信息與計(jì)算科學(xué)畢業(yè)論文常微分方程在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用

1、<p><b>　　本科畢業(yè)論文</b></p><p><b>　?。?0 屆）</b></p><p>　　常微分方程在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用</p><p>　　所在學(xué)院 </p><p>　　專業(yè)班級(jí) 信息與計(jì)算科學(xué)

2、 </p><p>　　學(xué)生姓名 學(xué)號(hào) </p><p>　　指導(dǎo)教師 職稱 </p><p>　　完成日期 年 月 </p><p><b>　　摘要</b></p&

3、gt;<p>　　常微分方程屬于數(shù)學(xué)分析的一支, 是數(shù)學(xué)中與實(shí)際應(yīng)用密切相關(guān)的基礎(chǔ)學(xué)科, 也是解決問(wèn)題的重要工具. 在反映客觀世界運(yùn)動(dòng)過(guò)程的量與量之間的關(guān)系中, 大量存在滿足常微分方程關(guān)系式的數(shù)學(xué)模型. 由于當(dāng)今社會(huì)人們的生活節(jié)奏變快, 以致于越來(lái)越多的人處于亞健康狀態(tài), 本文結(jié)合這個(gè)實(shí)際背景和在當(dāng)今社會(huì)常發(fā)的流行性感冒分別作為兩個(gè)實(shí)踐背景, 通過(guò)建立的常微分方程模型并利用常微分方程知識(shí)對(duì)它們分別進(jìn)行定量和定性的分析, 探

4、討它們的傳播規(guī)律以及影響它們流行的因素、預(yù)測(cè)可能發(fā)生的后果及如何抑制其流行或惡化. 本文的模型, 在常微分方程的觀點(diǎn)剖析下, 充分展現(xiàn)現(xiàn)代社會(huì)生活中常微分方程應(yīng)用. </p><p>　　關(guān)鍵詞: 常微分方程; 數(shù)學(xué)模型; 流行強(qiáng)度; 亞健康</p><p><b>　　Abstract</b></p><p>　　Ordinary diffe

5、rential equation, a mathematical analysis belongs to mathematics and practical application, is closely related to the basic disciplines and an important tool to solve practical problem. It reflects the movement process i

6、n the amount and quantity of the relationship between existence and satisfies ordinary differential equations of the relation mathematical model. Because the pace of life in today's society becomes faster, so that mo

7、re and more people in sub-health, combining the ac</p><p>　　Keywords: Ordinary differential equation; Mathematical model; Influenza popular strength; Sub-health</p><p><b>　　目錄</b><

8、;/p><p><b>　　摘要I</b></p><p>　　AbstractII</p><p><b>　　1 前言1</b></p><p>　　2 常微分方程的簡(jiǎn)介3</p><p>　　3 數(shù)學(xué)建模的簡(jiǎn)介5</p><p>　　4 常

9、微分方程在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用6</p><p>　　4.1 對(duì)流行性感冒的數(shù)學(xué)建模及分析6</p><p>　　4.2 對(duì)亞健康問(wèn)題的數(shù)學(xué)建模及分析9</p><p><b>　　5 小結(jié)14</b></p><p><b>　　參考文獻(xiàn)15</b></p><p>

10、　　致謝錯(cuò)誤!未定義書簽。</p><p><b>　　1 前言</b></p><p>　　在生活中, 有很多的事物可以應(yīng)用數(shù)學(xué)的方法來(lái)解決, 這就需要我們將常微分方程的知識(shí)與數(shù)學(xué)建模很好的結(jié)合起來(lái). 事物總是發(fā)展變化的, 因而研究對(duì)象的某些特性會(huì)隨時(shí)間而演變, 而這一演變過(guò)程具有某些規(guī)律性, 因此我們可以預(yù)測(cè)事物未來(lái)的狀態(tài), 進(jìn)而找到控制它的手段, 通常需要我們

