論級(jí)數(shù)求和的解題策略[畢業(yè)論文+開題報(bào)告+文獻(xiàn)綜述]

1、<p><b>　　本科畢業(yè)論文</b></p><p><b>　?。?0 屆）</b></p><p>　　論級(jí)數(shù)求和的解題策略</p><p>　　所在學(xué)院 </p><p>　　專業(yè)班級(jí) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)

2、 </p><p>　　學(xué)生姓名 學(xué)號(hào) </p><p>　　指導(dǎo)教師 職稱 </p><p>　　完成日期 年 月 </p><p>　　摘 要: 在科研領(lǐng)域中，我們經(jīng)常需要研究如何求級(jí)數(shù)的和。因?yàn)榧?jí)數(shù)求和

3、的方法通常比較靈活且技巧性強(qiáng)，所以本文在閱讀大量文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上,主要對(duì)級(jí)數(shù)求和的若干種方法經(jīng)行了綜述，如冪級(jí)數(shù)法、傅里葉級(jí)數(shù)法、微分方程法等。</p><p>　　關(guān)鍵詞： 級(jí)數(shù)；級(jí)數(shù)收斂；級(jí)數(shù)求和</p><p>　　On The Sum of Series Problem Solving Strategy </p><p>　　Abstract: In the

4、 field of scientific research , we often need to study how to find the summation of series .Because the method of series summation techniques are usually more flexible and strong, thus on the basis of reading extensive l

5、iterature, this article reviews several methods which were mainly to the series summation, such as power series method, Fourier series method, differential equation method and so on.</p><p>　　Key words: Ser

6、ies； Series Convergence； Summation of Series</p><p><b>　　目 錄</b></p><p><b>　　1 引言1</b></p><p>　　2 級(jí)數(shù)求和的解題策略1</p><p>　　2.1根據(jù)收斂定義求數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和1&

7、lt;/p><p>　　2.2利用冪級(jí)數(shù)求數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和7</p><p>　　2.3利用傅里葉級(jí)數(shù)求數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和10</p><p>　　2.4利用遞推公式求數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和13</p><p>　　2.5利用微分方程求數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和16</p><p>　　2.6通過(guò)求導(dǎo)求數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和17</p>&l

8、t;p>　　2.7利用差分求數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和19</p><p>　　2.8利用概率組合求數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和22</p><p>　　3 致謝錯(cuò)誤!未定義書簽。</p><p><b>　　4 參考文獻(xiàn)26</b></p><p><b>　　1 引言</b></p><p&

9、gt;　　級(jí)數(shù)理論是數(shù)學(xué)研究的重要對(duì)象，它不但在日常的生產(chǎn)、生活中都有廣泛的應(yīng)用，而且還是研究函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行數(shù)值計(jì)算的有力工具。其中級(jí)數(shù)求和是級(jí)數(shù)理論的基本問(wèn)題之一，也是較難解決的問(wèn)題，因?yàn)槌缺燃?jí)數(shù)、等差級(jí)數(shù)等一些常見的特殊級(jí)數(shù)外，一般級(jí)數(shù)都難以求出它的部分和，所以級(jí)數(shù)求和的方法比較靈活，技巧性也比較強(qiáng)，因此懂得一些解題策略和掌握一些解題方法也就顯得尤為重要。</p><p>　　無(wú)窮級(jí)數(shù)出現(xiàn)的很早，往往都是出現(xiàn)

10、在對(duì)個(gè)別問(wèn)題的研究中。到了中世紀(jì)，無(wú)窮級(jí)數(shù)引起了當(dāng)時(shí)哲學(xué)家與數(shù)學(xué)家的興趣。17世紀(jì)微積分誕生之后，無(wú)窮級(jí)數(shù)作為一種工具在數(shù)學(xué)的前進(jìn)中起到了巨大的推動(dòng)作用。為了把早期的微積分方法應(yīng)用于超越函數(shù)，常常需要把這些函數(shù)表示為可以逐項(xiàng)微分或積分的無(wú)窮級(jí)數(shù)，泰勒定理為此做出了貢獻(xiàn)。將函數(shù)展成無(wú)窮級(jí)數(shù)之后，人們又在考慮這個(gè)問(wèn)題的逆問(wèn)題，即級(jí)數(shù)的求和問(wèn)題[1]。</p><p>　　現(xiàn)今數(shù)學(xué)理論的學(xué)習(xí)與研究中，無(wú)窮級(jí)數(shù)也是一個(gè)有

11、效工具，無(wú)窮級(jí)數(shù)求和更是一塊重要內(nèi)容，它促使數(shù)學(xué)家在數(shù)學(xué)發(fā)展上進(jìn)行大膽的嘗試，雖然產(chǎn)生許多悖論，但使數(shù)學(xué)產(chǎn)生了很多分支，豐富了數(shù)學(xué)理論的發(fā)展。經(jīng)過(guò)歷史的研究與發(fā)展，結(jié)合歷史上大量數(shù)學(xué)家的研究理論與所得結(jié)論。當(dāng)今學(xué)者還對(duì)級(jí)數(shù)問(wèn)題與級(jí)數(shù)求和問(wèn)題都做出了深入的考察與進(jìn)一步的探究，創(chuàng)造性地提出了許多級(jí)數(shù)求和的策略與方法。此外，發(fā)散級(jí)數(shù)在天文、物理上的廣泛應(yīng)用，更是推動(dòng)了人類發(fā)展的進(jìn)步。</p><p>　　2 級(jí)數(shù)求和的

12、解題策略</p><p>　　2.1根據(jù)收斂定義求數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和</p><p>　　定義1[2]：給定一個(gè)數(shù)列，對(duì)它的各項(xiàng)依次用“+”號(hào)連接起來(lái)的表達(dá)式</p><p><b>　?、?lt;/b></p><p>　　稱為數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)或無(wú)窮級(jí)數(shù)（也常簡(jiǎn)稱級(jí)數(shù)），其中稱為數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)⑴的通項(xiàng)。</p><p>

13、　　數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)⑴也常寫作：或簡(jiǎn)單寫作.</p><p>　　數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)⑴的前項(xiàng)和，記為</p><p><b>　?、?lt;/b></p><p>　　稱它為數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)⑴的第個(gè)部分和，也簡(jiǎn)稱部分和。</p><p>　　定義2[2]：若數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)⑴的部分和數(shù)列收斂于（即），則稱數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)⑴收斂，稱為數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)⑴的和，記作</p&g

14、t;<p><b>　　或</b></p><p>　　若是發(fā)散數(shù)列，則稱數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)⑴發(fā)散。</p><p><b>　　待定系數(shù)法</b></p><p>　　定義[3]：將一個(gè)多項(xiàng)式表示成另一種含有待定系數(shù)的新的形式，這樣就得到一個(gè)恒等式。然后根據(jù)恒等式的性質(zhì)得出系數(shù)應(yīng)滿足的方程或方程組，再通過(guò)解方程或方程

15、組便可求出待定的系數(shù)，或找出某些系數(shù)所滿足的關(guān)系式，這種解決問(wèn)題的方法叫待定系數(shù)法。</p><p>　　其一般用法是，設(shè)某一多項(xiàng)式的全部或部分系數(shù)為未知數(shù)，利用兩個(gè)多項(xiàng)式恒等時(shí)同類項(xiàng)系數(shù)相等的原理或其它已知條件確定這些系數(shù)，從而得到待求的值。從更廣泛的意義上講，待定系數(shù)法是將某個(gè)解析式的一些常數(shù)看作未知數(shù)，利用已知條件確定這些未知數(shù)，使問(wèn)題得到解決的方法。求函數(shù)的表達(dá)式，把一個(gè)有理分式分解成幾個(gè)簡(jiǎn)單分式的和，求

16、方程的級(jí)數(shù)形式的解等都可以用這種方法。</p><p>　　因此，對(duì)于某些形如的級(jí)數(shù)，其中為一關(guān)于的既約有理真分式，即可運(yùn)用待定系數(shù)法化為部分分式，然后將所有部分分式通分相加，所得分式的分母即為原分母，而其分子亦與原分子恒等，于是，按同冪項(xiàng)系數(shù)必定相等，得到一組關(guān)于待定系數(shù)的線性方程，這組方程的解即為所需確定的系數(shù)，從而得到我們所需的部分分式。</p><p>　　然后作適當(dāng)組合，如果恰能

