若干重要不等式的推廣及應(yīng)用【畢業(yè)論文+文獻綜述+開題報告】

1、<p><b>　　本科畢業(yè)論文</b></p><p><b>　　（20 屆）</b></p><p>　　若干重要不等式的推廣及應(yīng)用</p><p>　　所在學(xué)院 </p><p>　　專業(yè)班級 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)

2、 </p><p>　　學(xué)生姓名 學(xué)號 </p><p>　　指導(dǎo)教師 職稱 </p><p>　　完成日期 年 月 </p><p>　　摘 要：在數(shù)學(xué)研究領(lǐng)域里，不等式問題占有廣闊的天地。因此本文綜述

3、了幾類重要不等式的推廣及證明，如Hadmard不等式、Cauchy不等式、Abel不等式、Janous不等式等，同時舉例說明重要不等式在各個方面的具體應(yīng)用。</p><p>　　關(guān)鍵詞： 重要不等式；Hadmard不等式；Cauchy不等式；</p><p>　　The popularization and application of some important inequations

4、</p><p>　　Abstract：Inequalities hold vast world in mathematics researches.This paper mainly introduces the basic form and proofs of Cauchy inequality, Hadmard inequality, Abel inequality and Janous inequalit

5、y.Moverover,the the paper also gives a summary of the promotion of these inequalities systematically,while discussing emphatically the specific applications of these important inequations in all aspects. Key words： Impo

6、rtant inequation; Hadmard inequality; Cauchy inequality;</p><p><b>　　1 前 言1</b></p><p>　　2 常用重要不等式的推廣2</p><p>　　2.1 Hadmard不等式及推廣2</p><p>　　2.1.1 Hadm

7、ard不等式2</p><p>　　2.1.2 Hadmard不等式的推廣3</p><p>　　2.2 Cauchy不等式及推廣5</p><p>　　2.2.1 Cauchy不等式5</p><p>　　2.2.2 Cauchy不等式的推廣6</p><p>　　2.3 Abel不等式及推廣8&

8、lt;/p><p>　　2.3.1 Abel不等式8</p><p>　　2.3.2 Abel不等式的推廣8</p><p>　　2.4 Janous不等式及推廣10</p><p>　　2.4.1 Janous不等式10</p><p>　　2.4.2 Janous不等式的推廣11</p>

9、<p>　　3 常用重要不等式的應(yīng)用14</p><p>　　3.1在代數(shù)中的應(yīng)用14</p><p>　　3.2 在幾何中的應(yīng)用15</p><p>　　3.3 最值極值問題中的應(yīng)用17</p><p>　　3.4 不等式之間的相互推導(dǎo)18</p><p>　　3.5 在概率論中的應(yīng)用

10、19</p><p>　　4 總 結(jié)21</p><p>　　致 謝錯誤!未定義書簽。</p><p><b>　　參考文獻22</b></p><p><b>　　1 前 言</b></p><p>　　眾所周知不等式作為數(shù)學(xué)的組成部分以及重要的推理工具，

11、被廣泛地應(yīng)用到數(shù)學(xué)的各個領(lǐng)域。在分析學(xué)中不等式的作用更是不可替代。而其中一些常用不等式如Hadmard不等式、Abel不等式、Janous不等式、Cauchy不等式更在數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論的創(chuàng)建、延伸、和應(yīng)用上起著非凡的作用，這使得不等式的研究成了當(dāng)前數(shù)學(xué)研究的一個熱點。</p><p>　　近年來這些重要不等式一直受到廣泛的關(guān)注，不少學(xué)者對他們進行了較深入的研究與推廣。本文主要是綜合歸納相關(guān)的研究成果，如Hadmard

12、不等式、Abel不等式、Janous不等式、Cauchy不等式的基本形式和相關(guān)證明，并對以上四個重要不等式的推廣做了較系統(tǒng)綜述，并舉例說明了它們在各方面的具體應(yīng)用。</p><p>　　在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中靈活運用不等式可以使一些較為復(fù)雜的問題迎刃而解，一套數(shù)學(xué)理論最終甚至可以歸結(jié)為一個不同尋常的不等式。但是在部分情況下不等式還存在一定的局限性，因此探討重要不等式能夠在哪些情況下發(fā)揮作用，是否能夠得到進一步的推廣等問題就

13、顯得非常有必要。</p><p>　　大量的學(xué)者對于不等式的研究已經(jīng)趨于完善，但是仍舊缺少系統(tǒng)性地歸納和梳理。本文希望通過對現(xiàn)有研究進行總結(jié)與歸納，強化不等式作為數(shù)學(xué)領(lǐng)域的一個組成部分和一項推理工具的作用，以期更快捷有效地解決部分數(shù)學(xué)問題，并為今后相關(guān)的生活、工作、學(xué)習(xí)提供一定的參考價值。</p><p>　　2 常用重要不等式的推廣</p><p>　　重要不等

14、式是指在數(shù)學(xué)的計算與證明問題中常見的不等式。包括排序不等式、均值不等式、完全的均值不等式、冥平均不等式、權(quán)方和不等式、Cauchy不等式、切比雪夫不等式和琴生不等式等等。</p><p>　　鑒于不等式在科學(xué)研究中的重要地位，眾多學(xué)者對重要不等式繼續(xù)進行研究，獲得了一些更好的結(jié)果。</p><p>　　2.1 Hadmard不等式及推廣</p><p>　　2.1.

15、1 Hadmard不等式</p><p>　　定理2.1：設(shè)是是的連續(xù)凸函數(shù)，則對每一對有：</p><p>　　證明：因為是開區(qū)間上的連續(xù)凸函數(shù)，所以是連續(xù)的，因此可積。因為不僅是的中點，同時也是和的中點，其中利用為連續(xù)凸函數(shù)，則就有不等式</p><p>　　上式兩邊對從到積分，經(jīng)計算后就可以得到：</p><p>　　另一方面由于是連續(xù)

16、凸函數(shù)又可以得到：</p><p><b>　　證畢。 </b></p><p>　　Hadmard不等式（1.1）在不等式理論中占有重要地位，它不僅用來為證明其他不等式提供理論依據(jù)，還在其他問題的求解中有著廣泛的應(yīng)用，例如求最值問題和求范圍問題等</p><p>　　2.1.2 Hadmard不等式的推廣 </p>&l