11、要建立對(duì)象的動(dòng)態(tài)模型. 針對(duì)不同的實(shí)際對(duì)象進(jìn)行數(shù)學(xué)建模時(shí), 首先要根據(jù)建模目的對(duì)具體的問(wèn)題分析做出簡(jiǎn)化假設(shè), 然后按照對(duì)象內(nèi)在的或可以類比的其他對(duì)象的規(guī)律列出微分方程, 利用常微分方程的相關(guān)知識(shí)求出方程的解并將結(jié)果翻譯回實(shí)際對(duì)象, 就可以進(jìn)行描述、分析、預(yù)測(cè)或控制. </p><p>　　將常微分方程和數(shù)學(xué)建模有機(jī)的結(jié)合起來(lái), 利用常微分方程理論知識(shí), 針對(duì)各種實(shí)際問(wèn)題建立的數(shù)學(xué)模型, 一般而言都是動(dòng)態(tài)模型. 雖

12、然它的推導(dǎo)過(guò)程稍顯繁瑣, 但是其結(jié)果卻相當(dāng)簡(jiǎn)明, 并且可以給出合理的解釋. 因此, 把兩者有機(jī)的結(jié)合起來(lái)不僅讓常微分方程更好的發(fā)揮其作用, 解決更多的實(shí)際問(wèn)題, 還可以提高人們將常微分方程、計(jì)算機(jī)等方面的知識(shí)應(yīng)用于實(shí)踐的能力. </p><p>　　在人類文明的發(fā)展史上, 人們將數(shù)學(xué)方法應(yīng)用到有關(guān)傳染病方面的研究可追溯到1760年, Bernoulli在其論文中用數(shù)學(xué)模型評(píng)價(jià)天花對(duì)期望壽命的影響. 上世紀(jì)初, K

13、ermark和Mckendrick首先利用動(dòng)力學(xué)方法建立了傳染病的數(shù)學(xué)模型. 而傳染病動(dòng)力學(xué)的常微分方程SIR模型是由May等在1979年提出的[1], 此模型考慮了3類個(gè)體: 正?？梢员桓腥菊? 患病者; 已經(jīng)恢復(fù)并有免疫力者. 此模型分別有以下假設(shè): 條件一: 人群分為易感者、患者和痊愈免疫移出者. 條件二: 個(gè)體獲得免疫是永久的, 這意味著假如某個(gè)個(gè)體獲得免疫, 他們將永遠(yuǎn)不會(huì)再感染. 這種模型適合于濾過(guò)性霉菌引起的流行病, 如麻

14、疹、天花、腮腺炎等. 條件三: 易感人群的減少速度與易感人群和被感染者數(shù)量的乘積呈正比. 條件四: 恢復(fù)者的增長(zhǎng)速度與被感染者的數(shù)量成正比. 該模型對(duì)乙型肝炎病毒在人群中的感染和傳播有較好的應(yīng)用. 后來(lái)在SIR模型考慮3類個(gè)體的基礎(chǔ)上, 增加了1類個(gè)體: 已感染但處于潛伏期未發(fā)病者. 上述4類個(gè)體及其描述相互關(guān)系的常微分方程組構(gòu)成新的傳染病動(dòng)力學(xué)模型: SEIR模型. 很多學(xué)者對(duì)這類模型進(jìn)行</p><p>　　

15、近幾年, 人們用數(shù)學(xué)的方法來(lái)研究傳染病的傳播過(guò)程和發(fā)展, 已逐步成為一個(gè)活躍的研究領(lǐng)域. 在國(guó)外, 數(shù)學(xué)預(yù)測(cè)模型已經(jīng)能夠成功地應(yīng)用于生物分子水平, 模擬體內(nèi)病毒的復(fù)制及半衰期, 讓我們更加全面地認(rèn)識(shí)并了解了傳染病的感染機(jī)制. 而我們的國(guó)內(nèi)學(xué)者吳開琛等也成功的把該模型應(yīng)用于非典型肺炎(SARS)的研究,并在此基礎(chǔ)上提出5分室模型[3], 即SEIDR, 其中的D(death)為人群中感染發(fā)病者不治死亡的. </p><

