信息與計(jì)算科學(xué)畢業(yè)論文hölder不等式的幾種推廣及其應(yīng)用

1、<p><b>　　本科畢業(yè)論文</b></p><p><b>　?。?0 屆）</b></p><p>　　Hölder不等式的幾種推廣及其應(yīng)用</p><p>　　所在學(xué)院 </p><p>　　專業(yè)班級(jí)

2、 信息與計(jì)算科學(xué) </p><p>　　學(xué)生姓名 學(xué)號(hào) </p><p>　　指導(dǎo)教師 職稱 </p><p>　　完成日期 年 月 </p><p><b>　　摘要</b&g

3、t;</p><p>　　在數(shù)學(xué)發(fā)展史上不等式一直占據(jù)著重要的位置, 而Hölder不等式就是其中一個(gè)應(yīng)用廣泛的基礎(chǔ)不等式. 在偏微分方程先驗(yàn)估計(jì)中, Hölder不等式是不可或缺的重要工具. 此外, 函數(shù)論, 特別是函數(shù)空間理論研究中, Hölder不等式不但經(jīng)常被用來證明各種新的不等式, 還隨著函數(shù)空間理論的發(fā)展而不斷被推廣. 本文總結(jié)Hölder不等式在不同的空間（和

4、一般的度量空間）上的推廣, 以及多個(gè)函數(shù)形式的Hölder不等式, 弱型的Hölder不等式等. 最后以空間的完備性證明和Poincaré不等式的證明為例介紹了Hölder不等式的應(yīng)用. </p><p>　　關(guān)鍵詞: Hölder不等式; 推廣; 應(yīng)用 </p><p><b>　　Abstract</b></

5、p><p>　　Inequalities play an important role in the history of mathematics, and Hölder inequality is one of the fundamental inequalities which is widely used. In the priori estimates of partial differential

6、 equation theory, Hölder inequality is an indispensable tool. Furthermore, in function theory, especially in function space theory, Hölder inequality is not only used to help to establish new inequalities, but

7、also is generalized with the development of function space theory. This paper summarize some </p><p>　　Keywords: Hölder inequality; Generalization; Application</p><p><b>　　目錄</b>

8、;</p><p><b>　　摘要I</b></p><p>　　AbstractII</p><p><b>　　1 前言1</b></p><p>　　2 幾個(gè)相關(guān)空間的定義3</p><p>　　2.1 上的空間3</p><p>&

9、lt;b>　　2.2 弱空間3</b></p><p>　　2.3 任意測度空間上的空間3</p><p><b>　　2.4 空間3</b></p><p>　　3 Hölder不等式及其推廣形式4</p><p>　　3.1 空間上的Hölder不等式4</p&g

10、t;<p>　　3.2 弱空間上的Hölder不等式6</p><p>　　3.3 一般度量空間上的Hölder不等式7</p><p>　　3.4 空間上的Hölder不等式9</p><p>　　4 Hölder不等式的應(yīng)用11</p><p>　　4.1 空間是完備的度量空間

11、11</p><p>　　4.2 Poincaré不等式是偏微分方程的重要不等式12</p><p><b>　　5 小結(jié)14</b></p><p><b>　　參考文獻(xiàn)15</b></p><p>　　致謝錯(cuò)誤!未定義書簽。</p><p><b

12、>　　1 前言</b></p><p>　　歐洲是數(shù)學(xué)不等式研究的發(fā)源地, 以原南斯拉夫國家為代表的東歐國家有很大的研究群體. 如今, 研究不等式理論的數(shù)學(xué)工作者遍布世界各地. 不等式理論在數(shù)學(xué)中有著舉足輕重的地位, 滲透到數(shù)學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域. 柯西在1931年研究數(shù)學(xué)分析中的“留數(shù)”問題時(shí)得到了以其姓名命名的不等式:</p><p><b>　　.</b&g

13、t;</p><p>　　它的一個(gè)推廣形式為: </p><p>　　該不等式便是Hölder不等式.</p><p>　　Hölder不等式最初是Roger在1888用數(shù)列形式給出的, 1889年Hölder對(duì)其進(jìn)行了證明. 后來Riesz, F 將其推廣到積分形式, 成為建立空間理論的基本工具. Hölder 不等式是基礎(chǔ)