17、使其組合成為若干個(gè)形如的收斂級(jí)數(shù)和，即使得級(jí)數(shù)部分和中有正、負(fù)項(xiàng)交差相消，那么便能很容易求得的最簡(jiǎn)表達(dá)式，求極限后即得數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和[4]。</p><p><b>　　例1求級(jí)數(shù)的和</b></p><p><b>　　解：令</b></p><p><b>　　解得，</b></p>

18、<p><b>　　即</b></p><p><b>　　錯(cuò)位相減法</b></p><p>　　錯(cuò)位相減法是一種常用的數(shù)列求和方法，常用于等比數(shù)列與等差數(shù)列相乘的形式，形如（其中為等差數(shù)列，為等比數(shù)列）。我們可列出數(shù)列的和，再把所有式子同時(shí)乘以等比數(shù)列的公比，即，然后錯(cuò)一位，兩式相減即可[5]。</p><p

19、>　　對(duì)于某些形如的級(jí)數(shù)（其中為等差級(jí)數(shù)，為等比級(jí)數(shù)），為求級(jí)數(shù)的前項(xiàng)和，即可運(yùn)用錯(cuò)位相減法先求的和（為適當(dāng)系數(shù)），化簡(jiǎn)后即可得到所要求的.</p><p><b>　　即令，則，因此，</b></p><p>　　則，（為常數(shù)且），再對(duì)求極限即可得到數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和。</p><p>　　例2求級(jí)數(shù)的和 （）</p>&l

20、t;p>　　解：因?yàn)?（1）</p><p>　　則 （2）</p><p><b>　?、?⑵得</b></p><p><b>　　所以 ，</b></p><p><

21、b>　　得 </b></p><p>　　所以得所求級(jí)數(shù)的和</p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　公式法</b></p><p>　?、爬檬煜さ牡炔睢⒌缺葦?shù)列求和</p><p><b>　　我們已

22、經(jīng)知道：</b></p><p>　　①以為首項(xiàng), 為公差的等差數(shù)列的前項(xiàng)和的公式，且如果代入等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，也可用首項(xiàng)與公差表示，即.</p><p>　?、谝詾槭醉?xiàng), 為公比的等比數(shù)列的前項(xiàng)和的公式（），</p><p>　　又因?yàn)?，所以上面的公式可以寫成（），但?dāng)時(shí)，.</p><p>　　對(duì)于某些通過(guò)變形后可以化為熟悉

23、的等差、等比數(shù)列的級(jí)數(shù)，我們就可以運(yùn)用等差、等比數(shù)列的求和公式直接求級(jí)數(shù)的和。</p><p><b>　　例3求的和</b></p><p><b>　　解：依級(jí)數(shù)的性質(zhì)有</b></p><p><b>　　原級(jí)數(shù)</b></p><p><b>　?、评萌?/p>

24、角公式求和</b></p><p>　　我們已經(jīng)熟練掌握兩角和與差的三角公式，如；；.</p><p>　　因此，為求某些數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的前項(xiàng)和，我們可以靈活運(yùn)用三角函數(shù)知識(shí)，將數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的通項(xiàng)做適當(dāng)變形，若恰好能化為我們熟悉的三角函數(shù)，那么運(yùn)用我們熟悉的三角公式便可以較容易得到我們所要求的前項(xiàng)和，再對(duì)求極限即可得到數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和。</p><p>　　例4求

25、的和 </p><p><b>　　解：</b></p><p><b>　　由知 ，</b></p><p><b>　　若令</b></p><p><b>　　則</b></p><p><b>　　其中<

26、;/b></p><p><b>　　即</b></p><p><b>　?、抢脷W拉公式求和</b></p><p>　　在復(fù)數(shù)域上我們把稱為歐拉公式，其中是自然對(duì)數(shù)的底，是虛數(shù)單位。它將三角函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系。</p><p>　　因此，在實(shí)數(shù)域上我們

27、通常運(yùn)用一般三角公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化后求數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和，如上例；而在復(fù)數(shù)域上我們往往還可運(yùn)用歐拉公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化來(lái)求數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和[6]。</p><p>　　為了求某些形如，，的級(jí)數(shù)，我們可以利用歐拉公式，</p><p><b>　　令，則，</b></p><p><b>　　因此</b></p><p>&

28、lt;b>　　所以，.</b></p><p>　　例5求級(jí)數(shù)，（已知）</p><p><b>　　解：令，，則</b></p><p>　　所以代入歐拉公式得：</p><p>　　2.2利用冪級(jí)數(shù)求數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和</p><p>　　定義[2]：由冪級(jí)數(shù)列所產(chǎn)生的函數(shù)項(xiàng)級(jí)

29、數(shù)</p><p><b>　　稱為冪級(jí)數(shù)。</b></p><p>　?。ㄎ覀冎饕懻摦?dāng)，即的情形）</p><p>　　為求某些數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的前項(xiàng)和級(jí)數(shù)的和，我們可以找一個(gè)適當(dāng)?shù)膬缂?jí)數(shù)，使收斂域內(nèi)某一點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)恰好為所要求的數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，則可以借助冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)求數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和，即求出冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)，則便為所要求的數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和[7]。</

30、p><p>　　但由于通常情況下不能直接找到適當(dāng)冪級(jí)數(shù)，因此首先應(yīng)該根據(jù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的特點(diǎn)，再結(jié)合收斂級(jí)數(shù)的某些性質(zhì)，如某些已知冪函數(shù)的和函數(shù)，即利用一些常見的初等函數(shù)，如：，，，，的冪級(jí)數(shù)展開式等構(gòu)造冪級(jí)數(shù)，再利用收斂級(jí)數(shù)逐項(xiàng)加減的性質(zhì)或者逐項(xiàng)微分、逐項(xiàng)積分求得，最后求得</p><p>　　一、利用冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)求數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和</p><p>　　為求某些級(jí)數(shù)的和我們可

31、找一個(gè)適當(dāng)?shù)膬缂?jí)數(shù)，并借助此冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)求數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和，但通常情況下不能直接找到適當(dāng)冪級(jí)數(shù)。因此首先應(yīng)觀察所給級(jí)數(shù)，將其構(gòu)造成我們熟悉的冪級(jí)數(shù)，并利用此冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)求數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和。</p><p>　　利用的展開式求數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和</p><p>　　我們知道初等函數(shù)的展開式為，必要時(shí)我們可將其變形，再利用冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)即可求得有關(guān)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和。</p><p>　

32、　例6求級(jí)數(shù)的和求級(jí)</p><p><b>　　解：</b></p><p><b>　　考慮： </b></p><p><b>　　同理: </b></p><p>　　利用，的展開式求級(jí)數(shù)的和</p><p>　　我們知道三角函數(shù)

33、，的展開式分別為</p><p><b>　　，</b></p><p>　　必要時(shí)我們可以將其變形，再代入特殊點(diǎn)即可求得有關(guān)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和。</p><p>　　例7求級(jí)數(shù)的和 </p><p><b>　　解：</b></p><p><b>　　， <

34、/b></p><p><b>　　， </b></p><p>　　二、構(gòu)造冪級(jí)數(shù)求級(jí)數(shù)的和</p><p>　　求一個(gè)冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)不是一件簡(jiǎn)單的事，技巧性較強(qiáng)，因此在求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)時(shí)，有時(shí)我們也可以利用逐項(xiàng)微分或逐項(xiàng)積分的方法來(lái)得到。</p><p>　　例8求冪級(jí)數(shù) 的和</p><

35、;p>　　解：令 逐項(xiàng)微分得：</p><p><b>　　又因?yàn)?lt;/b></p><p><b>　　所以得 </b></p><p><b>　　積分得</b></p><p><b>　　于是得</b></p><p>

36、　　2.3利用傅里葉級(jí)數(shù)求數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和</p><p>　　利用函數(shù)的傅里葉展開求數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和</p><p>　　某些數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)很難直接找規(guī)律求出其和，但通過(guò)尋找某函數(shù)，利用傅里葉級(jí)數(shù)收斂定理將其展開成傅里葉級(jí)數(shù)，便可很容易求得此數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和。</p><p>　　傅里葉級(jí)數(shù)收斂定理[2]：若以為周期的函數(shù)在上按段光滑，則在每一點(diǎn)，的傅里葉級(jí)數(shù)收斂于在點(diǎn)的左、右極限