16、p>　　常微分方程是數(shù)學(xué)理論聯(lián)系實(shí)際的重要工具, 它不僅與幾何學(xué)、力學(xué)、電子技術(shù)、自動(dòng)控制、星際航行, 甚至和化學(xué)、生物學(xué)、農(nóng)業(yè), 以及經(jīng)濟(jì)學(xué)都有著密切的聯(lián)系. 因此, 本文首先介紹了常微分方程和數(shù)學(xué)建模的相關(guān)知識(shí), 然后根據(jù)二者相結(jié)合的特點(diǎn), 從流行性感冒和亞健康這兩個(gè)具體的實(shí)踐背景來(lái)介紹了常微分在數(shù)學(xué)建模的應(yīng)用. 這次論文充分利用圖書館和互聯(lián)網(wǎng)上豐富的資源來(lái)建立數(shù)學(xué)模型, 再對(duì)建立好的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行定量和定性的分析與探究的過(guò)程中

17、, 觀察和研究實(shí)際對(duì)象的固有特征和內(nèi)在規(guī)律, 抓住問(wèn)題的主要矛盾, 探討它的傳播規(guī)律、預(yù)測(cè)可能發(fā)生的后果及如何抑制其流行或惡化. </p><p>　　數(shù)學(xué)模型的建立及探究說(shuō)明了在反映客觀現(xiàn)實(shí)世界運(yùn)動(dòng)過(guò)程的量與量之間的關(guān)系中, 大量存在了滿足常微分方程關(guān)系式的模型, 需要我們通過(guò)求解常微分方程來(lái)了解未知函數(shù)的性質(zhì), 常微分方程是解決實(shí)際問(wèn)題的重要工具. 所建立的模型, 在常微分方程的觀點(diǎn)剖析下, 充分展現(xiàn)現(xiàn)代社會(huì)

18、生活中常微分方程應(yīng)用. </p><p>　　2 常微分方程的簡(jiǎn)介</p><p>　　常微分方程的發(fā)展有著淵遠(yuǎn)的歷史, 而研究常微分方程必須從方程開始. 方程對(duì)于受過(guò)中等數(shù)學(xué)教育的人來(lái)說(shuō)是基礎(chǔ)知識(shí), 在初等數(shù)學(xué)中方程有很多種, 比如線性方程、指數(shù)方程、對(duì)數(shù)方程、三角方程等. 所有的方程的目的都是研究已知數(shù)和未知數(shù)之間的關(guān)系, 列出包含一個(gè)未知數(shù)或幾個(gè)未知數(shù)的一個(gè)或者多個(gè)方程式, 之后,

19、去求方程的解. 然而方程并不能解決所有的實(shí)際問(wèn)題, 如物質(zhì)在一定條件下的運(yùn)動(dòng)變化, 要尋求它的運(yùn)動(dòng)變化規(guī)律; 某個(gè)物體在重力作用下自由下落, 要尋求下落距離隨時(shí)間變化的規(guī)律; 火箭在發(fā)動(dòng)機(jī)推動(dòng)下在空間飛行, 要研究它飛行的軌道等. 具體地說(shuō), 所有的研究課題在數(shù)學(xué)上是用函數(shù)關(guān)系來(lái)表現(xiàn)的, 因此, 要研究實(shí)際問(wèn)題就要尋求滿足某些條件的一個(gè)或幾個(gè)未知數(shù)方程. 也就是說(shuō)凡是這類問(wèn)題不是簡(jiǎn)單的一個(gè)或者幾個(gè)固定不變的數(shù)值, 而是要求一個(gè)或幾個(gè)未知