17、t;p>　　引理1：設(shè)是中點凸函數(shù)，即</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　記</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　則有，其中。</b></p><p>

18、　　引理2：設(shè)為連續(xù)凸函數(shù)，</p><p><b>　　如果那么</b></p><p>　　如果為上的遞增（減）函數(shù)，且，那么成立。</p><p>　　引理3：設(shè)為連續(xù)凸函數(shù)，且</p><p><b>　　記</b></p><p><b>　　。</

19、b></p><p><b>　　如果，那么</b></p><p>　　如果在遞增（減），且，那么也成立。</p><p>　　引理4：設(shè)為連續(xù)函數(shù)，則有</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　其中函數(shù)滿足：</b>

20、</p><p>　　定理2.2：設(shè)是連續(xù)凸函數(shù)，函數(shù)滿足</p><p><b>　　記</b></p><p><b>　　則有</b></p><p>　　。 </p><p><b>　　由于</b></p>&

21、lt;p>　　所以式是式的又一推廣。</p><p>　　證明：在引理3中令再由引理4知不等式則變?yōu)椴坏仁剑C畢。</p><p>　　2.2 Cauchy不等式及推廣 </p><p>　　Cauchy是法國數(shù)學(xué)家，1789年8月21日出生于巴黎，他對數(shù)論、代數(shù)、數(shù)學(xué)分析和微分方程等多個數(shù)學(xué)領(lǐng)域進行了深入的研究，并獲得了許多重要成果，著名的Cauchy不等

22、式就是其中之一。</p><p>　　Cauchy不等式是著名的不等式之一，且不失為一個十分完善的重要不等式。它不僅是數(shù)學(xué)分析的重要工具，還與物理學(xué)中的矢量、高等數(shù)學(xué)中的內(nèi)積空間和賦范空間有著密切的聯(lián)系。在以上相關(guān)解題過程中，適當(dāng)、巧妙地引入Cauchy不等式，可以簡化解題過程，起到事半功倍的效果。</p><p>　　2.2.1 Cauchy不等式</p><p&g

23、t;　　定理2.3：若是任何實數(shù)，</p><p>　　則有 </p><p>　　(當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立)</p><p>　　證明：（數(shù)學(xué)歸納法）</p><p>　　當(dāng)時，等號顯然成立。</p><p>　　假設(shè)當(dāng)時，結(jié)論成立，即有：</p><p><

24、;b>　　則當(dāng)時，</b></p><p><b>　　證畢。</b></p><p>　　2.2.2 Cauchy不等式的推廣</p><p><b>　　指數(shù)形式</b></p><p>　　引理5：設(shè)為不小于2的自然數(shù)，則對于 和有， </p><p&g

25、t;<b>　　，</b></p><p>　　等號成立的充要條件是，下面的成立；</p><p><b>　　使</b></p><p>　　若對每個至少有一個時，則，</p><p>　?。榕c無關(guān)的正值常數(shù)），且對于，恒有</p><p><b>　　或<

26、;/b></p><p>　　引理6：設(shè)為不小于2的自然數(shù)，對于和有</p><p>　　等號成立的充要條件是，下面的成立；</p><p><b>　　時，同引理5；</b></p><p><b>　　時，且對</b></p><p><b>　　恒有&l

27、t;/b></p><p><b>　　或</b></p><p>　　在引理5，6中令分別可以得到：</p><p>　　定理2.4：設(shè)為不小于2的自然數(shù)，則對有</p><p>　　。 </p><p><b>　　定理2

28、.5：設(shè)對有</b></p><p><b>　　積分形式</b></p><p>　　引理7: 設(shè)為不小于2的自然數(shù)，對區(qū)間上的任意可積函數(shù)</p><p><b>　　和有：</b></p><p>　　引理7中若或，則分別可以得到：</p><p>　　定理

29、2.6: 設(shè)為不小于2的自然數(shù)，對上的任意可積函數(shù)有：</p><p>　　定理2.7: 設(shè)為不小于2的自然數(shù)，對上的任意可積函數(shù)有：</p><p>　　Cauchy不等式作為數(shù)學(xué)不等式中一個基礎(chǔ)而且重要的不等式，在求某些函數(shù)最值中和證明某些不等式時是經(jīng)常使用的理論根據(jù)，對解題時起了舉足輕重的作用。它將數(shù)列中各項積的和與和的積巧妙的結(jié)合在一起，使得許多問題得到了簡化。</p&g

30、t;<p>　　2.3 Abel不等式及推廣</p><p>　　2.3.1 Abel不等式</p><p><b>　　定理2.8: 設(shè)則</b></p><p>　　等號當(dāng)且僅當(dāng)時成立。</p><p>　　此不等式為著名的Abel不等式，它有著廣泛的應(yīng)用，它在雙曲幾何中的地位如同Cauchy不等式

31、在歐氏幾何的地位一樣重要。</p><p>　　2.3.2 Abel不等式的推廣</p><p><b>　　引理8：設(shè)則</b></p><p>　　等號當(dāng)且僅當(dāng)時成立。</p><p><b>　　引理9：設(shè)，</b></p><p><b>　　則</

32、b></p><p>　　等號當(dāng)且僅當(dāng)且時成立。</p><p><b>　　定理2.9：設(shè) 則</b></p><p>　　等號當(dāng)且僅當(dāng)在且時成立。</p><p><b>　　證明：因為為此</b></p><p><b>　　令</b><

33、;/p><p>　　根據(jù)題設(shè)條件及引理9，有</p><p><b>　　所以</b></p><p><b>　　從而因此。</b></p><p><b>　　因為。</b></p><p><b>　　運用引理9，得</b><

34、;/p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　即 </b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　注意到</b></p><p>　　以之帶入上面不等式，得</p>

35、<p><b>　　所以</b></p><p><b>　　于是</b></p><p><b>　　因為</b></p><p><b>　　所以</b></p><p><b>　　，</b></p>&

36、lt;p><b>　　于是</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　因為</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　所以</b></p><

37、;p><b>　　。</b></p><p>　　從證明過程知，上不等式中等號當(dāng)且僅當(dāng)</p><p><b>　　且</b></p><p><b>　　時成立。</b></p><p>　　在定理中令便可得到Abel不等式，可見Abel不等式是該定理的一個特殊形式。&