14、數(shù)學(xué)理論中一個(gè)非常重要的不等式, 即使在數(shù)學(xué)分析、實(shí)變函數(shù)論、泛函分析, 乃至中學(xué)數(shù)學(xué)中都有它的證明和應(yīng)用. Hölder不等式的身影遍布應(yīng)用數(shù)學(xué)的各個(gè)分支, 特別是在偏微分方程的先驗(yàn)估計(jì)中是不可或缺的. </p><p>　　Hölder不等式通常有兩種表現(xiàn)形式. 一種是上述的離散形式, 而另一種是連續(xù)形式. 其連續(xù)形式為: </p><p>　　若, , , 則:

15、 </p><p><b>　　在上可積, 且</b></p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　其中, .</b></p><p>　　Hölder不等式作為數(shù)學(xué)理論的重要支柱和實(shí)際應(yīng)用的重要工具, 自創(chuàng)建以來就被學(xué)者們不斷地進(jìn)行推廣和改

16、進(jìn). 一個(gè)多世紀(jì)以來, Hölder不等式的改進(jìn)和推廣工作從未中斷過. </p><p>　　1981年胡克教授提出了胡克不等式, 胡克不等式是一個(gè)針對(duì)Hölder不等式的缺陷而提出的全新不等式. 其表述如下: </p><p>　　胡克不等式: 設(shè), , , , 則</p><p>　　1986年邱福成將Hölder不等式推廣到正線

17、性算子上去, 稱為線性算子的廣義Hölder不等式: </p><p>　　設(shè)為正線性算子, , , , , , 則對(duì)中幾乎所有的, 有</p><p>　　1993年P(guān)ecaric, J. E. 證明了Hölder不等式的單調(diào)性.</p><p>　　我國學(xué)者也對(duì)Hölder不等式做了大量的研究和推廣, 他們提出了各種各樣的H

18、6;lder不等式的推廣形式. 如劉證、高明哲等. 他們的研究對(duì)于Hölder不等式的發(fā)展, 對(duì)于數(shù)學(xué)的發(fā)展都有重要意義.</p><p>　　本文對(duì)經(jīng)典Hölder不等式及其推廣形式進(jìn)行了歸納, 并通過空間的完備性的證明以及龐加萊不等式的證明來揭示 Hölder不等式的應(yīng)用. </p><p>　　2 幾個(gè)相關(guān)空間的定義</p><p&g

19、t;　　在介紹Hölder不等式之前, 我們首先需要了解幾個(gè)相關(guān)空間的概念.</p><p><b>　　2.1 上的空間</b></p><p>　　定義2.1: 設(shè), , 為給定的實(shí)數(shù).</p><p>　　若是上的可測集, 是上給定的可測函數(shù), 若</p><p><b>　　, </b

20、></p><p>　　則稱是上的次可積函數(shù), 這種函數(shù)的全體所成的集合記作, 也稱它為空間. </p><p><b>　　2.2 弱空間</b></p><p>　　定義2.2: 設(shè)是上的可測函數(shù), 對(duì), 所有滿足</p><p>　　的可測函數(shù)的集合稱為弱空間, 記作, 此外定義. </p>

21、<p>　　2.3 任意測度空間上的空間</p><p>　　定義2.3: 設(shè)是任意的測度空間, 是上的廣義實(shí)值可測函數(shù), , 則定義上的空間: </p><p><b>　　其中 </b></p><p><b>　　2.4 空間</b></p><p>　　定義2.4: 設(shè)是實(shí)（或

22、復(fù)）數(shù)列, 若, 則稱數(shù)列是次收斂數(shù)列. 全體次收斂數(shù)列組成的集合稱為空間, 即</p><p><b>　　.</b></p><p>　　3 Hölder不等式及其推廣形式</p><p>　　3.1 空間上的Hölder不等式</p><p>　　在介紹Hölder不等式之前, 我們首

23、先來介紹一下與它密切相關(guān)的幾個(gè)不等式. </p><p>　　1 Young不等式</p><p>　　Young不等式通常伴隨著Hölder不等式出現(xiàn), 而Hölder不等式的推廣也往往都是依賴于Young不等式的推廣. 因此, 在介紹Hölder不等式之前我們很有必要了解一下Young不等式的情況. </p><p>　　定理3.