20、的函數(shù). 令人高興的是, 這類問(wèn)題的基本思想和初等數(shù)學(xué)解方程的思想有很多相似的地方, 也就是說(shuō)我們可以把研究的問(wèn)題中已知數(shù)和未知數(shù)之間的關(guān)系找出來(lái), 從列出的包含未知函數(shù)的一個(gè)或幾個(gè)方程中去求得函數(shù)的表達(dá)式. 但是在方程的形式、求解的具體方法、求出解的性質(zhì)</p><p>　　為了解決這類實(shí)際問(wèn)題, 從而產(chǎn)生了微分方程. 同時(shí), 我們又得出了常微分方程的概念:如果知道自變量、未知函數(shù)、及函數(shù)的導(dǎo)數(shù)組成的關(guān)系式,

21、得到的便是微分方程, 通過(guò)求解微分方程求出未知函數(shù), 自變量只有一個(gè)的微分方程稱為常微分方程. </p><p>　　例如, 下面的方程就是常微分方程: </p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　. </b></p><p>　　這里是未知數(shù), 是自變量. </p&

22、gt;<p>　　隨著世界經(jīng)濟(jì)的發(fā)展, 科學(xué)技術(shù)是第一生產(chǎn)力早已成為不變的真理. 而常微分方程在眾多領(lǐng)域的突出貢獻(xiàn)也證明了這一點(diǎn). 工業(yè)革命早期, 航海業(yè)、造船業(yè)、紡織業(yè)、采掘業(yè)、軍械業(yè)以及交通運(yùn)輸業(yè)等都急需使用機(jī)械, 又要求不斷改進(jìn)機(jī)械, 這就要求理論技術(shù)以空前的速度發(fā)展. </p><p>　　當(dāng)今, 隨著科學(xué)技術(shù)的飛速發(fā)展, 使不同學(xué)科之間交叉逾越, 學(xué)科之間的相互滲透與綜合, 形成了一些與常

23、微分方程交叉、綜合的學(xué)科. 計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)也引入了常微分方程領(lǐng)域,</p><p>　　并做出了突出成績(jī). 在自動(dòng)控制、各種電子裝置的設(shè)計(jì)、飛機(jī)和導(dǎo)彈飛行的穩(wěn)定性研究、化學(xué)反應(yīng)過(guò)程中的研究等方面, 常微分方程也做出了突出的貢獻(xiàn). 所以隨著常微分方程理論的不斷完善, 它會(huì)在各個(gè)科學(xué)領(lǐng)域做出更多的貢獻(xiàn). </p><p><b>　　3 數(shù)學(xué)建模的簡(jiǎn)介</b></p

24、><p>　　數(shù)學(xué)建模就是用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言來(lái)描述實(shí)際現(xiàn)象的過(guò)程[6]. 這里的實(shí)際現(xiàn)象既包括具體的自然現(xiàn)象, 比如自由落體現(xiàn)象; 也包括抽象的現(xiàn)象, 比如顧客對(duì)某種商品的價(jià)值傾向. 這里的描述不僅包括外在形態(tài), 內(nèi)在機(jī)制的描述, 同時(shí)也包括預(yù)測(cè)、試驗(yàn)和解釋實(shí)際現(xiàn)象等內(nèi)容. 我們也可以這樣認(rèn)為: 數(shù)學(xué)建模的過(guò)程是一個(gè)讓純粹的數(shù)學(xué)家變成心理學(xué)家、經(jīng)濟(jì)學(xué)家、生物學(xué)家甚至是物理學(xué)家等的過(guò)程. 要描述一個(gè)實(shí)際的現(xiàn)象可以有很多種方式

25、, 比如錄音、錄像、比喻、傳言等等. 而數(shù)學(xué)語(yǔ)言以其科學(xué)性、邏輯性、客觀性及可重復(fù)性的特點(diǎn), 在描述實(shí)際現(xiàn)象時(shí)體現(xiàn)出其別具一格. 正是由于這樣, 更多人越來(lái)越喜歡運(yùn)用數(shù)學(xué)這種嚴(yán)格而又嚴(yán)密的語(yǔ)言. </p><p>　　建立數(shù)學(xué)模型的過(guò)程, 是把錯(cuò)綜復(fù)雜的實(shí)際問(wèn)題簡(jiǎn)化、抽象為合理的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的過(guò)程,在根據(jù)實(shí)際問(wèn)題建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型時(shí), 需要解決的問(wèn)題往往涉及眾多的因素, 這就需要分清問(wèn)題的主要因素和次要因素, 恰當(dāng)?shù)?/p>