37、的算數(shù)平均值，即,其中，為的傅里葉系數(shù)。</p><p>　　例9將函數(shù)展開成傅里葉級(jí)數(shù)，并由此求以下數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和</p><p><b>　?。?） （2）</b></p><p><b>　?。?）（4）</b></p><p>　　解：顯然是按段光滑的，在[]上滿足收斂定理?xiàng)l件，<

38、/p><p>　　所以它可以展開成傅里葉級(jí)數(shù)</p><p><b>　　又</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　取，則</b></p><p><b>　　令 ；</b></p>

39、<p><b>　　； </b></p><p><b>　　則 </b></p><p><b>　　，，</b></p><p>　　利用函數(shù)奇（偶）延拓后正弦（余弦）的展開求數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和</p><p>　　某些數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)可以通過(guò)尋找某函數(shù)，并將此函數(shù)經(jīng)奇

40、（偶）延拓后展開成正弦（余弦）級(jí)數(shù)，再將某些指定點(diǎn)代入展開式中便可很容易求得所要求的數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和。</p><p>　　注[2]：①設(shè)是以為周期的偶函數(shù)，或是定義在上的偶函數(shù)，則在上， 是偶函數(shù)，是奇函數(shù)，因此的傅里葉系數(shù)是：</p><p>　　于是的傅里葉級(jí)數(shù)只含有余弦函數(shù)的項(xiàng)，即</p><p>　　此式右邊的級(jí)數(shù)稱為余弦級(jí)數(shù)；</p><

41、p>　　同理： 若是以為周期的奇函數(shù)，或是定義在上的奇函數(shù)，則可推得</p><p>　　所以當(dāng)為奇函數(shù)時(shí)，它的的傅里葉級(jí)數(shù)只含有正弦函數(shù)的項(xiàng)，即</p><p>　　此式右邊的級(jí)數(shù)即稱為正弦級(jí)數(shù)。</p><p>　?、?若，則偶函數(shù)所展開成的余弦級(jí)數(shù)為</p><p><b>　　，其中</b></p&g

42、t;<p>　　當(dāng)且為奇函數(shù)時(shí)，則它展開成的正弦級(jí)數(shù)為</p><p><b>　　，其中</b></p><p>　　在實(shí)際問(wèn)題中常需先把定義在上的函數(shù)作偶延拓或奇延拓到上，然后求延拓后函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)。</p><p>　　例10將函數(shù)在區(qū)間內(nèi)展開為正弦級(jí)數(shù)，并由展開式求下列數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和</p><p&g

43、t;　　解：因?yàn)檎归_成正弦級(jí)數(shù)，則有 </p><p><b>　　取，則</b></p><p>　　2.4利用遞推公式求數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和</p><p>　　一、利用已知恒等式，如函數(shù)函數(shù)，華利斯公式等求級(jí)數(shù)的和[8]</p><p>　　對(duì)于大量的一般級(jí)數(shù)來(lái)說(shuō)，在確定它收斂后，要求出它的和還是很困難，我們往往很

44、希望所給的級(jí)數(shù)恰好能構(gòu)成我們已知的一些數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，如等差、等比數(shù)列等，則利用等差、等比數(shù)列的求和公式便可很容易求得所給級(jí)數(shù)的和，當(dāng)然，除此之外已知的一些公式如函數(shù)、函數(shù)、華利斯公式等，也都可以作為求某些數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)和時(shí)的已知恒等式，現(xiàn)舉例如下：</p><p>　　定義[2]：含參量積分：；</p><p>　　在應(yīng)用中經(jīng)常出現(xiàn)，它們統(tǒng)稱為歐拉積分，其中前者又稱為Gamma函數(shù)（或?qū)懽骱瘮?shù)），后

45、者稱為Beta函數(shù)（或?qū)懽骱瘮?shù)）。</p><p>　　且對(duì)于任何正實(shí)數(shù)有，.</p><p><b>　　例11求</b></p><p><b>　　解：利用恒等式</b></p><p><b>　　并注意到：對(duì)，有</b></p><p>　　

46、用這個(gè)方法可以得到以下一些級(jí)數(shù)和：</p><p><b>　　例12求</b></p><p>　　解：由奇數(shù)冪的華利斯公式得：</p><p><b>　　因而=</b></p><p><b>　　同時(shí)</b></p><p>　　二、通過(guò)推導(dǎo)證

47、明得到的一些固定的有趣的求和公式求級(jí)數(shù)的和[9]</p><p>　　除了已知的一些常見公式如函數(shù)函數(shù)，華利斯公式等可以作為求某些級(jí)數(shù)和時(shí)的已知恒等式，通過(guò)推導(dǎo)證明還能得到的一些固定的有趣的求和公式，便于我們直接用來(lái)求級(jí)數(shù)的和。</p><p><b>　　典型例子如下：</b></p><p>　　公式1：若為自然數(shù)，則</p>

48、<p><b>　　證明：</b></p><p>　　特例：當(dāng)公式1中時(shí)得：</p><p>　　推廣得公式2： 若為自然數(shù)同理可得，則</p><p><b>　　例13計(jì)算</b></p><p>　　解：令，,應(yīng)用公式2得：</p><p><b&

49、gt;　　原式</b></p><p>　　公式3： </p><p><b>　　證明：</b></p><p><b>　　例14證明 </b></p><p>　　證明：令應(yīng)用公式3得：</p><p>　　公式4：

50、若為自然數(shù)，則</p><p><b>　　證明 ：</b></p><p>　　同理可證得公式5：若為自然數(shù)，則</p><p>　　例15 計(jì)算 </p><p>　　解：應(yīng)用公式5，令，，, </p><p><b>　　原式.</b></p>

51、<p>　　2.5利用微分方程求數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和</p><p>　　級(jí)數(shù)求和的方法很多，利用微分方程求數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和也不失為一種好方法，即為求某些數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和可通過(guò)一個(gè)引進(jìn)的輔助的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)來(lái)構(gòu)造級(jí)數(shù)所滿足的微分方程，然后解這個(gè)微分方程就可得到所要求的數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和[10]。</p><p>　　下面就某一熟悉的級(jí)數(shù)為例，來(lái)說(shuō)明利用微分方程求和的思想方法。</p><

52、;p><b>　　例16求級(jí)數(shù)的和</b></p><p>　　解：易知該冪級(jí)數(shù)的收斂半徑,故在內(nèi)極數(shù)處處收斂，且可逐項(xiàng)求導(dǎo)，</p><p>　　令，對(duì)逐項(xiàng)求導(dǎo)得：</p><p>　　又當(dāng)時(shí)，解一階段微分方程得： </p><p><b>　　即</b></p><

53、p>　　2.6通過(guò)求導(dǎo)求數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和[11]</p><p>　　定義1[12]：算子是表示一種對(duì)函數(shù)的運(yùn)算符號(hào)。如同普通的運(yùn)算符號(hào)作用于數(shù)后可以得到新的數(shù)那樣，一個(gè)算子作用于一個(gè)函數(shù)后可以根據(jù)一定的規(guī)則生成一個(gè)新的函數(shù)。</p><p>　　定義2[12] ：設(shè)，是兩個(gè)線性空間，是的一個(gè)線性子空間，是一種映射，稱為的定義域，有時(shí)記做，為的值域，若（），那么稱是一個(gè)線性算子。<

54、/p><p>　　定義3：設(shè)為的任意次可導(dǎo)函數(shù)，為的多項(xiàng)式算子，</p><p>　　則規(guī)定如下：⑴ ，</p><p><b>　　……</b></p><p><b>　?、?為常數(shù)，</b></p><p>　　性質(zhì)1：和都是線性算子，即⑴；</p>

55、<p><b>　　⑵</b></p><p><b>　　其中為常數(shù)。</b></p><p>　　性質(zhì)2：設(shè)則 </p><p>　　（?。?⑴</p><p>　?。áⅲ?⑵</p>&l

56、t;p>　　定理：設(shè)，（為任意自然數(shù)），其收斂半徑，</p><p>　　則對(duì)任意多項(xiàng)式和有： ⑶</p><p>　　推論1： 設(shè)的收斂半徑,為任意多項(xiàng)式，</p><p>　　則級(jí)數(shù)收斂，且 ⑷ </p><p>　　推論2：設(shè)的收斂半徑，為任意多項(xiàng)式，</p><p>　　則級(jí)數(shù)收斂，