24、1（Young不等式）</p><p>　　(1) 離散形式: 若, , 則</p><p>　　. (3.1)</p><p>　　當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立. </p><p>　　(2) 積分形式: 設(shè)嚴(yán)格單調(diào)遞增且在上連續(xù), , , 且</p><p>　　,表示的反函數(shù)

25、, 則有</p><p>　　. (3.2)</p><p>　　當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立. </p><p>　　由于Young不等式的重要性, 人們對(duì)它進(jìn)行了大量的研究, 也給出了很多的證明方法. 我們只給出其中一種證明其離散形式的方法. </p><p>　　證明 利用微分法: 設(shè)函數(shù), 由知, .

26、 當(dāng)時(shí), , 在上嚴(yán)格單調(diào)遞減. 當(dāng)時(shí), , 在上嚴(yán)格單調(diào)遞增. 綜上, 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí), 取得最小值, 從而成立不等式, 即</p><p><b>　　.</b></p><p>　　上式中取, 并且注意. 即可推出. 當(dāng)且僅當(dāng), 即時(shí)等號(hào)成立. 證畢. </p><p>　　2 Minkowski不等式</p><p&g

27、t;　　通常來說, Minkowski不等式也是伴隨Young不等式和Hölder不等式出現(xiàn)的, 我們可以應(yīng)用Hölder不等式去證明. 由于本文所涉及的內(nèi)容跟Minkowski不等式關(guān)系不大, 我們只給出其積分形式的表達(dá)式, 而不進(jìn)行具體的證明. </p><p>　　定理3.2（Minkowski不等式）</p><p>　　設(shè), 是Lebesgue可測集, , 那

28、么, 并且成立不等式</p><p>　　. (3.3)</p><p>　　3 Hölder不等式</p><p>　　下面我們對(duì)Hölder不等式的積分形式給出一個(gè)系統(tǒng)的描述, 并證明Hölder不等式. </p><p>　　引理3.1（Hölder不等式）</p>

29、<p>　　若, , 是Lebesgue可測集, , 則在</p><p><b>　　上可積, 且</b></p><p>　　. (3.4)</p><p><b>　　其中</b></p><p><b>　　, .</b

30、></p><p>　　下面我們來證明上述不等式. 通常Hölder不等式都是通過Young不等式來證明的, 也有一些學(xué)者利用凸函數(shù)證明了Hölder不等式, 為應(yīng)用Young不等式, 這里我們也給出一個(gè)應(yīng)用了Young不等式的證明方法. </p><p>　　證明 記, , 我們?cè)O(shè)且, 因?yàn)槿绻杏幸粋€(gè)為0或無窮, 不等式(3.4)顯然成立.</p>

31、<p>　　對(duì)于每一個(gè), 由不等式(3.1)得</p><p><b>　　.</b></p><p>　　對(duì)上式兩邊積分, 得</p><p><b>　　. </b></p><p><b>　　所以有</b></p><p><

32、b>　　. </b></p><p><b>　　證畢. </b></p><p>　　Hölder不等式可以推廣到多個(gè)函數(shù)的形式: </p><p>　　定理3.3 設(shè)是的可測函數(shù), 這里并且. 倘若令. 則有</p><p><b>　　.</b></p>

33、;<p>　　該不等式與我們后面弱空間上證明的推廣形式相似, 在這里就不再贅述.</p><p>　　定理3.4 設(shè)且, 其中, 則有</p><p><b>　　.</b></p><p>　　證明 由得, . </p><p>　　令, 其中, . 則由Hölder不等式得</p&g

34、t;<p><b>　　.</b></p><p>　　將上式右邊的用代回, 則可得. 證畢.</p><p>　　3.2 弱空間上的Hölder不等式</p><p>　　在本文的第二部分我們已經(jīng)敘述過弱空間的概念, Hölder不等式存在各種各樣的推廣形式, 同樣地, 在弱空間上它亦存在推廣形式. 下面我們

35、給出其表達(dá)形式并進(jìn)行簡單地證明. </p><p>　　在弱空間上Hölder不等式有如下的推廣形式: </p><p>　　定理3.5 設(shè)是弱空間上的可測函數(shù), 這里并且. 倘若令. 則有</p><p>　　. (3.5)</p><p>　　證明 因?yàn)閷?duì)于可測集中的任意元素, 有以下