26、拋棄次要因素, 提出合理的假設(shè), 建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型, 并用相應(yīng)的數(shù)學(xué)方法求解模型, 然后將所得的解與實(shí)際問(wèn)題作比較, 找出存在的差距和原因, 對(duì)問(wèn)題作進(jìn)一步的分析, 提出新的假設(shè), 逐步修改完善模型, 使問(wèn)題得到更好的解決.上述數(shù)學(xué)建模的過(guò)程可用流程圖表述如下: </p><p>　　表3.1 數(shù)學(xué)建模過(guò)程的流程 </p><p>　　4 常微分方程在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用</p>

27、<p>　　我們要解決一些實(shí)際問(wèn)題, 通常首先需要建立研究對(duì)象的數(shù)學(xué)模型. 建立數(shù)學(xué)模型的時(shí)侯, 先要根據(jù)建立數(shù)學(xué)模型的目的和對(duì)問(wèn)題的具體分析做出相應(yīng)的簡(jiǎn)化和假設(shè), 然后按照規(guī)律列出微分方程, 求出方程的解, 并將結(jié)果翻譯回實(shí)際現(xiàn)象, 這樣就可以對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行描述、分析和預(yù)測(cè)了. </p><p>　　下面我們就通過(guò)兩個(gè)不同的例子來(lái)說(shuō)明. </p><p>　　4.1 對(duì)流

28、行性感冒的數(shù)學(xué)建模及分析</p><p>　　眾所周知, 流行性感冒是由流感病毒引起的呼吸道傳染病, 是呼吸道傳染病中傳染性最強(qiáng)的病種之一. 下文將利用常微分方程的知識(shí)來(lái)探討流行性感冒的傳播規(guī)律以及影響其傳播的因素、預(yù)測(cè)可能發(fā)生的后果及如何控制其流行. </p><p>　　假設(shè)某高校相對(duì)獨(dú)立, 總?cè)丝趌萬(wàn)人, 去年冬天該校最初有20人患流感, 流行時(shí)間持續(xù)1個(gè)月, 感病人數(shù)總計(jì)約有300

29、0人. 為建立流感傳播過(guò)程的數(shù)學(xué)模型, 將研究的人群分成三類: </p><p>　　類: 易感者, 指未得病者, 但由于與流感患者接觸之后就容易受到感染; </p><p>　　類: 已感者, 指已患流感者; </p><p>　　類: 移出者, 因?yàn)榛疾”桓綦x而最終痊愈或因病愈而具有免疫力的人. </p><p>　　設(shè)群體在時(shí)刻, 易感

30、者、感病者及移出者的人數(shù)分別為、和, 并有以下假設(shè): </p><p>　　假設(shè)1 群體是封閉的, 人數(shù)總計(jì)為, 起初有感病者, 易感者, 移出者; </p><p>　　假設(shè)2 易感者轉(zhuǎn)化為感病者的變化率與當(dāng)時(shí)的易感人數(shù)和感病人數(shù)的乘積成正比; </p><p>　　假設(shè)3 疾病的傳染率為常數(shù)(單位時(shí)間內(nèi), 一個(gè)病人傳染的人數(shù)與當(dāng)時(shí)易感者人數(shù)之比);</p&

31、gt;<p>　　假設(shè)4 感病者以固定的比率(單位時(shí)間內(nèi)因病愈移出的人數(shù)占感病人數(shù)的比率)痊愈而進(jìn)入移出者類. </p><p>　　設(shè)、和是的連續(xù)可微函數(shù), 依假設(shè)可得數(shù)學(xué)模型[6]</p><p><b>　　(4.1)</b></p><p>　　所建模型(4.1)無(wú)法求出解析解、、, 可對(duì)該模型做一些分析: </p&