57、且 ⑸</p><p>　　下面舉例說(shuō)明上述結(jié)論的應(yīng)用</p><p>　　例17求下列級(jí)數(shù)之和</p><p><b>　?、?②</b></p><p><b>　　解：因 ，</b></p><p><b>　　故可取，取，</b&

58、gt;</p><p>　　則利用推論1，即⑷式即得：</p><p><b>　　.</b></p><p>　　同理：利用推論2，即⑸式得：</p><p>　　綜上所訴，利用多項(xiàng)式導(dǎo)算子計(jì)算級(jí)數(shù)和的方法，一般適用于下列級(jí)數(shù)：</p><p>　　冪級(jí)數(shù)滿足它的通項(xiàng)系數(shù)能分解為：其中是某函數(shù)在

59、原點(diǎn)展開的Taylor級(jí)數(shù)的通項(xiàng)系數(shù)，為多項(xiàng)式，此時(shí)可取，且有 ⑹</p><p>　　當(dāng)然，如果數(shù)值級(jí)數(shù)它的通項(xiàng)能分解為：，c為常數(shù)，為任意多項(xiàng)式，為某函數(shù)在原點(diǎn)展開的Taylor級(jí)數(shù)的通項(xiàng)系數(shù)，且其收斂半徑,則也能利用多項(xiàng)式導(dǎo)算子計(jì)算此級(jí)數(shù)的和，且此時(shí)可取,且</p><p>　　有 ⑺</p><p>　

60、　2.7利用差分求數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和</p><p>　　求數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和的方法較為靈活，某些級(jí)數(shù)很難找到一般思路來(lái)求它的和，下面通過(guò)介紹差分的定義及性質(zhì)，引入求一般項(xiàng)級(jí)數(shù)與某些系數(shù)為多項(xiàng)式的冪級(jí)數(shù)的和的新方法。</p><p>　　定義[13]：設(shè)數(shù)列，稱為數(shù)列的一階差分。</p><p>　　性質(zhì)[13]：：設(shè)已知數(shù)列和，則</p><p>　　

61、⑴線性性質(zhì)：若、為常數(shù)，則有</p><p><b>　?、瞥朔e性質(zhì)：</b></p><p><b>　?、欠植啃再|(zhì)：</b></p><p>　　一、利用差分的性質(zhì)求一般數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和</p><p><b>　　例18求的和</b></p><p>

62、;<b>　　解：設(shè)因</b></p><p><b>　　則（其中）</b></p><p><b>　　由差分性質(zhì)⑶</b></p><p><b>　　，</b></p><p>　　將，，，，，等代入表達(dá)式即得</p><p&g

63、t;<b>　　即</b></p><p>　　二、利用差分的性質(zhì)求系數(shù)為多項(xiàng)式的級(jí)數(shù)的和</p><p>　　對(duì)于大部分級(jí)數(shù)來(lái)說(shuō)，其求和問(wèn)題方法多、技巧強(qiáng)，但對(duì)于任何一個(gè)冪級(jí)數(shù)來(lái)說(shuō)，只要它的系數(shù)可表達(dá)為項(xiàng)數(shù)的代數(shù)多項(xiàng)式，略為改寫后我們就可以毫無(wú)困難地求出它的和。</p><p>　　下面就某一收斂半徑為正的冪級(jí)數(shù)進(jìn)行考察。</p>

64、<p>　　若是具有正的收斂半徑的冪級(jí)數(shù)，那么就有</p><p>　　在這里于是可得[14]：</p><p><b>　　（其中，）</b></p><p>　　如果，而且，為的定義域，我們可得：，</p><p><b>　　于是就有</b></p><p&g

65、t;<b>　　亦即：</b></p><p><b>　?。?）</b></p><p><b>　　類推之，令</b></p><p><b>　　，（）</b></p><p>　　對(duì)級(jí)數(shù) 應(yīng)用公式（1）我們可得</p><p&g

66、t;<b>　　于是就有：</b></p><p>　　把這過(guò)程連續(xù)重復(fù)次我們就可得到：</p><p><b>　　也就是：</b></p><p><b>　　（2） ，</b></p><p>　　在這里我們定義 ，現(xiàn)在假設(shè)為一個(gè)次數(shù)不大于的多項(xiàng)式，</p>

67、;<p>　　則 </p><p>　　注意到級(jí)數(shù) 的收斂半徑為1，根據(jù)（2）式可得：</p><p><b>　?。?）|x|<1</b></p><p>　　例19,|x|<1</p><p><b>　　解： 這里 </b></p>

68、;<p><b>　　應(yīng)用公式（3）得：</b></p><p>　　2.8利用概率組合求數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和</p><p>　　為求某些級(jí)數(shù)的和，我們還可以很巧妙地運(yùn)用概率知識(shí)，構(gòu)造適當(dāng)?shù)母怕誓Ｐ?，再運(yùn)用概率論的有關(guān)性質(zhì)、公式、結(jié)論和數(shù)學(xué)特征，計(jì)算出所構(gòu)造模型中相關(guān)事件的概率，進(jìn)而推導(dǎo)出某些組合恒等式來(lái)求得級(jí)數(shù)的和；還可以對(duì)組合數(shù)公式進(jìn)行深入探討，得到新的性

69、質(zhì)并通過(guò)對(duì)其恒等式的變形來(lái)求得級(jí)數(shù)的和。</p><p>　　一、概率在數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)求和中的應(yīng)用[15]</p><p>　　某些無(wú)窮級(jí)數(shù)的求和問(wèn)題，有時(shí)不論是用初等方法還是用分析方法等都有相當(dāng)?shù)睦щy。但是，如果我們轉(zhuǎn)換角度，另僻解題門徑，利用概率計(jì)算的基本方法，構(gòu)造相應(yīng)的概率模型，往往可期望獲得“柳暗花明”的功效。</p><p>　　例20證明無(wú)窮級(jí)數(shù)</p

70、><p><b>　　的和為</b></p><p>　　證明：建立下面的概率模型：</p><p>　　設(shè)袋中有紅、白各一個(gè)球（大小型號(hào)相同），現(xiàn)有放回地抽取兩次，每次抽一個(gè)球。如果兩次取出的都是紅球，就“中獎(jiǎng)”；倘若失敗，則必須在袋中再添加一個(gè)同型號(hào)的白球后，再試驗(yàn)取兩次，如果取到兩次紅球，算“中獎(jiǎng)”；但如果仍失敗，則繼續(xù)于袋中添加一個(gè)同型號(hào)白

71、球，如此連續(xù)進(jìn)行，以至無(wú)窮，試計(jì)算“中獎(jiǎng)”的概率。</p><p>　　設(shè)：“第回中獎(jiǎng)”（ ），：“中獎(jiǎng)”</p><p><b>　　則，</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　，</b></p><p><

72、b>　　……</b></p><p>　　可見，求原級(jí)數(shù)的和問(wèn)題轉(zhuǎn)化為計(jì)算在所設(shè)模型下“中獎(jiǎng)“的概率。</p><p>　　利用逆概率知識(shí)，可知在各回不同摸球中失敗概率依次為：</p><p>　　此無(wú)窮級(jí)數(shù)前項(xiàng)部分和極限，即</p><p>　　二、利用組合數(shù)公式求級(jí)數(shù)的和[16]</p><p>

73、　　對(duì)于某一類形式較特殊的數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，我們還可以通過(guò)對(duì)組合數(shù)公式進(jìn)行深入探討，來(lái)得到新性質(zhì)并通過(guò)對(duì)其恒等式變形，來(lái)求得此類數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和。</p><p>　　定義：組合數(shù)也叫二項(xiàng)式系數(shù)，對(duì)于任何的整數(shù)和（），有</p><p>　　性質(zhì)1： n,，k為正整數(shù)</p><p>　　性質(zhì)2： n,，k為正整數(shù)</p

74、><p>　　由性質(zhì)1、2可得等式：， </p><p><b>　　證明：.</b></p><p>　　推廣得，某些形如的級(jí)數(shù)之和的求法如下：</p><p>　　首先求級(jí)數(shù)的前項(xiàng)部分和</p><p><b>　　所以 </b></p><p>