36、包含關(guān)系成立: </p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　所以有</b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　令, , , , . 由及已知條件, 易得</p><p><b>　　.<

37、/b></p><p><b>　　證畢.</b></p><p>　　3.3 一般度量空間上的Hölder不等式</p><p>　　對(duì)于一般度量空間, Hölder不等式存在如下的一般形式:</p><p>　　定理3.6 若, , 是一般測度空間上的勒貝格可積函數(shù), 則: </p&

38、gt;<p><b>　　,</b></p><p><b>　　其中, .</b></p><p>　　對(duì)于一般度量空間X, Hölder不等式存在如下的推廣形式:</p><p>　　定理3.7 設(shè)是任意測度空間上的非負(fù)可測函數(shù), , </p><p><b>

39、　　. 且滿足, 則</b></p><p>　　. (3.6)</p><p>　　證明 (數(shù)學(xué)歸納法) 當(dāng)時(shí), 不等式(3.6)顯然成立; 當(dāng)時(shí), 令</p><p>　　. (3.7)</p><p>　　由于是上的非負(fù)可測函數(shù), 則, 又令<

40、/p><p>　　. (3.8)</p><p>　　由已知條件及Young不等式得, </p><p>　　. (3.9)</p><p>　　由式(3.7), (3.8), (3.9)及已知條件, 得</p><p><b>　　即&

41、lt;/b></p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　故</b></p><p>　　, (3.10)</p><p>　　即當(dāng)時(shí), (3.6)成立. </p><p>　　假設(shè)結(jié)論對(duì)成立, 則當(dāng)時(shí), 由已知條件知且.

42、 </p><p><b>　　令, 則</b></p><p><b>　　(3.11)</b></p><p>　　且 . (3.12)</p><p>　　由式(3.10)

43、和(3.11)得</p><p>　　又由式(3.12)及歸納假設(shè), 有</p><p><b>　　,</b></p><p>　　即對(duì), 結(jié)論也成立. </p><p>　　故由數(shù)學(xué)歸納法原理知, 對(duì), 結(jié)論也成立. 證畢. </p><p>　　3.4 空間上的Hölder不等式&

44、lt;/p><p>　　在給出空間上的Hölder不等式之前, 我們先給出一個(gè)引理, 即空間上離散形式的Hölder不等式. </p><p>　　引理3.2: 有兩個(gè)非負(fù)數(shù)組和, , , 則有: </p><p>　　. (3.13)</p><p>　　當(dāng)且僅當(dāng); 成

45、比例時(shí)等號(hào)成立. </p><p>　　由上面的引理我們可以推出空間上的Hölder不等式: </p><p>　　定理3.8: 若, , 且, 那么</p><p><b>　　.</b></p><p>　　從上面的表達(dá)式可知, 空間上的Hölder不等式就形式而言就是將空間上離散形式的H

46、6;lder不等式擴(kuò)展到無窮的形式. 下面我們來證明上述不等式. </p><p>　　證明 由引理3.1知, 對(duì)于, 都有式子(3.4)成立, 由已知條件, 得, . 因此當(dāng)時(shí), 我們有. 對(duì)式子(3.4)兩邊取極限, 則有</p><p><b>　　. </b></p><p><b>　　定理得證. </b><

47、;/p><p>　　4 Hölder不等式的應(yīng)用</p><p>　　4.1 空間是完備的度量空間</p><p>　　這一部分, 我們以空間的完備性的證明為例來說明Hölder不等式在函數(shù)空間理論中的應(yīng)用.</p><p>　　要證明空間是完備的, 只要證明對(duì)于可測集, 若是中的柯西列, 則一定收斂.</p>

48、<p>　　證明 要證明存在, 使得.</p><p>　　我們先來考慮的情形. 假設(shè)</p><p>　　. （4.1）</p><p><b>　　令</b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　

49、對(duì)任意, 單調(diào)遞增, 可令. 由單調(diào)收斂定理得:</p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　又因?yàn)?lt;/b></p><p><b>　　,</b></p><p>　　所以, 幾乎處處有限. 此外, 當(dāng)時(shí),</p><p>　　