32、gt;<p>　　(1) 由(4.1)中知, 恒有, 從而為單調(diào)減函數(shù), 對(duì)任何時(shí)刻有. </p><p>　　(2) 令, 由模型(4.1)中, 可得. </p><p>　　若, 則由知, 恒有, 即感染流行性感冒的人數(shù)始終不增加, 所以流行性感冒不會(huì)流行. 只有在時(shí), 才有可能出現(xiàn)流行, 反映了流行性感冒是否流行的一個(gè)臨界值.</p><p>　

33、　若存在某時(shí)刻使得, 由為單調(diào)減函數(shù), 有時(shí), 時(shí), 則</p><p><b>　　（4.2）</b></p><p>　　由此知, 在之前, 感染流行性感冒的人在增加, 而在之后感染流行性感冒的人在減少, 即流行性感冒的傳播基本得到控制.</p><p>　　(3) 若, 由模型(4.1)知, 當(dāng)時(shí), 總有. 則有, 進(jìn)而有, 流行性感冒的

34、傳播完全結(jié)束. 此時(shí)所有感染流行性感冒的人全部被移出. 所以, 流行性感冒傳播的最終結(jié)果為, . </p><p>　　(4) 對(duì)模型(4.1)得</p><p><b>　　. </b></p><p>　　則對(duì)作變量分離, 得</p><p><b>　　. </b></p>&l

35、t;p><b>　　對(duì)上式兩邊積分得:</b></p><p><b>　　, </b></p><p><b>　　, </b></p><p><b>　　. </b></p><p><b>　　又, . 解得. </b>

36、</p><p>　　令, 得, 說(shuō)明流行性感冒的傳播結(jié)束之后并不是所有的人都要受其感染, 當(dāng)痊愈者成為移出者, 總有未曾得流感的人. </p><p>　　(5) 由得, 它反映了流行性感冒結(jié)束之后, 被移出的人數(shù)占該群體總?cè)藬?shù)的比率, 它作為衡量流行性感冒傳播強(qiáng)度的一種指標(biāo), 該值越大, 傳播的強(qiáng)度也越大. </p><p>　　(6) 由(4.1)可得, ,

37、. 解得</p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　進(jìn)而得</b></p><p>　　. (4.3)</p><p>　　令, 取極限, 且知, 則滿足</p><p>　　.

38、 (4.4)</p><p><b>　　再由觀測(cè)數(shù)據(jù)和可得</b></p><p>　　. (4.5)</p><p>　　而由聯(lián)系(4.2)(4.3)可知, 當(dāng)時(shí), 感病人數(shù)達(dá)到最大值. 這說(shuō)明從開始到之前, 容易感染流行性感冒的人數(shù)隨著的增加而減少, 感染流行性感冒的人數(shù)隨的增加而

39、增加, 容易感染流行性感冒的人數(shù)從遞減到, 感染流行性感冒的人數(shù)從增加至. 而在之后至傳播結(jié)束時(shí)刻, 容易感染流行性感冒的人數(shù)繼續(xù)減少至, 感染流行性感冒的人數(shù)也從最多開始減少, 直到傳播結(jié)束, 感染流行性感冒的人完全康復(fù). </p><p>　　由以上的研究分析可以看出, 假如提高模型的臨界值 (合理膳食、運(yùn)動(dòng)提高身體免疫力、改善衛(wèi)生條件與減少傳染期的接觸數(shù)), 使得, 就可以控制流行性感冒的傳播過(guò)程. <

40、;/p><p>　　(7) 根據(jù)對(duì)上述例子的觀測(cè)數(shù)據(jù), (人), (人), 由(4.5)式得的估計(jì)值</p><p><b>　　. </b></p><p>　　這里臨界值, 流行性感冒會(huì)蔓延. </p><p><b>　?。ㄈ耍? </b></p><p>　　即感染流