75、;　　可看出這種數(shù)列的通項(xiàng)，其部分和 </p><p>　　所以是由通項(xiàng)的組合表達(dá)式符號(hào)“”的上下加1而得到的，再對(duì)部分和求極限即可求得此類級(jí)數(shù)的和。</p><p>　　例21求級(jí)數(shù)的前項(xiàng)和</p><p><b>　　解：</b></p><p><b>　　由，則</b></p>

76、;<p><b>　　4 參考文獻(xiàn)</b></p><p>　　[1] [美]莫里斯·克萊因.古今數(shù)學(xué)思想（第二冊(cè)）[M].上海:上海科學(xué)技術(shù)出版社,2002:199-202.</p><p>　　[2] 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編. 數(shù)學(xué)分析（第三版）[M]. 北京: 高等教育出版社, 2001.</p><p>　　[3]

77、 舒林軍編. 數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)手冊(cè)[M]. 北京: 北京教育出版社, 2001.</p><p>　　[4] 于乃福.數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)求和法 [J].山東紡織工學(xué)院學(xué)報(bào),1989年3月,4（1）:75-80.</p><p>　　[5] 王宜學(xué)編. 沙場(chǎng)點(diǎn)兵思維點(diǎn)撥與能力訓(xùn)練[M]. 遼寧: 遼寧大學(xué)出版社, 2006.</p><p>　　[6] 仲濟(jì)斎.級(jí)數(shù)求和的解題策略[

78、J].高等數(shù)學(xué)研究,2006年5月,9（3）:36-38.</p><p>　　[7] 康國(guó)強(qiáng),華守亮.數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的求和問(wèn)題初探[J].殷都學(xué)刊（自然科學(xué)版）,1998年12月,6:3-5.</p><p>　　[8] 郭定根.數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)求和的若干方法[J].湘潭師范學(xué)院學(xué)報(bào),1991年6月,12（3）:76-81.</p><p>　　[9] 湯光宋.幾類有趣分式型數(shù)

79、列的求和公式[J].大慶高等?？茖W(xué)校學(xué)報(bào),1998年12月,18（4）11-15.</p><p>　　[10] 潘天娟.利用解微分方程求無(wú)窮級(jí)數(shù)的和[J].金華職業(yè)技術(shù)學(xué)報(bào),2006年2月,6（1）:89-90.</p><p>　　[11] 劉珍儒.一個(gè)求無(wú)窮級(jí)數(shù)和的方法[J],陜西渭南師專.</p><p>　　[12] 張恭慶，林源渠編.泛函分析講義（上冊(cè)）

80、[M]. 北京: 北京大學(xué)出版社, 1987,77.</p><p>　　[13] 金丹麗.級(jí)數(shù)求和的方法[J].高等數(shù)學(xué)研究,2001年5月,4（1）:16-19.</p><p>　　[14] 毛慧娟.系數(shù)為多項(xiàng)式的冪級(jí)數(shù)求和法[J].寧波高等?？茖W(xué)校,1987年,（4）:39-43.</p><p>　　[15] 翁紹銘.概率在組合恒等式證明與無(wú)窮級(jí)數(shù)求和中的

81、應(yīng)用[J].天津紡織工學(xué)院學(xué)報(bào),1996年,15(3):97-101.</p><p>　　[16] 陳碧琴.利用組合公式的性質(zhì)求某些數(shù)列之和[J].重慶師范學(xué)院學(xué)報(bào),1994年2月,2（5）:2-5.</p><p><b>　　文獻(xiàn)綜述</b></p><p>　　論級(jí)數(shù)求和的解題策略</p><p><b&g

82、t;　　一、前言部分</b></p><p>　　級(jí)數(shù)理論是數(shù)學(xué)研究的重要對(duì)象，它不但在日常的生產(chǎn)、生活中都有廣泛的應(yīng)用，而且還是研究函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行數(shù)值計(jì)算的有力工具。其中級(jí)數(shù)求和是級(jí)數(shù)理論的基本問(wèn)題之一，也是較難解決的問(wèn)題，因?yàn)槌缺燃?jí)數(shù)、等差級(jí)數(shù)等一些常見的特殊級(jí)數(shù)外，一般級(jí)數(shù)都難以求出它的部分和，所以級(jí)數(shù)求和的方法比較靈活，技巧性也比較強(qiáng)，因此懂得一些解題策略和掌握一些解題方法也就顯得尤為重要。&

83、lt;/p><p>　　因此許多學(xué)者通過(guò)理解、構(gòu)造、舉例等，從多方面、各角度對(duì)級(jí)數(shù)求和的解題策略和方法作出了大膽的研究和探索，為具體問(wèn)題求解創(chuàng)造了更有效的應(yīng)用價(jià)值，也為級(jí)數(shù)求和問(wèn)題的進(jìn)一步發(fā)展作出了新的貢獻(xiàn)。</p><p>　　經(jīng)過(guò)大量參考文獻(xiàn)的閱讀，我們發(fā)現(xiàn)許多研究者還在各類論文、期刊、書籍中進(jìn)一步介紹了如何利用收斂定義、冪級(jí)數(shù)、傅里葉級(jí)數(shù)、解微分方、一些有趣的公式、概率組合與組合數(shù)公式的

84、性質(zhì)及借助已知級(jí)數(shù)的和并利用收斂級(jí)數(shù)的運(yùn)算等基本性質(zhì)來(lái)求數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和。</p><p>　　在對(duì)主題進(jìn)行探討研究前，作為鋪墊，下面首先了解一下其中基礎(chǔ)的概念知識(shí)[1]：</p><p>　　定義1：若數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的部分?jǐn)?shù)列收斂于（即），</p><p>　　則稱數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂，稱為數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和（即）</p><p>　　定義2：有冪級(jí)數(shù)列所產(chǎn)生的函

85、數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)</p><p><b>　　稱為冪級(jí)數(shù)</b></p><p>　　定義3：若函數(shù)在點(diǎn)的某領(lǐng)域內(nèi)存在直至階的連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則</p><p>　　稱為函數(shù)在點(diǎn)的泰勒公式。</p><p>　　若在處存在任意階導(dǎo)數(shù)，則這時(shí)稱形 式為</p><p>　　的級(jí)數(shù)為函數(shù)在點(diǎn)的泰勒級(jí)數(shù)。<

86、/p><p>　　定義4：如果函數(shù)在點(diǎn)的某領(lǐng)域上等于其泰勒級(jí)數(shù)的和函數(shù)，則稱函數(shù)在點(diǎn)的這一領(lǐng)域內(nèi)可以展開成泰勒級(jí)數(shù)，并稱等式</p><p>　　的右邊為在處的泰勒展開式或稱冪級(jí)數(shù)展開式。</p><p>　　定義5：若整個(gè)數(shù)軸上①</p><p>　　且等式右邊級(jí)數(shù)一致收斂，則有如下關(guān)系式：</p><p><b&

87、gt;　　，</b></p><p>　　它們稱為函數(shù)（關(guān)于三角函數(shù)系）的傅里葉系數(shù)，以的傅里葉系數(shù)為系數(shù)的三角級(jí)數(shù)①稱為（關(guān)于三角函數(shù)系）的傅里葉級(jí)數(shù)。 </p><p><b>　　二、主題部分</b></p><p>　　無(wú)窮級(jí)數(shù)是最簡(jiǎn)單的無(wú)窮表達(dá)式，最早的無(wú)窮級(jí)數(shù)涉及哲學(xué)和邏輯的悖論，并沒(méi)有推及一般的無(wú)窮級(jí)數(shù)；其次無(wú)窮級(jí)數(shù)往

88、往同微積分在一起敘述，而這時(shí)期無(wú)窮級(jí)數(shù)只是近似計(jì)算的工具?，F(xiàn)有的文獻(xiàn)對(duì)無(wú)窮級(jí)數(shù)某些方面的發(fā)展做了深入研究，L. Feigenbaum【2】曾詳細(xì)研究了泰勒定理的產(chǎn)生過(guò)程；Giovanni Ferraro【3】從歐拉對(duì)插值問(wèn)題研究的角度分析了歐拉——麥克勞林求和公式的推導(dǎo)；P.Dugac【4】從總結(jié)魏爾斯特拉斯的研究工作中分析了級(jí)數(shù)的一致收斂性。</p><p><b>　　1、級(jí)數(shù)的早期工作</b

