的下料問(wèn)題，運(yùn)輸中的貨物裝載問(wèn)題，人造衛(wèi)星內(nèi)的物品裝載問(wèn)題等等。</p><p>　　(2)模型及其解法 設(shè)為第種物品的裝入件數(shù)，則問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型為：</p><p>　　它是一個(gè)整數(shù)規(guī)劃問(wèn)題。如果只取0或1，又稱為0—1背包問(wèn)題。下面用動(dòng)態(tài)規(guī)劃的方法來(lái)求解，可寫出動(dòng)態(tài)規(guī)劃的順序遞推關(guān)系式為：&l

104、t;/p><p>　　然后，逐步計(jì)算出最優(yōu)值函數(shù)及相應(yīng)的決策函數(shù)，最后得出的 ( 就是所求的最大價(jià)值，其相應(yīng)的最優(yōu)策略由反推運(yùn)算即可得出。</p><p><b>　　2）二維背包問(wèn)題</b></p><p>　　(1)問(wèn)題 如果還增加背包體積的限制為，并假設(shè)第種物品每件的體積為立方米，問(wèn)應(yīng)如何裝使得總價(jià)值最大。</p><p

105、>　　(2)模型及其解法：</p><p><b>　　它的數(shù)學(xué)模型為：</b></p><p>　　用動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法來(lái)解，其思想方法與一維背包問(wèn)題完全類似，只是這時(shí)的狀態(tài)變量是兩個(gè)(重量和體積的限制)，決策變量仍是一個(gè)(物品的件數(shù))。設(shè)最優(yōu)值函數(shù)，表示當(dāng)總重量不超過(guò)公斤，總體積不超過(guò)立方米。背包中裝入第1種到第種物品的最大使用價(jià)值。故可寫出順序逆推關(guān)系式為:&l

106、t;/p><p>　　最后算出即為所求的最大價(jià)值。[10]</p><p><b>　　2．設(shè)備更新問(wèn)題</b></p><p>　　(1)問(wèn)題 從經(jīng)濟(jì)上來(lái)分析，一種設(shè)備應(yīng)該用多少年后進(jìn)行更新為恰當(dāng)，即更新的最佳策略應(yīng)該如何。從而使在某?時(shí)間內(nèi)的總收入達(dá)到最大(或總費(fèi)用達(dá)到最小)。現(xiàn)以一臺(tái)機(jī)器為例，隨著使用年限的增加，機(jī)器的使用效率降低，收入減少

107、，維修費(fèi)用增加，而且機(jī)器使用年限越長(zhǎng)，它本身的價(jià)值就越小，因而更新時(shí)所需的凈支出費(fèi)用就愈多。</p><p>　　(2)模型及其解法 設(shè)為在第年機(jī)器役齡為年的一臺(tái)機(jī)器運(yùn)行所得的收入。</p><p>　　為在第年機(jī)器役齡為年的一臺(tái)機(jī)器運(yùn)行所需運(yùn)行費(fèi)用。</p><p>　　為在第年機(jī)器役齡為年的一臺(tái)機(jī)器更新時(shí)所需要更新凈費(fèi)用。</p><p&g

108、t;　　為折扣因子(O≤≤1)，表示一年以后的單位收入的價(jià)值視為現(xiàn)年的單位。</p><p>　　表示在第一年開始時(shí)，正在使用的機(jī)器的役齡。</p><p>　　表示計(jì)劃的年限總數(shù)。</p><p>　　表示在第年開始使用一個(gè)役齡為年的機(jī)器時(shí)，第年至第年內(nèi)的最佳收入。表示給出時(shí),在第年開始時(shí)的決策(保留或更新)。</p><p><b&

109、gt;　　即得遞推關(guān)系式為：</b></p><p>　　由于研究的是今后年的計(jì)劃，故還要求：。[11]</p><p><b>　　3．生產(chǎn)與存儲(chǔ)問(wèn)題</b></p><p>　　(1)問(wèn)題 要制定一個(gè)階段(年)的生產(chǎn)(或購(gòu)買)計(jì)劃：設(shè)為第階段對(duì)產(chǎn)品的需求量，為第階段產(chǎn)品的生產(chǎn)(或采購(gòu))量，為第階段結(jié)束時(shí)的產(chǎn)品庫(kù)存量，表示第階段

110、生產(chǎn)時(shí)的成本，表示第階段結(jié)束時(shí)有庫(kù)存量所需的存儲(chǔ)費(fèi)用，表示每階段產(chǎn)品的最大生產(chǎn)能力。</p><p>　　若第1階段之初和第階段結(jié)束的庫(kù)存量為0，每階段的需求確定，則如何制定生產(chǎn)(或采購(gòu))計(jì)劃，使階段的總成本最小?</p><p><b>　?。?）模型及解法</b></p><p><b>　　狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程</b><