41、行性感冒的人從初始時(shí)刻20人不斷增加, 當(dāng)容易感染的人從初始時(shí)刻9980人減少到(即8458人)時(shí), 感染流行性感冒的人數(shù)達(dá)到最多為142人, 之后感染流行性感冒的人數(shù)開始降低, 直到流行性感冒傳播結(jié)束. </p><p>　　4.2 對(duì)亞健康問(wèn)題的數(shù)學(xué)建模及分析</p><p>　　另外, 世界衛(wèi)生組織于1989年提出了健康的新含義[8]. 除了軀體健康、心理健康和社會(huì)適應(yīng)良好外, 還

42、要加上道德健康, 只有這四個(gè)方面健康才算是完全健康. 亞健康是介于健康和疾病之間的一種健康低質(zhì)量狀態(tài), 即無(wú)明顯疾病, 卻呈現(xiàn)活力降低, 各種適應(yīng)能力減弱的生理狀態(tài). 亞健康狀態(tài)處理得當(dāng), 身體可向健康轉(zhuǎn)化; 反之, 則患病. 因此, 對(duì)亞健康問(wèn)題的研究, 對(duì)人們的生活質(zhì)量有著很重要的意義. </p><p>　　亞健康問(wèn)題的形成與生活方式及心理、社會(huì)環(huán)境、遺傳等因素有關(guān), 為建立亞健康的數(shù)學(xué)模型, 我們將研究的

43、人群分成三類: 類(健康者); 類(亞健康者); 類(患病者). </p><p>　　設(shè)該群體在時(shí)刻, 健康者、亞健康者及患病者的人數(shù)分別為、、, 并有以下假設(shè): </p><p>　　假設(shè)1 群體總?cè)藬?shù)為, 開始有健康者, 亞健康者, 患病者. </p><p>　　假設(shè)2 群體內(nèi)三類成員的轉(zhuǎn)化關(guān)系為健康亞健康患病, 只考慮轉(zhuǎn)化過(guò)程的平均效應(yīng). </p&g

44、t;<p>　　假設(shè)3 亞健康者以固定的比率(單位時(shí)間內(nèi)亞健康者轉(zhuǎn)化為健康者人數(shù)占亞健康人數(shù)的比率)轉(zhuǎn)為健康者而進(jìn)入類, 健康者以固定的比率轉(zhuǎn)為亞健康者而進(jìn)入類. 亞健康者以固定的比率轉(zhuǎn)化為患病者而進(jìn)入類. 患病者以固定的比率轉(zhuǎn)為亞健康者而進(jìn)入類. </p><p>　　設(shè)、、是的連續(xù)可微函數(shù). 依假設(shè)條件可得如下數(shù)學(xué)模型: </p><p><b>　　(4.6)

45、</b></p><p>　　其中, , , 為正常數(shù), 模型(4.6)是關(guān)于、、的常系數(shù)一階線性微分方程組, 求出模型(4.6)的解析解、、, 并對(duì)該模型做一些分析[10]</p><p>　　(1) 由模型(4.6), 求解出: 將代入, 關(guān)于求導(dǎo), 再與聯(lián)立消去得</p><p>　　. (4.7)</p>

46、<p>　　此為二階常系數(shù)非齊次線性方程, 相應(yīng)的齊次方程為</p><p>　　. (4.8)</p><p><b>　　其特征根為</b></p><p>　　. (4.9)</p><p>　　方程(4.7)具有形如的特解, 代入(4.7)求得

47、.</p><p>　　若方程(4.8)有兩相異實(shí)特征根, 由式及</p><p><b>　　,</b></p><p>　　知兩特征根均為負(fù)根, (4.7)的通解為</p><p>　　. (4.10)</p><p>　　若方程(4.8)有兩相同實(shí)特征根時(shí)