89、></p><p>　　無(wú)窮級(jí)數(shù)很早就在希臘數(shù)學(xué)中出現(xiàn)過(guò)，雖然希臘人懼怕無(wú)窮，試圖用有限和來(lái)代替無(wú)窮和，但是這只是潛無(wú)窮與實(shí)無(wú)窮的差別。芝諾的二分法涉及到把1分解成無(wú)窮級(jí)數(shù)。亞里士多德也認(rèn)為這種公比小于1的幾何級(jí)數(shù)有和。阿基米德在他的《拋物線圖形求積法》一書中，在求拋物線弓形面積的方法中使用了幾何級(jí)數(shù)，并且求出了它的和。中國(guó)古代的《莊子·天下》中的“一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭”含有極限的思想，用

90、數(shù)學(xué)形式表達(dá)出來(lái)也是無(wú)窮級(jí)數(shù)[5]。</p><p>　　到了中世紀(jì)，無(wú)窮級(jí)數(shù)這個(gè)課題曾使那時(shí)的哲學(xué)家與數(shù)學(xué)家著迷，既引起了他們對(duì)“無(wú)窮”的興趣，又促使他們就一些明顯的悖論進(jìn)行激烈的爭(zhēng)論。例如，修塞特解決了這樣一個(gè)問(wèn)題，它可以借助于運(yùn)用敘述如下[6]:</p><p>　　如果一個(gè)點(diǎn)在某段時(shí)間的前一刻以不變的初始速度運(yùn)動(dòng)，在接下來(lái)四分之一的時(shí)間中以二倍的初始速度運(yùn)動(dòng)，在隨后的八分之一時(shí)間中

91、以三倍的初始速度運(yùn)動(dòng)……這樣無(wú)限的繼續(xù)下去，那么這個(gè)點(diǎn)在整個(gè)這段時(shí)間的平均速度等于初始速度的二倍。把這段時(shí)間的長(zhǎng)度和初始速度都取為一個(gè)單位，則上述問(wèn)題等價(jià)于級(jí)數(shù)求和</p><p>　　在這個(gè)方面最杰出的代表人物就是奧雷姆,他有許多天才的思想，尤其是無(wú)窮的思想。他明確幾何級(jí)數(shù)有兩種可能性，當(dāng)公比大于等于1時(shí)，無(wú)窮幾何級(jí)數(shù)有無(wú)窮和；當(dāng)公比小于等于1時(shí)有有限和。在《歐幾里得幾何問(wèn)題》中，他以嚴(yán)格的方式證明當(dāng)無(wú)窮級(jí)數(shù)項(xiàng)

92、的值不是按比例減少時(shí)，其和也可以是無(wú)窮，并且在書中以調(diào)和級(jí)數(shù)作為例子來(lái)探討[7]。</p><p>　　無(wú)窮級(jí)數(shù)的研究在十五、十六世紀(jì)以休塞特和奧雷姆的方式繼續(xù)前進(jìn)，但由于僅限于文字?jǐn)⑹龊蛶缀畏椒?，所以沒(méi)有取得重大進(jìn)步。這些無(wú)窮級(jí)數(shù)早期研究的主要貢獻(xiàn)并不在于所得到的具體結(jié)果，而在于促使人們接受一種新的觀點(diǎn)，即在數(shù)學(xué)中可以自由承認(rèn)無(wú)限過(guò)程。</p><p>　　17世紀(jì)微積分誕生之后，無(wú)窮級(jí)

93、數(shù)作為一種工具在數(shù)學(xué)的前進(jìn)中起到了巨大的推動(dòng)作用。為了把早期的微積分方法應(yīng)用于超越函數(shù)，常常需要把這些函數(shù)表示為可以逐項(xiàng)微分或積分的無(wú)窮級(jí)數(shù)，泰勒定理為此做出了貢獻(xiàn)。將函數(shù)展成無(wú)窮級(jí)數(shù)之后，人們又在考慮這個(gè)問(wèn)題的逆問(wèn)題，即級(jí)數(shù)的求和問(wèn)題。</p><p>　　歐拉和麥克勞林為此給出了一個(gè)求和公式——?dú)W拉—麥克勞林求和公式。18世紀(jì)級(jí)數(shù)方面的工作大都是形式的，大部分?jǐn)?shù)學(xué)家都把級(jí)數(shù)看作多項(xiàng)式的代數(shù)推廣，于是產(chǎn)生許多問(wèn)

94、題，從而要求數(shù)學(xué)家進(jìn)行嚴(yán)密化的研究。19世紀(jì)，柯西建立了級(jí)數(shù)理論，阿爾貝對(duì)此進(jìn)行了完善，后來(lái)由魏爾斯特拉斯提出的一致收斂完成了整個(gè)級(jí)數(shù)理論的構(gòu)建。級(jí)數(shù)理論的形成影響了發(fā)散級(jí)數(shù)在數(shù)學(xué)中的地位，但最終由于它的實(shí)用性形成了漸近分析。</p><p>　　2、 早期的級(jí)數(shù)求和</p><p>　　在17—18世紀(jì)，數(shù)學(xué)家打破對(duì)無(wú)窮的禁戒，逐漸應(yīng)用無(wú)窮級(jí)數(shù)作為表示數(shù)量的工具，同時(shí)研究各種無(wú)窮級(jí)數(shù)的求

95、和問(wèn)題，17世紀(jì)中葉，圣文森特的格雷戈里在他的《幾何著作》中，證明了阿基里斯追龜?shù)你Ｕ摽梢杂脽o(wú)窮幾何級(jí)數(shù)的求和來(lái)解決。格雷戈里第一次明白了無(wú)窮級(jí)數(shù)表示一個(gè)數(shù)，即級(jí)數(shù)的和，并稱這個(gè)數(shù)為級(jí)數(shù)的極限。他說(shuō)：“一個(gè)數(shù)列的終點(diǎn)就是它，即使延續(xù)到無(wú)限項(xiàng)也不能達(dá)到的這個(gè)級(jí)數(shù)的盡頭，但是這個(gè)數(shù)列卻能夠比任何給定的區(qū)間更接近它?！?lt;/p><p>　　1650年，門格里給出[8] </p><p>　　級(jí)數(shù)

96、容易求和，因?yàn)榍∮?</p><p><b>　　因此， 。</b></p><p>　　設(shè)，就可以得到這個(gè)無(wú)窮級(jí)數(shù)的和為1[9]。</p><p>　　第一個(gè)真正粗略求和的問(wèn)題是也是門格里研究的這個(gè)級(jí)數(shù)，但門格里對(duì)這個(gè)級(jí)數(shù)的研究沒(méi)有取得成功。</p><p>　　萊布尼茨考察過(guò)調(diào)和級(jí)數(shù)，曾試圖將和表示成一個(gè)有限值，但

97、是后來(lái)未能做到這一點(diǎn)。1696年他認(rèn)識(shí)到將表示成有限值這一想法是錯(cuò)誤的。</p><p>　　雅各布·伯努利在1689—1704年間撰寫了5篇關(guān)于無(wú)窮級(jí)數(shù)的論文，共60個(gè)命題，使他成為當(dāng)時(shí)這一領(lǐng)域的權(quán)威。在第一篇論文中，就級(jí)數(shù)理論本身而言，雅各布·伯努利做出了一個(gè)很有啟發(fā)性的工作，即證明調(diào)和級(jí)數(shù)1+++++…的和是無(wú)窮[10]。他首先指出了故有這意味著可將原級(jí)數(shù)中的項(xiàng)分組并使每一組的和都大于1

98、，于是我們總可以得到調(diào)和級(jí)數(shù)的有限多項(xiàng)的和，使它大于任何給定的量，從而整個(gè)級(jí)數(shù)的和必是無(wú)窮。在文章末尾，他還證明了無(wú)窮級(jí)數(shù)的和是有限數(shù)，他雖然承認(rèn)自己還不能求出這個(gè)和的精確值，但卻知道關(guān)于優(yōu)級(jí)數(shù)可以求出它的前n項(xiàng)和。雅各布·伯努利去世之后，級(jí)數(shù)的和最后由歐拉于1737年成功地得到。 </p><p>　　在級(jí)數(shù)求和的問(wèn)題中，引起了極大的爭(zhēng)議。如果把級(jí)數(shù)寫成結(jié)果為。如果把級(jí)數(shù)寫成結(jié)果為。但是，如果把級(jí)數(shù)的