38、lt;/p><p>　　2.4 Janous不等式及推廣</p><p>　　2.4.1 Janous不等式</p><p>　　奧地利數(shù)學(xué)家W.Janous在1986年曾建立了下述幾何不等式：</p><p>　　定理2.10: 設(shè)的邊BC，CA，AB與面積分別為a,b,c,,記任意一點P到頂點A，B，C的距離,分別為,則 </p&g

39、t;<p>　　。 </p><p>　　等號僅當(dāng)為正三角形且P為其中心時成立。</p><p>　　2.4.2 Janous不等式的推廣</p><p>　　引理10：設(shè)與的面積分別為，則對任意一點P有</p><p><b>　　，</b></p><p&g

40、t;　　等號當(dāng)且僅當(dāng)與為相似的銳角三角形，且P為的垂心時成立。</p><p>　　引理11：設(shè)的三邊與外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑分別為</p><p><b>　　則對任意實數(shù)有</b></p><p><b>　　等號僅當(dāng)時成立。</b></p><p>　　定理2.11：設(shè)與的面積分別為。又P為任

41、意一點，Q為內(nèi)</p><p>　　部任一點，Q到的距離分別為則</p><p>　　， </p><p>　　等號當(dāng)且僅當(dāng)，均為正三角形且P與Q分別為它們的中心時成立。</p><p>　?。ㄗⅲ涸摬坏仁皆谛问缴戏浅?yōu)美，從已有的文獻來看，類似的涉及兩個三角形與兩個動點的三角形幾何不等式是十分罕見的。）<

42、;/p><p>　　證明：顯然以為邊長可構(gòu)成一個三角形，記其面積為</p><p><b>　　由Heron公式：</b></p><p><b>　　，</b></p><p>　?。ㄆ渲袨榈陌胫荛L）易得</p><p><b>　　根據(jù)引理10有</b>

43、</p><p><b>　　。</b></p><p><b>　　接下來證明：</b></p><p>　　為此，又先來證有關(guān)與任意正數(shù)的加權(quán)不等式：</p><p>　　按引理11知，欲證上式只要證：</p><p>　　兩邊乘以并利用，即知上式等價于</p>

44、;<p>　　由顯然的不等式及已知的不等式：</p><p>　　即知前式成立，從而不等式得證。</p><p>　　將不等式中的換成即知，對與任意的正數(shù)有</p><p><b>　　在上式中取利用</b></p><p><b>　　就可得不等式</b></p>&l

45、t;p><b>　　，</b></p><p><b>　　再根據(jù)不等式</b></p><p><b>　　和</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　可知</b></p>&

46、lt;p><b>　　，</b></p><p>　　這顯然等價于定理的結(jié)論，證畢。</p><p>　　3 常用重要不等式的應(yīng)用</p><p>　　自古以來，物理量之間大小的比較為現(xiàn)實世界之必須，這導(dǎo)致了數(shù)學(xué)不等式的產(chǎn)生和發(fā)展。迄今，不等式的重要應(yīng)用已貫穿于當(dāng)代科學(xué)技術(shù)和工程領(lǐng)域的多個學(xué)科分支。</p><p&g

47、t;　　3.1在代數(shù)中的應(yīng)用</p><p>　　例1：已知正數(shù)滿足證明</p><p>　　證明：由Cauchy不等式及得</p><p>　　又因為在此不等式兩邊同乘以2，再加上得從而可得</p><p><b>　　故</b></p><p>　　例2：已知,且，求證：</p>

48、<p><b>　　證明：</b></p><p>　　由權(quán)方和不等式：當(dāng)或 ，有</p><p><b>　　。</b></p><p>　　當(dāng)且僅當(dāng)時取得等號。</p><p><b>　　可得：</b></p><p><b>

49、;　　左</b></p><p><b>　　而</b></p><p><b>　　故</b></p><p><b>　　等號在取得。</b></p><p>　　3.2 在幾何中的應(yīng)用</p><p>　　1.推導(dǎo)空間點到平面的距離和

50、點到直線的距離公式</p><p>　　已知點及平面：設(shè)為平面上的一點，則，，</p><p>　　由Cauchy不等式</p><p><b>　　當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立</b></p><p><b>　　即有：</b></p><p><b>　　也就是</

51、b></p><p><b>　　，</b></p><p>　　所以點到平面的距離公式為：</p><p>　　同樣的辦法可推導(dǎo)出點到直線的距離公式為：</p><p><b>　　。</b></p><p>　　2．由Janous不等式及其推廣可以得到以下幾個漂亮而

52、又簡潔的猜想。</p><p>　　1）猜想1：對與任意一點有：</p><p>　　2）猜想2：對內(nèi)部任意一點有：</p><p><b>　　，</b></p><p>　　其中分別為的角平分線。</p><p>　　注：雖然上面的2個猜想尚未得到有效的證明，但我相信在不久的將來，學(xué)者們對于J

53、anous不等式的進一步研究和推廣，一定會得到它們的證明。到那個時候Janous不等式在三角形中的作用將會更加的明顯。</p><p>　　3．已知為三角形三邊長，求證：。</p><p>　　證明：換元：令則不等式</p><p><b>　　由權(quán)方不等式可得</b></p><p>　　故原不等式成立且在即時取得等號

54、。</p><p>　　3.3 最值極值問題中的應(yīng)用</p><p>　　例3：設(shè)求的最小值。</p><p>　　解： 由Cauchy不等式，可得</p><p>　　例4：已知 且，求的最小值。</p><p>　　證明：由權(quán)方和不等式得</p><p><b>　　，故&

55、lt;/b></p><p>　　當(dāng)且僅當(dāng)，即時取得最小值。</p><p>　　例5：證明：存在極小值。</p><p><b>　　證明：因為</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　求二階偏導(dǎo)數(shù)，得</b>

56、</p><p><b>　　因為 </b></p><p>　　由Cauchy不等式知 ，</p><p><b>　　所以</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　又因為</b></p&

57、gt;<p><b>　　所以有極小值。</b></p><p>　　3.4 不等式之間的相互推導(dǎo)</p><p>　　1.利用Abel不等式推導(dǎo)Popoviciu不等式。</p><p>　　在定理2.8中令，可得到下面的一個推論。</p><p><b>　　推論：設(shè)</b><

58、;/p><p><b>　　則</b></p><p><b>　　成立；</b></p><p>　　將代入上面的推論，整理可得到</p><p>　　即Popoviciu不等式。</p><p>　　2．利用Young不等式推導(dǎo)其他不等式。</p><p&