50、所以在上幾乎處處存在著有限極限. 對(duì)于上式, 令, 則在上幾乎處處有</p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　因此有</b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　容易得到, 由控制收斂定理知, , 即按收斂于.</p&g

51、t;<p>　　倘若不滿足式子(4.1), 則因?yàn)闉榛玖械弥凶恿? 使成立. 由前面的證明知, 存在, 使. 此時(shí)有</p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　則定理得證. </b></p><p>　　接下來我們考慮的情形. 設(shè), 滿足</p><p>

52、<b>　　.</b></p><p><b>　　對(duì)于, 有</b></p><p><b>　　, .</b></p><p>　　因此存在零測集, 使得當(dāng)時(shí)有</p><p><b>　　, ,</b></p><p>　　從

53、而存在函數(shù), 使得</p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　容易得到.</b></p><p>　　對(duì)于任意, 存在自然數(shù), 使得當(dāng)時(shí), .</p><p><b>　　當(dāng)時(shí),</b></p><p><b>　　,

54、</b></p><p>　　故當(dāng)時(shí), . 這表明.</p><p>　　綜上所述, 空間是完備的.</p><p>　　同理, 對(duì)于弱空間, 我們也可以證明它是完備的.</p><p>　　4.2 Poincaré不等式是偏微分方程的重要不等式</p><p>　　這一部分, 我們以Poinca

55、ré不等式的證明為例來說明Hölder不等式在偏微分中的應(yīng)用. 同樣作為數(shù)學(xué)中一個(gè)重要的基本不等式, Poincaré不等式可以由Hölder不等式來證明. </p><p>　　Poincaré不等式: 設(shè)表示有界開區(qū)域上所有次連續(xù)可微, 并在邊界的某領(lǐng)域內(nèi)為0的函數(shù)集合. 即</p><p><b>　　當(dāng)?shù)哪愁I(lǐng)域}. <

56、;/b></p><p><b>　　則對(duì)于有</b></p><p><b>　　(4.2)</b></p><p>　　其中是僅僅依賴于區(qū)域及的常數(shù). </p><p>　　證明 因?yàn)槭怯薪绲? 假設(shè)是放在一個(gè)邊長為的立方體內(nèi)的, 我們恰當(dāng)?shù)倪x擇坐標(biāo)系, 使得</p><

57、;p><b>　　.</b></p><p>　　在上補(bǔ)充定義后, 可知在上次連續(xù)可微. 且邊界的函數(shù)值為0. 對(duì)于, 有</p><p><b>　　.</b></p><p>　　利用Hölder不等式, 我們有</p><p>　　.

58、 (4.3)</p><p>　　由上的積分不等式(4.3), 我們?nèi)菀椎玫?lt;/p><p>　　. (4.4)</p><p>　　逐次應(yīng)用(4.4)式于, 即得不等式(4.2).</p><p><b>　　5 小結(jié)</b></p><p>　　Hölder不

59、等式在數(shù)學(xué)理論以及實(shí)際上的應(yīng)用舉不勝舉, 因此國內(nèi)外學(xué)者對(duì)它有著濃厚的興趣, 經(jīng)過他們不斷的研究和改進(jìn), Hölder不等式已經(jīng)發(fā)展到了一定的高度. 但也正因?yàn)槠渲匾? 對(duì)它的研究工作將不斷的被延續(xù)下去, 它將被應(yīng)用到更多的領(lǐng)域中. </p><p>　　本文主要是研究Hölder不等式的各種推廣形式, 并對(duì)它們進(jìn)行證明. 同時(shí), 也通過舉例說明了Hölder不等式在實(shí)際中的廣泛應(yīng)

60、用. 經(jīng)過本次論文的撰寫, 我學(xué)到的不單單是Hölder不等式的知識(shí), 我也同樣的了解了很多由它輻射而來的信息. 同時(shí), 我也深刻體會(huì)到了論文研究工作的嚴(yán)謹(jǐn)和艱辛. </p><p><b>　　參考文獻(xiàn)</b></p><p>　　程其襄, 張奠宙, 魏國強(qiáng)等. 實(shí)變函數(shù)與泛函分析基礎(chǔ) [M]. 北京: 高等教育出版

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