99、和表為,則,從而。格朗迪是比薩大學(xué)的數(shù)學(xué)教授，在他的《圓和雙曲線的求積》一書中[11]，用表達(dá)式</p><p>　　令,得到。他主張級(jí)數(shù)的和為，還表示由于級(jí)數(shù)在的形式下為，他也已證明世界能夠從空無(wú)一物創(chuàng)造出來(lái)。1713年以后，萊布尼茨在和沃爾夫的相互通信中，也研究過(guò)級(jí)數(shù)，并同意格朗迪的結(jié)果，但他有另一種論證的方法。萊布尼茨認(rèn)為，如果級(jí)數(shù)的第一項(xiàng)，前兩項(xiàng)的和、前三項(xiàng)的和、前四項(xiàng)的和等等，那么就得到。在這里取和的幾

100、率是相等的，因此必須取算術(shù)平均數(shù)作為和，因?yàn)檫@個(gè)算術(shù)平均數(shù)是最有可能取的到的值。雅各布·伯努利、約翰·伯努利、丹尼爾·伯努利以及拉格朗日都能接受這樣的解釋。</p><p>　　3、 現(xiàn)今級(jí)數(shù)的求和</p><p>　　經(jīng)過(guò)歷史的研究與發(fā)展，結(jié)合歷史上大量數(shù)學(xué)家的研究理論與所得結(jié)論，當(dāng)今學(xué)者對(duì)級(jí)數(shù)問(wèn)題與級(jí)數(shù)求和問(wèn)題都做出了深入的考察與進(jìn)一步的探究，創(chuàng)造性地提出

101、了許多級(jí)數(shù)求和的策略與方法。</p><p>　　于乃福，金丹麗，仲濟(jì)斎，康國(guó)強(qiáng)、華守亮分別在《數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)求和法》[12]、《級(jí)數(shù)求和的方法》[13]、《級(jí)數(shù)求和的解題策略》[14]、《數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的求和問(wèn)題初探》[15]文獻(xiàn)中研究了利用收斂定義，即若數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的部分?jǐn)?shù)列收斂于（即），則稱數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂，稱為數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和（即）；用收斂?jī)缂?jí)數(shù)的和函數(shù)，即找一個(gè)適當(dāng)?shù)膬缂?jí)數(shù)，使收斂域內(nèi)某一點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)恰好為所要求的數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)

102、；及其傅里葉級(jí)數(shù)求數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和的思想方法，并討論了利用學(xué)習(xí)借助已知級(jí)數(shù)的和及利用收斂級(jí)數(shù)的運(yùn)算等基本性質(zhì)求數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和的方法。</p><p>　　徐望文、曾維宏，郭定根，劉小寧，湯光宋、朱渭川，湯光宋分別在《一類級(jí)數(shù)的求和公式》[16]、《數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)求和的若干方法》[17]、《求無(wú)窮級(jí)數(shù)和的一個(gè)遞推公式》[18]、《某一類交錯(cuò)級(jí)數(shù)求和的遞推公式》[19]、《幾類有趣分式型數(shù)列的求和公式》[20]文獻(xiàn)中提出并證明了

103、一些解決不同級(jí)數(shù)的求和問(wèn)題的結(jié)論與公式，使我們對(duì)某類具體的級(jí)數(shù)求和問(wèn)題有了更簡(jiǎn)便的求法。</p><p>　　毛慧娟在《系數(shù)為多項(xiàng)式的冪級(jí)數(shù)求和法》[21]這一文獻(xiàn)中更是通過(guò)舉例深入討論了系數(shù)為多項(xiàng)式的冪級(jí)數(shù)這一類特殊級(jí)數(shù)的求和方法，并將此方法與計(jì)算機(jī)編程結(jié)合在一起，是其在生活中有了具體的應(yīng)用。</p><p>　　而潘天娟則主要在《利用解微分方程求無(wú)窮級(jí)數(shù)的和》[22]這一文獻(xiàn)中提出了利

104、用解微分方程來(lái)求無(wú)窮級(jí)數(shù)的和這一思想方法，使級(jí)數(shù)的求和方法更靈活也更寬闊。</p><p>　　劉珍儒更是在《一個(gè)求無(wú)窮級(jí)數(shù)和的方法》[23]這一文獻(xiàn)中給出了一個(gè)通過(guò)求導(dǎo)計(jì)算無(wú)窮級(jí)數(shù)和的方法，將一般的數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)推廣到線性算子層面上來(lái)討論，使級(jí)數(shù)求和問(wèn)題變得更深刻也更廣泛。</p><p>　　當(dāng)然經(jīng)大量文獻(xiàn)閱讀后還發(fā)現(xiàn)陳碧琴、翁紹銘等學(xué)者甚至在創(chuàng)造性地將級(jí)數(shù)求和問(wèn)題與概率組合聯(lián)系

105、在一起[24]，得出了一些新性質(zhì)，并通過(guò)對(duì)它的恒等變形在某些數(shù)列的求和方面進(jìn)行了實(shí)際的應(yīng)用[25]，更使級(jí)數(shù)求和問(wèn)題通過(guò)概率論得到了新的證明與具體應(yīng)用。</p><p>　　無(wú)窮級(jí)數(shù)及其求和方式的發(fā)展演化正是上述分析背景的寫照，它在18世紀(jì)的形成發(fā)展，促成了數(shù)學(xué)家在19世紀(jì)建立無(wú)窮級(jí)數(shù)理論?，F(xiàn)今數(shù)學(xué)理論的學(xué)習(xí)與研究中，無(wú)窮級(jí)數(shù)更是作為眾多學(xué)者研究的一個(gè)有效工具，無(wú)窮級(jí)數(shù)求和也作為研究的一塊重要內(nèi)容，促使數(shù)學(xué)家在數(shù)

106、學(xué)發(fā)展上進(jìn)行大膽的嘗試，雖然產(chǎn)生許多悖論，但使數(shù)學(xué)產(chǎn)生了很多分支，豐富了數(shù)學(xué)理論的發(fā)展。此外，發(fā)散級(jí)數(shù)在天文、物理上的廣泛應(yīng)用，推動(dòng)了人類發(fā)展的進(jìn)步。</p><p><b>　　三、總結(jié)部分</b></p><p>　　本文對(duì)級(jí)數(shù)與級(jí)數(shù)求和的有關(guān)內(nèi)容進(jìn)行探討，并對(duì)一些基礎(chǔ)的概念進(jìn)行概括說(shuō)明。對(duì)級(jí)數(shù)及其求和早期的發(fā)展進(jìn)行了有序的梳理，尤其對(duì)十七世紀(jì)后，格雷戈里、門格里

107、、萊布尼茨、雅各布·伯努利、歐拉、格朗迪等眾多數(shù)學(xué)家對(duì)級(jí)數(shù)理論的大量研究成果經(jīng)行歸納總結(jié)。并歸納總結(jié)了現(xiàn)今數(shù)學(xué)研究者對(duì)級(jí)數(shù)求和問(wèn)題所提出的新內(nèi)容，如利用收斂?jī)缂?jí)數(shù)的和函數(shù)、傅里葉級(jí)數(shù)、收斂定義及收斂級(jí)數(shù)的運(yùn)算等基本性質(zhì)、已知級(jí)數(shù)的和及、微分方程、已知恒等式、一些遞推公式、幾類有趣分式型數(shù)列的求和公式、概率組合及組合數(shù)公式的性質(zhì)等，從多方面、各角度對(duì)級(jí)數(shù)求和的解題策略和方法作了進(jìn)一步探討。</p><p>

108、;　　熟悉并熟練掌握以上所述的各類級(jí)數(shù)求和的思維轉(zhuǎn)化策略及問(wèn)題轉(zhuǎn)化的技巧，不但有利于我們?cè)鰪?qiáng)洞察問(wèn)題的能力，更能大大提高我們解答級(jí)數(shù)求和問(wèn)題的速度與準(zhǔn)確率。但由于此些策略與方法之間不是孤立的，往往相互滲透、共同作用才能解決問(wèn)題，所以這也就要求我們能熟練并靈活地掌握這些策略與方法，深入挖掘其本質(zhì)，為進(jìn)一步探究級(jí)數(shù)求和問(wèn)題大好夯實(shí)的基礎(chǔ)。相信在此學(xué)習(xí)基礎(chǔ)上大家一定能在級(jí)數(shù)求和問(wèn)題上會(huì)有開寬闊創(chuàng)新的思維，并做出更深一步的研究，甚至利用級(jí)數(shù)及其