48、亦為負(fù)根, (4.7)的通解為</p><p>　　. (4.11)</p><p>　　若方程(4.8)有一對(duì)共軛復(fù)特征根時(shí), 實(shí)部為負(fù)值, (4.7)的通解為</p><p>　　. (4.12)</p><p>　　利用模型(4.6)中初始條件及, 可確定出, 的值.&l

49、t;/p><p>　　在公式(4.10)、(4.11)、(4.12)三種形式的解中, 令, 皆有</p><p><b>　　. </b></p><p>　　即在假定條件下, 群體當(dāng)中的亞健康人數(shù)最終趨于穩(wěn)定值. 結(jié)合模型(4.6)式得知, 若提高值、降低值(均衡營(yíng)養(yǎng), 適度運(yùn)動(dòng), 戒煙限酒, 心理平衡), 就可以降低的值, 即降低人群中亞健康人

50、數(shù)的穩(wěn)定值.</p><p>　　(2) 由模型(4.6), 類似1, 可得</p><p>　　. (4.13)</p><p>　　解得(4.13)對(duì)應(yīng)齊次方程有兩相異實(shí)特征根、兩相同實(shí)特征根及一對(duì)共軛復(fù)特征根時(shí), 分別有解</p><p>　　, (4.14)</p>&l

51、t;p>　　, (4.15)</p><p>　　. (4.16)</p><p>　　在公式(4.14)、(4.15)、(4.16)三種形式的解中, 令, 皆有</p><p><b>　　. </b></p><p>　　即在假定條件下, 群體中健康人數(shù)

52、最終趨于穩(wěn)定值. 結(jié)合模型(4.6)式得知, 若提高與值、降低與值(均衡營(yíng)養(yǎng), 適度運(yùn)動(dòng), 戒煙限酒, 心理平衡, 提升醫(yī)療水平), 就能提高的值, 即提升群體中健康人數(shù)的穩(wěn)定值. </p><p>　　(3) 由模型(4.6)中, 得, 令, 有</p><p>　　即在假定條件下, 群體當(dāng)中患病的人數(shù)最終趨于穩(wěn)定值. 結(jié)合(1)式得知, 若提高與值、降低與值(均衡營(yíng)養(yǎng), 適度運(yùn)動(dòng), 戒

53、煙限酒, 心理平衡, 提升醫(yī)療水平), 就能有效降低的值, 即減少人群中患病人數(shù)的穩(wěn)定值. </p><p>　　綜合得, 只要想辦法提高、值、降低、值. 就可以降低群體當(dāng)中亞健康的患病人數(shù), 增加健康人數(shù). </p><p><b>　　5 小結(jié)</b></p><p>　　本文通過(guò)對(duì)當(dāng)今社會(huì)中仍然經(jīng)常爆發(fā)的流行性感冒和大部分人們正在處于亞健

54、康狀態(tài)建立數(shù)學(xué)模型, 并利用常微分方程知識(shí)對(duì)它們分別進(jìn)行分析和研究, 探討了它們的傳播規(guī)律以及影響它們流行的因素、預(yù)測(cè)可能發(fā)生的后果及如何抑制其流行或惡化. 這兩個(gè)模型的建立及探究說(shuō)明了在反映客觀現(xiàn)實(shí)世界運(yùn)動(dòng)過(guò)程的量與量之間的關(guān)系中, 大量存在了滿足常微分方程關(guān)系式的模型, 需要我們通過(guò)求解常微分方程來(lái)了解未知函數(shù)的性質(zhì), 常微分方程是解決實(shí)際問(wèn)題的重要工具, 所以對(duì)于常微分方程知識(shí)的研究就顯得十分必. </p><

55、p><b>　　參考文獻(xiàn) </b></p><p>　　May RM et al, Nature [J]. Nature Publishing Group, 1979, 180: 455~461. </p><p>　　Langlais M et al, Math Comp Model [J]. Elsevier Science, 2000, 31: 117~1

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