59、gt;　　Young不等式：設(shè)且滿足，則。</p><p>　　應(yīng)用帶的Young不等式知，兩邊在上積分并取</p><p>　　，則馬上得到Holder不等式。</p><p>　　3.5 在概率論中的應(yīng)用</p><p>　　1.在概率論中，線性回歸有樣本相關(guān)系數(shù)，并指出且不等式解釋樣本線性相關(guān)系數(shù)。</p><p&

60、gt;<b>　　現(xiàn)記，則</b></p><p>　　由Cauchy不等式有，</p><p><b>　　當(dāng)時，</b></p><p>　　此時，為常數(shù)，點 均在直線</p><p><b>　　上，</b></p><p><b>　　

61、當(dāng)時， </b></p><p>　　即 </p><p>　　而 </p><p><b>　　為常數(shù)。</b></p><p>　　此時，為常數(shù)，點均在直線附近，所以</p><p>　　越接近于1，相關(guān)程度越大。<

62、/p><p><b>　　4 總 結(jié)</b></p><p>　　作為數(shù)學(xué)的一個重要分支，不等式有著悠久的發(fā)展歷史和極其豐富的內(nèi)容。由其悠久的發(fā)展歷史可以發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)不等式理論充滿蓬勃生機，而且已得到突飛猛進的發(fā)展。作為一種基本的工具，不等式在數(shù)學(xué)學(xué)科與其它科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用。</p><p>　　Hadarmard不等式、Cauchy不等

63、式、Abel不等式以及Janous不等式都是非常重要的不等式，并廣泛應(yīng)用于在數(shù)學(xué)分析，對促進現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展起到了非常重要的作用。本文主要介紹了它們的基本形式、推廣形式以及應(yīng)用。經(jīng)過本次論文的寫作，作者從各個方面加深了對不等式的了解，也深刻體會到它們的魅力性。這些不等式在形式、證明和應(yīng)用上，都體現(xiàn)了代數(shù)與分析、概率與分析、高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)之間相互滲透，相互促進的內(nèi)在聯(lián)系。正如希爾波特所說：“數(shù)學(xué)是一有機整體，它的生命力依賴于各部分的聯(lián)系

64、?！背酥?，通過這次協(xié)作，本人也增強了自主探究數(shù)學(xué)問題的能力，掌握了研究數(shù)學(xué)問題的立足點和基本思想方法。如掌握研究數(shù)學(xué)問題或?qū)嶋H問題的方法是：發(fā)現(xiàn)問題——猜測結(jié)論——分析論證——推廣結(jié)論——應(yīng)用結(jié)果。又如利用類比歸納的方法掌握對數(shù)學(xué)問題進行多層次全方位的推廣研究，向高維的推廣、向縱深的推廣、類比橫向的推廣、反向的推廣以及這幾種推用的廣方法的聯(lián)合使再推廣。</p><p>　　在數(shù)學(xué)分析、調(diào)和函數(shù)、分析函數(shù)和偏微

65、方程等學(xué)科中上述不等式的身影處處可見，是使用得最為頻繁，最為廣泛的知識工具。本文的目的就是通過對若干重要不等式的推廣及應(yīng)用相關(guān)內(nèi)容的整理歸納，使人們能夠更加清楚的認識到它們的作用。</p><p><b>　　參考文獻</b></p><p>　　[1] Mitrinovic D S, Lackovic I B. Hermite and convexity[J].Ae

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69、，幾何不等式，北京大學(xué)出版社，1991</p><p>　　[13] 匡繼昌，常用不等式（M） 長沙教育出版社， 1993</p><p>　　[14] D.S.mitrinovic, P.E.Pecaric andV.Volenec ,in Inequalities[M],1989</p><p>　　[15] 鞠建恩.Cauchy不等式在初等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用[

70、J].南平師專學(xué)報，2002,21(2):35-38.</p><p>　　[16] 竺歡樂.用Cauchy不等式解釋樣本線性相關(guān)系數(shù)[J].數(shù)學(xué)通訊.2004,(7):11-12 </p><p><b>　　文獻綜述</b></p><p>　　若干重要不等式的推廣及應(yīng)用　　</p><p><b>　　前

71、言部分</b></p><p>　　眾所周知，不等式作為數(shù)學(xué)本身的一個組成部分以及一種重要的推理工具，被廣泛地應(yīng)用到數(shù)學(xué)的各個領(lǐng)域，尤其在分析學(xué)中，如偏微分方程、Sobolev空間等學(xué)科進行估值時，不等式的作用更是不可替代。不等式存在于數(shù)理科學(xué)的方方面面，無處不在。而其中一些不等式如Hadmard不等式、Abel不等式、Janous不等式更在數(shù)學(xué)的理論基礎(chǔ)理論的創(chuàng)建、延伸、和應(yīng)用上起著非凡的作用，這使

72、得不等式的研究成了當(dāng)前數(shù)學(xué)研究的一個熱點。</p><p>　　在數(shù)學(xué)領(lǐng)域里，不等式知識占有廣闊的天地，而一個個的重要不等式又把這片天地裝點得更加豐富多彩。通過大量文獻，我們可以歸納以下幾個重要不等式。</p><p>　　1．著名的Hadamard不等式可表述為：</p><p><b>　　是連續(xù)凸函數(shù)，則</b></p>&

73、lt;p><b>　　。</b></p><p>　　2． Abel不等式：</p><p><b>　　設(shè)則</b></p><p>　　等號當(dāng)且僅當(dāng)時成立。</p><p>　　3．Janous不等式：</p><p>　　設(shè)的邊BC，CA，AB，與面積分別為a,b

74、,c,,記任意一點P到頂點</p><p>　　A，B，C的距離,分別為,則</p><p>　　等號僅當(dāng)為正三角形且P為其中心時成立。</p><p>　　從大量文獻中我們可以發(fā)現(xiàn)這些重要不等式幾乎滲透到數(shù)學(xué)的各個領(lǐng)域而且處處扮演著精彩的角色，原因在于他們不僅能深刻地描述許多數(shù)學(xué)量之間的內(nèi)在本質(zhì)關(guān)系，得到所需要的結(jié)論，還能把許多已有的從不同方法得來的不等式用一種統(tǒng)