111、;/p><p>　　第階段的指標(biāo)為：其中</p><p>　　最優(yōu)指標(biāo)函數(shù)表示從第1階段之初庫(kù)存量為0到第階段之末庫(kù)存量為時(shí)的最小總費(fèi)用。[12]</p><p>　　2.2.4動(dòng)態(tài)規(guī)劃的應(yīng)用舉例</p><p>　　設(shè)某工廠有1 000臺(tái)機(jī)器，生產(chǎn)兩種產(chǎn)品、,若投入臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)產(chǎn)品,則純收入為，若投入臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)種產(chǎn)品，則純收入為，又知生產(chǎn)種產(chǎn)品機(jī)

112、器的年折損率為20%，生產(chǎn)產(chǎn)品機(jī)器的年折損率為10%，問(wèn)在5年內(nèi)如何安排各年度的生產(chǎn)計(jì)劃，才能使總收入最高？</p><p>　　解　年度為階段變量，狀態(tài)為第年初完好的機(jī)器數(shù)，決策為第年投入產(chǎn)品的臺(tái)數(shù)。當(dāng)或不是整數(shù)時(shí)，將小數(shù)部分理解為一年中正常工作時(shí)間或純收入的比例。</p><p>　　因?yàn)榈谀晖度氘a(chǎn)品的臺(tái)數(shù)為，所以狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程是</p><p>　　階段指標(biāo)是第

113、年的產(chǎn)量，有</p><p>　　指標(biāo)函數(shù)是階段指標(biāo)之和，最優(yōu)值函數(shù)滿足</p><p><b>　　及自由終端條件</b></p><p>　　利用MATLAB編程求解得第1 、2 年投入產(chǎn)品分別為1000 、900 臺(tái)，不投入產(chǎn)品，第3 、4 、5 年投入產(chǎn)品分別為720、576、460.8臺(tái)而不投入產(chǎn)品，獲得總收入最高為。[13]<

114、/p><p><b>　　三、總結(jié)部分</b></p><p>　　本文首先介紹了動(dòng)態(tài)規(guī)劃產(chǎn)生的背景及發(fā)展歷程，讓大家對(duì)動(dòng)態(tài)規(guī)劃有了初步認(rèn)識(shí)。動(dòng)態(tài)規(guī)劃是解決多階段決策過(guò)程最優(yōu)化問(wèn)題的一種數(shù)學(xué)方法。它在工程技術(shù)、管理、經(jīng)濟(jì)、工業(yè)生產(chǎn)、軍事及現(xiàn)代控制工程等方面都有廣泛的應(yīng)用。</p><p>　　動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法有一些鮮明的特點(diǎn)：許多問(wèn)題用動(dòng)態(tài)規(guī)劃研究求解

115、比線性規(guī)劃、非線性規(guī)劃更有效，特別是對(duì)離散性問(wèn)題，解析數(shù)學(xué)無(wú)用武之地，而動(dòng)態(tài)規(guī)劃就成為得力工具；在某些情況下，用動(dòng)態(tài)規(guī)劃處理不僅能最定性的描述分析，而且可以利用計(jì)算機(jī)給出求其數(shù)值解的方法。</p><p>　　但是動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法也有致命的弱點(diǎn)：首先是沒(méi)有統(tǒng)一的處理方法，求解時(shí)要根據(jù)問(wèn)題的性質(zhì)，結(jié)合多種數(shù)學(xué)技巧。因此，實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)及創(chuàng)造性思維將起重要的引導(dǎo)作用。另外，就是所謂的“維數(shù)障礙”：當(dāng)變量個(gè)數(shù)太多時(shí)，由于計(jì)算機(jī)內(nèi)

116、存和速度的限制將導(dǎo)致問(wèn)題無(wú)法解決。有些問(wèn)題由于涉及的函數(shù)沒(méi)有理想的性質(zhì)而使問(wèn)題只能用動(dòng)態(tài)規(guī)劃描述，而不能用動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法求解。[14]</p><p>　　然后介紹了動(dòng)態(tài)規(guī)劃在經(jīng)濟(jì)管理中的應(yīng)用。雖然動(dòng)態(tài)規(guī)劃是由研究以時(shí)間為劃分階段的多階段問(wèn)題引出的，但是某些與時(shí)間無(wú)關(guān)的規(guī)劃問(wèn)題只要認(rèn)為地引入時(shí)間因素，便可看出多階段決策過(guò)程并用動(dòng)態(tài)規(guī)劃的方法來(lái)求解。此外某些不定期、無(wú)限期決策問(wèn)題及非線性規(guī)劃問(wèn)題也可用動(dòng)態(tài)規(guī)劃的方法來(lái)