109、求和理論來(lái)解決物理、經(jīng)濟(jì)學(xué)等疑難問(wèn)題，并掌握這種重要的數(shù)學(xué)思想，對(duì)數(shù)學(xué)研究或解決更深層的實(shí)際問(wèn)題作更大的貢獻(xiàn)。</p><p><b>　　參考文獻(xiàn)</b></p><p>　　[1] 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編. 數(shù)學(xué)分析[M]. 北京: 高等教育出版社, 2001.</p><p>　　[2] L.Feigenbaum, Brook Taylor

110、 and the Method of Increments,Archive for History of Exact Science,vo134, 1985, 1-140</p><p>　　[3] Giovanni Ferraro, some Aspects of Euler’s Theory of Series: Inexplicable Functions and the Euler-Maclaurin S

111、ummation Formula, Historia Mathematica,vo125,1998,290-317</p><p>　　[4] P. Dugac, Elements d’analyse de Karl Weierstrass, Archive for History of Exact Sciences, vo110, 1973, 41-176</p><p>　　[5]

112、[美] 莫里斯·克萊因，古今數(shù)學(xué)思想（第二冊(cè)），上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，2003,160-189</p><p>　　[6] C.H.愛(ài)德華，微積分發(fā)展史，北京出版社，1987,122-126,221-227</p><p>　　[7]袁小明，數(shù)學(xué)思想史導(dǎo)論，廣西教育出版社，1991,197-202</p><p>　　[8] John Stillwell,

113、 Mathematics and Its History, Spring-Verlag, New York Inc.1989,118-134</p><p>　　[9] [俄] A.D.亞歷山大洛夫，數(shù)學(xué)：它的內(nèi)容、方法和意義，科學(xué)出版社，2001,181-195</p><p>　　[10]吳俊文，世界著名數(shù)學(xué)家傳記，科學(xué)出版社，1995,537-541,585-587,613-615

114、，671-674</p><p>　　[11]E.J.Barbeau and P.J.Lean, Euler’s 1760 Paper on Divergent Series, Historia Mathematica, vo13, 1976, 141-160</p><p>　　[12]于乃福，《數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)求和法》[J],，山東紡織工學(xué)院學(xué)報(bào)，1989年3月，第四卷（第1期）：75-80&

115、lt;/p><p>　　[13]金丹麗，《級(jí)數(shù)求和的方法》[J]，高等數(shù)學(xué)研究，2001年5月，第四卷（第1期）：16-19</p><p>　　[14]仲濟(jì)斎，《級(jí)數(shù)求和的解題策略》[J]，高等數(shù)學(xué)研究，2006年5月，第九卷（第3期）：36-38</p><p>　　[15]康國(guó)強(qiáng)、華守亮，《數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的求和問(wèn)題初探》[J]，殷都學(xué)刊（自然科學(xué)版），1998年12月，

116、第六卷：3-5</p><p>　　[16]徐望文、曾維宏，《一類級(jí)數(shù)的求和公式》[J]，邵陽(yáng)師專學(xué)報(bào)，1997年4月，第3期：46-49</p><p>　　[17]郭定根，《數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)求和的若干方法》[J]，湘潭師范學(xué)院學(xué)報(bào)，1991年6月，第十二卷（第3期）：76-81</p><p>　　[18]劉小寧，《求無(wú)窮級(jí)數(shù)和的一個(gè)遞推公式》[J]，南充師院學(xué)報(bào)，19

117、85年，（第2期）：63-66</p><p>　　[19]湯光宋、朱渭川，《某一類交錯(cuò)級(jí)數(shù)求和的遞推公式》[J]，成都大學(xué)學(xué)報(bào)自然科學(xué)版，1990年2月，47-50</p><p>　　[20]湯光宋，《幾類有趣分式型數(shù)列的求和公式》[J]，大慶高等?？茖W(xué)校學(xué)報(bào)，1998年12月，第十八卷（第4期）：11-15</p><p>　　[21]毛慧娟，《系數(shù)為多項(xiàng)式的

118、冪級(jí)數(shù)求和法》[J]，寧波高等?？茖W(xué)校，1987年，（第4期）：39-43</p><p>　　[22]潘天娟，《利用解微分方程求無(wú)窮級(jí)數(shù)的和》[J]，金華職業(yè)技術(shù)學(xué)報(bào)，2006年2月，第六卷（第1期）：89-90</p><p>　　[23]劉珍儒，《一個(gè)求無(wú)窮級(jí)數(shù)和的方法》[J]，陜西渭南師專</p><p>　　[24]陳碧琴，《利用組合公式的性質(zhì)求某些數(shù)列之

119、和》[J]，重慶師范學(xué)院學(xué)報(bào)，1994年2月，第二卷（第5期）：2-5</p><p>　　[25]翁紹銘，《概率在組合恒等式證明與無(wú)窮級(jí)數(shù)求和中的應(yīng)用》[J]，天津紡織工學(xué)院學(xué)報(bào)，1996年，第十五卷（第3期）：97-101</p><p><b>　　開題報(bào)告</b></p><p>　　論級(jí)數(shù)求和的解題策略　　　　　　　　　　　　<

120、/p><p>　　一、選題的背景、意義</p><p>　　級(jí)數(shù)理論是數(shù)學(xué)研究的重要對(duì)象，它不但在日常的生產(chǎn)、生活中都有廣泛的應(yīng)用，而且還是研究函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行數(shù)值計(jì)算的有力工具。其中級(jí)數(shù)求和是級(jí)數(shù)理論的基本問(wèn)題之一，也是較難解決的問(wèn)題，因?yàn)槌缺燃?jí)數(shù)、等差級(jí)數(shù)等一些常見的特殊級(jí)數(shù)外，一般級(jí)數(shù)都難以求出它的部分和，所以級(jí)數(shù)求和的方法比較靈活，技巧性也比較強(qiáng)，因此懂得一些解題策略和掌握一些解題方法也

121、就顯得尤為重要。</p><p>　　無(wú)窮級(jí)數(shù)出現(xiàn)的很早，往往都是出現(xiàn)在對(duì)個(gè)別問(wèn)題的研究中。到了中世紀(jì)，無(wú)窮級(jí)數(shù)引起了當(dāng)時(shí)哲學(xué)家與數(shù)學(xué)家的興趣。17世紀(jì)微積分誕生之后，無(wú)窮級(jí)數(shù)作為一種工具在數(shù)學(xué)的前進(jìn)中起到了巨大的推動(dòng)作用。為了把早期的微積分方法應(yīng)用于超越函數(shù)，常常需要把這些函數(shù)表示為可以逐項(xiàng)微分或積分的無(wú)窮級(jí)數(shù)，泰勒定理為此做出了貢獻(xiàn)。將函數(shù)展成無(wú)窮級(jí)數(shù)之后，人們又在考慮這個(gè)問(wèn)題的逆問(wèn)題，即級(jí)數(shù)的求和問(wèn)題[1]

122、。</p><p>　　現(xiàn)今數(shù)學(xué)理論的學(xué)習(xí)與研究中，無(wú)窮級(jí)數(shù)也是一個(gè)有效工具，無(wú)窮級(jí)數(shù)求和更是一塊重要內(nèi)容，它促使數(shù)學(xué)家在數(shù)學(xué)發(fā)展上進(jìn)行大膽的嘗試，雖然產(chǎn)生許多悖論，但使數(shù)學(xué)產(chǎn)生了很多分支，豐富了數(shù)學(xué)理論的發(fā)展。經(jīng)過(guò)歷史的研究與發(fā)展，結(jié)合歷史上大量數(shù)學(xué)家的研究理論與所得結(jié)論。當(dāng)今學(xué)者還對(duì)級(jí)數(shù)問(wèn)題與級(jí)數(shù)求和問(wèn)題都做出了深入的考察與進(jìn)一步的探究，創(chuàng)造性地提出了許多級(jí)數(shù)求和的策略與方法。此外，發(fā)散級(jí)數(shù)在天文、物理上的廣