75、一的方法簡便地推導(dǎo)出來，它們也是推廣已有的不等式，發(fā)現(xiàn)新的不等式的一種強有力的工具，在其他各種應(yīng)用性較強的學(xué)科或領(lǐng)域中的應(yīng)用，更加顯示了它迷人的魅力。我們無法想象沒有Hadamard不等式、Abel不等式、Janous不等式以及其他一些不等式的數(shù)學(xué)將會是什么狀況。</p><p>　　在數(shù)學(xué)領(lǐng)域里，不等式知識占有廣闊的天地，靈活應(yīng)用這些不等式，可以使一些較為復(fù)雜的問題迎刃而解，一套數(shù)學(xué)理論甚至往往最終歸結(jié)為一個不

76、同尋常的不等式，但是在不同的場合，不同的問題上我們會發(fā)現(xiàn)這些不等式還存在一定的局限性，因此我們需要探討這些重要不等式還可以在哪些場合發(fā)揮他們的重要作用，是否還可以進一步的推廣。</p><p><b>　　主題部分</b></p><p>　　眾所周知，不等式理論在數(shù)學(xué)理論中占有重要地位，它滲透到數(shù)學(xué)的各個領(lǐng)域，因此有必要對不等式理論的發(fā)展歷史有一個清晰的認識。<

77、;/p><p>　　數(shù)學(xué)不等式的研究首先從歐洲國家興起，東歐國家有一個較大的研究群體，特別是原南斯拉夫國家。目前，對不等式理論感興趣的數(shù)學(xué)工作者邊部世界各個國家。</p><p>　　在數(shù)學(xué)不等式理論發(fā)展史上有兩個具有分水嶺意義的時間，分別是Chebycheff在1882年發(fā)表的論文和1928年Hardy任倫敦數(shù)學(xué)會主席屆滿時的演講。Hardy，Littlewood和Play的著作Inequa

78、lities的前言中對不等式的哲學(xué)給出了有見地的見解；一般來講初等的不等式應(yīng)該有初等的證明，證明應(yīng)該是“內(nèi)在”的，而且應(yīng)該給出等號成立的證明。A.M.Fink認為，人們應(yīng)該盡量陳述和證明不能推廣的不等式。Hardy認為，基本的不等式是初等的。自從著名數(shù)學(xué)家G.H.Hardy，J.E.Littlewood和G.Plya的著作Inequalities于1934年出版以來，數(shù)學(xué)不等式理論極其應(yīng)用的研究正式粉墨登場，成為一門新興數(shù)學(xué)學(xué)科，從此不

79、等式不再是一些零星散亂的、孤立的公式綜合，它已發(fā)展成為一套系統(tǒng)的科學(xué)理論。</p><p>　　20世紀70年代以來，國際上每四年在德國召開一次一般不等式國家學(xué)術(shù)會議，并出版專門的會議論文集。不等式理論也是2000年在意大利召開的第三界世界非線性分析學(xué)家大會的主題之一。2000年和2001年在韓國召開的第6屆和第7屆非線性泛涵分析和應(yīng)用國際會議與2000年在我國大連理工大學(xué)召開的ISAAC都將數(shù)學(xué)不等式作為主要的

80、議題安排在會議日程之中。</p><p>　　20世紀80年代以來在中國大地上出現(xiàn)了持續(xù)高漲的不等式研究熱潮。20世紀80年代楊路等教授對幾何不等式研究的一系列開創(chuàng)性工作，將我國幾何不等式的研究推向高潮，在代數(shù)不等式方面，王挽讕教授對Fanky不等式的深入研究達到國際領(lǐng)先水平。祁鋒教授極其領(lǐng)導(dǎo)的研究群體在平均不等式及其他不等式方面取得了大量而系統(tǒng)的前沿研究成果；對分析不等式，胡克教授于1981年發(fā)表在《中國科學(xué)》

81、上的論文《一個不等式極其若干應(yīng)用》，針對Holder不等式的缺陷提出一個全新的不等式，被美國數(shù)學(xué)評論稱之為“一個杰出的非凡的新的不等式”，現(xiàn)在稱之為胡克不等式，胡克教授對這個不等式極其應(yīng)用作出了系統(tǒng)而深刻的研究。</p><p>　　歷史上，華人數(shù)學(xué)家在不等式領(lǐng)域作出過重要貢獻，包括華羅庚，林東坡，徐利治、王忠烈、王興華等老一代數(shù)學(xué)家。最近幾年我國有許多數(shù)學(xué)工作者始終活躍在國際數(shù)學(xué)不等式理論極其應(yīng)用的領(lǐng)域，他們在

82、相關(guān)方面做出了獨特的貢獻，引起國內(nèi)外同行的注意和重視。例如：王挽瀾教授、石煥南教授、楊必成教授、楊國勝教授等。</p><p>　　目前國內(nèi)關(guān)于數(shù)學(xué)不等式理論極其應(yīng)用的研究也有較豐富的成果。例如匡繼昌的專著《常用不等式》一書由于供不應(yīng)求，在短短的幾年內(nèi)已經(jīng)出版了第2版，重印過多次。對于數(shù)學(xué)專著來講，這是少有的現(xiàn)象。第二本較有影響的專著是王松桂和賈忠貞合著的《矩陣論中不等式》。另外，國內(nèi)還有一個不等式研究小組比較活

83、躍，主辦一個《不等式研究通訊的內(nèi)部交流刊物。</p><p>　　在眾多的科研問題中，我們常常需要進行估值計算。估值的精度直接影響到我們研究結(jié)果的成敗。不等式是我們進行估值的重要工具，因此要求在熟悉若干重要不等式的基礎(chǔ)上，研究這些不等式可否進一步推廣，這些工作對于我們來說是困難的，可喜的是從大量文獻中我們可以得到這幾個重要的不等式的推廣和應(yīng)用。</p><p>　　Hadarmard不等式

84、的推廣和應(yīng)用</p><p><b>　　（1）推廣：</b></p><p>　　1.1定理：設(shè)是連續(xù)凸函數(shù)，函數(shù)</p><p><b>　　滿足</b></p><p><b>　　記則有</b></p><p>　　1.2定理:設(shè)在上連續(xù)，則&l

85、t;/p><p><b>　　1.3定理：設(shè)，</b></p><p><b>　　則有</b></p><p><b>　?。?）應(yīng)用</b></p><p>　　1.4 推論： 設(shè)是中點凸函數(shù)，即</p><p><b>　　記 ，<

86、/b></p><p><b>　　則有 </b></p><p>　　1.5推論：設(shè)為兩個正實數(shù)的重階Stolarsky平均,則當(dāng)時，</p><p><b>　　成立，</b></p><p>　　當(dāng)時，取等號成立；當(dāng)時，不等號反向成立。</p><p>　　注：當(dāng)

87、時又可以得到關(guān)于所滿足的不等式鏈以及是數(shù)學(xué)中極其重要的幾種平均，且它們有著廣泛的實際意義，因此通過Hadamard不等式來推廣這些平均是很有意義的課題。</p><p>　　Abel不等式的推廣和應(yīng)用</p><p><b>　　(1) 推廣</b></p><p><b>　　2.1定理：設(shè) 則</b></p>

88、;<p><b>　　，等號當(dāng)且僅當(dāng)在</b></p><p><b>　　且時成立。</b></p><p>　　2.2 引理: 設(shè)則</p><p>　　等號當(dāng)且僅當(dāng)時成立。</p><p><b>　　2.3定理：設(shè)</b></p><

89、p><b>　　，則不等式</b></p><p><b>　　(2)應(yīng)用 </b></p><p>　　2.4推論:在定理2.1中，令便可得到Abel不等式；特別地，在定理中令即可得到著名的Popoviciu不等式的推廣形式。</p><p><b>　　2.5推論：設(shè)則</b></p&

90、gt;<p><b>　　成立；</b></p><p>　　在上述不等式中，令便可得到Popoviciu不等式。</p><p>　　Janous不等式的推廣和應(yīng)用</p><p><b>　　推廣</b></p><p>　　3.1定理 : 設(shè)與的面積分別為。又P為任意一點，Q為內(nèi)

91、部任一點，Q到的距離分別為則</p><p><b>　　，等號當(dāng)且僅當(dāng)，</b></p><p>　　均為正三角形且P與Q分別為它們的中心時成立。</p><p>　　3.2引理 :設(shè)與的面積分別為，則對任意一點P有</p><p>　　，等號當(dāng)且僅當(dāng)與為相似的銳角三角形，且P為的垂心時成立。</p>&

92、lt;p>　　3.3 不等式加強： </p><p>　　，其中為相應(yīng)邊上的中線。</p><p><b>　　應(yīng)用</b></p><p>　　3.4推論：設(shè)的邊分別為其符號同上，則對任</p><p><b>　　意一點P有</b></p><p>　　特別地，

93、令為正三角形，則又可得</p><p>　　3.5推論：對與任一點有</p><p>　　從文獻和學(xué)者的工作中我們可以發(fā)現(xiàn)，今后不等式的研究，可以從以下4個方面考慮：</p><p>　　1)推廣和改進現(xiàn)有的不等式；2)建立新的不等式；3)擴大不等式的應(yīng)用范圍，4)探索不等式的證明方法。研究的領(lǐng)域可以總結(jié)為:1)如何用不等式去刻劃各種函數(shù)空間，2)在函數(shù)論，<

94、/p><p>　　特別是函數(shù)逼近論中，有正定理，即從函數(shù)F的構(gòu)造性質(zhì)去推斷最佳逼近收斂速度，以及逆定理，3)在概率中許多定律是通過不等式陳述的，因此概率統(tǒng)計中的不等式的研究一直是人們關(guān)注的熱點之一，4)用不等式估計各種問題近似解的誤差，5)幾何學(xué)中的不等式，應(yīng)該特別關(guān)注凸體理論和等周不等式，6)線性規(guī)劃（運輸調(diào)配、生產(chǎn)安排、產(chǎn)品用料配方、經(jīng)濟計劃等）歸結(jié)為一個線性函數(shù)。</p><p>　　要

95、追尋一個眾所周知的不等式的起源常常是很困難的，很可能它是在一篇關(guān)于幾何學(xué)或天文學(xué)方面的論文作為一個輔助命題（通常缺乏明確的論證）首先出現(xiàn)的。過了若干年之后，它或許又被許多其他作者重新發(fā)現(xiàn)，但可能始終缺乏容易理解且十分完善的敘述。我們總會發(fā)現(xiàn)，即使對于那些最著名的不等式，也還是可以添加一些新的內(nèi)容。就象上述的一些不等式的推廣和應(yīng)用，反映了這些數(shù)學(xué)家孜孜不倦的辛勞和他們的用心，他們的注意力不只限于他們當(dāng)時所考慮的問題。從普遍性和完整性的角度

96、，使得他們對這些不等式進行不懈的思考，終于完成推廣、擴大其應(yīng)用范圍，使之臻于完善，在我們看來這的確是一項艱難的工作。著名分析學(xué)家Michiel Hazewinkel在他的書中寫到：“有時我有這樣的感覺，數(shù)學(xué)（特別是分析學(xué)）就是不等式”。不等式理論在未來的作用可見一斑。目前，對不等式理論感興趣的數(shù)學(xué)工作者遍布世界各個國家，而不等式的作用越來越明顯，相信對于這些不等式的研究將會繼續(xù)持續(xù)下去。</p><p><

97、b>　　三、總結(jié)部分</b></p><p>　　作為數(shù)學(xué)的一個重要分支，不等式有著悠久的發(fā)展歷史和極其豐富的內(nèi)容。由其悠久的發(fā)展歷史可以發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)不等式理論充滿蓬勃生機、興旺發(fā)達，而且已得到突飛猛進的發(fā)展。作為一種基本的工具，不等式在數(shù)學(xué)學(xué)科與其它科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用。</p><p>　　Hadarmard不等式、Abel不等式以及Janous不等式都是非常重要的

98、不等式，在數(shù)學(xué)分析中有著廣泛的應(yīng)用，對于促進現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展起到了非常重要的作用，本文主要介紹了它們的基本形式、推廣形式以及幾個常見應(yīng)用。</p><p>　　在數(shù)學(xué)分析、調(diào)和函數(shù)、分析函數(shù)和偏微方程等學(xué)科中上述不等式的身影處處可見，是使用得最為頻繁，最為廣泛的知識工具。本文的目的就是通過對這3個不等式的推廣及應(yīng)用相關(guān)內(nèi)容的整理歸納，使人們能夠更加清楚的認識到它們的作用。</p><p>　

99、　最后通過文獻了解到不等式的研究前景和范圍是極其廣泛的，由此了解重要不等式的研究前景是十分廣闊的。</p><p>　　四、參考文獻（根據(jù)文中參閱和引用的先后次序按序編排）、</p><p>　　[1] Mitrinovic D S, Lackovic I B. Hermite and convexity[J].Aequat Math, 1985</p><p>　

100、　[2] 匡繼昌，常用不等式（M） 長沙教育出版社， 1993</p><p>　　[3] D.S.mitrinovic, P.E.Pecaric andV.Volenec ,in Inequalities[M],1989</p><p>　　[4] GAO Ming-Zhe, WEI Shang-rong, On the Hilbert Inequality with Weight

101、s[J].Zeitschrift fur Analysis Und ihre Anwendungen,2002</p><p>　　[5] 田琳 ，黃常春，李海龍，樂山師范學(xué)院學(xué)報第22卷12期 ，2007</p><p>　　[6] 文家金，關(guān)于可微函數(shù)的一個不等式鏈[J]，成都大學(xué)學(xué)報， 1993</p><p>　　[7] 楊鎮(zhèn)杭，指數(shù)平均與對數(shù)平均[J] ，

102、數(shù)學(xué)的時間與認識， 1987</p><p>　　[8] 丁勇 ， 兩類平均極其應(yīng)用[J] ，數(shù)學(xué)的實踐與認識，1995</p><p>　　[9] 孫明保，關(guān)于凸函數(shù)的雙參數(shù)平均不等式[J]，數(shù)學(xué)的實踐與認識，1997</p><p>　　[10]李文榮，徐本順，凸函數(shù)-不等式-平均值[M]，遼寧教育出版社，1990</p><p>　　

103、[11]王向東，蘇化明，王方漢，不等式、理論、方法，河南教育出版社，1994</p><p>　　[12]吳善和 ，Abel不等式的一個推廣和應(yīng)用，龍巖師專學(xué)報，2003</p><p>　　[13]劉健 ，雙圓n邊形的雙圓半徑不等式[J]。湖南數(shù)學(xué)通訊，1988</p><p>　　[14]褚小光，關(guān)于三角形一東點的若干不等式[J]，濱州師專學(xué)報，2001<

104、;/p><p>　　[15]0.Bottema等，單尊譯，幾何不等式，北京大學(xué)出版社，1991</p><p>　　[16] 匡繼昌，一般不等式研究在中國的新進展，自然科學(xué)報，2005</p><p><b>　　開題報告</b></p><p><b>　　數(shù)理與信息工程學(xué)院</b></p>

105、;<p>　　一、選題的背景、意義（所選課題的歷史背景、國內(nèi)外研究現(xiàn)狀和發(fā)展趨勢）</p><p>　　數(shù)學(xué)不等式的研究首先從歐洲國家興起，東歐國家有一個較大的研究群體，特別是原南斯拉夫國家。目前，對不等式理論感興趣的數(shù)學(xué)工作者遍部世界各個國家。</p><p>　　20世紀70年代以來，國際上每四年在德國召開一次一般不等式國家學(xué)術(shù)會議，并出版專門的會議論文集。不等式理論也是

106、2000年在意大利召開的第三界世界非線性分析學(xué)家大會的主題之一。2000年和2001年在韓國召開的第6屆和第7屆非線性泛涵分析和應(yīng)用國際會議與2000年在我國大連理工大學(xué)召開的ISAAC都將數(shù)學(xué)不等式作為主要的議題安排在會議日程之中。</p><p>　　20世紀80年代以來在中國大地上出現(xiàn)了持續(xù)高漲的不等式研究熱潮。20世紀80年代楊路等教授對幾何不等式研究的一系列開創(chuàng)性工作，將我國幾何不等式的研究推向高潮，在

107、代數(shù)不等式方面，王挽讕教授對Fanky不等式的深入研究達到國際領(lǐng)先水平。祁鋒教授極其領(lǐng)導(dǎo)的研究群體在平均不等式及其他不等式方面取得了大量而系統(tǒng)的前沿研究成果；對分析不等式，胡克教授于1981年發(fā)表在《中國科學(xué)》上的論文《一個不等式極其若干應(yīng)用》，針對Holder不等式的缺陷提出一個全新的不等式，被美國數(shù)學(xué)評論稱之為“一個杰出的非凡的新的不等式”，現(xiàn)在稱之為胡克不等式，胡克教授對這個不等式極其應(yīng)用作出了系統(tǒng)而深刻的研究。</p>

108、;<p>　　歷史上，華人數(shù)學(xué)家在不等式領(lǐng)域作出過重要貢獻，包括華羅庚，林東坡，徐利治、王忠烈、王興華等老一代數(shù)學(xué)家。最近幾年我國有許多數(shù)學(xué)工作者始終活躍在國際數(shù)學(xué)不等式理論極其應(yīng)用的領(lǐng)域，他們在相關(guān)方面做出了獨特的貢獻，引起國內(nèi)外同行的注意和重視。例如：王挽瀾教授、石煥南教授、楊必成教授、楊國勝教授等。</p><p>　　目前國內(nèi)關(guān)于數(shù)學(xué)不等式理論極其應(yīng)用的研究也有較豐富的成果。例如匡繼昌的專著

109、《常用不等式》一書由于供不應(yīng)求，在短短的幾年內(nèi)已經(jīng)出版了第2版，重印過多次。對于數(shù)學(xué)專著來講，這是少有的現(xiàn)象。第二本較有影響的專著是王松桂和賈忠貞合著的《矩陣論中不等式》。另外，國內(nèi)還有一個不等式研究小組比較活躍，主辦一個《不等式研究通訊的內(nèi)部交流刊物。</p><p>　　從文獻和學(xué)者的工作中我們可以發(fā)現(xiàn)，今后不等式的研究，可以從以下4個方面考慮：</p><p>　　1)推廣和改進現(xiàn)有

110、的不等式；2)建立新的不等式；3)擴大不等式的應(yīng)用范圍，4)探索不等式的證明方法。研究的領(lǐng)域可以總結(jié)為:1)如何用不等式去刻劃各種函數(shù)空間，2)在函數(shù)論，</p><p>　　特別是函數(shù)逼近論中，有正定理，即從函數(shù)F的構(gòu)造性質(zhì)去推斷最佳逼近收斂速度，以及逆定理，3)在概率中許多定律是通過不等式陳述的，因此概率統(tǒng)計中的不等式的研究一直是人們關(guān)注的熱點之一，4)用不等式估計各種問題近似解的誤差，5)幾何學(xué)中的不等式，

111、應(yīng)該特別關(guān)注凸體理論和等周不等式，6)線性規(guī)劃（運輸調(diào)配、生產(chǎn)安排、產(chǎn)品用料配方、經(jīng)濟計劃等）歸結(jié)為一個線性函數(shù)。</p><p>　　二、研究的基本內(nèi)容與擬解決的主要問題</p><p>　　在數(shù)學(xué)領(lǐng)域里，不等式知識占有廣闊的天地，而一個個的重要不等式又把這片天地裝點得更加豐富多彩。而其中一些不等式如Hadmard不等式、Abel不等式、Janous不等式以及其他不等式更是在數(shù)學(xué)的理論基

112、礎(chǔ)理論的創(chuàng)建、延伸、和應(yīng)用上起著非凡的作用，這使得不等式的研究成了當(dāng)前數(shù)學(xué)研究的一個熱點。</p><p>　　1．著名的Hadamard不等式可表述為：</p><p><b>　　是連續(xù)凸函數(shù)，則</b></p><p><b>　　。</b></p><p>　　2． Abel不等式：<

113、/p><p><b>　　設(shè)則</b></p><p>　　等號當(dāng)且僅當(dāng)時成立。</p><p>　　3．Janous不等式：</p><p>　　設(shè)的邊BC，CA，AB，與面積分別為a,b,c,,記任意一點P到頂點</p><p>　　A，B，C的距離,分別為,則</p><p

114、>　　等號僅當(dāng)為正三角形且P為其中心時成立。</p><p>　　靈活應(yīng)用這些不等式，可以使一些較為困難的問題迎刃而解，一套數(shù)學(xué)理論甚至往往最終歸結(jié)為一個不同尋常的不等式，但是在不同的場合，不同的問題上我們會發(fā)現(xiàn)這些不等式還存在一定的局限性，由此我們需要探討這些重要不等式還可以在哪些場合發(fā)揮他們的重要作用，是否還可以進一步的推廣。因此我的論文工作著重于Abel、Hadmard、Janous等一些重要不等式的

115、歸納總結(jié)；分別討論這些不等式的推廣形式以及論述這些不等式及其推廣形式的應(yīng)用。</p><p>　　三、研究的方法與技術(shù)路線、研究難點，預(yù)期達到的目標(biāo)</p><p>　　通過大量的文獻了解到不等式的研究前景和范圍是極其廣泛的。今后不等式的研究，可以從以下4個方面考慮：1)推廣和改進現(xiàn)有的不等式；2)建立新的不等式；3)擴大不等式的應(yīng)用范圍，4)探索不等式的證明方法。本論文的目的就是若干重要

116、不等式的推廣和應(yīng)用，以達到對不等式有更好的了解。參考一些文獻和質(zhì)資料，通過自己對資料的學(xué)習(xí)及理解，在此基礎(chǔ)上，將別人的努力和自己的努力結(jié)合起來，相信會得到一些有用的結(jié)論。</p><p>　　研究的難點在于，不等式知識多且煩瑣，本身對于不等式的了解有限，因而在摸索過程中可能會遇到很多沒學(xué)習(xí)到的知識，自身獨立研究這些不等式的推廣和應(yīng)用難度很大，在這方面只有通過自己多看書，多找質(zhì)料，多和指導(dǎo)老師討論來解決。諸多文獻中

117、這些不等式的推廣和應(yīng)用較多，但是雜且亂，將他們的成果進行整理和歸納也是一項不易的工作。</p><p>　　大量的學(xué)者對于不等式的研究已經(jīng)趨于完美，本論文的目的就是在前人工作的前提之下，對他們的工作進行總結(jié)與歸納，以更好的解決一些數(shù)學(xué)上的問題，例如運用不等式我們可以進行估值，求最優(yōu)解等等。重要不等式可以幫助我們就解決很多的問題，因此想對這些不等式做進一步的認識，希望可以在以后的生活、工作、學(xué)習(xí)中會有幫助。<

118、/p><p>　　四、論文詳細工作進度和安排</p><p>　　2011-02-21至2011-03-20 完成初稿；2011-03-21至2011-04-20 在導(dǎo)師的指導(dǎo)下完成第一次修改；2011-04-21至2011-05-20 在導(dǎo)師的指導(dǎo)下完成第二次修改并定稿；2011-05-21至2011-05-23 準(zhǔn)備論文答辯。五、主要參考文獻：</p><

119、;p>　?。ㄋ谐龅膮⒖嘉墨I原則上不少于10篇，并應(yīng)有不少于2篇的外文文獻）</p><p><b>　　參考文獻格式： </b></p><p>　　[1] 胡克，解析不等式的若干問題[M]，武漢大學(xué)出版社，2003</p><p>　　[2] 匡繼昌，常用不等式（M） 長沙教育出版社， 1993</p><p

120、>　　[3] D.S.mitrinovic, P.E.Pecaric andV.Volenec ,in Inequalities[M],1989</p><p>　　[4] GAO Ming-Zhe, WEI Shang-rong, On the Hilbert Inequality with Weights[J].Zeitschrift fur Analysis Und ihre Anwendungen,

121、2002</p><p>　　[5] 田琳 ，黃常春，李海龍，樂山師范學(xué)院學(xué)報第22卷12期 ，2007</p><p>　　[6] 文家金，關(guān)于可微函數(shù)的一個不等式鏈[J]，成都大學(xué)學(xué)報， 1993</p><p>　　[7] 楊鎮(zhèn)杭，指數(shù)平均與對數(shù)平均[J] ，數(shù)學(xué)的時間與認識， 1987</p><p>　　[8] 丁勇 ， 兩類平均

122、極其應(yīng)用[J] ，數(shù)學(xué)的實踐與認識，1995</p><p>　　[9] 孫明保，關(guān)于凸函數(shù)的雙參數(shù)平均不等式[J]，數(shù)學(xué)的實踐與認識，1997</p><p>　　[10]李文榮，徐本順，凸函數(shù)-不等式-平均值[M]，遼寧教育出版社，1990</p><p>　　[11]王向東，蘇化明，王方漢，不等式、理論、方法，河南教育出版社，1994</p>&